Приближенное вычисление числа e и основная формула для e

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙЦКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН МЕЖДУГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙКО-ТАДЖИКИСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет управления и информационных переменных

Кафедра математики и физики

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: «Математический анализ»

на тему: Приближенное вычисление числа и основная формула для

Выполнила: студент 2-го курса факультета УиИТ

направления «Математика» Орашов Мердан

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор Курбанов И.К.

Душанбе 2019



Содержание

Введение

1. История числа е

2. Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность

2.1 Определение числа e

2.2 Приближенное вычисление значения числа e

2.3 Трансцендентность числа e

3. Экспоненциальная функция (экспонента)

4. Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение

5. Применение числа e в математических задачах

Заключение

Список использованной литературы



Введение

В данном курсовом работе мы будем рассматривать на тему приближенное вычисление числа и основная формула для . Итак, началом «жизни» числа е, имеющего огромнейшее значение в высшей математике, можно считать труд Леонарда Эйлера (1707 -- 1783 гг.)

Цель данной работы: показать применение метода приближенное вычисление числа и основная формула для .

Объектом исследования выступает процесс вычисление его приближенного значения и его трансцендентность, экспонента.

Предметом исследования являются формы, методы и средства, приближенных вычислении с помощью рядов и пределов функции.

В соответствии с поставленной целью можно сформулировать основные задачи данной работы:

1. Рассмотреть основные понятия, связанные с числом е. Проанализировать основные формулы для числа е с помощью рядов, пределов функции.

2. Применить основные формулы для решения различных задач.

Структура работы: титульный лист, бланк задания на работу, аннотация, содержание, введение, основная часть, заключение, список использованной литературы.

Основная часть работы состоит из пяти параграфов. В первом параграфе раскрываются история числа е. Во втором параграфе рассмотрены определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность. Остальных параграфах рассмотрены такие задачи как экспоненциальная функция, проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение. число е трансцендентность формула

Для исследования теоретической части работы использовались материалы учебной литературы и периодических изданий, указанные в списке использованной литературы.

1. История числа е

Число е нередко называют Неперовым, по имени шотландского математика Джона Непера - одного из первооткрывателя логарифма, который в 1614 году выпустил книгу под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», где сама константа, однако, открыто не присутствовала.

Впервые же оно было вычислено швейцарским математиком Якобом Бернулли, решавшим задачу о предельной величине процентного дохода, которую мы чуть позже рассмотрим. После этого, константа множество раз проскакивала в сочинениях и письмах различных авторов (Письма Лейбница Гюйгенсу), пока в 1727 году ее не заметил великий математик Леонард Эйлер, который в последствие и предложил сохранившееся до наших дней обозначение константы буквой е, он же вычислил первые 18 цифр после запятой. Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential ("показательный", "экспоненциальный").

Под числом e понимают предел

,

который невозможно указать точным числом, но всегда можно определить приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы

,

где и - это отношение разности , является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда

к числу (оно, очевидно, содержится между 0 и 1).

При этом число e является трансцендентным (иррациональным), а значит, оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.

Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция оказывается настолько важной, что, в отличие от (где), она получила особое название -- экспоненциальная функция, или кратко экспонента. Значение так же вычисляется приближенно с помощью двойного неравенства

(если и ) или

(если и ).

Кроме того, важным является и то, что именно число Эйлера является основанием натуральных логарифмов, что, однако, не придает натуральным логарифмам каких-либо отличительных свойств.

Встречаясь буквально на каждом шагу в высшей математике, в особенности в задачах математического анализа, теории вероятностей, в реальной жизни оно проявляет себя ярче всего при росте какой-либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.



2. Определение числа e, приближенное вычисление его значения и его трансцендентность

2.1 Определение числа e

Рассмотрим числовую последовательность , заданную формулой

.

Докажем, что эта последовательность имеет предел, для этого рассмотрим вспомогательную последовательность , заданную формулой

.

Докажем, что -- убывающая ограниченная снизу числовая последовательность (числовая последовательность называется ограниченной снизу последовательностью, если существует число c, такое что для любого натурального n справедливо неравенство ). Действительно,

; .

Рассмотрим частное и сравним его с единицей, имеем:



Отсюда, используя неравенство Бернулли, получим

.

Таким образом,

а значит .

Теперь докажем ограниченность снизу , для этого воспользуемся неравенством Бернулли:

.

Поскольку -- ограниченная снизу убывающая числовая последовательность, то она имеет предел. И, наконец, докажем сходимость последовательности

Предел последовательности

и называют числом e, то есть числом Эйлера.

2.2 Приближенное вычисление значения числа e

На практике при встрече с числом e, как правило, необходимо знать его приближенное значение. Если к варианте (вариантой принято обозначать переменную, принимающую некоторую последовательность значений)

применить формулу бинома, то получим:

Если фиксировать k и, считав n >k, отбросить все члены последней части, следующие за (k+1)-м, то получим следующее неравенство:



.

Увеличивая здесь n до бесконечности, перейдем к пределу, так как все скобки имеют пределом 1, то найдем:

.

Это неравенство имеет место при любом натуральном k.Таким образом, имеем , отсюда видно, что и

.

При этом говорят, что является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда

,

и записанное только что предельное соотношение показывает, что e является его суммой, а также говорят, что число e разлагается в этот ряд, то есть

.

Оценим степень близости к e. Для этого рассмотрим разность между любым значением (где m=1,2,3,..), следующим за , и самим . Имеем

Если в скобках [] заменить все множители в знаменателях дробей на n+2, то получим неравенство:

,

которое лишь усилиться, если заменить скобки суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем :

.

Если сохранять здесь n неизменным, а m увеличивать до бесконечности, то варианта будет принимать последовательность значений , ,…, очевидно, сходящуюся к e. Поэтому

а так как , то .

если через и обозначить отношение разности к числу .

(оно, очевидно, содержится между 0 и 1), то также можно записать



.

Заменяя здесь его развернутым выражением, мы и придем к формуле, которая послужит начальной точной для вычисления e:

.

Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый из оставленных членов его десятичным приближением, мы и получим приближенное значение для е. Если поставить себе задачей с помощью последней формулы вычислить е, с точностью, например, до 1/107,то, прежде всего, нужно установить, каким взять число n, находящееся в нашем распоряжении, чтобы осуществить эту точность. Вычисляя последовательно числа, обратные факториалам (приложение 2), мы видим, что при n = 10 «дополнительный» член последней формулы будет уже

поэтому, отбрасывая его, мы получаем погрешность, значительно меньшую поставленной границы. Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом месте, то есть меньше 1/2,108 (приложение 2). Таким образом, очевидно, что поправка на отбрасывание дополнительного члена меньше 3/108. Если учитывать теперь ещё и поправки на округление, то становиться понятным, что суммарная по пр к полученному приближенному значению числа лежит между числами и, отсюда само число содержится между дробями 2,718 28 78 и 2,718 281 86, то есть можно сказать, что е = 2,718 281 80, 000 000 1.Таким образом, с помощью формулы

требуемого знака.

2.3 Трансцендентность числа e

Как и число р, число e трансцендентное, то есть оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, и нет способа построить отрезок, длина которого выражалась бы числом e. Докажем трансцендентность (иррациональность) этого числа, для этого вернемся к уже использованной выше формуле:

.

Предположим, что e равно рациональной дроби . Тогда для этого n справедливо равенство

(где 0 < и <1).

Умножив обе части последнего равенства на n!, по сокращении знаменателей всех дробей, кроме последней, мы получим слева целое число, а справа -- целое число с дробью , что невозможно. Полученное противоречие и доказывает то, что число e трансцендентно, то есть иррационально.

3. Экспоненциальная функция (экспонента)

Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция оказывается настолько важной, что, в отличие от (где a ? e), получила особое название -- экспоненциальная функция, или кратко экспонента. Как и (где a ? e) при a>1, функция монотонно возрастает и не обращается в нуль на всем множестве действительных чисел (приложение 3). Кроме того, существует ряд теорем, облегчающих работу с заданной функцией. Так, например, если x > 0, то для любого натурального n выполняются неравенства

(1)

(2)

Докажем неравенство (1) методом математической индукции.

Проверим справедливость заданного утверждения при n=1. Имеем:

-- истинно, поскольку y = 1+x -- это касательная к графику функции в точке с абсциссой а так как функция обращена выпуклостью вниз на множестве всех действительных чисел, то для любого x из множества всех действительных чисел выполняется неравенство

предположим, что неравенство (1) верно при , то есть, предположим, что

.

Докажем его справедливость при

n = k+1,

то есть докажем, что

.

Для этого образуем вспомогательную функцию ц -- разность левой и правой частей неравенства

,

то есть

При эта функция обращается в нуль: ц(х)=0. Её производная имеет вид:

.

По предположению индукции для всех

имеем

и потому функция ц(х) возрастает на луче [0, + ?). Поскольку , то для всех имеем, что и означает, что выполняется неравенство

.

Таким образом мы доказали справедливость при

неравенства

,

в предположении его справедливости при , а так как оно справедливо и при n = 1, то оно справедливо для всех натуральных n.

Теперь докажем неравенство (2) методом математической индукции.

Проверим его справедливость при n = 1, имеем:

истинно.

Предположим верность данного неравенства при n = k, то есть, предположим, что

.

Докажем справедливость этого неравенства при n = k+1, то есть докажем, что

,

для этого образуем вспомогательную функцию ц -- разность левой и правой частей неравенства

,

то есть

.

По предположению индукции для всех х>0 имеем >0 и потому функция ц(х) возрастает на луче [0, + ?). Поскольку, то для всех х>0 имеем

ц(х )> ц(0)= 0,

а что и означает, что выполняется неравенство

.

Таким образом мы доказали справедливость неравенства



при n=k+1 в предположении его справедливости при n = k, а так как оно верно и при n = 1, то оно выполняется для всех натуральных n

То есть мы доказали, что при x>0 и nN верно двойное неравенство

.

С помощью него можно найти с любой точностью значение при любом так как

, а значит

Кроме того, при x < 0 выполняется двойное неравенство

.

Используя полученные неравенства, вычислим приближенное значение для e-0,5 с точностью до 0,001. Во-первых, найдем такое n, чтобы

.

Это неравенство выполняется при n = 5, поэтому достаточно взять по пять слагаемых в каждом из неравенств, имеем:



отсюда e-0,5?0,607; более точные вычисления дают результат 0,6065…

Теперь вычислим приближенное значение e 0,5 с точностью 0,01. Найдем такое n, чтобы выполнялось неравенство

.

Таким n является число 3, тогда

,

отсюда e 0,5?0,165; более точные вычисления дают значение 0,6487.

Разложивв ряд Тейлора (а точнее в ряд Маклорена) по формуле ,

(не забывая, что ) мы получим последовательность

.

Тогда, если ,, мы получаем отличную формулу для вычисления e. Все, что нужно сделать, - это просчитать максимально возможное количество шагов, чтобы в итоге получить примерное значение e. Давайте попробуем сделать для 8 знаков после запятой и 10 шагов.

n	E
2	2.5
3	2.66666666
4	2.70833332
5	2.71666665
6	2.71805554
7	2.71825395
8	2.71827875
9	2.71828151
10	2.71828179

Чем больше слагаемых мы используем, тем больше верных знаков после запятой мы находим. Таким способом можно вычислить любое количество цифр после запятой.

Так же, число е можно разложить в цепную дробь

, то есть

Представление Каталана числа е:



4. Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение

Имея огромное применения в математике, остается неотмеченным вопрос: как же его используют в реальной жизни, то есть каково практическое применение числа Эйлера. Ответ на него столь же прост, как и на вопрос о математическом его применении. Главным образом оно проявляет себя при росте какой -- либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.

Предположим, что кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых. Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастает на 4% от первоначального капитала. Каждый рубль через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два рубля. Если же банк выплачивает сложный процент, то рубль будет расти быстрее, потому что после каждого начисления процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большей суммы. Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад. При ежегодном начислении сложных процентов рубль за 25 лет превратится в

,

то есть в 2,66 рубля. При начислении сложных процентов каждые полгода (если банк выплачивает 4 (сложных) процента годовых, то прирост вклада за каждые шесть месяцев составляет 2 процента) рубль за 25 лет превратится в

,

или 2,69 рубля.

В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производить пересчет миллион раз в год) за 25 лет рубль превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один рубль вырос бы до величины

,

где -- число начислений прибыли. При, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 (e), что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и является числом е.

Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один рубль через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении прибыли рубль за то же время превратился бы в е рублей независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы. Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 1970 году на его счету было бы уже (1,04)1970 рублей, то есть сумма вклада выражалась бы примерно тридцати пятизначным числом.

Однако не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных выше примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастает. Иначе, говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит экспоненциальная функция. И хотя при расчетах в строительном конструировании инженеры чаще пользуются десятичными логарифмами, в математическом анализе встречаются почти исключительно натуральные логарифмы с основанием, равным числу е.

Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, которая так и называется -- цепная линия. В уравнение этой кривой, записанное в декартовых координатах, также входит число е и уравнение этой кривой имеет вид

.

Тем же уравнением описывается сечение паруса, надутого ветром: если вертикальная составляющая скорости ветра равна нулю, то он выгибает парус так же, как направленная по вертикали сила земного тяготения изгибает цепь. Маршалловы и Каролинские острова, а также острова Гилберта -- это вершины потухших подводных вулканов, в сечении вертикальной плоскостью они имеют форму цепной линии. Цепная линия не принадлежит к числу кривых, называемых коническими сечениями (эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями, так как их можно получить на поверхности конуса в пересечении с плоскостью Р, не проходящей через вершину конуса; при этом поверхность конуса мыслится неограниченно продолженной в обе стороны от вершины), хотя по виду очень напоминает параболу.

Французский энтомолог Жан Анри Фарб в книге «Жизнь паука» дает описание цепной линии, непревзойденное по своему красноречию: «Бессмысленное число е вновь предстает перед нами, начертанное на этот раз на паутине. Выйдя из дому в туманное утро, рассмотрим внимательно сплетенную за ночь паутину. Усеянные крохотными капельками, ее липкие нити провисают под тяжестью груза, образуя цепные линии, и вся сеть становится похожей на множество ожерелий, как бы повторяющих очертания невидимого колокола. Стоит лишь лучу солнца проникнуть сквозь туман, как паутина начинает переливаться всеми цветами радуги, превращаясь в сверкающую гроздь бриллиантов, и число е предстает перед нами во всем своем великолепии».



5. Применение числа е в математических задачах

Как уже было неоднократно сказано, число Эйлера действительно имеет огромное значение в математике. Для подтверждения этого приведем несколько задач, в решении которых оно так или иначе фигурирует.

Пример 1: Решить интеграл с точностью до 0,0001.

Решение: Заменяя в разложении:

на , получим

Подставим этот ряд под знак данного интеграла и почленно интегрируем

Так как знаки чередуются, ряд, удовлетворят теореме Лейбница и .

Ответ: 0,2448

Пример 2:Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение:

Имеем

.

Погрешность приближения

определяется остатком:

Имеем

т.е

Ответ: 1,2213

Пример 3: Вычислить предел

Решение:

Ответ: e

Пример 4: Найти предел .

Решение:

Пуст Легко видеть, что при Тогда

Сделаем еще одну замену:

Следовательно, предел равен:

Ответ:

Заключение

Мы рассмотрели одно из самых нужных, удивительных и красивых чисел. Как и многие другие, оно состоит из совершенно обычных цифр, но при этом хранит в себе не только интересную историю, но и огромное практическое значение. Число е вы вряд ли найдете огромным или невероятно малым. Просто еще одно число между двойкой и тройкой, но тот удивительный потенциал, который оно хранит, те невероятные возможности и удивительные открытия, подаренные этим числом человечеству, несомненно, заставят вас пересмотреть свое мнение об этом незаметном, но важном числе.

Таким образом, из выполненной мною работы видно, что такое число e. А именно, это предел

.

И, будучи «творением» Леонарда Эйлера, оно является основанием натуральных логарифмов. Кроме того, число e -- это трансцендентное число (иррациональное), то есть его невозможно указать точным числом, но всегда можно определить приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы

,

где и - это отношение разности ( является -ой частичной суммой для бесконечного ряда

к числу, которое, очевидно, содержится между 0 и 1.

На практике в большинстве формул приходится встречаться с числом в какой-либо степени, то есть с монотонной экспоненциальная функцией , значение которой вычисляется приближенно с помощью двойного неравенства

(если и ) или

(если и ).

В реальной жизни число проявляет себя понятней всего при росте какой -- либо величины, например банковского счета.

В результате мы убедились, что число е в математическом анализе и других сферах очень широко применимый. Таким образом, из данной работы видно, что число e играет огромнейшую роль как в высшей математике, так и в жизни.

Работа может быть использована в качестве учебно-методического пособия для студентов технических и математических специальностей.

Результаты работы могут служить основой для дальнейших исследований.



Список использованной литературы

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В2-х ч. Часть I: Учеб.: Для вузов. 7-е изд., стер. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. 648 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т. I и II, Москва, 1968.

3. http://www.cleverstudents.ru.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчесления, том 1, М., 1969.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса, М., 1990.

6. Гарднер М. Математические досуги, М., 1995.

Размещено на Allbest.ru