Оценка состояния объекта, подвергающегося воздействию наводнения, на основе построений функции принадлежности

Приложение 1

Алгоритм и программа регрессионного моделирования данных наблюдений

Дано: Набор точек с координатами (x, y), являющихся вершинами многоугольника. Количество точек в примере равно одиннадцати.

Надо: Построить по данным точкам аппраксимационную модель, то есть аналитическую функцию задающую зависимость координаты y от x (y = f(x))

Если в качестве независимой переменной выбрать x, то выпуклый многоугольник можно рассматривать как двузначную функцию, то есть каждому значению независимой переменной x соответствует два значения y. Разбиваем множество вершин таким образом, чтобы по каждому из наборов точек можно было построить однозначную функцию. Для этого на интервале [a, b], где a - минимальное и b - максимальное значения x, выделяем «верхнюю» и «нижнюю» ветви (рис.1). Получаем два набора точек, по каждому из которых строим модель. Заметим, что крайние точки (a, y(a)) и (b, y(b)) входят как в первый, так и во второй наборы.

Рис. 1. Разделение множества точек на два подмножества

Первый набор точек (верхняя часть).

Второй набор точек (нижняя часть).

Рассмотрим построение модели верхней части многоугольника (модель №1) по первому набору точек.

Процедура размещения данных в программе. Для работы программы необходимо указать расположение в рабочих книгах "Excel" исходных данных, а также позиций, в которые будут размещаться итоги работы программы. Данные организовываются в виде бимассива, состоящего из двух связанных между собой массивов - массива входов ("причин") и массива выходов (ответов, "следствий"). Причем первая строка массива входов соответствует первой строке массива ответов (первому причинно-следственному сочетанию), вторые строки - второму причинно-следственному сочетанию и т.д. (рис. 2.). При управлении процедурами программы через диалоговое окно необходимо располагать оба массива, составляющие бимассив причинно-следственных сочетаний, рядом - слева массив следствий, справа - массив причин

Рис. 2. Типовой формат размещения данных на листе Excel

В нашем примере один вход (x) и один выход (y).(Рис 3) Размещаем два столбца (массива) рядом - слева столбец выходов (y), справа - столбец входов (x).

Рис. 3. Размещения данных примера на листе Excel

Процедура синтеза модели.

После размещения данных на рабочем листе переходим к процедуре синтеза модели. В главном меню выбираем Сервис \ Модель. После чего появляется диалоговое окно программы «Модели». Жирным шрифтом обозначены обязательные параметры, такие как Данные, Ответы, Входы и т.д. Необязательные для задания параметры написаны тонким шрифтом.

Рис. 4. Диалоговое окно программы «Модели»

В пункте Данные диалогового окна указывается адрес бимассива данных - это последняя ячейка первой строки массива ответов (см рис 2). В нашем примере это адрес ячейки выделенной цветом на рисунке 3 (единственная ячейка первой строки выходов).

Для вывода результатов необходим бимассив "Модель", имеющий те же горизонтальные размеры что и бимассив исходных данных, но отличающийся по вертикальным размерам, задаваемым пользователем. В пункте "Модель" задается адрес ячейки, где у нас будет помещен результат - бимассив "Модель". Минимально допустимый вертикальный размер бимассива "Модель" равен трем.

Размеры бимассивов определяются по пунктам "Ответы" (количество выходов), "Входы" (количество входов), "Задачи" (количество задач), "Тесты" (количество тестовых задач), "Размер" (вертикальные размеры бимассива "Модель" минус два).

Расположение адресов бимассивов должно позволять им разместиться, не выходя за края рабочего листа и не перекрываясь друг с другом. Можно размещать бимассивы на различных рабочих листах, и в различных рабочих книгах.

Если задать «флажок» в пункте "Рамки", рисуются стандартные рамки для всех бимассивов, облегчая визуальный контроль за правильностью указания данных. Синтез модели осуществляет процедура "Обучение", посредством итерационного поиска таких параметров модели, при котором среднеквадратичное отклонение ответов (мнений) модели и соответствующих эмпирических данных в массиве ответов минимизируется. Количество итераций задается пунктом "Итерации", временной предел работы программы в секундах - пунктом "Время".

Для обучения необходимо задать строго больший нуля уровень негладкости, т.е. уровень спектральной плотности (пункт "Спектр"). Обучение начинается со значений параметров, указанных в бимассиве "Модель", а если этот бимассив пуст, то автоматически генерируется случайный стартовый бимассив. Пункт "Шум" позволяет в начале каждого цикла обучения добавить к параметрам модели случайную компоненту регулируемой величины.

В нашем примере: количество выходов = 1, количество входов = 1, количество задач = 6 (количество строк в бимассиве исходных данных), размер = 3, спектр = 0,5, шум не задавался. После заполнения всех необходимых полей в диалоговом окне нажимаем кнопку « OK». В заданном месте у нас возникает бимассив «Модель».

Рис. 5. Бимассив «Модель»

Две верхние строки бимассива «Модель» имеют информационный статус - в частности, в первой строке первого входного столбца размещена ошибка модели по результатам последнего обучения (в нашем примере 0,009122), а в первой строке второго входного столбца - значение спектра (0,5).

Величины во второй строке указывают значимость соответствующего входного параметра для предсказаний - чем меньше эта цифра, тем менее важна соответствующая входная информация. В нашем же примере лишь один вход, то есть его значимость =1, а значение спектра располагается во второй строке столбца входов. Оставшиеся ячейки - коэффициенты базовой функции.

Процедура прогноза. Для прогноза по построенной модели пользуемся функцией «ПРОГНОЗ». Активируем ячейку, куда мы хотим поместить результат прогноза. В главном меню выбираем Вставка \ Функция… Появляется диалоговое окно «Мастер функций». Из категории «Полный алфавитный перечень» выбираем функцию «ПРОГНОЗ». Появляется диалоговое окно (рис. 6). В поле Модель задается диапазон массива «Модели». В поле Вход - ячейку (или диапазон ячеек, если несколько входов) в которой находится значение аргумента модели.

В нашем примере был произведен прогноз, где в качестве входов использовались значения входов исходных данных.

Рис. 6. Диалоговое окно функции «ПРОГНОЗ»

На рисунке 7 изображен лист Excel. Результат прогноза был размещен в ячейке D21. В диалоговом окне Прогноз в поле Модель задается диапазон G21:H25 , в поле Вход - ячейка С21. После нажатия кнопки «OK» в ячейке D21 появляется результат прогноза. Но нам необходимо получить прогноз от значений, расположенных ниже в этом же столбце.

Для этого, оставляя активной ячейку D21, в строке формул Excel вместо надписи«=ПРОГНОЗ(G21:H25;C21)» пишем: «=ПРОГНОЗ($G$21:$H$25;C21)».

Далее зацепив «мышкой» правый нижний угол активной ячейки протянуть вниз. Знаки «$» позволяют оставить диапазон массива «Модели» неизменным, но при этом меняются адреса ячеек входов от С21 до С26. Если пересчет ячеек не произошел автоматически, то в главном меню выбираем Сервис \Параметры… В появившемся диалоговом окне выбираем вкладку «Вычисления» и переключаем на автоматический пересчет листа.

В следующем столбце (E) в нашем примере размещается относительная ошибка прогноза: =ABS((B21-D21)/B21), где столбец B - исходные данные (выходы), D - прогнозируемые значения.

Рис. 7. Размещение данных примера на листе Excel

Аналогичные действия по построению аналитической модели и последующего прогнозирования были произведены для второго набора точек (нижняя часть многоугольника). Результат прогноза приведен на рисунке.

Рис. 8. Результат прогноза по построенным моделям (верхняя часть - модель 1, нижняя часть - модель 2)

Размещено на Allbest.ru