Основные понятия теории вероятностей
Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.02.2011 |
| Размер файла | 797,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
1.1. Элементы комбинаторики
Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий выбор, расположение и упорядочение объектов в соответствии со специальными правилами и методы подсчета числа всех возможных способов, которыми это можно сделать.
Основные правила комбинаторики. Правило умножения. Пусть требуется совершить одно за другим K действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие- n2 способами, и т.д., k-тое действие- nk способами, то все K действий в указанном порядке могут быть выполнены числом
N=n1n2…nk= способов
Пример 1.1 В конкурсе на лучший экономический проект развития некоторой отрасли производства принимают участие 16 коллективов. Сколькими способами могут быть распределены между ними первое, второе и третье места?
В конкурсе участвуют 16 коллективов, следовательно, первое место может быть распределено n1=16 способами, второе место _ n2=15, третье _ n3=14. Тогда, по правилу умножения, число способов распределения призовых мест среди 16 коллективов:
N=n1n2n3=161514=3360.
Правило суммы. Пусть требуется совершить одно из K действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие- n2 способами, и т.д., k-тое действие- nk способами, то какое-либо одно из K действий может быть выполнено числом
N=n1+n2+…+nk= способов
Пример 1.2 Сколько существует способов приобрести кассовый аппарат, если в продаже есть 5 видов различных кассовых аппаратов производства Японии, 4 производства США, 3 - производства Англии и 2 -Украины
Для приобретения аппарата сначала нужно выбрать страну-производителя, т.е. совершить одно из 4 действий (K=4). Первое действие можно совершить 5 способами (n1=5 -выбрана Япония), второе - 4 (n2=4 - выбраны США), третье - 3 (n3=3 - выбрана Англия), четвертое - 2 (n4=2 - выбрана Украина). Тогда, в соответствии с правилом суммы, число способов приобрести кассовый аппарат будет N= n1+n2+n3+n4= 5+4+3+2=14.
Формулы комбинаторики определяют число способов, которыми из множества , содержащего n элементов, можно выбрать по тем или иным правилам какую-либо комбинацию k элементов, образующую подмножество k исходного множества.
Существуют две принципиально разные схемы выбора. В схеме выбора без повторений осуществляется выбор элементов без возвращения в исходное множество, т.е. выбранный элемент исключается из множества и не участвует в дальнейшем выборе. При этом выбор может осуществляться как поэлементно, так и партиями. В схеме выбора с повторениями выбранный элемент фиксируется в подмножестве к и возвращается в исходное множество , таким образом, в выборе любого элемента подмножества k участвуют каждый раз все элементы множества . Схема такого выбора осуществляется обязательно поэлементно.
Элементы в выбранном подмножестве могут располагаться произвольно (в любом порядке следования друг за другом) или упорядоченно (в строго определенном порядке следования).
В зависимости от схемы выбора и типа организации подмножества различают такие основные понятия комбинаторики, как сочетания, перестановки и размещения без повторения или с повторением.
Сочетанием без повторений (или просто сочетанием) из n элементов по k называется произвольное (неупорядоченное) k-элементное подмножество k n-элементного множества . Порядок следования элементов в сочетаниях не имеет значения, отличаются сочетания друг от друга составом элементов.
Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
. (1.1)
Символом n! (n факториал) обозначается произведение целых положительных чисел, т.е. n!=123…n, k!=12…k, (n-k)!=12…(n-k). Принято считать 0!=1 и 1!=1.
Пример 1.3. Предприятие выпускает 25 наименований продукции. Сколько существует способов выбрать 3 различных наименования продукции для презентации на выставке?
Элементами множества являются наименования продукции. Выбранные 3 наименования представляют неупорядоченное подмножество 3. Схема выбора - выбор без повторений. Тогда число N способов выбора равно
N= = = = =2300
Перестановками без повторений (или просто перестановками) называют различные упорядоченные множества, состоящие из одних и тех же, но отличающихся расположением, элементов, причем элементы внутри множества не повторяются. Если в перестановке изменить порядок следования элементов, то получится новая перестановка. Например, перестановками множества ={a,b,c} будут: 1={a,b,c}, 2={a,c,b}, 3={b,a,c}, 4={b,c,a}, 5={c,a,b}, 6={c,b,a}.
Число перестановок n-элементного множества обозначается Pn и вычисляется по формуле
Pn= 123…n =n!. (1.2)
Число перестановок определяет, сколько существует способов упорядочить множество, состоящее из n элементов
Пример 1.4. К билетной кассе одновременно подошли 5 человек. Сколько существует способов составить из них очередь?
Очередь-это упорядоченное множество, число N способов составить очередь равно
N= P5=5!= 12345 =120
Размещением без повторений (или просто размещением) из n элементов по k называют упорядоченное k-элементное подмножество kу n-элементного множества . Отличаются размещения друг от друга и набором элементов, и порядком их следования.
Число размещений из n элементов по k обозначается Ank и вычисляется по формуле
Ank = =n(n-1)(n-2)…(n-k+1) (1.3)
Пример 1.5 Сколько может быть составлено различных трехзначных кодов из десяти цифр от 0 до 9, если цифры в коде не повторяются
Код представляет собой упорядоченное 3-элементное подмножество, выбранное из 10-элементного множества ={0,1,…,9}. Число N возможных кодов с различными цифрами равно
N= = = =8910=720
Сочетанием с повторением из n элементов по k называется k-элементное неупорядоченное подмножество k, в котором элементы могут повторяться. К сочетанием с повторением приводит схема выбора с повторением.
Число сочетаний из n элементов по k с повторением обозначается fnk и вычисляется по формуле
nk =. (1.4)
Пример 1.6 Каждая кость домино представляет собой комбинацию из двух чисел от 0 до 6. Сколько различных костей содержит игра
Каждая кость домино состоит из двух полей, точки на поле определяют число, следовательно, кость можно рассматривать как неупорядоченное 2-элементное подмножество 2, элементы которого выбраны из 7 элементов множества ={0,1,2,3,4,5,6}. Поля на кости могут определяться и одинаковыми числами, т.е. элементы 2 могут повторяться. Тогда число N различных костей в игре равно
N= =C27+2-1= C28= == = 28
Перестановками с повторением называют различные упорядоченные множества, состоящие из одних и тех же, но отличающихся расположением, элементов, причем некоторые элементы множества одинаковы.
Например, перестановками множества ={a,а,c,b} будут: 1={a,а,c,b}, 2={a,c,а,b}, 3={с,a,а,b}, 4={b,c,a,a}, 5={a,b,c,a}, 6={a,a,b,c}, 7={a,b,а,c}, 8={b,a,а,c}, 9={c,b,a,a}, 10={a,c,b,a}, 11={b,а,c,a}, 12={c,a,b,а}.
Пусть задано n-элементное множество , которое содержит k1 элементов первого типа, k2 элементов второго типа, …, km элементов m-го типа, причем k1+k2+…+km=n. Число перестановок n-элементного множества с повторением обозначается Pn(k1,k2,…,km) и вычисляется по формуле
Pn(k1,k2,…,km)= . (1.5)
Пример 1.7 Предприятие для маркировки своей продукции использует товарный знак, состоящий из 4 полос, две из которых красного цвета, одна- желтого и одна - синего. Сколько различных товарных знаков может быть составлено с такой маркировкой
Товарный знак - это упорядоченное множество, состоящее из 4 элементов, среди которых два повторяются, т.е. имеем n=4, k1=2, k2=1, k3=1. Число N различных товарных знаков будет:
N=P4(2,1,1)==12
Размещением с повторением из n элементов по k называют упорядоченное k-элементное подмножество kу, элементы которого могут повторяться. К размещению с повторением приводит схема выбора с повторением.
Число размещений из n элементов по k с повторением обозначается Ank(повт) и вычисляется по формуле
Ank(повт) = =nk
Пример 1.8. Сколько может быть составлено различных трехзначных кодов из десяти цифр от 0 до 9, если цифры в коде могут повторяться
Код описывается упорядоченным 3 элементным подмножеством с повторяющимися элементами, составленным из множества ={0,1,…,9}. Число N кодов равно
N = A103(повт) =103=1000
Разбиение множества на группы. Разбиением множества на группы называют представление n элементного множества в виде суммы m попарно непересекающихся подмножеств , (i=), содержащих соответственно ki элементов, причем k1+k2+…+km=n. Число способов, которыми можно разбить на , обозначается Cn(k1,k2,…,km) и вычисляется по формуле
Cn(k1,k2,…,km) = . (1.6)
Пример 1.9. Сколько существует способов расселить в общежитии 8 студентов по 3 комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной?
Здесь n =8, k1=1, k2=3, k3=4. Число N способов расселения равно
N = C8(1,3,4) ==578= 280.
1.2 Случайные события
Теория вероятностей - это раздел математики, изучающий закономерности случайных массовых явлений. Испытанием в теории вероятностей называется опыт (эксперимент), который может быть многократно повторен при фиксированной совокупности условий S. Событием называется исход испытания. События делятся на достоверные, невозможные, случайные.
Достоверным называется событие, которое при испытании обязательно произойдет. Обозначается достоверное событие символом (или U).
Невозможным называется событие, которое при испытании заведомо не произойдет. Это событие обозначается символом (или V).
Случайным (или стохастическим) называется событие, которое при испытании может произойти или не произойти. Обозначаются случайные события большими буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.
Равновозможными называются такие случайные события, которые могут произойти с одинаковой возможностью.
Противоположным называется событие, состоящее в том, что исходное событие А не произошло. Обозначается такое событие .
Пространство элементарных событий. Пусть производится некоторое испытание, результат которого стохастичен (случаен). Каждый из взаимоисключающих исходов испытания называется элементарным событием. Множество всех возможных исходов образует пространство элементарных событий, которое определяет достоверное событие и обозначается . Если количество всех возможных исходов равно n, а i-тое элементарное событие обозначено i, то ={ 1, 2,…, n,}. Например, испытание состоит в том, что из колоды вынимается карта и определяется ее масть. Элементарных исходов может быть n=4: 1={вынута }, 2={вынута }, 2={вынута }, 4={вынута }. Пространство элементарных событий состоит из 4 элементов: ={1,2,3,4}.
Подмножества множества образуют случайные события. Обозначается это символом А. Случайные события могут совпадать с элементарными или объединять некоторое подмножество элементарных событий. Так, пусть в предыдущем примере случайными событиями А, В и С являются события А={вынута карта красной масти}, В={вынута }, С={не вынута }. Эти события объединяют элементарные события: А={2, 3}, В={1}, С={2, 3, 4} и являются подмножествами пространства элементарных событий ={1,2,3,4}: А , В , С .
Два события называются совместными, если возможно их совместное появление. Если появление одного события исключает появление другого, то события несовместны. Или, другими словами, события А и В совместны (несовместны), если подмножества А и В имеют (не имеют) общие элементы.
Несколько событий называются А1, А2,…, Аn называются попарно несовместными, если появление любого из них исключает появление каждого из остальных.
События Е1, Е2,…, Еn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, и в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно из них. Полная группа событий образует достоверное событие: = {Е1, Е2,…, Еn}. Пространство элементарных событий всегда образует полную группу событий. В нашем примере совместны события А={2, 3} и С={2, 3, 4}; несовместны две пары событий: С={2, 3, 4} несовместно с В={1}, А несовместно с В. Полную группу событий образуют события В и С: =={В,С}, а также пространство элементарных событий ={1,2,3,4}.
Пример 1.10. Опыт состоит в передаче по каналу связи трех сообщений. Рассматривается группа событий: А1={ошибка в первом сообщении}; А2={ошибка во втором сообщении}; А3={ошибка в третьем сообщении}. Ответить на вопросы: а) образуют ли эти события пространство элементарных событий (если нет, то составить это пространство), б) являются ли события несовместными, в) являются ли события равновозможными, г) образуют ли эти события полную группу событий (если нет, то составить полную группу событий),.
а) События не образуют пространство элементарных событий, так как не перечислены всевозможные элементарные исходы опыта, состоящего в передаче трех сообщений : так, для в случае события А1 неизвестно, будут или нет ошибки в двух других сообщениях. Событию А1 соответствуют четыре элементарных события А1={?1, ? 2, ? 3, ? 4}, где ?1={ошибка в первом сообщении, во втором и третьем сообщениях нет ошибок}, ?2={ошибка в первом и втором сообщениях, в третьем сообщении нет ошибки}, ?3={ошибка в первом и третьем сообщениях, во втором сообщении нет ошибки}, ?4={ошибка в первом, втором и третьем сообщениях}. До пространства элементарные события ?i, i= необходимо дополнить событиями: ?5={в первом сообщении нет ошибки, ошибки во втором и третьем сообщениях}, ?6={в первом и втором сообщениях нет ошибки, ошибка в третьем сообщении }, ?7={в первом и третьем сообщениях нет ошибок, ошибка во втором сообщении}, ?8={в первом, втором и третьем сообщениях нет ошибок}, тогда ={?1, ?2,…, ?8}.
б) События А1, А2, А3 совместны, так ошибка в передаче одного сообщения не исключает возможности ошибки в передаче другого сообщения.
в) События А1, А2, А3 равновозможные, так как все три сообщения передаются в одинаковых условиях, и возможность появления ошибки в каждом сообщении одинакова.
г) События А1, А2, А3 не составляют полную группу событий, т. к. они являются совместными и в результате опыта может не произойти ни одно из них (если все сообщения переданы верно). Полную группу могут составить несколько групп событий, например, такие: = {Е1, Е2}. где Е1 = {хотя бы в одном сообщении есть ошибка}, Е2 = {все сообщения переданы правильно}, или = {C1, C2, С3, Е2}, где C1 = {только одно сообщение содержит ошибку}, C2 = {только два сообщения содержат ошибки}, C3 = {все три сообщения содержат ошибки}. Полную группу событий составляет также пространство элементарных событий = {?1, ?2,…, ?8}.
1.3 Операции над событиями
Алгебраические операции над событиями определяют правила действий с событиями и позволяют выражать одни события через другие. Операции над событиями применимы только для событий, представляющих подмножества одного и того же пространства элементарных событий .
Действия с событиями можно наглядно изобразить с помощью диаграмм Венна. В диаграммах событиям соответствуют различные области на плоскости, условно обозначающие подмножества элементарных событий, из которых состоят события. Так, на диаграммах рис.1.1 пространству элементарных событий соответствуют внутренние точки квадрата, событию А _ внутренние точки круга, событию В _ внутренние точки треугольника. То, что события А и В являются подмножествами пространства элементарных событий (А, В), изображено на диаграммах рис.1.1а,б.
Суммой (объединением) событий А и В называется событие С=А+В (или С=АВ), состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В. Событие С состоит из всех элементарных событий, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или В, или обеим событиям. На диаграмме (рис 1.2.) событию С соответствует заштрихованная область С, представляющая объединение областей А и В. Аналогично суммой нескольких событий А1, А2,…, Аn называется событие С, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий Аi, i=:
С=
Сумма событий объединяет все элементарные события, из которых состоят Аi, i=. Если события Е1, Е2,…, Еn образуют полную группу, то их сумма равна достоверному событию:
Сумма элементарных событий равна достоверному событию
Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С=АВ (или С=АВ), состоящее в совместном появлении событий А и В. Событие С состоит из тех элементарных событий, которые принадлежат и А, и В. На рис 1.3.а событие С представлено пересечением областей А и В. Если А и В - несовместные события, то их произведение - невозможное событие , т. е. АВ= (рис. 1.3.б).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Произведение событий А1, А2,…, Аn - это событие С, состоящее в одновременном выполнении всех событий Аi, i=:
С=
Произведения попарно несовместных событий А1, А2,…, Аn - невозможные события: АiАj=, для любого ij. Произведения событий, составляющих полную группу - невозможные события: ЕiЕj=, ij, произведения элементарных событий - также невозможные события: ij=, ij.
Разностью событий А и В называется событие С=А_В (С=А\В), которое состоит в том, что происходит событие А и не происходит событие В. Событие С состоит из тех элементарных событий, которые принадлежат А и не принадлежат В. Диаграмма разности событий приведена на рис. 1.4. Из диаграммы видно, что С=А_В=
Противоположным событием для события А (или его дополнением) называется событие , которое состоит в том, что событие А не произошло. Противоположное событие дополняет событие А до полной группы и состоит из тех элементарных событий, которые принадлежат пространству и не принадлежат событию А (рис. 1.5). Таким образом, - это разность достоверного события и события А: =_А.
Свойства операций над событиями.
Переместительные свойства: А+В=В+А, А·В=В·А.
Сочетательные свойства: (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС).
Распределительное свойство: А(В+С)=АВ+АС.
Из определений операций над событиями следуют свойства
А+А=А; А+=; А+=А; А·А=А; А·=А; А·=
Из определения противоположного события следует, что
А+=; А=; =А; =; =; ;
Из диаграммы рис.1.4 очевидны свойства разности совместных событий:
; ; ; .
Если А и В - несовместные события, то
;
Очевидны также свойства совместных событий
= =
Для противоположных событий верны свойства, которые иногда называют правилом де Моргана или принципом двойственности: операции объединения и пересечения меняются местами при переходе к противоположным событиям
;
Доказательство принципа двойственности можно получить графически с помощью диаграмм Венна или аналитически, применив свойства 1-6
= == = ;
= = = =
= = =
Следует обратить внимание на то, что действия, аналогичные действиям "приведение подобных членов" и возведения в степень в алгебре чисел, недопустимы при операциях с событиями.
Например, при операциях с событиями правильными являются действия:
= = = =
Ошибочное применение действий по аналогии с алгебраическими: (А+В)В=А+ВВ=А проводит к неверному результату (проверьте с помощью диаграмм Венна!).
Пример 1.11. Доказать тождества
а) (А+С)(В+С)=АВ+С;
б) АС_В=АС_ВС
а) (А+С)(В+С) = АВ+СВ+АС+СС = АВ+С(А+В)+С= =АВ+С(А+В)+С = АВ+С(А+В+) = АВ+С = АВ+С;
б) АС_В = АС = СА = С(А_В) = СА_СВ = АС_ВС
Пример 1.12. Приз разыгрывается между двумя финалистами шоу-программы. Розыгрыш производится по очереди до первой удачной попытки, число попыток для каждого участника ограничено тремя. Первый финалист начинает первым. Рассматриваются события: А={приз выиграл первый финалист}; В={приз выиграл второй финалист}. 1) Дополнить эти события до полной группы и составить для нее достоверное событие. 2) Составить полную группу элементарных событий. 3) Выразить события первой полной группы через элементарные. 4) Составить другие полные группы событий и записать через них достоверные события.
1) События А и В несовместные, до полной группы они дополняются несовместным событием С={приз не выиграл никто}. Достоверное событие ={приз выиграет или первый финалист, или второй, или никто не выиграет} равно: =А+В+С.
2) Введем события, которые описывают исход каждой попытки для каждого игрока и не зависят от условий конкурса: Аi={первый финалист успешно провел i-тую попытку}, Вi={второй финалист успешно провел i-тую попытку}, . Эти события не учитывают условий конкурса, поэтому не являются элементарными относительно факта выигрыша приза. Но через эти события с помощью операций над событиями можно составить полную группу элементарных событий, которые учитывают условия выигрыша с первой удачной попытки: 1={первый финалист выиграл приз с первой попытки}, 2={второй финалист выиграл приз с первой попытки}, 3={первый финалист выиграл приз со второй попытки}, 4={второй финалист выиграл приз со второй попытки}, 5={первый финалист выиграл приз с третьей попытки}, 6={второй финалист выиграл приз с третьей попытки}, 7={оба финалиста не выиграли приз за три попытки}. По условиям конкурса
1=А1, 2=, 3=, 4=,
5=, 6= , 7= .
Полная группа элементарных событий: ={1,…, 7}
3) События А и В через элементарные выражаются с помощью операций суммирования, С совпадает с элементарным событием :
А= = А1++,
В= = ++,
С= =
4) Полные группы событий также составляют события
=; =; =
Соответствующие им достоверные события:
={первый финалист или выиграет приз, или не выиграет}=;
={второй финалист или выиграет приз, или не выиграет}=;
={приз или не выиграют, или выиграют}=.
1.4 Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности
Понятие вероятности события относится к фундаментальным понятиям теории вероятностей. Вероятность - это количественная мера возможности появления случайного события А. Обозначается она Р(А) и имеет следующие свойства.
Вероятность есть положительное число, заключенное в интервале от нуля до единицы:
0 Р(А) 1
Вероятность невозможного события равна нулю
Р() = 0
Вероятность достоверного события равна единице
Р()=1
Классическое определение вероятности. Пусть = {1, 2,…, n} - пространство элементарных событий, которые описывают все возможные элементарные исходы и образуют полную группу несовместных и равновозможных событий. Пусть событию А соответствует подмножество m элементарных исходов
А={},
эти исходы называют благоприятствующими событию А. В классическом определении вероятности полагают, что вероятность любого элементарного исхода
а вероятность события А, которому благоприятствуют m исходов, равна
Отсюда определение:
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность определяется формулой
, (1.7)
где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, а _ число всех возможных элементарных исходов испытания.
Классическое определение вероятности дает возможность в некоторых задачах аналитически вычислить вероятность события.
Пусть проводится опыт, в результате которого могут наступить те или иные события. Если эти события образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, то говорят, что опыт обладает симметрией возможных исходов и сводится к "схеме случаев". Для опытов, которые сводятся к схеме случаев, применима классическая формула вероятности.
Пример 1.13. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, среди которых 5 выигрышных. Определить вероятность того, что при покупке одного билета лотереи будет получен выигрыш
Элементарным событием этого опыта является покупка билета. Каждый билет лотереи неповторим, так как имеет свой номер, и купленный билет не возвращается обратно. Событие А заключается в том, что куплен выигрышный билет. При покупке одного из 1000 билетов всевозможных исходов этого опыта будет =1000, исходы образуют полную группу несовместных событий. Число исходов, благоприятных событию А, будет равно =5. Тогда вероятность получить выигрыш, купив один билет, равна
Р(А) = = 0.005
Для непосредственного подсчета вероятностей удобно применять формулы комбинаторики. Покажем это на примере задачи выборочного контроля.
Пример 1.14 Пусть имеется партия из изделий, среди них есть бракованных. Для контроля отбирается часть из изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных изделий будет ровно бракованных
Элементарным событием в этом опыте является выбор элементного подмножества из исходного элементного множества. Выбор любой части изделий из партии в изделий можно считать равновозможными событиями, поэтому данный опыт сводится к схеме случаев. Для вычисления вероятности события А={среди изделий бракованных, если они отбирались из партии в изделий с бракованными} можно применить классическую формулу вероятности. Число всех возможных исходов опыта - это число способов, которыми можно отобрать изделий из партии в , оно равно числу сочетаний из элементов по : . Событие, благоприятное событию А, состоит из произведения двух элементарных событий: {из бракованных изделий выбраны }{из _ стандартных изделий выбраны _}. Число таких событий, в соответствии с правилом умножения комбинаторики, будет
Тогда искомая вероятность
Например, пусть =100, =10, =10, =1. Тогда вероятность того, что среди отобранных 10 изделий будет ровно одно бракованное, равна
= = = 0.408
Статистическое определение вероятности. Для того, чтобы применить в условиях данного опыта классическое определение вероятности, необходимо, чтобы опыт соответствовал схеме случаев и для большинства реальных задач эти требования практически невыполнимы. Однако вероятность события - это объективная реальность, которая существует независимо от того, применимо или нет классическое определение. Возникает необходимость в другом определении вероятности, применимом тогда, когда опыт не отвечает схеме случаев.
Пусть эксперимент заключается в проведении серии испытаний, повторяющих один и тот же опыт, и пусть событие А наступило раз в серии из опытов. Относительной частотой события W(A) называют отношение числа опытов, в которых наступило событие А, к числу всех проведенных опытов
. (1.8)
Экспериментально доказано, что частота обладает свойством устойчивости: если число опытов в серии достаточно велико, то относительные частоты события А в различных сериях одного и того же эксперимента мало отличаются друг от друга.
Статистической вероятностью события называют число, к которому стремятся относительные частоты, если число опытов неограниченно возрастает
. (1.9)
В отличие от априорной (вычисленной до опыта) классической вероятности статистическая вероятность является апостериорной (полученной после опыта).
Пример 1.15 Метеорологические наблюдения в течении 10 лет в некоторой местности показали, что число дождливых дней в июле было в разные года равно: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Определить вероятность того, что какой-либо определенный день июля будет дождливым
Событие А заключается в том, что определенный день июля, например, 10 июля, пойдет дождь. Выданная статистика не содержит информации о том, в какие конкретно дни июля шел дождь, поэтому можно считать, что все дни равновозможные для этого события. Пусть один год - это одна серия испытаний из 31 одного дня. Всего серий 10. Относительные частоты серий равны:
, , , ,
, , , ,
Частоты различны, но наблюдается их группировка возле числа 0.1. Это число и можно принять за вероятность события А. Если за одну серию испытаний принять все дни июля за десять лет, то статистическая вероятность события А будет равна
=
Геометрическое определение вероятности. Это определение вероятности обобщает классическое определение на случай, когда пространство элементарных исходов включает несчетное множество элементарных событий, и появления каждого из событий одинаково возможно. Геометрической вероятностью события А называется отношение меры (А) области, благоприятствующей появлению события, к мере () всей области
. (1.10)
Если области представляют собой а) длины отрезков , б) площади фигур , в) объемы пространственных фигур , то геометрические вероятности соответственно равны
; ; . (1.11)
Пример 1.16. Рекламные объявления развешены с интервалом в 10 метров вдоль торгового ряда. Широта обзора у некоторого покупателя составляет 3 метра. Какова вероятность того, что он не заметит рекламу, если он движется перпендикулярно торговому ряду и пересечь ряд может в любой точке?
Размещено на http://www.allbest.ru/
Участок торгового ряда, расположенный между двумя объявлениями, можно представить как отрезок прямой АВ (рис. 1.6). Тогда для того, чтобы покупатель заметил объявления, он должен пройти через отрезки прямых АС или ДВ, равные 3м. Если же он пересечет торговый ряд в одной из точек отрезка СД, длина которого 4м, то он не заметит рекламы. Вероятность этого события будет
Р==0.4
Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1 Зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от появления или не появления cобытия В, в противном случае событие А называют зависимым от события В.
Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью, обозначается
и вычисляется
(2.1)
Теорема сложения несовместных событий. Вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
(2.2)
Следствие. Вероятность появления суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
(2.3)
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
(2.4)
Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:
Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
(2.5)
Следствие. Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго, при условии, что первое событие произошло
(2.1.6.)
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события
наступили.
Теорема о вычислении вероятности появления хотя бы одного события. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий
равна разности между единицей и вероятностью произведения всех противоположных событий
(2.7)
Замечание. Приступая к решению задач на вычисление вероятностей сложных событий, рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1) обозначить буквами все события, о которых идет речь в условии задачи;
2) выяснить, совместны или несовместны обозначенные события, зависимы они или независимы;
3) выразить сложное событие, о котором идет речь в вопросе задачи через обозначенные события;
4) выбрать формулу для вычисления нужной вероятности.
Пример 2.1. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранное изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий окажется: а) только одно изделие высшего сорта; б) только два изделия высшего сорта; в) все три изделия высшего сорта.
Обозначим события
совместные, независимые;
P(A1)=0,8; P(A2)=0,8; P(A3)=0,8.
а) A = {только одно изделие из трех - высшего сорта}:
б) B = {только два изделия из трех высшего сорта}:
;
с) С = {все три изделия высшего сорта}: ;
Пример 2.2.Студент выучил 20 вопросов из 30. Для сдачи зачета необходимо ответить хотя бы на два вопроса из трех заданных. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет
Обозначим события
совместные и зависимые;
А = {студент сдаст зачет}.
Построим событие
Слагаемые в этом выражении совместны. Запишем это же событие иначе, чтобы слагаемые были несовместны
Тогда будем иметь по теореме сложения несовместных событий и теореме умножения зависимых событий
.
Пример 2.3. На трех этапах подготовки прибора к работе вероятности появления независимых друг от друга задержек соответственно равны 0,1; 0,06; 0,05. Какова вероятность подготовки изделия к работе без задержек
Обозначим события
совместны и независимы;
; ; ;
={подготовка проведена без задержки}.
Тогда
и по теореме умножения независимых событий
Пример 2.4. Производится наблюдение за группой состоящей из трех одинаковых объектов. Вероятности обнаружения первого, второго и третьего объектов соответственно равны 0,6 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что обнаружен хотя бы один объект
Обозначим события
совместны, независимы;
= {обнаружен хотя бы один объект }. Тогда
По формуле вычисления вероятности появления хотя бы одного события
Пример 2.5 Над изготовлением изделия работают трое рабочих. Качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Вероятности того, что первый, второй и третий рабочий допустят брак, соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Найти вероятность изготовления изделия без брака
Обозначим события
совмест., независ.;
={получено изделие без брака}. Тогда
,
; и
2.2 Формула полной вероятности. Формулы гипотез (Бейеса).
Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез)
образующих полную группу. Вероятности гипотез
предполагаются известными, причем
Тогда вероятность появления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошла i - тая гипотеза, т.е.
=
= (2.8)
Это равенство называют формулой полной вероятности.
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез)
которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса
(2.9)
где вычисляется в соответствии с формулой (2.2.1).
Пример 2.6. В продажу поступили однотипные изделия с трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% изделий с дефектом, второго - 8% и третьего 15%. Какова вероятность приобрести изделие с дефектом, если в магазин поступило 30% изделий первого завода, 50% изделий второго завода и 20% - третьего?
Обозначим
={изделие произведено первым заводом}, ;
={изделие произведено первым заводом}, ;
={изделие произведено первым заводом}, ;
А = {купленное изделие имеет дефект}.
Вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:
=
Пример 2.7. В группе из 12 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 - хорошо, 3 - посредственно и 2 - плохо. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно - на 10 и плохо подготовленный - на 5. Вычислить вероятность того, что наугад вызванный студент ответит на заданный вопрос.
Обозначим события
Н1={вызван отличник} Р(Н1)=1/4;
Н2={вызван хорошо успевающий} Р(Н2)=1/3;
Н3={вызван посредственно успевающий} Р(Н3)=1/4;
Н4={вызван плохо успевающий} Р(Н4)=1/6;
А = {студент ответит на заданный вопрос}.
; ;
; .
По формуле полной вероятности находим:
Пример 2.8 При условии задачи 2.7 определить вероятность того, что студент, ответивший на заданный вопрос, был подготовлен посредственно
Поскольку событие А произошло (студент ответил на заданный вопрос), то вероятность события Н3 изменится и может быть вычислена по формуле Бейеса
.
Пример 2.9 Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55; а ко второму - 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Изделие при проверке признано стандартным. Найти вероятность того, что его проверил второй товаровед
Обозначим события
Н1={изделие проверил первый товаровед},
Н2={изделие проверил второй товаровед},
А = {изделие признано стандартным};
Так как событие А произошло, вероятность
можно вычислить по формуле Байеса
.
Глава 3. Повторение испытаний
3.1. Формула Бернулли
Пусть опыт состоит в проведении испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью Р(А)=р или не произойти с вероятностью Р()=1_Р(А)=1_р=q. Если результат каждого испытания не зависит от результатов других, то испытания называются независимыми относительно события А, а событие А именуется простым событием. Событие _ появление простого события А ровно раз в независимых испытаниях _ называют сложным событием .
Опыт, удовлетворяющий перечисленным условиям, называют схемой испытаний Бернулли или схемой независимых испытаний опыт.
Цель опыта: определить вероятность сложного события , заключающегося в том, что в независимых испытаниях простое событие А появится ровно раз и не появится раз.
Эта вероятность называется сложной вероятностью при независимых испытаниях. Определяется она формулой Бернулли:
, (3.1)
где _ биномиальные коэффициенты.
Всего сложных вероятностей в схеме испытаний Бернулли всегда
: , , …, , …,
Сумма сложных вероятностей равна сумме вероятностей полной группы несовместных событий и описывает вероятность достоверного события, равную единице
. (3.2)
Вероятность того, что в испытаниях простое событие А наступит не менее и не более раз, равно сумме вероятностей сложных событий
= =+ +…+ =(3.3)
Соответственно, вероятности того, что в испытаниях простое событие А наступит
1) менее раз
= =+ +…+ =;
2) более раз
= =+ +…+ =;
3) не менее раз
= = ++ …+ =;
4) не более раз
= =+ +…+ =.
Пример 3.1. Вероятность того, что в течение рабочего дня произойдет сбой в поставке сырья на производство, равна 0.8. Определить вероятности того, что в течение рабочей недели (5 дней)
ровно три рабочих дня будет без сбоя в поставке сырья; 2) сбой в поставках будет в трех рабочих днях; 3) сбой будет менее чем в трех рабочих днях; 4) сбой будет не более чем в одном рабочем дне; 5) сбоя в поставках не будет ни разу; 6) сбой будет хотя бы в одном рабочем дне; 7) сбой будет не менее чем в одном и не более чем в трех рабочих днях.
Одно испытание в данной задаче - это один рабочий день. Простое событие А= {нет сбоя в поставках сырья в течение одного рабочего дня}, Р(А)=р=0.8. Противоположное простое событие ={произошел сбой в поставках сырья в течение рабочего дня}, Р()=1_р = q =0.2.
1) Сложное событие В={ровно три рабочих дня будет без сбоя в поставке сырья}, его вероятность
Р(В) = = = =0.2048
2) Событие С= {сбой в поставках будет в трех рабочих днях} - сложное событие по отношению к противоположному простому событию , его вероятность
Р(С) = = =0.0512
3) Событие D= {сбой в поставках будет менее чем в трех рабочих днях} равно сумме сложных событий: {сбоя не будет ни в одном дне}, {сбой будет в одном дне}, {сбой будет в двух днях}. Эти события несовместны, поэтому
P(D) = ++= =
= + + = 0.512(0.64+0.8+0.4) = 0.94208.
4) Событие F= {сбой в поставках будет не более чем в одном рабочем дне} состоит из суммы двух сложных несовместных событий: {сбоя не будет ни в одном дне}, {сбой будет в одном дне} и его вероятность:
Р(F)= + = =
= + = 0.32768+0.4096 = 0.73728.
5) Событие Е={сбоя поставок не будет ни в одном рабочем дне} - сложное событие по отношению к простому событию А:
Р(Е)= = =0.85 =0.32768.
6) Событие G={сбой в поставках будет хотя бы в одном рабочем дне} является противоположным сложному событию Е= {сбоя не будет ни в одном дне}. Вероятность его:
Р(G) =1_Р(Е) = 1_0.32768 =0.67232.
7) Событие K={сбой в поставках будет не менее, чем одном, и не более, чем в трех рабочих днях}, состоит из суммы трех несовместных сложных событий: {сбой будет в одном дне}, {сбой будет в двух днях}, {сбой будет в трех днях}:
Р(К) = + + = =
= + + = 0.820.25(0.64+20.80.2+20.04)
= 0.641.04=0.6656
3.2 Наивероятнейшее число наступлений события
Наивероятнейшим числом появления события А в независимых испытаниях называется число, для которого сложная вероятность превышает или, по крайней мере, не меньше сложной вероятности каждого из отдельных возможных исходов испытаний.
Определяется наивероятнейшее число появления события по формуле
. (3.4)
Длина интервала, на котором определяется , равна единице:
Поэтому целое число имеет одно значение, если границы интервала дробные числа, и два значения, равные концам интервала, если границы интервала целые числа.
Пример 3.2. В условиях, заданных в предыдущем примере, определить наивероятнейшее число дней без сбоя в поставках сырья за: а) рабочую неделю, б) рабочий месяц (24 рабочих дня).
а) По условию задачи
=5, ,
Тогда определяется из неравенства
=4 дня.
б) При =24 , т.е.
имеет два значения - 19 или 20 дней. Ответ: вероятнее всего, что в течение 5-дневной рабочей недели сбоя в поставках сырья не будет четыре рабочих дня; из 24 рабочих дней календарного месяца без сбоя в поставках пройдет, вероятнее всего, 19 или 20 рабочих дней.
3.3 Асимптотические формулы
Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона
Если число испытаний достаточно велико, то при вычислении вероятностей сложных событий по формуле Бернулли возникают вычислительные проблемы, связанные с громоздкостью вычислений и с неизбежной потерей точности расчетов. Например, в рамках условий примера 3.1 вероятность того, что за год работы предприятия (288 рабочих дней) сбой в поставках сырья произойдет в 48 рабочих днях, определяется формулой:
=
Получить по этой формуле результат с допустимой точностью практически невозможно.
Для определения вероятностей сложных событий, подчиняющихся схеме независимых испытаний, существуют асимптотические формулы, позволяющие достаточно точно вычислить сложные вероятности в случае, если велико.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в испытаниях событие А наступит раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше )
, где , . (3.5)
Существуют специальные таблицы (см. приложения), которые содержат значения функции для положительных значений аргумента . Функция четная (=) и ее значения при отрицательных значениях аргумента определяют по тем же таблицам.
Пример 3.3. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0.9. Деталь тут же проверяется ОТК. За смену с конвейера сходит 400 деталей. Найти вероятность того, что объем продукции, принятой ОТК за смену, составит ровно 356 деталей.
Из условия задачи следует, что данные испытания подчиняются схеме испытаний Бернулли: опыты независимы друг от друга, исход опыта - простое событие (есть брак или нет брака), вероятность простого события в каждом опыте одинакова и отлична от нуля или единицы. Число испытаний =400 велико, т. е. удовлетворяются все условия локальной теоремы Лапласа. Сложная вероятность определяется по формуле:
, где ,
= = _ 0.667
По таблицам приложения определяем значение функции , учитывая четность функции: = 0.3188. Искомая вероятность
0.3188/6 0.0531
Проанализируем результат этого примера. На первый взгляд такое малое значение вероятности события, которое состоит в том, что из 400 изготовленных деталей стандартными будут 365, кажется противоречащим действительности, т.к. вероятность брака мала и равна 0.1. Но вычисленная вероятность - это вероятность только одного из 401 возможных исходов испытания, поэтому ее небольшое значение вполне оправданно. На практике обычно подобная задача ставится с условием определить возможные границы объема стандартной партии. При решении подобных задач применяется интегральная теорема Лапласа.
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в испытаниях событие А наступит не менее и не более раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше )
= , (3.6)
где _ функция Лапласа (интеграл Лапласа)
,
Функция Лапласа представляет собой интеграл с переменным верхним пределом, не берущийся в рамках элементарных функций. Для вычисления его при заданном значении переменной существуют таблицы (см. приложение), в которых приведены значения интеграла Лапласа для положительных значений аргумента 0, 5. Для 5 полагают значения функции Лапласа постоянными и равными =0.5. Интеграл Лапласа - функция нечетная
(=)
и для 0 используют те же таблицы с 0, но результату приписывают отрицательное значение.
Пример 3.4. В условиях, заданных предыдущим примером 3.3, определить вероятность того, что число стандартных деталей, изготовленных за смену, будет соответствовать плану выпуска продукции, допускающему процент брака, не превышающий 15% от объема выпущенной продукции.
Согласно условию задачи, требуется найти вероятность того, что число стандартных деталей будет не меньше, чем
= 400 _ 0.15400 = 340.
Верхней границей неравенства в этой задаче является объем партии
=400
Задача отвечает всем условиям интегральной теоремы Лапласа. Тогда
= ,
, .
По таблицам находим
= _ 0.4901.
Т.к. =6.67>5, то полагаем
Искомая вероятность
=0.9901
Ответ: с вероятностью 0.9901, т.е. 99%, план выпуска будет выполнен. Это высокая вероятность, позволяющая считать выполнение плана практически достоверным событием.
Формула Пуассона. Вероятность редких событий. Если вероятность простого события достаточно мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то такие события называют редкими, и сложная вероятность может быть определена по формуле Пуассона
, где . (3.7)
Формулу Пуассона рекомендуют применять в случае, когда
, , а .
При таких соотношениях вероятность, вычисленная по локальной теореме Лапласа, дает худшее приближение, чем вероятность, вычисленная по формуле Пуассона. Теоремой Лапласа на практике пользуются в случае npq10.
Пример 3.5. В торговом центре установлена электронная следящая система. Вероятность сбоя в работе системы в течение часа равна 0.004. Какова вероятность того, что за 1000 часов работы торгового центра пять раз произойдет сбой в работе следящей системы?
По условию,
, ,
следовательно, выполняются все условия, позволяющие применять формулу Пуассона для вычисления сложной вероятности редкого события
.
Сравним это значение с точным значением и с вычисленным по теореме Лапласа. Точное значение вероятности вычисляется по формуле Бернулли
Вероятность, вычисленная по теореме Лапласа, равна
,
где , ,
0.3521/1.996 0.1764
Из полученных результатов видно, что при данных значениях и формула Пуассона дает значительно лучшее приближение, чем теорема Лапласа.
Глава 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
4.1 Понятие случайной величины
Величина Х называется случайной, если в результате опыта она может принять то или иное значение, заранее неизвестно какое.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами конца латинского алфавита -- X, У, Z…, а их возможные значения соответствующими малыми буквами _ х, у, z...
Случайные величины бывают дискретные и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные значения, которые можно перенумеровать (их число может быть конечным или бесконечным).
Случайная величина называется непрерывной, если ее значения сплошь заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный).
Например, число пассажиров, перевозимых городским транспортом, число бракованных изделий среди изготовленных являются дискретными случайными величинами, а случайные ошибки взвешивания, время безотказной работы кассового аппарата _ непрерывными случайными величинами.
Охарактеризовать случайную величину можно законом ее распределения.
Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Подобные документы
Понятие и направления исследования случайных величин в математике, их классификация и типы: дискретные и непрерывные. Их основные числовые характеристики, отличительные признаки и свойства. Законы распределения случайных величин, их содержание и роль.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Возможные варианты расчета вероятности событий. Выборочное пространство и события, их взаимосвязь. Общее правило сложения вероятностей. Законы распределения дискретных случайных величин, их математическое ожидание. Свойства биномиального распределения.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Пространство элементарных событий, математическое ожидание. Функции распределения и плотности распределения составляющих системы случайных величин. Числовые характеристики системы. Условия нормировки плотности системы случайных непрерывных величин.
практическая работа [103,1 K], добавлен 15.06.2012События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин. Понятие условной функции распределения и плотности распределения вероятностей. Корреляция двух случайных величин. Система произвольного числа величин, условная плотность распределения.
реферат [325,3 K], добавлен 23.01.2011Классификация случайных событий. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон равномерного распределения вероятностей. Распределение Стьюдента. Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности.
лекция [387,7 K], добавлен 12.12.2011
