Решение дифференциальных уравнений по методу Эйлера

35

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра вычислительной математики и программирования

Пояснительная записка

к курсовому проекту

на тему:

«Решение дифференциальных уравнений по методу Эйлера»

Минск 2004

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Введение

2. Математическое объяснение метода

2.1 Метод Эйлера

2.2 Исправленный метод Эйлера

2.3 Модифицированный метод Эйлера

3. Блок-схема алгоритма программы

4. Описание программы

Список использованной литературы

Приложение 1 (Текст программы)

Приложение 2 (Результаты работы программы)

1. Введение

Уравнение, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации встречаются довольно часто.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (нелинейных) первого порядка с начальными данными (задача Коши) - классическая область применения численных методов. Имеется много разностных методов, часть из которых возникла в домашинную эпоху и оказалось пригодным для современных ЭВМ.

В этой программе использовался метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Этот метод имеет довольно большую ошибку; кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая начальная ошибка быстро увеличивается с ростом Х. Поэтому чаще используют более точные методы, такие как: исправленный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера. Нужно, однако, заметить, что метод Эйлера является методом Рунге - Кутта первого порядка.

2. Математическое объяснение метода

2.1 Метод Эйлера

Решить дифференциальное уравнение у^/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что у_i=F(x_i)(i=1,2,…, n) и F(x₀)=y₀.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y^/=f(x,y) (1)

с начальным условием

x=x₀, y(x₀)=y₀ (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)y_i вычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀(х₀, у₀), заменяется ломаной М₀М₁М₂… с вершинами М_i(x_i, y_i) (i=0,1,2,…); каждое звено М_iM_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку М_i, смотри рисунок 1.

Рисунок 1.

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x₀|a, |y-y₀|b}удовлетворяет условиям:

|f(x, y₁)- f(x, y₂)| N|y₁-y₂| (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(x_n)-y_n| hM/2N[(1+hN)ⁿ-1], (3)

где у(х_n)-значение точного решения уравнения(1) при х=х_n, а у_n- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у_n^* оценивается формулой

|y_n-y(x_n)||y_n^*-y_n|. (4)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

2.2 Исправленный метод Эйлера

В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс наклона касательнй для двух точек: x_m, y_m и x_m+h, y_m+hy'_m. Последняя точка есть та самая, которая в простом методе обозначалась x_m+1, y_m+1. Геометрический процесс нахождения точки x_m+1, y_m+1 можно проследить по рисунку 2. С помощью метода Эйлера находится точка x_m+h, y_m+hy'_m, лежащая на прямой L_1. В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной, на рисунке этому значению соответствует прямая L₂. Усреднение двух тангенсов дает прямую L'₃. Наконец, через точку x_m, y_m мы проводим прямую L₃ параллельную L'₃. Точка, в которой прямая L₃ пересечется с ординатой, восстановленной из x= x_m+1=x_m+h, и будет искомой точкой y= y_m+1= y_m+hy'_m. Тангенс угла наклона L₃ равен:

F(x_m, y_m)=1/2[f(x_m, y_m)+f(x_m+h, y_m+hy'_m)], (5)

где y_m = f(x_m, y_m) (6)

Уравнение линии L₃ при этом записывается в виде:

y = y_m + (x - x_m)*F(x_m) (7)

так что:

y_m+1 = y_m + h*F(x_m) (8)

Соотношения 5, 6, 7 и 8 описывают исправленный метод Эйлера. (рис. 2)

35

Рисунок 2.

2.3 Модифицированный метод Эйлера

Этот метод более точен. Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) с начальным условием y(x₀)=y₀. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участке [x₀,x₀+h] интегральную кривую заменим прямой линией. Получаем точку М_к(х_к,у_к). (рис. 3)

_Y

N_k^/ _y=y(x)

М_к М_к^/

Y_k+1

Y_k

х_к х_к1/2 x_k+h=x_k1 X

Рисунок 3.

Через М_к проводим касательную: y=y_к=f(x_k,y_k)(x-x_k). Делим отрезок (x_к,x_к1) пополам:

x_h+k^/=x_k+h/2=x_k+1/2 (9)

y_h+k^/=y_k+f(x_k,y_k)h/2=y_k+y_k+1/2 (10)

Получаем точку N_k^/. В этой точке строим следующую касательную:

y(x_k+1/2)=f(x_k+1/2, y_k+1/2)=б_k (11)

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом б_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой x_к1. Получаем точку М_к^/. В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к^/. Тогда:

y_к+1=y_к+б_кh

x_k+1=x_k+h

б_k=f(x_k+h/2, x_k+f(x_k,y_k)h/2) (12)

y_k=y_k-1+f(x_k-1,y_k-1)h

Эти формулы называются рекуррентными формулами метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции y_к+1/2 в точках x_к+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке

y^/_k+1/2=f(x_k+1/2, y_k+1/2) и определяют y_к+1.

3. Блок-схема алгоритма

где A -- начальное значение x, B -- конечное значение x, F(x) -- значение функции в точке x_n, N -- количество промежутков, st - выбор операции, C1,C2,C3 - константы для формул, nom - сохраняет номер используемой функции.

На рисунке представлена блок-схема процесса решения дифференциального уравнения методом Эйлера

Подсчитывая каждый раз новое значение уравнения F(x), получаем последовательность значений x_n y_n, n=1,2,…

По этим значениям строим график.

4. Описание программы

Программа весьма проста. В ней много предусмотрено моментов неправильного ввода данных, о которых программа предупреждает пользователя и сразу же просит повторно ввести данные.

С самого начала программа предоставляет пользователю меню выполняемых функций, которые выделяются при помощи стрелок ^ и v выбор клавишей Enter:

Formyla -> Enter

-> Open in fails

Reshenie

Graphic

Exit

После запуска программы нужно выбрать Formyla -> Enter, эта опция позволит из предложенного списка формул выбрать одну, по которой компьютер будет производить расчет и строить график. Все предложенные формулы имеют номерацию; чтобы выбрать интересующий вас пример нажмите на цифру равную номеру примера, и сразу же появится новое окно, в котором сверху будет записан ваш пример. Также в окне будет этот же пример но с нулями на месте констант. Под примером будет высвечена большая буква С, это используется для ввода констант. Для этого вам нужно нажать номер константы, он появится, и после знака равно запишите чему она равна (вводятся целые и вещественные значения). По окончании набора нажать Enter. Операцию повторять пока не будут введены все числа. По окончании нажать Esc. После появится строчка «уточните границы изменения Х, от A= до B= » здесь нужно занести данные на каком промежутке абсциссы будет рассматриваться функция. Следующая строчка попросит ввести начальные данные y(A)=. Следующей строчкой будет вопрос: «сохранить данные в файле? Да/Нет» ответить на этот вопрос с помощью клавиш Д и Н (рус), после чего программа вернется в первоначальное меню. Если данные были сохранены (в папке с программой появляется файл form.txt), то в следующий раз чтобы не набирать снова выберите в меню опцию Formyla -> Open in fails и на экране появятся введенные данные с пометкой снизу, сообщая что данные были прочитаны из файла.

Следующая опция Reshenie. После нажатия в окне просят ввести N(целое число) - число промежутков, на которые разделится рассматриваемый участок (ось ОХ). После появится таблица рассчитанных данных (номер точки, значение абсциссы, значение ординаты). При нажатии любой клавиши произойдет переход в меню.

Graphic эта опция позволяет визуально видеть решение, а так же на этом графике прописываются все данные: начальная формула, шаг и промежуток построения графика, масштаб, данные об его изменении(клавишами +(увеличить) и -(уменьшить), а также возможность определить точное значение функции в любой точке.

Опция Exit применяется для выхода из программы.

Заключение

Результатом выполнения курсового проекта является готовый программный продукт, позволяющий решать дифференциальные уравнения по методу Эйлера, демонстрирующий возможности численного решения поставленной задачи с заданной степенью точности.

Данная программа решает заданную пользователем дифференциальное уравнение за минимальный промежуток времени. При этом пользователю предоставляется возможность визуально оценить решение, рассматривая график полученного решения.

К достоинствам программы можно отнести также удобный пользовательский интерфейс, возможность ввода пользовательских дифференциальных уравнений, а также давольно высокая стабильность работы. Однако имеются и некоторые недостатки. К недостаткам программы можно отнести: критичность к вводимым пользователем урававней, отсутствие обработки исключительных событий. Это, естественно, ограничивает возможности программы.

Список использованной литературы

1. Д. Мак-Кракен, У. Дорн. Численные методы и программирование на фортране. -М.: Мир,1977.-389,396-408 с.

2. А.А. Самарский. Введение в численные методы. - М.:Наука,1987.-176 с.

3. Алгоритмы вычислительной математики: Лабораторный практикум по курсу «Программирование» для студентов 1 - 2-го курсов всех специальностей БГУИР/А.К. Синицын, А.А. Навроцкий.- Мн.: БГУИР, 2002.- 65-69 с.

4. ГОСТ 2.105-95. Общие требования к текстовым документам.

5. ГОСТ 7.32-91. Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Отчет о НИР. Структура и правила оформления.

Приложение 1. Текст программы.

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

#include <conio.h>

#include <dos.h>

#include <graphics.h>

#include <math.h>

#include <bios.h>

//---------------------------------------------------------------------------

void formyl(int p)

{

if(p==1) printf("\n 1. C1*y' = C2*y + C3*x + C4*x*y");

else if(p==2) printf("\n 2. y'/(C1-100) = C2*y + C3*x + (C4+x)*y");

else if(p==3) printf("\n 3. pow(e,C1)*y' = C2*y + C3*cos(x) + (C4+x+y)");

else if(p==4) printf("\n 4. C1*sin(x)*y' = e*C2*y + C3*arcsin(x) + C4*y/x");

else if(p==5) printf("\n 5. C1*y' = sin(C2)*y + tg(C3*x) + C4*ln(x)*y");

else if(p==6) printf("\n 6. C1*y' = y*C2 + C3*sin(x) + C4*cos(x)*y");

else if(p==7) printf("\n 7. (C1+C2+C3+C4)*y' = C2*y + (C3-x) + lg(C4*x)*y");

else if(p==8) printf("\n 8. y'/C1 = y/C2 + C3*sin(x) + C4*x*y");

else if(p==9) printf("\n 9. sin(C1)*y' = C2*y + |C3|*x + x*y/C4");

}

//---------------------------------------------------------------------------

void formyl2(int p,double C1,double C2,double C3,double C4)

{

if(p==1) printf("%.2f*y'=%.2f*y+%.2f*x+%.2f*x*y",C1,C2,C3,C4);

else if(p==2) printf("y'/(%.2f-100)=%.2f*y+%.2f*x+(%.2f+x)*y",C1,C2,C3,C4);else if(p==3) printf("pow(e,%.2f)*y'=%.2f*y+%.2f*cos(x)+(%.2f+x+y)",C1,C2,C3,C4);

else if(p==4) printf("%.2f*sin(x)*y'=e*%.2f*y+%.2f*arcsin(x)+%.2f*y/x",C1,C2,C3,C4);

else if(p==5) printf("%.2f*y'=sin(%.2f)*y+tg(%.2f*x)+%.2f*ln(x)*y",C1,C2,C3,C4);

else if(p==6) printf("%.2f*y'=y*%.2f+%.2f*sin(x)+%.2f*cos(x)*y",C1,C2,C3,C4);

else if(p==7) printf("(%.2f+%f+%.2f+%.2f)*y'=%.2f*y+(%.2f-x)+lg(%.2f*x)*y",C1,C2,C3,C4,C2,C3,C4);

else if(p==8) printf("y'/%.2f=y/%.2f+%.2f*sin(x)+%.2f*x*y",C1,C2,C3,C4);

else if(p==9) printf("sin(%.2f)*y'=%.2f*y+|%.2f|*x+x*y/%.2f",C1,C2,C3,C4);

}

//---------------------------------------------------------------------------

double formyl3(int p,double h,double x,double y,double C1,double C2,double C3,double C4)

{

double Y;

if(p==1) Y=h*(C2*y+C3*x+C4*x*y)/C1+y;

else if(p==2) Y=h*(C1-100)*(y*C2+C3*x+(C4+x)*y)+y;

else if(p==3) Y=h*(C2*y+C3*cos(x)+C4+x+y)/exp(C1)+y;

else if(p==4) Y=h*(exp(1)*C2*y+C3*asin(x)+C4*y/x)/(C1*sin(x))+y;

else if(p==5) Y=h*(sin(C2)*y+tan(C3*x)+C4*log10(x)*y)/C1+y;

else if(p==6) Y=h*(y*C2+C3*sin(x)+C4*cos(x)*y)/C1+y;

else if(p==7) Y=h*(C2*y+(C3-x)+log10(C4*x)*y)/(C1+C2+C3+C4)+y;

else if(p==8) Y=h*(y/C2+C3*sin(x)+C4*x*y)*C1+y;

else if(p==9) Y=h*(C2*y+abs(C3)*x+x*y/C4)/sin(C1)+y;

return(Y);

}

//---------------------------------------------------------------------------

void main(void)

{

int vv=0,vv1=0; // руководит операциями

int N=0,W; // кол промежутков

int i,j,k; // используются во всех "for"

int nom; // номер примера

int st=4,vst=0; // строчка в меню

double C1,C2,C3,C4; // константы

double M; // масштаб

double xtoch,ytoch; // считает y(x) по графику

double h,H; // шаг

double A=0,B=0,ii,jj,kk; // пределы интегрирования

double x[102],y[102]; // главные переменные x,y

//----Подключение графики и проверка-----------------------------------------

int g_driver=9,g_mode=2, g_error;

initgraph(&g_driver,&g_mode,"c:\\BORLAND\\bgi");

g_error=graphresult();

if(g_error!=grOk)

{

puts("error");

printf("\n error=%d, reason=%s\n", g_error, grapherrormsg(g_error));

getch();

exit(1);

}

closegraph();

//----Проверка или создание файла--------------------------------------------

FILE *fail;

if((fail = fopen("form.txt", "r")) == NULL)

if((fail = fopen("form.txt", "w")) == NULL)

{

clrscr();

printf("Ошибка при открытии файла");

getch();

exit;

}

fclose(fail);

//----Графическое меню-------------------------------------------------------

menu:

initgraph(&g_driver,&g_mode,"c:\\BORLAND\\bgi");

cleardevice();

setbkcolor(5);

setfillstyle(7,8); bar(0,0,getmaxx(),getmaxy());

setfillstyle(1,1); bar(200,45,465,145);

setfillstyle(1,15); bar(203,48,462,142);

setfillstyle(1,1); bar(206,51,459,139);

setcolor(11);

settextstyle(7,0,8);

outtextxy(220,40,"Menu");

setcolor(7);

settextstyle(1,0,4);

outtextxy(100,200,"1.Formyla");

outtextxy(100,240,"2.Reshenie");

outtextxy(100,280,"3.Graphic");

outtextxy(100,320," Exit");

settextstyle(2,0,5);

outtextxy(500,440,"beta ver. 101 c");

settextstyle(1,0,4);

izm: // Выбор пункта меню

if(st==1) goto d1;

else if(st==11) goto d11;

else if(st==12) goto d12;

else if(st==2) goto d2;

else if(st==3) goto d3;

else if(st==4) goto d4;

d1:

setcolor(2);

outtextxy(100,200,"1.Formyla");

setcolor(7);

outtextxy(100,240,"2.Reshenie");

outtextxy(100,320," Exit");

if(W==0)

{

W=1;

setfillstyle(7,1);

for(i=0;i<35;i++)

{

bar(280+i*7,190,287+i*7,260);

delay(5);

}

setfillstyle(7,8);

}

outtextxy(300,185,"Enter");

outtextxy(300,215,"Open in fails");

vst=getch();

if(vst==72)

{

st=4;

for(i=0;i<35;i++)

{

bar(530-i*7,190,523-i*7,260);

delay(5);

}

goto izm;

}

else if(vst==80)

{

st=2;

for(i=0;i<35;i++)

{

bar(530-i*7,190,523-i*7,260);

delay(5);

}

goto izm;

}

else if(vst==77) { st=11; goto izm; }

else goto d1;

d11:

setfillstyle(7,1);

bar(280,190,530,260);

setfillstyle(7,8);

setcolor(2);

outtextxy(300,185,"Enter");

setcolor(7);

outtextxy(100,200,"1.Formyla");

outtextxy(100,240,"2.Reshenie");

outtextxy(100,320," Exit");

outtextxy(300,215,"Open in fails");

vst=getch();

if(vst==72) { st=12; goto izm; }

else if(vst==80) { st=12; goto izm; }

else if(vst==75) { st=1; goto izm; }

else if(vst==13) { vv=1; vv1=1; closegraph(); goto resh; }

else goto d11;

d12:

setfillstyle(7,1);

bar(280,190,530,260);

setfillstyle(7,8);

setcolor(2);

outtextxy(300,215,"Open in fails");

setcolor(7);

outtextxy(100,200,"1.Formyla");

outtextxy(100,240,"2.Reshenie");

outtextxy(100,320," Exit");

outtextxy(300,185,"Enter");

vst=getch();

if(vst==72) { st=11; goto izm; }

else if(vst==80) { st=11; goto izm; }

else if(vst==75) { st=1; goto izm; }

else if(vst==13) { vv=1; vv1=2; closegraph(); goto resh; }

else goto d12;

d2:

setfillstyle(1,5);

setfillstyle(7,8);

bar(280,160,600,400);

setcolor(2);

outtextxy(100,240,"2.Reshenie");

setcolor(7);

outtextxy(100,200,"1.Formyla");

outtextxy(100,280,"3.Graphic");

vst=getch();

if(vst==13) { vv=2; closegraph(); goto resh; }

else if(vst==72) { st=1; W=0; goto izm; }

else if(vst==80) { st=3; goto izm; }

else goto d2;

d3:

setcolor(2);

outtextxy(100,280,"3.Graphic");

setcolor(7);

outtextxy(100,240,"2.Reshenie");

outtextxy(100,320," Exit");

vst=getch();

if(vst==13) { vv=3; closegraph(); goto resh; }

else if(vst==72) { st=2; goto izm; }

else if(vst==80) { st=4; goto izm; }

else goto d3;

d4:

setfillstyle(1,5);

setfillstyle(7,8);

bar(280,160,600,400);

setcolor(2);

outtextxy(100,320," Exit");

setcolor(7);

outtextxy(100,200,"1.Formyla");

outtextxy(100,240,"2.Reshenie");

outtextxy(100,280,"3.Graphic");

vst=getch();

if(vst==13) { vv=4; closegraph(); goto resh; }

else if(vst==72) { st=3; goto izm; }

else if(vst==80) { st=1; W=0; goto izm; }

else goto d4;

//----Ввод данных------------------------------------------------------------

resh:

if(vv==1)

{

if(vv1==1)

{

C1=0;C2=0;C3=0;C4=0;

clrscr();

printf("\n\n Выбор формулы решения\n");

for(i=1;i<10;i++)

formyl(i);

printf("\n\n нажмите любой номер: ");

while(2)

{

nom=getch()-48;

if((nom>0)&(nom<10))

break;

}

while(3)

{

clrscr();

printf("\n по окончании ввода констант нажать - Esc");

printf("\n\n выбронная формула имеет вид\n ");

formyl(nom);

printf("\n\n\n\n ввод констант в формулу дифференциального уравнения:\n\n ");

formyl2(nom,C1,C2,C3,C4);

printf("\n\n\n C");

i=getch();

if(i==49)

{

printf("1 = ");

scanf("%lf",&C1);

}

else if(i==50)

{

printf("2 = ");

scanf("%lf",&C2);

}

else if(i==51)

{

printf("3 = ");

scanf("%lf",&C3);

}

else if(i==52)

{

printf("4 = ");

scanf("%lf",&C4);

}

else if(i==27)

{

break;

}

}

AB:

clrscr();

printf("\n\n\n выбронная формула имеет вид\n ");

formyl(nom);

printf("\n\n\n\n ввод констант в формулу дифференциального уравнения:\n\n ");

formyl2(nom,C1,C2,C3,C4);

printf("\n\n\n уточните границы изменения Х, от A= ");

scanf("%lf",&A);

clrscr();

printf("\n\n\n выбронная формула имеет вид\n ");

formyl(nom);

printf("\n\n\n\n ввод констант в формулу дифференциального уравнения:\n\n ");

formyl2(nom,C1,C2,C3,C4);

printf("\n\n\n уточните границы изменения Х, от A= %.2f до B= ",A);

scanf("%lf",&B);

if(B<=A)

{

printf("\n\n неправильно заданны границы!!! ");

delay(1000);

goto AB;

}

clrscr();

printf("\n\n\n выбронная формула имеет вид\n ");

formyl(nom);

printf("\n\n\n\n ввод констант в формулу дифференциального уравнения:\n\n ");

formyl2(nom,C1,C2,C3,C4);

printf("\n\n\n уточните границы изменения Х, от A= %.2f до B= %.2f",A,B);

printf("\n задайте начальное значение Y(%.2f) = ",A);

scanf("%lf",&y[0]);

printf("\n\n сохранить данные в файле (Да/Нет) ");

while(11)

{

i=getch();

if((i==76)||(i==108)||(i==132)||(i==164))

{

printf("Да");

delay(300);

fopen("form.txt", "w");

fwrite(&nom,1,2,fail);

fwrite(&C1,1,8,fail);

fwrite(&C2,1,8,fail);

fwrite(&C3,1,8,fail);

fwrite(&C4,1,8,fail);

fwrite(&A,1,8,fail);

fwrite(&B,1,8,fail);

fwrite(&y[0],1,8,fail);

fclose(fail);

break;

}

else if((i==89)||(i==121)||(i==141)||(i==173))

{

printf("Нет");

delay(300);

break;

}

}

goto menu;

}

if(vv1==2)

{

fopen("form.txt", "r");

fread(&nom,1,2,fail);

fread(&C1,1,8,fail);

fread(&C2,1,8,fail);

fread(&C3,1,8,fail);

fread(&C4,1,8,fail);

fread(&A,1,8,fail);

fread(&B,1,8,fail);

fread(&y[0],1,8,fail);

fclose(fail);

clrscr();

printf("\n\n\n выбранная формула имеет вид\n");

formyl(nom);

printf("\n\n\n\n ввод констант в формулу дифференциального уравнения:\n\n ");

formyl2(nom,C1,C2,C3,C4);

printf("\n\n\n уточните границы изменения Х, от A= %.2f до B= %.2f",A,B);

printf("\n задайте начальное значение Y(%.2f) = %.2f",A,y[0]);

printf("\n\n\n\n данные были прочитаны из ранее сохраненного файла");

getch();

goto menu;

}

}

//----Решение примера--------------------------------------------------------

else if(vv==2)

{

if((A==0)&(B==0))

{

clrscr();

printf("\n\n\n\n Сперва необходимо записать пример!");

delay(2000);

goto menu;

}

clrscr();

printf("\n\n\n для решения этой задачи нужно:\n\n");

printf(" задать колличество отрезков, на которое расделится\n промежуток AB=[%.2f,%.2f] N= ",A,B);

scanf("%d",&N);

ii=B; jj=A;

h=(B-A)/N;

N++;

//-------------------------------------

for(i=0;i<N;i++)

{

x[i]=A+h*i;

y[i+1]=formyl3(nom,h,x[i],y[i],C1,C2,C3,C4);

}

clrscr();

printf("\n\n\n Решение задачи:\n\n");

printf("

г========T===================T========================¬\n");

printf(" ¦ i ¦ x=h*i ¦ y(i) ¦\n");

printf(" ¦========+===================+========================¦\n");

for(i=0;i<N;i++)

printf(" ¦ %3d ¦ %11lf ¦ %14f ¦ \n",i+1,x[i],y[i]);

printf(" L========¦===================¦========================-\n");

getch();

}

//----График-----------------------------------------------------------------

else if(vv==3)

{

if(N==0)

{

clrscr();

printf("\n\n\n\n Сперва необходимо решить пример!");

delay(2000);

goto menu;

}

initgraph(&g_driver,&g_mode,"c:\\BORLAND\\bgi");

cleardevice();

setbkcolor(0);

setcolor(11);

settextstyle(4,0,5);

outtextxy(100,280,"Open graphic...");

setfillstyle(1,7);

bar(218,238,422,252);

setfillstyle(1,5);

bar(220,240,420,250);

setcolor(9);

for(i=0;i<200;i=i+2)

{

line(221+i,241,221+i,249);

delay(10);

}

M=5;

while(31)

{

// Фон

clrscr();

cleardevice();

setbkcolor(0);

setcolor(10);

settextstyle(5,0,4);

// Вывод данных по графику

printf(" выход в меню - Esc");

printf("\n график дифференциального уравнения - ");

formyl2(nom,C1,C2,C3,C4);

printf("\n построенный с шагом h = %f",h);

printf(" на промежутке от %.2f до %.2f",A,B);

printf("\n выполненный в масштабе %.4f: 1",M);

printf("\n\n найти решение в точке - Enter");

printf("\n изменение масштаба увеличить - +");

printf("\n уменьшить - -");

// обводка слов

setcolor(3);

line(455,0,630,0);

line(455,15,630,15);

line(455,0,455,15);

line(630,0,630,15);

setcolor(9);

// Оси

setcolor(10);

line(50,250,600,250);

line(580,245,600,250);

line(580,255,600,250);

line(325,50,325,440);

line(325,50,330,70);

line(325,50,320,70);

setcolor(15);

settextstyle(1,0,1);

outtextxy(600,260,"X");

outtextxy(345,50,"Y");

outtextxy(300,260,"O");

// единичные насечки

if(M>4)

for(i=1;i<70;i++)

{

if(i*M<=255)

{

line(325+M*i,248,325+M*i,252);

line(325-M*i,248,325-M*i,252);

}

if(i*M<=170)

{

line(323,250-M*i,327,250-M*i);

line(323,250+M*i,327,250+M*i);

}

}

// Прорисовка графика

setcolor(9);

for(i=1;i<N;i++)

{

if((M*y[i]>-1000)&(M*y[i]<1000))

{

line(325+M*((i-1)*h+A),250-M*y[i-1],325+M*(i*h+A),250-M*y[i]);

delay(10);

}

}

k=getch();

if(k==43) // масштаб +

{

if (M>=1) M++;

else if((M<1) &&(M>=0.1)) M=M+0.1;

else if((M<0.1) &&(M>=0.01)) M=M+0.01;

else if((M<0.01) &&(M>=0.001)) M=M+0.001;

else if((M<0.001) &&(M>=0.0001)) M=M+0.0001;

else if((M<0.0001) &&(M>=0)) M=M+0.00001;

}

else if(k==45) // масштаб -

{

if (M>1.000001) M--;

else if((M<=1) &&(M>0.100001)) M=M-0.1;

else if((M<=0.100001)&&(M>0.010001)) M=M-0.01;

else if((M<=0.010001)&&(M>0.001001)) M=M-0.001;

else if((M<=0.001001)&&(M>0.000101)) M=M-0.0001;

else if((M<=0.000100)&&(M>0.000010)) M=M-0.00001;

}

else if(k==13) // Нахождение y по значению x

{

printf("\n\n введите значение абсциссы x= ");

scanf("%lf",&xtoch);

if((A<=xtoch)&&(xtoch<=B))

{

setcolor(11);

for(i=1;i<N;i++)

{

if((x[i-1]<=xtoch)&&(xtoch<=x[i]))

{

H=xtoch-x[i-1];

ytoch=formyl3(nom,H,x[i-1],y[i-1],C1,C2,C3,C4);

printf("ордината точки равна y= %lf",ytoch);

line(325+M*xtoch,250,325+M*xtoch,250-M*ytoch);

break;

}

}

setcolor(9);

}

else

printf("введена абсцисса, не пренадлежащая промежутку решения");

getch();

}

else if(k==27)

break;

}

closegraph();

}

//----Выход из программы-----------------------------------------------------

else if(vv==4)

{

exit(2);

}

//----Ввод программы в бесконечный цикл--------------------------------------

goto menu;

}

Приложение 2. Результаты работы программы

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка: y^/=2x-y

Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2

Начальные условия: у₀=1;

Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:

1). x₁=0,2; х_1/2=0,1; y(x₁)=y(x₀)+б₀h; y(x_1/2)=y(x₀)+f(x₀,y₀)h/2;

f(x₀,y₀)=20-1=-1

y(x_1/2)=1-10,1=0,9

б₀=20,1-0,9=-0,7

y₁=1-0,10,2=0,86

2). y(x₂)=y(x₁)+б₁h; x₂=0,2+0,2=0,4; x_1+1/2=x₁+h/2=0,2+0,1=0,3

y(x_1+1/2)=y(x₁)+f(x₁,y(x₁))h/2

f(x₁,y₁)=20,2-0,86=-0,46

y(x_1+1/2)=0,86-0,460,1=0,814

б₁=2*0,3-0,814=-0,214

y₂=0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x₃=0,4+0,2=0,6; x_2+1/2=x₂+h/2=0,4+0,1=0,5

f(x₂,y₂)=2*0,4-0,8172=-0,0172

y_2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548

б₂=2*0,5-0,81548=0,18452

y₃=0,8172+0,18452*0,2=0,854104

4).x₄=0,8; x_3+1/2=x₃+h/2=0,6+0,1=0,7

f(x₃,y₃)=2*0,6-0,854104=0,345896

y_3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936

б₃=2*0,7-0,89=0,5113064

y₄=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528

5).x₅=1; x_4+1/2=0,8+0,1=0,9

f(x₄,y₄)=2*0,8-0,956=0,64363472

y_4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;

б₄=2*0,9-1,02=0,779271248

y₅=0,956+0,7792*0,2=1,11221953