Стійкість розв’язків диференційних рівнянь з відхиленням аргументу

Варіаційне числення. Обчислення варіації інтегрального функціонала. Варіаційна задача з рухливими границями. Розв’язання диференційних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу. Варіації розв’язків диференціального рівняння із розривною початковою умовою.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык украинский
Дата добавления 21.11.2011
Размер файла 7,8 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

Тема

Стійкість розв'язків диференційних рівнянь з відхиленням аргументу

Вступ

Актуальність проблеми: формули варіації розв'язку добре відомі - для звичайних диференціальних рівнянь, у тому числі для рівнянь із запізнюваннями, і для функціонально-диференціальних рівнянь. Однак не розглядається варіація початкового моменту й розривність початкової умови.

Мета: сформулювати основні теореми, що враховують лівосторонні, правобічну й двосторонню варіації початкового моменту .

Для основного класу функціонально-диференційних рівнянь установити порядок приросту розв'язку щодо малого параметра й одержати аналітичне вираження збільшення розв'язку в початковий момент . Ці результати використати при доказі основних теорем.

Об'єктом є формули варіації розв'язку для нелінійного диференційного рівняння зі змінними запізнюваннями й розривною початковою умовою.

Розривність початкової умови означає, що в початковий момент часу значення початкової функції й траєкторії, загалом кажучи, не збігаються. Отримані формули містять новий доданок, пов'язаний з розривністю початкової умови й варіацією початкового моменту.

Практичне значення: формули варіації розв'язку диференційного рівняння щодо правої частини рівняння й початкових даних відіграють важливу роль при доказі необхідних умов оптимальності для завдань оптимального керування. Крім того, вони дають можливість одержати аналітичний вид наближеного розв'язку збуреного диференційного рівняння зі збуреними початковими умовами.

У запропонованій роботі для нелінійного диференціального рівняння зі змінними запізнюваннями й розривною початковою умовою доведені формули варіації розв'язку в околиці правого кінця основного інтервалу [,] при збурюванні початкового моменту , правої частини рівняння, початкової функції й початкового значення розв'язку.

Методичні інструменти: аналіз наукової літератури, класифікація та систематизація матеріалу.

Розділ І. Варіаційне обчислення

І.1 Основи варіаційного обчислення

Функціоналами називаються змінні величини, значення яких залежать від вибору однієї або декількох функцій функцій однієї або декількох змінних.

Змінна величина називається функціоналом, що залежить від функцій з обраного класу функцій, тобто , якщо для кожної функції , даного класу визначене число

Приростом або варіацією аргументу функціонала називається різниця між двома функціями даного класу

Зміна функції вважається малим порядку ,

якщо для малої величини

для всіх

Функціонал називається безперервним порядку при , якщо для таке, що

для всіх функцій , задовольняючим умовам:

...............................

для всіх

Функціонал називається лінійним, якщо для будь-яких чисел та будь-яких функцій з даного класу

Якщо збільшення функціонала можна представити у вигляді

лінійна стосовно варіації аргументу частина його збільшення.

Із практичної точки зору зручно наступне подання варіації функціонала

(1)

Функціонал має локальний максимум при , якщо для будь-якої функції близької до виконується нерівність . Якщо близькість нульового порядку, то максимум називається сильним, якщо першого й вище, те слабким. Аналогічно визначається мінімум функціонала.

Як і для функцій необхідними умовами існування экстремума безперервного функціонала, що має варіацію, є рівність нулю варіації функціонала.

Дійсно, нехай екстремальне значення функціонала досягається на кривій , а крива близька до . Розглянемо сімейство функцій

На кривих цього сімейства функціонал буде просто функцією змінної , тобто

З огляду на необхідні умови локального экстремума функції однієї змінної при одержимо Оскільки відповідно до подання (1) для варіації функціонала

звідси виходить необхідна умова экстремума функціонала, а саме при локального экстремума варіація функціонала повинна бути рівної нулю

(2)

Рівняння Эйлера. Розглянемо знаходження экстремума функціоналів виду

Оскільки ця умова повинна виконуватися для довільної варіації , звідси походить рівняння

(5)

або в розгорнутому вигляді

Рівняння (5), це одне з основних рівнянь варіаційного обчислення - рівняння Эйлера для знаходження функцій, на яких функціонал приймає екстремальне значення. Розглянемо кілька прикладів використання рівняння Эйлера.

Приклад 1.

Знайти екстремальні криві функціонала

Звідси рівняння Эйлера у даному конкретному випадку буде мати вигляд Екстремальні криві , а рішення нашої задачі

Приклад 2. Знайти екстремальні криві функціонала (мінімум довжини

Приклад 3

Знайти екстремальну криву, що відповідає мінімальної площі поверхні обертання (мал.2).

мал.2

Оскільки

Якщо рівняння Эйлера помножити на , отримаємо .

Це рівняння має перший інтеграл

Підстановка дає

Або після виключення рівняння ланцюгової лінії

Приклад 4. Знайти криву, що проходить через дві задані на площину крапки за умови мінімуму часу руху матеріальної крапки по даній кривій у поле сил ваги, вважаючи зв'язок ідеальним (тертя немає)

.

Мал.3

Враховуючи, що одержимо для часу руху функціонал

Приклад 5. Знайти екстремальні функції для функціонала

Приклад 6. Розглянемо рівновагу балки з жорстко закріпленими кінцями.

Мал.4

Рівняння рівноваги балки можна одержати якщо розглянути виділену ділянку, замінивши відкинуті частини балки силами та моментами (мал.4), уважаючи момент щодо лівого краю виділеного елемента

де вектор лінійної щільності розподілених навантажень, вектор дотичної до серединного волокна балки, довжина виділеного елемента.

Якщо вважати прогини малими й розглядати плоский випадок, то

.

У проекції на вісь одержимо для рівноваги сил:

(8)

У проекції моментів на вісь одержимо з рівноваги моментів:

(9)

Якщо вважати, що перетину балки, нормальні до серединного волокна, залишаються такими й після деформації, а матеріал балки пружний то (кривизна серединного волокна, у випадку малих прогинів ) В якості розподілених сил розглянемо сили ваги З урахуванням цього одержимо для прогинів балки рівняння:

(10)

У розглянутому завданні граничними умовами будуть умови жорстокого закріплення:

Рішеннням рівняння (10) буде функція

Розглянемо екстремум функціонала

.

Відповідно до рівняння (7) одержимо

Очевидно, що отримане рівняння збігається з рівнянням рівноваги балки (10).

Звернемо увагу на те, що перший доданок в інтегралі - щільність пружної енергії, а другий - щільність потенційної енергії. У такий спосіб мінімум функціонала відповідає мінімуму сповненої енергії балки.

Функціонали від функцій декількох змінних:

Розглянемо сімейство функцій

Як і раніше будемо користуватися поданням варіації функціонала у формі

Введемо позначення: тоді

де

Це рівняння в частинних похідних з відповідною граничною умовою дозволяє визначити экстремаль функціонала

Приклад 7.

Знайти экстремаль функціонала.

У розглянутому випадку

У такий спосіб эстремаль функціонала представляє рішення завдання дирихле для рівняння Лапласа.

Приклад 2. Знайти экстремаль функціонала

Рівняння Остроградського дає

У такий спосіб экстремаль функціонала в цьому випадку представляє рішення рівняння Пуассона для даної області.

Приклад 8. Знайти поверхню мінімальної площі, натягнуту на контур С функціонала

Ця фігура має вигляд мильної бульки, натягнутої на контур. Рівняння Остроградського при цьому має вигляд

Екстремум функціонала при наявності зовнішніх зв'язків.

Складемо нову функцію ( невизначені множники Лагранжа), і будемо шукати экстремум функціонала

У результаті одержимо систему рівнянь Эйлера

доповнену рівняннями зв'язків

Приклад 9. Користуючись принципом Остроградского-Гамильтона, тобто мінімуму

,

де , знайти рівняння руху системи матеріальних точок маси з координатами під дією сил, з потенціалом при наявності зв'язків

.

Знайдемо экстремали функціонала

Допоміжний функціонал

Система рівнянь Эйлера:

рівняння зв'язків

замкнута система рівнянь відносно

І.2 Обчислення варіації інтегрального функціонала

Ми будемо розглядати екстремуми тільки інтегральних функціоналів, коли значення функціоналів обчислюються за допомогою певного інтеграла:

Оскільки ми розглядаємо функції , то всі функціїнеперервні на . Будемо припускати надалі , що функція неперервна при всіх і будь-яких . Тоді інтегрант як складна функція від неперервна на і тому інтеграл існує. Більше того, будемо припускати, що функція має безперервні частки похідні потрібних порядків по всіх аргументах при і будь-яких . Це забезпечить законність майбутніх обчислень.

Досить обчислити варіацію функціонала від однієї функції

(1)

(У п. 1.1 мали приклад такого функціонала з інтегрантом ), тому що варіація функціонала від вектора-функції по аргументу обчислюється при фіксованих значеннях інших аргументів, тобто як варіація функціонала від однієї функції .

Теорема (про варіації інтегрального функціонала)

Нехай - деяка множина припустимих функцій. Варіація функціонала (1) у точці при будь-якій припустимій варіації аргументу існує й дорівнює

також неперервна в цьому прямокутнику через безперервність часток похідних і безперервність функцій . Тому можна відповідно до теореми Лейбница (1.1.2) диференціювати по під знаком інтеграла

І.3 Варіаційна задача з рухливими границями

У найпростішому завданні в якості крайових умов, що визначають клас припустимих функцій, береться умова закріплення кінців.

Розглянемо два приклади варіаційних завдань із рухливими границями, обмежившись функціоналом, що містить одну функцію й першу похідну.

1. Задача з рухливими кінцями

Це - задачазадані числа, .

Крайові умови не задані, тобтоне задані. З геометричної точки зору таке завдання полягає у визначенні кривої - графіка функції , кінці якого розташовані на вертикальних прямих і для якої відповідне значення

функціонала є екстремальним. Цю задачу називають задачею з рухливими кінцями.

Для припустимої варіації аргумента умова тепер не потрібно, так що припустимими варіаціями аргументу є будь-які функції .

Теорема. (Необхідна умова экстремума в завданні з рухливими кінцями).

Якщо припустима функція доставляє экстремум функціоналу у задачі з рухливими кінцями, те ця функція задовольняє рівнянню Эйлера, і, крім того, так називаним природним крайовим умовам

.

Як й у теоремі 1.4.1, для спрощення доказу додамо умову: функція , що доставляє экстремум функціоналу, двічі безупинно диференційна: замість (це використається при інтегруванні вроздріб . Але теорема вірна й без цієї додаткової умови).

Відповідно до теореми варіація дорівнює нулю при всіх припустимих , у нашому випадку - при всіх , так що

Але за леммою Лагранжа на , тобто функція задовольняє рівнянню Эйлера. Виходить, залишається рівність

,

справедлива при будь-якій функції . Зокрема , вона вірна для функції , у котрої :

,

а також для функції , у котрої :

. ¦

Можна розглядати й "змішану" задачу, у якій один з кінців закріплений, а інший кінець вільно переміщається по вертикальній прямій. Наприклад, (задано), а правий кінець переміщається по прямій . Це дає природну крайову умову.

Приклад 1.

(лівий кінець закріплений, правий рухливий).

Рівняння Эйлера:

- лінейне Др 2-го

порядку з постійними коефіцієнтами із правою частиною спеціального виду.

Його загальне рішення: . Із крайової умови знаходимо. На правому кінці природна крайова умова має вигляд

2. Задача з рухливими границями.

Розглянемо функціонал

, вірний

на безперервно диференційних функціях , у яких кінці графіків лежать на кривих і (і- теж безперервно диференційні функції).

Наприклад, якщо функція така, що

, те для неї функціонал обчислюється по формулі, а якщо , то за формулою

.

Мається на увазі, що кожна припустима функція безперервна на своєму відрізку , що належить відрізку . Таким чином, межі інтеграла змінюються від функції до функції.

Потрібно знайти экстремум такого функціонала. Відповідну теорему сформулюємо без доказу.

Теорема (Необхідна умова экстремума в завданні з рухливими границями)

Якщо припустима функція доставляє экстремум функціоналу

(1)

при крайових умовах , то ця функція є экстремалью функціонала (1) (тобто задовольняє рівнянню Эйлера для його інтегранта ) і задовольняє умовам трансверсальності

(Ці умови враховують те, що кінці кривої лежать на заданих кривих і ).

Таким чином, для рішення цього завдання потрібно:

1. Знайти загальне рішення рівняння Эйлера (воно 2-го порядку, тому дві довільні постійні і ).

2. Із крайових умов і з умов трансверсальности (2) визначити постійні і невідомі кінці .

3. Обчислити экстремум функціонала (якщо є впевненість, що знайдена функція дійсно дає экстремум).

Можна розглядати й "змішану" задачу, у якій один з кінців закріплений або переміщається по вертикалі, а другий кінець переміщається за графіком якої-небудь функції .

Пример 2. Знайти найкоротшу відстань між кривими й .

? Завдання полягає в знаходженні мінімуму функціонала (довжина кривої ) при крайових умовах

Складемо рівняння Эйлера:

Його загальне рішення (пряма). Для знаходження використаємо крайові умови:

І умови трансверсальності:

Із системи рівнянь

знаходимо .

Екстремаль: . Вона єдина, а за змістом завдання мінімум є. Значить функція і доставляє экстремум функціоналові. Знайдемо мінімальну відстань:

. ¦

І.4 Варіаційні завдання на умовний екстремум

У розглянутих завданнях рішення повинні були задовольняти деяким крайовим умовам. Але в багатьох додатках варіаційного обчислення на рішення завдання, крім крайових умов, накладаються деякі додаткові умови - так називані умови зв'язку.

Нехай потрібно знайти экстремум функціонала

, (1)

який будемо називати цільовим функціоналом, на множині функцій , що задовольняють крайовим умовам

і деяким умовам зв'язку, які можуть виражатися диференціальними рівняннями (їхнє число повинне бути менше числа функцій)

(2)

(похідні можуть не брати участь, тоді будуть просто функціональні рівняння ), або інтегральними рівняннями

де задані числа.

Тут передбачається, що функції мають безперервні частки похідні до 2-го порядку включно по всіх своїх аргументах при і будь-яких .

Ця задача загального виду називається варіаційною задачею на умовний экстремум. Якщо дані умови зв'язку є диференціальними (або функціональними) рівняннями (2), то це - задача Лагранжа, якщо умови зв'язку - інтегральні рівняння (3) - ізопериметрична задача (остання назва пов'язана з тим, що ця задача є узагальненням стародавньої задачі Дідони: серед кривих із заданої довгої (с рівними - "ізо" - периметрами) знайти ту, котра обмежує на площині фігуру найбільшої площі). Задача на умовний экстремум може бути змішаною з умовами зв'язку обох видів (2) і (3).

Функціональні умови зв'язку (не утримуючих похідних) називаються голономними зв'язками на відміну від диференціальних зв'язків.

Приклад 1. Типовим прикладом є завдання про геодезичні лінії: на поверхні знайти геодезичну лінію, що з'єднує точки і(тобто лінію найменшої довжини).

Якщо лінію шукати у вигляді , т.е. як лінію перетинання циліндричних поверхонь і, те, використовуючи її параметричне подання (за параметр візьмемо )

одержимо її довжину , так що маємо завдання

при крайових умовах і при одній голономній умові зв'язку (яка означає, що шукана лінія повинна лежати на поверхні:). При розв'язку цього завдання виходить складна система диференціальних рівнянь із невідомими функціями (множник Лагранжа), . Ми для демонстрації рішення завдання Лагранжа візьмемо більше простий приклад.

Приклад 2.

Умови зв'язку (диференціальні) мають вигляд

Матриця Якобі

має ранг 2 (мінор ).

Складаємо функцію Лагранжа

,

складаємо систему рівнянь Эйлера для допоміжного функціонала з інтегрантом :

Приєднавши умови зв'язку, одержимо систему рівнянь для відшукання невідомих функцій :

Функції и зіграли свою роль для отримання цієї системи. Більше вони не потрібні (важливо лише, що вони існують). Тому виключимо їх із системи: з огляду на, що одержимо систему

Звідси знаходимо

Використаємо крайові умови:

Звідси

Знайшли єдину екстремаль

.

Розглянемо тепер ізопериметричну задачу.

Теорема (необхідна умова экстремума в ізопериметричній задачі).

Нехай функціонал від вектора-функції

(6)

певний на безлічі функцій где , що задовольняють крайовим умовам

(7)

і інтегральним умовам зв'язку

(8)

де задані числа ( не потрібне), має в припустимій точці екстремум.

Тоді існують такі числа що функція є екстремаллю допоміжного функціонала

інтегрантом якого є функція Лагранжа(числа

називаються множниками Лагранжа).

? Зведемо ізопериметричну задачу до задачі Лагранжа. Уведемо функції

і умовам зв'язку

тобто диференціальним умовам зв'язку

(11)

де

Таким чином, якщо функція задовольняє крайовим умовам (7) і інтегральних умов зв'язку (8), то функція задовольняє крайовим умовам (10) і диференціальним умовам зв'язку (11). При цьому, якщо при функціонал (6) має екстремальне значення , то при , де функціонал (9) має екстремальне значення (те ж саме)(тому що функціонал не містить ).

Отже, якщо є рішенням ізопериметричної задачі (6)-(7)-(8), то є рішенням задачі Лагранжа (9)-(10)-(11) і можна застосувати теорему.

Матриця Якобі

має, видно, ранг, рівний (числу умов зв'язку), тому що мінор -го порядку

.

Умови теореми виконані. Виходить, функція

є екстремаллю допоміжного функціонала з интегрантом, где - множники Лагранжа. Це означає, що функція задовольняє системі рівнянь Эйлера

Крім того,

.

Таким чином, існують постійні числа такі, що виконується рівняння Эйлера для функції Лагранжа :

(після підстановки ; тут не беруть участь). ¦

Приклад 3.

.

? .

1) Рівняння Эйлера:

2) Визначимо і :

,

звідки ,

,

звідки.

3) Рішення рівнянь Эйлера:

4) Знайдемо постійні:

Екстремаль: . ¦

Розділ ІІ. Розв'язки диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу

ІІ.1 Періодичні розв'язки функціонального рівняння з лінійним відхиленням аргументу

Розглядається рівняння :

u(t) - au ( qr + r ) = f(t) ( 1 )

де t,q є , qt = (,…,) , a є ;

u , f - комплекснозначні функції, 2?- періодичні по всіх аргументах.

Про додатки функціонального q - різницевого ( =0 ) рівняння й рівняння з лінійним відхиленням аргументу у випадку n=1 стало відомо лише недавно. Наприклад, до рівняння ( 1) зводиться завдання про коливання нескінченної струни з деякими спеціальними крайовими умовами. Однак, у функціонально-диференціального рівняння

u'(t) +bu(t) +au (qt) = 0

додатків значно більше.

Метод відшукання періодичних рішень подібних рівнянь такий же, як і для чисто функціональних рівнянь; додаткові труднощі виникають лише при з'ясуванні деякої регулярності рішення.

Через позначимо клас функцій 2р - періодичних по всіх n аргументах, квадрат модуля яких інтегруємо в гіперкубі , а через '(U) - клас 2 - періодичних узагальнених функцій.

Умова приналежності цим класам усього лише обмеження на ріст коефіцієнтів Фур'є відповідної функції (функціонала). Таке обмеження на рішення рівняння (1) ніяк не пов'язане йз самим рівнянням і виглядає дещо штучно. Крім цього, існують приклади лінійних функціоналів (не обов'язково обмежених), що задовольняють q - різницевому рівнянню й не приналежним зазначеним просторам. Тому природно виглядає узагальнення відомих періодичних розподілів, детально викладене в, яку мі будемо використовувати.

Нехай Ф - простір всіх тригонометричних поліномів, тобто лінійна оболонка, що натягнута на

= exp{i}, =+…+.

Ф - розподілом називається лінійний функціонал над Ф. Безліч всіх Ф - розподілів позначимо через . Єдиною відмінністю такої конструкції від "класичних" періодичних розподілів є відсутність якої б те не було топології. Можна показати, що між Ф и безліччю всіх формальних рядів Фур'є існує взаємно однозначна відповідність

э.u , k є

Функціонал u Ф* будемо називати регулярним, якщо існує u(t) є (U)

()= для всіх є Ф.

У цьому випадку, як звичайно, будемо ототожнювати u із u(t). Звернемося до рівняння (1)

u(t) - au ( qr + r ) = f(t)

Якщо - ірраціональне число, те, як треба з результатів роботи, рішення цього рівняння в (U) (також як і права частина) не буде залежати від , тому завдання зведеться до рішення (1) в . Аналогічно, якщо , тоді знову приходимо до рівняння з ( n - 1 ) незалежної змінної. Тому будемо припускати, що , де - взаємно прості.

Введемо позначення:

=() , k є , с є ;

є .

Розглянемо наступні випадки:

1) p = (q = m) ;

2) m = (q = );

3) ; , ?1.

1)q = m є

Рішення (І) будемо шукати в класі Ф - розподілів, уточнивши потім умови їхньої регулярності.

Приведемо визначення, дані для випадку n = 1. Нехай u (t) є Ф* ; m, p є Zn; mj,

pj ? 0. u(mt) - це такий Ф - розподіл v(t), коефіцієнти Фур'є якого

задовольняють умові vk = uk/m,

де

uk/m =

U (t/p) - це такий Ф - розподіл V(t), що V(pt) = U(t).

Виходячи із цих визначень неважко показати, що U(t) і V(t) = U(mt/p) зв'язані співвідношенням Vk = Ukp/m .

Під рішенням U Ф* рівняння (І) ми розуміємо функціонал, що обертає рівність (І) у тотожність на будь-якій пробній функції цФ .

Переходячи до рядів Фур'є, запишемо розглянуте рівняння у вигляді

ukek(t) - auk exp ) = (1)

або

Звідси для коефіцієнтів Фур'є Uk одержуємо наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

exp k Zn. (2)

Теорема I. Нехай a1, q = m. Тоді рішення (І) у класі Ф - розподілів існує і єдине.

При цьому якщо f L2 (U) і |a|<1, то рішення u(t)L2 (U); якщо f D'(U), то для того, щоб u D' (U) достатньо виконання однієї з умов:

a) |a| < 1;

б) min |mj| 2.

Доведення

При k = 0 одержуємо u0 (1 - a) = f0.

Якщо k не ділиться на m (k/m Zn), то із (2) виходить, що

uk = fk .

Користуючись далі (2) як рекурентним співвідношенням одержимо формулу для довільного коефіцієнта Фур'є :

uk = fk + a expa

де визначається співвідношеннями:

k/mб Zn , k/mб+1 Zn. .

Це доводить перше твердження теореми. Нехай тепер f(t) L2 (U):

||f|| = (.

Використовуючи нерівність Коши-Буняковского, неважко одержати з (2)

звідки, у силу того, що m Zn .

(1 - |a|)(

Нехай, нарешті, f(t)? ??'(U). Тоді існують константи ??,г>0:

(4)

Тоді із (3) виходить, що

Тому при

,

а при та min

Вибираючи в (4) достатньо велике г, можна домогтися того, щоб останній ряд збігався.

2) q=

Заміною t'= +??, рівняння (1) зводиться до розглянутого в 1) рівнянню

u(t')- (5)

і для нього вірний наступний результат: при існує єдиний розв'язок u Ѓё Ф*;

ІІ.2 Формули варіації розв'язків диференціального рівняння із запізнілими аргументами й розривною початковою умовою

Формулювання основних результатів

Нехай J = [а, b] - кінцевий інтервал, О n - відкрита множина, Е -множина функцій f:JOs -- n, що задовольняють наступним умовам: для майже всіх t J функція f(t,):Os -- Rn неперервно диференційна; при кожному (,...,) функції f(t,x_1,...,xs), f,(t,...,xs),i =1,...,s, вимірні на J; для будь-якої f ? Е для будь-якого компакта К ? О існує така функція (•)? L(J, ), = [0, ?), що при для будь-якому (,...,) ? Ks и для майже всіх t ? J

+ ? (t)

Нехай далі скалярні функції , t ? ?, i=1,…,s абсолютно безперервні й задовольняють умовам: ? t,(t) > 0, i=1,...,s; Ф - множина неперервних функцій ц:=> 0, , при цьому =sup.

Кожному елементу ?? = (,??,f) ?A = J Ч O Ч Ф Ч Е будемо ставити у відповідність диференціальне рівняння

(t) = f(t,x((t)),...,x(??s(t))) (1.1)

с розривною початковою умовою

x(t)=(t), t ? [), x()= (1.2)

Визначення 1.1

Нехай ?? = ( ,??,f) ЃёA, < b. Функцію x(t,??) Ѓё O, t Ѓё [ ] , тоді будемо називати розв'язком рівняння (1.1) з початковою умовою(1.2) або розв'язком, що відповідає елементу ?? і визначеним на інтервалі [ ], якщо вона на інтервалі [ ] задовольняє умові (1.2), а на інтервалі [ ] абсолютно безперервна й майже всюди на [ ] задовольняє рівнянню (1.1).

Введемо множину варіацій:

V= , (1.3)

де ? E, i=1,...,k - фіксовані точки, ? Ф - фіксована точка, а > 0 - фіксоване число.

Нехай (t) - відповідний элементу =(,,) ? A розв'язок, визначений на інтервалі [], ? (a,b), i=0,1. Існують такі числа > 0, , що для довільного (е, дм) ? [0, ]ЧV елемент +едм ? A і йому відповідає розв'язок x(t,+едм), визначений на інтервалі [] є продовженням розв'язку (t). Тому далі вважатимемо, що розв'язок (t) із самого початку визначений на всьому інтервалі [].

За визначенням приріст розв'язку (t) = x(t, ) є

?x(t) = ?x(t, едм) = x(t,+едм )-(t), (t,е,дм)? [] Ч[0, ]Ч V (1.4)

Для формулювання основних результатів уведемо наступні позначення:

=(), i=0,…,p

(роль числа р буде пояснюватися далі); якщо i=0,то не містить якщо i=р,то не містить ; далі = , =(t);

=()), i=p+1,…,s;

=()), i=p+1,…,s

Теорема 1.1. Нехай виконані умови:

, i=1,...,p, < … < <;

існує таке число ?? > 0, що

(t)?…?(t), t ? ;

1.3) існують кінцеві межі

=(), i=1,…,s;

, ??=,(t,...,xs)? Ч, i = 0,...,р;

,

Ч, i =р+ 1,...,s.

Тоді існують такі числа > 0, > 0, що для довільного (t,е, дм) ? , ,

справедлива формула

, (1.5)

де

(Y() - )+в(t,????), (1.6)

=1, , i=1,...,p , =0;

в(t,????)=Y)+[]????(о)d?? + ,

,??f[??]= дf(??, );

Y(о,t) - матрична функція, що задовільняє рівнянню

-[] ?? ? [] (1.7)

й умові (1.8)

де I - одинична матриця, И - нульова матриця.

Функція ??x(t,????) називаеться варіацією розв'язку (t),t ? , а вираз (1.6) - формулою варіації.

Теорема 1.2.

Нехай виконані умова (1.1) і нижченаведені умови:

1.4) існує таке число ?? > 0, що

(t)?…?(t), t ? ;

1.5) існують кінцеві межі

=(), i=1,…,s;

, ??=,(t,...,xs)? Ч, i = 0,...,р;

,

Ч, i =р+ 1,...,s.

Тоді існують такі числа > 0, > 0, що для довільного

(t,е, дм) ? , ,

справедлива формула (1.5), де ??x(t,????) має вид

(Y() - )+в(t,????), (1.6)

=1, , i=1,...,p , =0;(1.9)

Нижчеподана теорема є наслідком теорем 1.1 й 1.2.

Теорема 1.3.

Нехай виконані умови теорем 1.1 й 1.2. Нехай, крім того, виконані рівності

= =

= = i=p+1,..., s.

Тоді існують такі числа > 0, > 0, що для довільного

(t,е, дм) ? V

справедлива формула (1.5), де ??x(t,????) має вид

(Y() - )+в(t,????).

Деякі зауваження

1)Нехай

=, тоді , , i =р+ 1,...,s.

Тому

= … =, =0, i =р+ 1,...,s.

У цьому випадку формула (1.6) приймає вид

-Y() +в(t,????).

2) Нехай >, i=1,…,s,тоді у формулі (1.6) передбачається, що p=0. В цьому випадку умова (1.2) стає зайвою.

3) Умова (1.2) виконана, якщо=.

Справді,

Очевидно, що при досить малому ?? > 0 з останньої рівності випливають нерівності

, i=1,...,p-1, t ? .

Аналогічно можна довести, що якщо , то виконана умова (1.4).

4) Очевидно, що всі передумови теореми 1.3 виконані, якщо функція ? Е неперервна в точках , i=0,…,s, и ,i = р + 1,…,s, а функції неперервні в точці

Ясно, що в цьому випадку =1, i=1,…,p (див. умову 1.1),

,

=(), i=p+1,…,s.

5) Доведені формули варіації безпосередньо використаються при доказі необхідних умов оптимальності для нелінійної керованої диференціальної системи із запізнюваннями, нефіксованим початковим моментом і розривною початковою умовою.

Леми про оцінку приросту розв'язку

Кожному элементу ?? = () ? A зіставимо функціонально-диференціальне рівняння

(2.1)

з початковою умовою y()= (2.2)

де оператор h(• ) визначається за формулою

(2.3)

Визначення 2.1. Нехай ?? = () ? A. Абсолютно безперервну функцію у(t) = у(t, м) ? О, t ? [] ? J, будемо називати розв'язком рівняння (2.1) з початковою умовою (2.2) або розв'язком, що відповідає елементу м на інтервалі [] задовольняє рівнянню (2.1).

Зауваження 2.1. Нехай у(t, ??), t ? [],м ? A, - розв'язок рівняння (2.1) з початковою умовою (2.2). Тоді, як легко бачити, функція

x(t, м) = h( )(t), t ? [], (2.4)

буде рішенням рівняння (1.1) з початковою умовою (1.2) (див. визначення 1.1, (2.3)).

Лема 2.1. Нехай (t) - відповідний елементу ? А розв'язок, визначений на []?(а,b), ? О - компакт що містить деяку околицю множини () ? ([]). Тоді існують такі числа > 0, > 0, що для довільного элемента (е, дм) ? [0,] Ч V элемент +едм ? А і йому відповідає розв'язок y(t, +едм), визначений на ] ? J

При цьому

??(t)= + ед??(t) ? , t ? ;

y(t, +едм) ? , t ?]; (2.5)

?]ЧV.

Лема 2.2. Нехай (t) - відповідний елементу ? А розв'язок, визначений на [], ?(а,b),i=0,1, ? О - компакт, що містить деяку околицю множини () ? ([]). Тоді існують такі числа > 0, > 0, що для довільного элемента (е, дм) ? [0,] Ч V элемент +едм ? А і йому відповідає розв'язок x(t, +едм), визначений на [] ?. При цьому x(t, +едм) ? , t?[]. (2.6)

Неважко помітити, що якщо в лемі 1.1

, то (t) = (t),t ? []; x(t, +едм)=h(• , +едм))(t)

при t ?, ?? ? [0,] , дм ? V(см.(2.4)).

Отже, лема 2.2 є безпосереднім наслідком леми 2.1.

Через одиничність розв'язку y(t, на відрізку ] є продовженням розв'язку (t). Тому надалі ми можемо вважати, що розв'язок (t)із самого початку визначений на всьому відрізку

За визначенням прирістом розв'язку (t)= y(t, є

? y(t) = ? y(t,едм)= y(t, +едм)-(t), (2.7)

(t,е,дм) ? ] Ч[0,]ЧV.

Очевидно (див. лему 2.1), що

= 0 (2.8)

рівномірно по (t,дм) ? ] ЧV.

Лема 2.3. Для довільного компакта K ? О и f ? Е існує така функція ? L(J, ), що майже для всіх t? О і для будь-яких ? K, i=1,…,s,виконано нерівність

(2.9)

ЛЕМА 2.4. Нехай і нехай виконані умови 1.2) і 1.3) теореми 1.1. Тоді існує таке число >0, що для довільного виконано нерівність

(2.10)

При цьому

(2.11)

Доведення. Нехай (0,)таке мале, що для довільного(??,????)?[0,V- виконані співвідношення

(2.12)

Функция ?y(t) на интервале [] удовлетворяет уравнению

(2.13)

де

Тепер перетворимо інтегральний доданок

(див. умову 1.2), (2.3)).

Таким чином за умовою 1.3) для достатньо малого функції

обмежені на множині]Ч.

Отже, для довільного (е,дм) ? ]Ч є справедливими оцінки

Тепер оцінимо , t ?Для цього розглянемо кілька випадків.

Нехай t ?. Тоді враховуючи вид оператора h(•) і нерівність (2.9), маємо

ч(о) - характеристична функція інтервалу J. При (о)>b маємо

Якщо t ? , то згідно з (2.22),(2.23)

Отримаємо

Оскільки то отриману нерівність можна записати наступним чином:

Тож при t ? справедлива оцінка

Аналогічним судженням, використовуючи (2.22), можна встановити справедливість нерівності (2.25) і на інтервалі t ?.

Продовжуючи цей процес, доведемо, що

Далі, якщо

Через нерівності ? маємо

Таким чином, на відрізку виконано

Із (2.16)

Згідно з (2.11), (2.26), (2.27) із нерівності (2.15) виходить

Із цього через лемму Гронуолла виходить нерівність (2.10).

Лема 2.5. Нехай

і нехай виконані умови 1.4) та 1.5) теореми 1.2. Тоді існує таке

що для довільного елемента виконана нерівність

При цьому

Доведення. Нехай настільки мале, що для довільного елемента виконані співвідношення

Функція ?y(t) на інтервалі задовільняє рівнянню (2.13), яке запишемо в інтегральній формі

Звідки слідує

Доведемо формулу (2.29).Маємо

Через умову 1.5) для достатньо малого функції

Обмежені на множині . Ясно, що при i=1,…,p

Із цих умов випливає, що для довільного елемента справедливі оцінки

Тепер оцінимо , . Для цього розглянемо кілька випадків.

Нехай []. Тоді

Якщо t ?, то

Оскільки

Після цього з урахуванням (2.29), (2.32) аналогічно отримаємо

Із цього за лемою Гронуолла виходить (2.28).

Доведення теореми 1.1

Нехай , тоді для довільного елемента (е,дм) ? [ розв'язок y(t, ) визначено на[], а розв'язок x(t, ) визначено на [], при цьому

(див. лемми 2.1, 2.2, 2.4). Таким чином

Нехай В наслідок леми 2.4 існує таке число

, що

Функція ?x(t) на інтервалі [] задовільняє рівнянню

Диференціальне рівняння (3.4) будемо розглядати як лінійне неоднорідне рівняння із запізнілим аргументом. Тоді ?x(t), t ? [], за допомогою формули Коші може бути представлене у вигляді

Y(??, t) - матричная функция, удовлетворяющая уравнению (1.7) и условию (1.8). В силу леммы 3.4 функция Y(??, t) непрерывна на множестве

Тому

Тепер перетворимо . Маємо

Відповідно до нерівностей (2.12) вираз можна представити у вигляді

Оцінимо .Маємо

рівномірно по (о,е,дм) ?[0,1] ? []Ч -.

Тому за теоремою Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла маємо

рівномірно по дм ?

Таким чином,

Теперь преобразуем .. Нетрудно заметить, что при

Ясно, що

Далі при тому

Таким чином, з огляду на безперервність функції

рівність (2.8) і умова будемо мати

Беручи до уваги співвідношення, отримані вище, можна укласти, що при

З іншого боку,

рівномірно по дм ?.

Нарешті, оцінимо .

Легко бачити, що а функція ?x(t)на інтервалі обмежена.

Крім того

рівномірно по дм ?. Таким чином,

Перетворимо інші доданки виразу (4.9). Маємо

У силу співвідношень (4.13), (4.15)-(4.17) випишемо остаточний вираз

Нарешті, оцінимо . Маємо

Доведемо, що

рівномірно по дм ?.

Нехай i? { p+1,...,s}, тоді при t? []

Легко бачити, що при е>0, а функція ?x(t) на інтервалі

[ф, ] обмежена. Крім того,

Нехай i? { p+1,...,s},тоді

Висновки

Для основного класу функціонально-диференційних рівнянь ми встановили порядок приросту розв'язку щодо малого параметра й одержали аналітичне вираження збільшення розв'язку в початковий момент . Ці результати використали при доказі основних теорем

Про додатки функціонального q - різницевого ( =0 ) рівняння й рівняння з лінійним відхиленням аргументу у випадку n=1 стало відомо лише недавно. Наприклад, до рівняння

u(t) - au ( qr + r ) = f(t)

де t,q є , qt = (,…,) , a є ;

зводиться завдання про коливання нескінченної струни з деякими спеціальними крайовими умовами. Однак, у функціонально-диференціального рівняння

варіаційне числення диференційне рівняння аргумент

u'(t) +bu(t) +au (qt) = 0

додатків значно більше.

Метод відшукання періодичних рішень подібних рівнянь такий же, як і для чисто функціональних рівнянь; додаткові труднощі виникають лише при з'ясуванні деякої регулярності рішення.

Формули варіації розв'язку диференційного рівняння щодо правої частини рівняння й початкових даних відіграють важливу роль при доказі необхідних умов оптимальності для завдань оптимального керування. Крім того, вони дають можливість одержати аналітичний вид наближеного розв'язку збуреного диференційного рівняння зі збуреними початковими умовами.

У запропонованій роботі для нелінійного диференціального рівняння зі змінними запізнюваннями й розривною початковою умовою ми довели формули варіації розв'язку в околиці правого кінця основного інтервалу [,] при збурюванні початкового моменту , правої частини рівняння, початкової функції й початкового значення розв'язку.

Література

1. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

2. Харатишвили Г.Л. Оптимальные процессы с запаздываниями. Тбилиси: Мецниереба, 1966.

3. Гамкрелидзе P.В., Харатишвили Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1969. Т. 33. №4. С. 781^839.

4. Харатишвили Г.Л., Мачаидзе 3.А., Маркозашвили Н.И.,Тадумадзе Т.А. Абстрактная вариационная теория и ее применения к оптимальным задачам с запаздываниями. Тбилиси: Мецниереба 1973.

5.Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-воТбил. гос. ун-та, 1975.

6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.

7. Пинни Э., Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения, пер. с англ., М., 1961;

8. Беллман Р., Кук К., Дифференциально-разностные уравнения, пер. с англ., М., 1967;

9. Мышкис А.Д., Эльсгольц Л.Э., Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, «Успехи математических наук», 1967, т. 22, в. 2 (134) (библ.);

Размещено на Allbest


Подобные документы

  • Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.

    лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014

  • Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.

    контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010

  • Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.

    контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016

  • Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010

  • Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.

    курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008

  • Методи скінченних різниць або методи сіток як чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри диференціального та інтегрального числення. порядок розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа методом сіток у прямокутної області.

    курсовая работа [236,5 K], добавлен 11.06.2015

  • Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.

    курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014

  • Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010

  • Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.

    презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014

  • Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.

    курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.