Система случайных величин

Введние

До сих пор рассматривались ситуации, в которых фигурировала одна случайная величина.

Однако, при изучении случайных явлений приходится пользоваться двумя, тремя и более случайными величинами. Так при анализе радиотехнической системы иногда нужно найти связь между входными и выходными сигналами для одного или двух моментов времени.

Координаты точки разрыва снаряда в пространстве при стрельбе по воздушной цели определяется тремя случайными величинами , а сама точка может рассматриваться как случайная точка пространства.

Систему из n случайных величин можно рассматривать как случайную точку в n-мерном пространстве . Чтобы научиться анализировать такие системы , необходимо расширить понятия функции распределения и плотности распределения вероятностей . Сначала рассмотрим систему двух непрерывных случайных величин.

1. Система двух случайных величин

Пусть имеется две непрерывные случайные величины X и Y.

Определение. Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин X и Y - это вероятность события , то есть

.

Легко вывести следующие свойства функции :

;

;

;

- неубывающая функция по одной их переменных;

, - функции распределения случайных величин X и Y.

Плотность распределения случайных величин (X ,Y) определяется соотношением

,

если предел существует.

Свойства плотности распределения вероятностей:

, ;

;

;

, ,

где и - плотности распределения случайных величин X и Y;

Графически плотность распределения вероятностей можно представить как некоторую поверхность над плоскостью X0Y.

Введение плотности вероятностей двух случайных величин позволяет определить математическое ожидание функции двух случайных величин g(X,Y):

В частности , если g(X,Y)=XY, то

.

2. Условные функция распределения и плотность распределения вероятностей

Подобно случайным событиям случайные величины подразделяются на зависимые и независимые, но определение здесь имеет несколько иной характер.

Из здравого смысла ясно, что отклонение индуктивности колебательного контура (одна случайная величина) и емкости (другая случайная величина) от номинального значения вследствие дефектов в их производстве - есть независимые случайные величины.

Также независимы напряжения помех, проникающих от двух или нескольких независимых (разных) источников.

Две случайные величины называются зависимы, если закон распределения вероятностей одной из них меняется в зависимости от того, какое значение приняла другая.

Степень зависимости может быть разной. Одна может быть жесткой - например, шумовое напряжение на сопротивлении R принимает значение u, то ток равен

.

В других случаях зависимость между случайными величинами является менее определимой. Между двумя крайними случаями - функциональной зависимости и полной независимости двух случайных величин - существует бесконечное множество промежуточных возможностей, при которых зависимость так или иначе проявляется. Для зависимых случайных величин вводят понятие условных законов распределения.

Пусть у нас имеется случайная величина X и событие А, состоящее в том, что случайная величина Y<y, т.е. . Ясно , что . Тогда согласно определению условной функции распределения случайной величины X при условии, что Y<y имеем

.

Аналогично получаем

Если через событие А обозначить , то тогда

если предел существует.

Условная плотность вероятностей случайной величины X при условии, что случайная величина Y=y по определению равна

Аналогично

Индексы х, у в вышеприведенных формулах часто опускают и условные плотности вероятностей обозначают

.

Из формул

,

можно получить вариант формулы Байеса для непрерывных случайных величин:

.

3. Корреляция двух случайных величин

Случайные величины X и Y независимы, если

.

Пример. Случайные тепловые падения напряжения на двух резисторах электрической схемы.

Следствие. Для независимых случайных величин X и Y

то есть математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению математических ожиданий.

2. Следствие. Для независимых случайных величин Х и Y условная плотность вероятностей

-

равна безусловной плотности вероятностей.

Аналогично имеем

.

Если случайные величины X иY не независимы, то вводится понятие корреляции двух случайных величин.

Определение. Корреляцией или корреляционным моментом двух случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения центрированных случайных величин

Если обозначить , , а их значения соответственно ,, то

С другой стороны , так как и , то

Определение. Нормированный корреляционный момент называется коэффициентом корреляции:

Для дискретных случайных величин интеграл заменяется суммой, т.е.

Рассмотрим два случая . В первом случае пусть X,Y - независимые случайные величины , тогда и

Таким образом, если случайные величины X и Y независимы , то их корреляционный момент (и коэффициент корреляции) равен нулю.

Рассмотрим другой случай, когда случайные величины жестко связаны линейной зависимостью

.

Если случайная величина Х принимает значение х, то функция - определяется законом распределения случайной величины Х, а значит

Поэтому

.

Легко показать, что отсюда и

Можно показать, беря математические ожидание от квадрата суммы центрированных величин , что всегда .

Ниже приведены графики зависимости дискретных случайных величин для различных коэффициентов корреляции.

Коэффициент корреляции говорит о линейной зависимости случайных величин. Можно показать, например, что при нелинейной связи у=kx², где случайная величина Х имеет симметричный закон распределения относительно нуля коэффициент корреляции также равен нулю.

Коэффициент корреляции можно представить в виде

.

Если выполнить интегрирование, то получаем, что

является безразмерной величиной.

Пример. Пусть случайные величины X и Y (входные и выходные величины системы) связаны линейной связью:

,

где n - независимая шумовая величина с M[n]=0 (здесь учитывается и нелинейные эффекты). Найдем дисперсию Y, т.е. - мощность выхода системы. Так как

,

то

Обозначим мощность которую вносит в у величина х , через и , которую вносит n - . Имеем

, .

Найдем коэффициент корреляции между X и Y :

отсюда и

Это соотношение называется соотношением для линейно обусловленной выходной мощности.

4. Система произвольного числа случайных величин

Пусть имеется n (n>2) случайных величин (Х₁, Х₂, ..., Х_n). Функция распределения системы вводится как обобщение функции распределения двух случайных величин

F(x₁, x₂, ..., x_n) = p(X₁<x₁, X₂<x₂, ... , X_n<x_n)

Эта функция обладает всеми свойствами, какими обладает функция распределения двух случайных величин. Она неубывающая функция одной переменной при фиксированных остальных. Кроме того

F(- , x₂, ..., x_n)=...= F(x₁, x₂, ..., -)=F(- , -, ..., x_n)=F(- , -, ...,- )=0;

F₁(x₁)=F(x₁, , ..., ) - функция распределения случайной величины х₁;

F₂(x₁, х₂)=F(x₁, х₂, ,..., ) - функция распределения системы (Х_1, Х₂) и т.д.;

F(, , ..., ) = 1.

Аналогично системе двух случайных величин вводится плотность распределения вероятностей:

если соответствующая производная существует.

Плотность распределения системы (X₁, X₂, ..., X_m) (m < n) равна

По плотности распределения f(x₁, x₂, ..., x_n) находится функция распределения

Отсюда

Условная плотность распределения определяется по формуле

Если случайные величины Х₁, Х₂, ..., Х_n независимы, то плотность распределения системы (Х₁, Х₂, ..., Х_n) равна

f(x₁, x₂, ..., x_n) = f₁(x₁) f₂(x₂) ... f_n(x_n).