Обработка экспериментальных данных методами математической статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

Высшего и профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

пищевых производств»

Зачётная работа по теме

«Обработка экспериментальных данных

методами математической статистики»

Вариант №

Работу выполнил:

студент группы 10-ТПМ-14

Работу проверил:

Галушкина Ю.И.

Москва 2012



Обработать эти данные методом математической статистики

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
75		65		63		65
68		78		69		61
65		66		59		63
80		64		71		76
71		70		55		74
61		67		64		52
77		66		58		61
69		67		70		63
64		71		83		49
68		62		56		71
52		70		68		77
59		55		71		73
63		69		76		74
56		59		77		70
62		67		73		65



Задача 1. Обработка одномерной выборки признака Х методами математического статистического анализа

1. n =; x_нм =; x_нб =; h_x =

Вариационный ряд

2. Число интервалов

Тогда длина интервала =

Статистический ряд

№	Интервалы xi xi+1	Середины x?i	Частота mi	Относительная частота pi*=	Кумулятивная частота F*n (x)
1	49-54	51,5	3	0,05	0,05
2	54-59	56,5	8	0,133	0,183
3	59-64	61,5	12	0,2	0,383
4	64-69	66,5	15	0,25	0,633
5	69-74	71,5	13	0,217	0,85
6	74-79	76,5	7	0,117	0,967
7	79-84	81,5	2	0,033	1
8
У





3. Оценки числовых характеристик.

№	Интервалы xi - xi+1	Середина ?xi	pi*	F*n (x)	?xi pi*	?xi - x?i	(?xi - x?i)2pi*	(?xi - x?i)3pi*	(?xi - x?i)4pi*
1	49-54	51,5	0,05	0,05	2,575	-14,67	10,7604	-157,8557	2315,7435
2	54-59	56,5	0,133	0,183	7,515	-9,67	12,4367	-120,2627	1162,9406
3	59-64	61,5	0,2	0,383	12,300	-4,67	4,3618	-20,3695	95,1256
4	64-69	66,5	0,25	0,633	16,625	0,33	0,0272	0,0090	0,0030
5	69-74	71,5	0,217	0,85	15,516	5,33	6,1647	32,8580	175,1332
6	74-79	76,5	0,117	0,967	8,951	10,33	12,4849	128,9694	1332,2544
7	79-84	81,5	0,033	1	2,690	15,33	7,7553	118,8887	1822,5630
8
У					66,170		53,9911	-17,7629	6903,7634

x? = У_i ?x_i p_i^* = 66,170

M_o=64 +5

M_e =

S² = У (?x_i - x?_i)²p_i^* = 53,9911

S=== 7,3479

V= 100% =100%=11,1046%

A===-0,0448

E=3=3= -0,6317

x?	Mo	Me	Sx2	Sx	V%	A	E

Поправки Шеппарда

S² = У (?x_i - x?_i)²p_i^* - 53,9911-2,0833=51,9078

S_x=7,2047

V=100% = 10,8882%

A==-0,0475

E=3=-0,4727

x?	Mo	Me	Sx2	Sx	V%	A	E

Выводы: 1. x? , M_o , M_e - принадлежат одному интервалу;

2. Интервал (x? - 3S; x? +3S) ? () содержит выборку;

3. А= длинная часть лежит от центра;

4. Е=, распределение имеет в окрестности центра более вершину.

Для сравнения гистограммы и кривой нормального распределения заполним следующую таблицу:

№	Интервалы	Середины x?i	pi*	Нормированные середины
1
2
3
4
5
6
7
8
У

Здесь нормированные середины:

, =



На графике представлена гистограмма статистического ряда, а также подобная теоретическая кривая нормального распределения. Можно видеть, что теоретическая кривая отличается от эмпирического распределения

4. Выдвигаем гипотезу о том, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, где за неизвестные параметры распределения б и у принимаются соответственно их числовые оценки x? = и S=, и проверим эту гипотезу с помощью критерия Колмогорова-Смирнова (К-С) и критерия Пирсона, с уровнем значимости б=0,1; 0,05.

Проверка гипотезы с помощью критерия Колмогорова-Смирнова.

Функция K(л)=1- б=1-0,1=0,9???л₁=1,23;

K(л)=1- б=1-0,05=0,95???л₂=1,36;

D_кр= ???D_кр==0,1587

D_кр= ???D_кр==0,1754

Таблица для расчёта D_эм

№	Середины интервалов ?xi	Кумулятивн-ая частота F*n (x)	Нормирован-ные середины
1
2
3
4
5
6
7
8

D_эм=0,1219

Вывод т.е. D_эм D_кр, следовательно, выдвинутая гипотеза о нормальном распределении с уровнем значимости б=0,1 и с уровнем значимости б=0,05.

Проверка гипотезы с помощью критерия Пирсона

ч²_кр=7,8 при б=0,1; ч²_кр=9,5 при б=0,05; k=7-2-1=4

Таблица для расчёта ч²_эм

№	Интервалы xi xi+1	Частота mi	pi =P(xi<X<xi+1)	npi
1			0,0399
2			0,177
3			0,2186
4			0,2696
5			0,206
6			0,1022
7			0,0328
8
У

p₁ = P(49<x <54) = Ф()-Ф()=Ф(-1,65)-Ф(-2,34)=0,0495-0,0096=0,0399

p₂ = P(54<x <59) = Ф()-Ф()=Ф(-0,98)-Ф(-1,65)=0,1635-0,0465=0,177

p₃ = P(59<x <64) = Ф()-Ф()=Ф(-0,3)-Ф(-0,98)=0,3821-0,1635=0,2186

p₄ = P(64<x <69) = Ф()-Ф()=Ф(0,39)-Ф(-0,3)=0,6517-0,3821=0,2696

p₅ = P(69<x <74) = Ф()-Ф()=Ф(1,07)-Ф(0,39)=0,8577-0,6517=0,206

p₆ = P(74<x <79) = Ф()-Ф()=Ф(1,75)-Ф(1,07)=0,9599-0,8577=0,1022

p₇ = P(79<x <84) = Ф()-Ф()=Ф(2,43)-Ф(1,75)=0,9927-0,9599=0,0328

ч²_эм=1,1367

Вывод. т.е. ч²_эм ч²_кр, и при б=0,1 , и при б=0,05 выдвигаемая гипотеза с уровнем значимости б=0,1 и с уровнем значимости б=0,05.

5. Считая, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, построим доверительные интервалы, накрывающее неизвестное математическое ожидание с доверительными вероятностями 0,9; 0,95; 0,99. Строим доверительные интервалы

,

для =66,17; S=7,3479;=7,746

№	в	б	t	Левая граница	Правая граница	Длина интервала
1	0,9	0,1	1,67	64,5859	66,75	2,1641
2	0,95	0,05	2,00	64,2728	68,0672	3,7944
3	0,99	0,01	2,66	63,6467	68,6933	5,0466

0,9;

0,95;

0,99

С увеличением доверительно вероятности последовательно 0,9; 0,95; 0,99 ширина доверительного интервала увеличивается соответственно

Задача 2. Обработка одномерной выборки признака Y методами статистического анализа

1. n =; y_нм =; y_нб =; h_y=.

Вариационный ряд

2. Число интервалов l_y=l_x-1= ,увеличим размах варьирования, отодвинув y_нб до. статистический пирсон регрессия корреляция

Тогда длина интервала

Статистический ряд

№	Интервалы yj yj+1	Середины ?yj	Частота mj	Относительная частота pj*=	?yj pj*	?yj -?? y	(?yj -??y)2pj*
1	71-77	74	7	0,117	8,633	-15,000	26,250
2	77-83	80	8	0,133	10,667	-9,000	10,800
3	83-89	86	12	0,200	17,200	-3,000	1,800
4	89-95	92	19	0,317	29,133	3,000	2,850
5	95-101	98	9	0,150	14,700	9,000	12,150
6	101-107	104	5	0,083	8,667	15,000	18,750
7
У			60	1,000	89,000		72,600

???y= У_i ?y_i p_i^* =89,00

S_y² = У (?y_i - ???y_i)²p_i^* =72,600

S_y==8,5206

Задача 3. Обработка двумерной выборки (X,Y) методами корреляционного и регрессионного анализов

1. Корреляционное поле

По расположению точек на корреляционном поле можно сделать вывод о наличии положительной корреляционной зависимости.

3. Корреляционная таблица

	xi-xi+1	49-54	54-59	59-64	64-69	69-74	74-79	79-84		mj
yj-yj+1	?xi ?yj	51,5	56,5	61,5	66,5	71,5	76,5	81,5
71-77	74		1	1	1	4				7
77-83	80	1	2	1	1	1	1	1		8
83-89	86	1	1	1	5	3	1			12
89-95	92	1	3	5	4	3	2	1		19
95-101	88			3	3	2	1			9
101-107	104		1	1	1		2			5
mi	3	8	12	15	13	7	2		60

По заполненным клеточкам корреляционной таблицы, делаем вывод о наличии положительной зависимости между случайными величинами X и Y.

3. Вычисление выборочного коэффициента корреляции.

x?=66,17 S_x=7,3479

???y= 89,00 S_y= 8,5206

Для вычисления выборочного корреляционного момента K_xy используем формулу У У (?x_i- ?x)(?y_j -?y_j)m_ij и заполним следующую расчётную таблицу:

?xi- ?x ?yj- ?y									У
У

K_xy= =

r_xy===

По шкале Чеддока делаем вывод: корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y

4. Проверка гипотезы значимости

Выдвигаем гипотезу о независимости случайных величин и проверим эту гипотезу с помощью критерия Пирсона, выбрав уровень значимости б=0,1;

К= (l_y-1) (l_x-1) = =

ч²_кр=

Таблица для расчета ч²_эм

У

ч²_эм=

Так как ч²_эм ч²_кр, то гипотеза о независимости случайных величин с заданным уровнем значимости б=0,1.

Регрессионный анализ

1. Фиксируем ?x_i и найдем соответствующие средние арифметические

?y_j=

?xi
???yi

Построим диаграмму рассеивания, нанося на плоскость XY точки с координатами (?x_i ; ???y_i)

Фиксируем ?y_j и найдем соответствующие средние арифметические

?x_i=.

?yj
?xj

Построим диаграмму рассеивания, нанося на плоскость XY точки с координатами ( ???x_j ; ?y_j)

2. Составим линейную эмпирическую регрессию:

y(x)=a₀+a₁x;

x(y)=b₀+b₁y.

Коэффициенты регрессии a₀; a₁ и b₀; b₁оценим с помощью метода наименьших квадратов.

y(x)=a₀+a₁x

Нормальная система метода наименьших квадратов

Расчётная таблица

№	?xi	???yi	?xi 2	?xi???yi
1
2
3
4
5
6
7
8
У

??a₀=; a₁=

y(x)= +x

x(y)=b₀+b₁y

Нормальная система метода наименьших квадратов

Расчётная таблица

№	?yj	?xj	?yj 2	?yj
1
2
3
4
5
6
7
У

??b₀ = ; b₁ =

x(y)= +y

По графику линий регрессий x(y) и y(x) делаем вывод о наличии положительной корреляционной зависимости.

3. Проверим адекватность линейной регрессии

y(x)= +x

Для этого составим с помощью метода наименьших квадратов полулогарифмическую модель эмпирической регрессии:

y(x)=a₀+a₁lg x.

Нормальная система метода наименьших квадратов

Расчётная таблица

№	?xi	lg ?xi	(lg ?xi)2	???yi	???yi lg ?xi
1
2
3
4
5
6
7
8
У

??a₀ =; a₁ =

y(x)= +lgx

Составим таблицу

№	yi	xi	y(x)=
			y(xi)
1
2
3
4
5
6
7
8
У

Делаем выводы

Модель функции	Остаточная дисперсия	Средняя ошибка аппроксимации
y(x)=
y(x)=

Наиболее адекватная модель эмпирической регрессии

y(x)= +lgx

4. Найдем выборочные корреляционные отношения

?x =; ()²; n =

№	?xj	mj
1
2
3
4
5
6
7
У



=

???y =; S_y² = ()² =; n =

№	???yi	mi
1
2
3
4
5
6
7
8
У

==

r²_xy=()² =;

- =

- =

Разность свидетельствует о линейной регрессии.

Разность свидетельствует о линейной регрессии.

Размещено на Allbest.ru