Вычисление случайных величин
Алгебраический расчет плотности случайных величин, математических ожиданий, дисперсии и коэффициента корреляции. Распределение вероятностей одномерной случайной величины. Составление выборочных уравнений прямой регрессии, основанное на исходных данных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.01.2011 |
| Размер файла | 143,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Задача №1.
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:
где S - площадь треугольника ABC.
Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Решение.
Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия
или
следует, что
Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):
Вычислим плотность составляющей X:
при ,
откуда плотность составляющей X -
Вычислим плотность составляющей Y:
при ,
при ,
Поэтому плотность составляющей Y -
Найдем условную плотность составляющей X:
при , случайные величины X и Y зависимы.
Найдем математическое ожидание случайной величины X:
Найдем дисперсию случайной величины X:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
Найдем математическое ожидание случайной величины Y:
Найдем дисперсию случайной величины Y:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):
Тогда ковариация: ,
а значит и коэффициент корреляции
Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.
Задача №2
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:
|
Y |
X |
||||
|
3 |
6 |
8 |
9 |
||
|
-0,2 |
0,035 |
0,029 |
0,048 |
0,049 |
|
|
0,1 |
0,083 |
0,107 |
0,093 |
0,106 |
|
|
0,3 |
0,095 |
0,118 |
0,129 |
0,108 |
Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.
Решение.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:
|
X |
3 |
6 |
8 |
9 |
|
|
0,213 |
0,254 |
0,270 |
0,263 |
Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:
|
Y |
-0,2 |
0,1 |
0,3 |
|
|
0,161 |
0,389 |
0,450 |
Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.
Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.
1. Математическое ожидание случайной величины X:
2.
Математическое ожидание случайной величины Y:
3. Дисперсия случайной величины X:
4. Дисперсия случайной величины Y:
5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):
|
X-M(X) |
3-M(X) |
6-M(X) |
8-M(X) |
9-M(X) |
|
|
0,213 |
0,254 |
0,270 |
0,263 |
Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):
|
Y-M(Y) |
-0,2-M(Y) |
0,1-M(Y) |
0,3-M(Y) |
|
|
0,161 |
0,389 |
0,450 |
Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:
|
[X-M(X)][Y-M(Y)] |
1,260873 |
0,153873 |
|
|
P |
0,035 |
0,083 |
|
-0,584127 |
0,235773 |
0,028773 |
-0,109227 |
-0,447627 |
|
|
0,095 |
0,029 |
0,107 |
0,118 |
0,048 |
|
-0,054627 |
0,207373 |
-0,789327 |
-0,096327 |
0,365673 |
|
|
0,093 |
0,129 |
0,049 |
0,106 |
0,108 |
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Найдем ковариацию:
Найдем коэффициент корреляции:
Ответ: -0,028.
Задача №3
|
Рост, см (X) |
Вес, кг (Y) |
|||||
|
22,5-25,5 |
25,5-28,5 |
28,5-31,5 |
31,5-34,5 |
34,5-37,5 |
||
|
117,5-122,5 |
1 |
3 |
- |
- |
- |
|
|
122,5-127,5 |
- |
2 |
6 |
1 |
- |
|
|
127,5-132,5 |
- |
1 |
5 |
5 |
- |
|
|
132,5-137,5 |
- |
1 |
6 |
7 |
2 |
|
|
137,5-142,5 |
- |
- |
1 |
4 |
2 |
|
|
142,5-147,5 |
- |
- |
- |
1 |
1 |
|
|
147,5-152,5 |
- |
- |
- |
- |
1 |
Результаты обследования 50 учеников:
По данным таблицы требуется:
§ написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;
§ вычертить их графики и определить угол между ними;
§ по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.
Решение.
Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес - равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:
Для роста X получим:
1. Выборочная средняя -
2. Дисперсия выборочная исправленная -
Для веса Y получим:
1. Выборочная средняя -
2. Дисперсия выборочная исправленная -
Найдем выборочный коэффициент корреляции:
Найдем значения коэффициентов регрессии:
Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:
Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:
- угол между прямыми регрессии.
Следовательно, связь между X и Y не тесная.
Подобные документы
Предмет и метод математической статистики. Распределение непрерывной случайной величины с точки зрения теории вероятности на примере логарифмически-нормального распределения. Расчет корреляции величин и нахождение линейной зависимости случайных величин.
курсовая работа [988,5 K], добавлен 19.01.2011Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010Понятие корреляционного момента двух случайных величин. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и У. Степень тесноты линейной зависимости между ними. Абсолютное значение коэффициента корреляции, его расчет и показатель.
презентация [92,4 K], добавлен 01.11.2013Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин. Понятие условной функции распределения и плотности распределения вероятностей. Корреляция двух случайных величин. Система произвольного числа величин, условная плотность распределения.
реферат [325,3 K], добавлен 23.01.2011Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Функция распределения вероятностей двух случайных величин. Функция и плотность распределения вероятностей случайного вектора. Многомерное нормальное распределение. Коэффициент корреляции. Распределение вероятностей функции одной случайной величины.
реферат [241,8 K], добавлен 03.12.2007Вычисление среднего одномерных случайных величин. Определение доверительного интервала для математического ожидания и для дисперсии. Построение эмпирической и приближенной линий регрессии Y по X. Дисперсионный анализ греко-латынского куба второго порядка.
курсовая работа [698,0 K], добавлен 08.05.2012Нахождение плотности, среднеквадратического отклонения, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции системы случайных величин. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью.
контрольная работа [200,3 K], добавлен 16.08.2010Пространство элементарных событий, математическое ожидание. Функции распределения и плотности распределения составляющих системы случайных величин. Числовые характеристики системы. Условия нормировки плотности системы случайных непрерывных величин.
практическая работа [103,1 K], добавлен 15.06.2012Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015
