Основные понятия теории вероятностей
Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.02.2011 |
| Размер файла | 797,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
: .
.
По таблицам находим
.
Так как
то нулевая гипотеза отвергается, т.е. станки не обеспечивают одинаковую точность
8.5.3 Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормально распределенной совокупности
а) дисперсия генеральной совокупности известна.
Нулевая гипотеза
:
Конкурирующая гипотеза
:
Статистика для проверки
Критическое значение критерия определяется по таблицам интеграла Лапласа
Если, то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза
:
Конкурирующая гипотеза
:
Критическое значение критерия определяется по таблицам интеграла Лапласа
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза
:
Конкурирующая гипотеза
: ;
Критическое значение критерия определяется по таблицам интеграла Лапласа
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
б) дисперсия генеральной совокупности неизвестна.
Нулевая гипотеза
:
Конкурирующая гипотеза
:
Статистика для проверки
где имеет распределение Стьюдента
с степенями свободы дисперсии.
Критическое значение критерия определяется по таблицам двусторонних критических точек распределения Стьюдента
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза
:
Конкурирующая гипотеза
:
Критическое значение критерия определяется по таблицам право-сторонних критических точек распределения Стьюдента
Если,
,то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотез
:
Конкурирующая гипотеза
:
Критическое значение критерия определяется по таблицам правосторонних критических точек распределения Стьюдента
, но
Если, ,то нулевая гипотеза не отвергается.
Для примера 8.1 проверим выполнение гипотезы
:
при конкурирующей гипотезе и уровне значимости
.
, поэтому нулевую гипотезу следует отвергнуть в пользу конкурирующей и признать, что выработка возросла.
8.5.4 Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией
Нулевая гипотеза
:
Конкурирующая гипотеза
:
Статистика для проверки
Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения
, где
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза
:
Конкурирующая гипотеза
:
Статистика для проверки
Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения
, где .
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза
:
Конкурирующая гипотеза
:
Статистика для проверки
Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения
, где
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Пример 8.4 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
найдена исправленная выборочная дисперсия
.
На уровне значимости
проверить гипотезу
:
при конкурирующей гипотезе
:
Критическая область двусторонняя. Находим наблюдаемое значение статистики и правую и левую критические точки
Так как наблюдаемое значение лежит в области принятия гипотезы, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Можно считать, что исправленная выборочная дисперсия незначимо отличается от гипотетической.
8.5.5 Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения
Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемого признака по опытным данным - имеющейся выборке из генеральной совокупности.
Для решения этой задачи надо определить (подобрать) вид и параметры закона распределения. Как правило, это делают при помощи гистограммы или полигона частот, так как эти графические характеристики выступают аналогом функции плотности вероятностей.
Параметры закона распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют точечными оценками, находимыми по выборке.
Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим законом неизбежны расхождения. Для ответа на вопрос: носят ли эти расхождения случайный характер, или являются следствием несоответствия подобранного закона истинному, служат критерии согласия.
Наиболее часто используется критерий согласия Пирсона или -критерий.
В критерии согласия Пирсона проверяется статистическая гипотеза о виде теоретического закона распределения. Сравнивается с критическим значением сумма квадратов отклонений опытного числа попаданий в каждый интервал от теоретического их числа
где - теоретические вероятности попадания в i-й интервал значений изучаемого признака в случае действительной реализации подобранного закона распределения. Вычисляемая статистика
сравнивается с критическим значением
где - уровень значимости, - число степеней свободы дисперсии, - число параметров в теоретическом законе распределения.
Если гипотеза принимается
Пример 8.5.Для примера 1 по критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном законе распределения на уровне значимости
Был получен вариационный ряд
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
87-91 |
91 - 95 |
95 - 99 |
99- 103 |
103-107 |
107-111 |
111-115 |
115-119 |
||
|
4 |
10 |
16 |
33 |
16 |
5 |
15 |
1 |
||
|
0,04 |
0,1 |
0,16 |
0,33 |
0,16 |
0,05 |
0,15 |
0,01 |
и построена гистограмма. Вид гистограммы позволяет предположить, что изучаемый признак распределен нормально. Теоретические значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения неизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими оценками»
и
Для расчета вероятностей попадания признака в интервалы
используем таблицы функций Лапласа
.
Теоретические частоты , так
Для вычисления статистики удобно пользоваться таблицей
|
i |
|||||||
|
1 |
87-91 |
4 |
0,03 |
3,0 |
1,0 |
0,33 |
|
|
2 |
91 - 95 |
10 |
0,08 |
8,0 |
4,0 |
0,25 |
|
|
3 |
95 - 99 |
16 |
0,16 |
16,0 |
0,0 |
0,0 |
|
|
4 |
99- 103 |
33 |
0,18 |
18,0 |
225,0 |
18,12 |
|
|
5 |
103-107 |
16 |
0,22 |
22,0 |
36,0 |
1,63 |
|
|
6 |
107-111 |
5 |
0,2 |
20,0 |
225,0 |
11,25 |
|
|
7 |
111-115 |
15 |
0,15 |
15,0 |
0,0 |
0,0 |
|
|
8 |
115-119 |
1 |
0,02 |
2,0 |
1,0 |
0,25 |
|
|
100 |
1,04 |
104 |
31,83 |
Число степеней свободы дисперсии
;
.
Так как
то гипотеза о нормальном законе распределения отвергается
8.6 Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов
Как правило, в экспериментах задается значение некоторой величины Х и измеряется значение некоторой другой величины У связанной с Х функциональной зависимостью, вид которой не известен. В результате получают таблично заданную функцию
Аналитический вид этой функции неизвестен.
Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет построить аналитическое выражение функции (теоретическую кривую) по опытным данным. В соответствии с МНК теоретическая кривая должна проходить так, чтобы сумма квадратов отклонений ее ординат от экспериментальных данных в опытных точках была минимальной.
Математически эта задача формулируется следующим образом:
(8.6.1.)
Как правило, вид теоретической кривой выбирается в виде полинома
(8.6.2.)
тогда (8.6.1.) записывается так
(8.6.3.)
В силу квадратичности функционала L относительно коэффициентов и неотрицательности существует единственный минимум. Условия экстремума L позволяют получить систему m уравнений для вычисления коэффициентов . Эти уравнения называются системой нормальных уравнений
(8.6.4)
МНК особенно удобен для использования в матричной форме.
Пусть проведен эксперимент в котором получено n пар значений и ; теоретическая кривая выбрана в виде полинома (8.6.2).
Введем матрицы
;; (8.6.5.)
Система нормальных уравнений размерности будет представлена в виде
Разрешая это матричное уравнение относительно матрицы , находим
(8.6.6)
При найденных таким образом коэффициентах условие (8.6.3) выполнится
Пример 8.6: По МНК построить теоретическую кривую в виде полинома второго порядка
для обработки эксперимента
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
||
|
3,3 |
-0,1 |
-0,8 |
-0,5 |
2,6 |
9,2 |
Введем матрицы в соответствии с (8.6.5.)
;;;
По (8.6.6) находим:
Теоретическая кривая
На рис. 8.4. приведена теоретическая кривая и показаны экспериментальные точки
Рис. 8.4
Приложения
Таблица П1. Интеграл Лапласа
и плотность нормального распределения
|
x |
(x) |
(x) |
x |
(x) |
(x) |
x |
(x) |
(x) |
|
|
0.00 |
0.00000 |
0.39894 |
0.46 |
0.17724 |
0.35889 |
0.92 |
0.32121 |
0.26129 |
|
|
0.01 |
0.00399 |
0.39892 |
0.47 |
0.18082 |
0.35723 |
0.93 |
0.32381 |
0.25888 |
|
|
0.02 |
0.00798 |
0.39886 |
0.48 |
0.18439 |
0.35553 |
0.94 |
0.32639 |
0.25647 |
|
|
0.03 |
0.01197 |
0.39876 |
0.49 |
0.18793 |
0.35381 |
0.95 |
0.32894 |
0.25406 |
|
|
0.04 |
0.01595 |
0.39862 |
0.50 |
0.19146 |
0.35207 |
0.96 |
0.33147 |
0.25164 |
|
|
0.05 |
0.01994 |
0.39844 |
0.51 |
0.19497 |
0.35029 |
0.97 |
0.33398 |
0.24923 |
|
|
0.06 |
0.02392 |
0.39822 |
0.52 |
0.19847 |
0.34849 |
0.98 |
0.33646 |
0.24681 |
|
|
0.07 |
0.02790 |
0.39797 |
0.53 |
0.20194 |
0.34667 |
0.99 |
0.33891 |
0.24439 |
|
|
0.08 |
0.03188 |
0.39767 |
0.54 |
0.20540 |
0.34482 |
1.00 |
0.34134 |
0.24197 |
|
|
0.09 |
0.03586 |
0.39733 |
0.55 |
0.20884 |
0.34294 |
1.01 |
0.34375 |
0.23955 |
|
|
0.10 |
0.03983 |
0.39695 |
0.56 |
0.21226 |
0.34105 |
1.02 |
0.34614 |
0.23713 |
|
|
0.11 |
0.04380 |
0.39654 |
0.57 |
0.21566 |
0.33912 |
1.03 |
0.34849 |
0.23471 |
|
|
0.12 |
0.04776 |
0.39608 |
0.58 |
0.21904 |
0.33718 |
1.04 |
0.35083 |
0.23230 |
|
|
0.13 |
0.05172 |
0.39559 |
0.59 |
0.22240 |
0.33521 |
1.05 |
0.35314 |
0.22988 |
|
|
0.14 |
0.05567 |
0.39505 |
0.60 |
0.22575 |
0.33322 |
1.06 |
0.35543 |
0.22747 |
|
|
0.15 |
0.05962 |
0.39448 |
0.61 |
0.22907 |
0.33121 |
1.07 |
0.35769 |
0.22506 |
|
|
0.16 |
0.06356 |
0.39387 |
0.62 |
0.23237 |
0.32918 |
1.08 |
0.35993 |
0.22265 |
|
|
0.17 |
0.06749 |
0.39322 |
0.63 |
0.23565 |
0.32713 |
1.09 |
0.36214 |
0.22025 |
|
|
0.18 |
0.07142 |
0.39253 |
0.64 |
0.23891 |
0.32506 |
1.10 |
0.36433 |
0.21785 |
|
|
0.19 |
0.07535 |
0.39181 |
0.65 |
0.24215 |
0.32297 |
1.11 |
0.36650 |
0.21546 |
|
|
0.20 |
0.07926 |
0.39104 |
0.66 |
0.24537 |
0.32086 |
1.12 |
0.36864 |
0.21307 |
|
|
0.21 |
0.08317 |
0.39024 |
0.67 |
0.24857 |
0.31874 |
1.13 |
0.37076 |
0.21069 |
|
|
0.22 |
0.08706 |
0.38940 |
0.68 |
0.25175 |
0.31659 |
1.14 |
0.37286 |
0.20831 |
|
|
0.23 |
0.09095 |
0.38853 |
0.69 |
0.25490 |
0.31443 |
1.15 |
0.37493 |
0.20594 |
|
|
0.24 |
0.09483 |
0.38762 |
0.70 |
0.25804 |
0.31225 |
1.16 |
0.37698 |
0.20357 |
|
|
0.25 |
0.09871 |
0.38667 |
0.71 |
0.26115 |
0.31006 |
1.17 |
0.37900 |
0.20121 |
|
|
0.26 |
0.10257 |
0.38568 |
0.72 |
0.26424 |
0.30785 |
1.18 |
0.38100 |
0.19886 |
|
|
0.27 |
0.10642 |
0.38466 |
0.73 |
0.26730 |
0.30563 |
1.19 |
0.38298 |
0.19652 |
|
|
0.28 |
0.11026 |
0.38361 |
0.74 |
0.27035 |
0.30339 |
1.20 |
0.38493 |
0.19419 |
|
|
0.29 |
0.11409 |
0.38251 |
0.75 |
0.27337 |
0.30114 |
1.21 |
0.38686 |
0.19186 |
|
|
0.30 |
0.11791 |
0.38139 |
0.76 |
0.27637 |
0.29887 |
1.22 |
0.38877 |
0.18954 |
|
|
0.31 |
0.12172 |
0.38023 |
0.77 |
0.27935 |
0.29659 |
1.23 |
0.39065 |
0.18724 |
|
|
0.32 |
0.12552 |
0.37903 |
0.78 |
0.28230 |
0.29431 |
1.24 |
0.39251 |
0.18494 |
|
|
0.33 |
0.12930 |
0.37780 |
0.79 |
0.28524 |
0.29200 |
1.25 |
0.39435 |
0.18265 |
|
|
0.34 |
0.13307 |
0.37654 |
0.80 |
0.28814 |
0.28969 |
1.26 |
0.39617 |
0.18037 |
|
|
0.35 |
0.13683 |
0.37524 |
0.81 |
0.29103 |
0.28737 |
1.27 |
0.39796 |
0.17810 |
|
|
0.36 |
0.14058 |
0.37391 |
0.82 |
0.29389 |
0.28504 |
1.28 |
0.39973 |
0.17585 |
|
|
0.37 |
0.14431 |
0.37255 |
0.83 |
0.29673 |
0.28269 |
1.29 |
0.40147 |
0.17360 |
|
|
0.38 |
0.14803 |
0.37115 |
0.84 |
0.29955 |
0.28034 |
1.30 |
0.40320 |
0.17137 |
|
|
0.39 |
0.15173 |
0.36973 |
0.85 |
0.30234 |
0.27798 |
1.31 |
0.40490 |
0.16915 |
|
|
0.40 |
0.15542 |
0.36827 |
0.86 |
0.30511 |
0.27562 |
1.32 |
0.40658 |
0.16694 |
|
|
0.41 |
0.15910 |
0.36678 |
0.87 |
0.30785 |
0.27324 |
1.33 |
0.40824 |
0.16474 |
|
|
0.42 |
0.16276 |
0.36526 |
0.88 |
0.31057 |
0.27086 |
1.34 |
0.40988 |
0.16256 |
|
|
0.43 |
0.16640 |
0.36371 |
0.89 |
0.31327 |
0.26848 |
1.35 |
0.41149 |
0.16038 |
|
|
0.44 |
0.17003 |
0.36213 |
0.90 |
0.31594 |
0.26609 |
1.36 |
0.41309 |
0.15822 |
|
|
0.45 |
0.17364 |
0.36053 |
0.91 |
0.31859 |
0.26369 |
1.37 |
0.41466 |
0.15608 |
|
|
x |
(x) |
(x) |
x |
(x) |
(x) |
x |
(x) |
(x) |
|
|
1.38 |
0.41621 |
0.15395 |
1.90 |
0.47128 |
0.06562 |
2.42 |
0.49224 |
0.02134 |
|
|
1.39 |
0.41774 |
0.15183 |
1.91 |
0.47193 |
0.06438 |
2.43 |
0.49245 |
0.02083 |
|
|
1.40 |
0.41924 |
0.14973 |
1.92 |
0.47257 |
0.06316 |
2.44 |
0.49266 |
0.02033 |
|
|
1.41 |
0.42073 |
0.14764 |
1.93 |
0.47320 |
0.06195 |
2.45 |
0.49286 |
0.01984 |
|
|
1.42 |
0.42220 |
0.14556 |
1.94 |
0.47381 |
0.06077 |
2.46 |
0.49305 |
0.01936 |
|
|
1.43 |
0.42364 |
0.14350 |
1.95 |
0.47441 |
0.05959 |
2.47 |
0.49324 |
0.01888 |
|
|
1.44 |
0.42507 |
0.14146 |
1.96 |
0.47500 |
0.05844 |
2.48 |
0.49343 |
0.01842 |
|
|
1.45 |
0.42647 |
0.13943 |
1.97 |
0.47558 |
0.05730 |
2.49 |
0.49361 |
0.01797 |
|
|
1.46 |
0.42785 |
0.13742 |
1.98 |
0.47615 |
0.05618 |
2.50 |
0.49379 |
0.01753 |
|
|
1.47 |
0.42922 |
0.13542 |
1.99 |
0.47670 |
0.05508 |
2.51 |
0.49396 |
0.01709 |
|
|
1.48 |
0.43056 |
0.13344 |
2.00 |
0.47725 |
0.05399 |
2.52 |
0.49413 |
0.01667 |
|
|
1.49 |
0.43189 |
0.13147 |
2.01 |
0.47778 |
0.05292 |
2.53 |
0.49430 |
0.01625 |
|
|
1.50 |
0.43319 |
0.12952 |
2.02 |
0.47831 |
0.05186 |
2.54 |
0.49446 |
0.01585 |
|
|
1.51 |
0.43448 |
0.12758 |
2.03 |
0.47882 |
0.05082 |
2.55 |
0.49461 |
0.01545 |
|
|
1.52 |
0.43574 |
0.12566 |
2.04 |
0.47932 |
0.04980 |
2.56 |
0.49477 |
0.01506 |
|
|
1.53 |
0.43699 |
0.12376 |
2.05 |
0.47982 |
0.04879 |
2.57 |
0.49492 |
0.01468 |
|
|
1.54 |
0.43822 |
0.12188 |
2.06 |
0.48030 |
0.04780 |
2.58 |
0.49506 |
0.01431 |
|
|
1.55 |
0.43943 |
0.12001 |
2.07 |
0.48077 |
0.04682 |
2.59 |
0.49520 |
0.01394 |
|
|
1.56 |
0.44062 |
0.11816 |
2.08 |
0.48124 |
0.04586 |
2.60 |
0.49534 |
0.01358 |
|
|
1.57 |
0.44179 |
0.11632 |
2.09 |
0.48169 |
0.04491 |
2.61 |
0.49547 |
0.01323 |
|
|
1.58 |
0.44295 |
0.11450 |
2.10 |
0.48214 |
0.04398 |
2.62 |
0.49560 |
0.01289 |
|
|
1.59 |
0.44408 |
0.11270 |
2.11 |
0.48257 |
0.04307 |
2.63 |
0.49573 |
0.01256 |
|
|
1.60 |
0.44520 |
0.11092 |
2.12 |
0.48300 |
0.04217 |
2.64 |
0.49585 |
0.01223 |
|
|
1.61 |
0.44630 |
0.10915 |
2.13 |
0.48341 |
0.04128 |
2.65 |
0.49598 |
0.01191 |
|
|
1.62 |
0.44738 |
0.10741 |
2.14 |
0.48382 |
0.04041 |
2.66 |
0.49609 |
0.01160 |
|
|
1.63 |
0.44845 |
0.10567 |
2.15 |
0.48422 |
0.03955 |
2.67 |
0.49621 |
0.01130 |
|
|
1.64 |
0.44950 |
0.10396 |
2.16 |
0.48461 |
0.03871 |
2.68 |
0.49632 |
0.01100 |
|
|
1.65 |
0.45053 |
0.10226 |
2.17 |
0.48500 |
0.03788 |
2.69 |
0.49643 |
0.01071 |
|
|
1.66 |
0.45154 |
0.10059 |
2.18 |
0.48537 |
0.03706 |
2.70 |
0.49653 |
0.01042 |
|
|
1.67 |
0.45254 |
0.09893 |
2.19 |
0.48574 |
0.03626 |
2.71 |
0.49664 |
0.01014 |
|
|
1.68 |
0.45352 |
0.09728 |
2.20 |
0.48610 |
0.03547 |
2.72 |
0.49674 |
0.00987 |
|
|
1.69 |
0.45449 |
0.09566 |
2.21 |
0.48645 |
0.03470 |
2.73 |
0.49683 |
0.00961 |
|
|
1.70 |
0.45543 |
0.09405 |
2.22 |
0.48679 |
0.03394 |
2.74 |
0.49693 |
0.00935 |
|
|
1.71 |
0.45637 |
0.09246 |
2.23 |
0.48713 |
0.03319 |
2.75 |
0.49702 |
0.00909 |
|
|
1.72 |
0.45728 |
0.09089 |
2.24 |
0.48745 |
0.03246 |
2.76 |
0.49711 |
0.00885 |
|
|
1.73 |
0.45818 |
0.08933 |
2.25 |
0.48778 |
0.03174 |
2.77 |
0.49720 |
0.00861 |
|
|
1.74 |
0.45907 |
0.08780 |
2.26 |
0.48809 |
0.03103 |
2.78 |
0.49728 |
0.00837 |
|
|
1.75 |
0.45994 |
0.08628 |
2.27 |
0.48840 |
0.03034 |
2.79 |
0.49736 |
0.00814 |
|
|
1.76 |
0.46080 |
0.08478 |
2.28 |
0.48870 |
0.02965 |
2.80 |
0.49744 |
0.00792 |
|
|
1.77 |
0.46164 |
0.08329 |
2.29 |
0.48899 |
0.02898 |
2.85 |
0.49781 |
0.00687 |
|
|
1.78 |
0.46246 |
0.08183 |
2.30 |
0.48928 |
0.02833 |
2.90 |
0.49813 |
0.00595 |
|
|
1.79 |
0.46327 |
0.08038 |
2.31 |
0.48956 |
0.02768 |
2.95 |
0.49841 |
0.00514 |
|
|
1.80 |
0.46407 |
0.07895 |
2.32 |
0.48983 |
0.02705 |
3.00 |
0.49865 |
0.00443 |
|
|
1.81 |
0.46485 |
0.07754 |
2.33 |
0.49010 |
0.02643 |
3.10 |
0.49903 |
0.00327 |
|
|
1.82 |
0.46562 |
0.07614 |
2.34 |
0.49036 |
0.02582 |
3.20 |
0.49931 |
0.00238 |
|
|
1.83 |
0.46638 |
0.07477 |
2.35 |
0.49061 |
0.02522 |
3.30 |
0.49952 |
0.00172 |
|
|
1.84 |
0.46712 |
0.07341 |
2.36 |
0.49086 |
0.02463 |
3.40 |
0.49966 |
0.00123 |
|
|
1.85 |
0.46784 |
0.07206 |
2.37 |
0.49111 |
0.02406 |
3.50 |
0.49977 |
0.00087 |
|
|
1.86 |
0.46856 |
0.07074 |
2.38 |
0.49134 |
0.02349 |
3.60 |
0.49984 |
0.00061 |
|
|
1.87 |
0.46926 |
0.06943 |
2.39 |
0.49158 |
0.02294 |
3.80 |
0.49993 |
0.00029 |
|
|
1.88 |
0.46995 |
0.06814 |
2.40 |
0.49180 |
0.02239 |
4.00 |
0.49997 |
0.00013 |
|
|
1.89 |
0.47062 |
0.06687 |
2.41 |
0.49202 |
0.02186 |
4.50 |
0.50000 |
0.00002 |
Таблица П2. Квантили t-распределения Стьюдента tp(f)
|
f \ p |
0.9 |
0.95 |
0.975 |
0.99 |
0.995 |
0.9975 |
0.999 |
0.9995 |
|
|
1 |
3.07768 |
6.31375 |
12.70620 |
31.82052 |
63.65674 |
127.3213 |
318.3088 |
636.6193 |
|
|
2 |
1.88562 |
2.91999 |
4.30265 |
6.96456 |
9.92484 |
14.08905 |
22.32712 |
31.59905 |
|
|
3 |
1.63775 |
2.35338 |
3.18245 |
4.54070 |
5.84091 |
7.45332 |
10.21453 |
12.92398 |
|
|
4 |
1.53321 |
2.13185 |
2.77645 |
3.74695 |
4.60410 |
5.59757 |
7.17318 |
8.61030 |
|
|
5 |
1.47588 |
2.01505 |
2.57058 |
3.36493 |
4.03216 |
4.77335 |
5.89343 |
6.86883 |
|
|
6 |
1.43976 |
1.94318 |
2.44691 |
3.14267 |
3.70743 |
4.31683 |
5.20763 |
5.95882 |
|
|
7 |
1.41492 |
1.89458 |
2.36462 |
2.99795 |
3.49948 |
4.02934 |
4.78529 |
5.40790 |
|
|
8 |
1.39682 |
1.85955 |
2.30600 |
2.89646 |
3.35539 |
3.83252 |
4.50079 |
5.04131 |
|
|
9 |
1.38303 |
1.83311 |
2.26216 |
2.82144 |
3.24984 |
3.68966 |
4.29681 |
4.78091 |
|
|
10 |
1.37218 |
1.81246 |
2.22814 |
2.76377 |
3.16927 |
3.58141 |
4.14370 |
4.58689 |
|
|
11 |
1.36343 |
1.79588 |
2.20099 |
2.71808 |
3.10581 |
3.49661 |
4.02470 |
4.43698 |
|
|
12 |
1.35622 |
1.78229 |
2.17881 |
2.68100 |
3.05454 |
3.42844 |
3.92963 |
4.31779 |
|
|
13 |
1.35017 |
1.77093 |
2.16037 |
2.65031 |
3.01228 |
3.37247 |
3.85198 |
4.22083 |
|
|
14 |
1.34503 |
1.76131 |
2.14479 |
2.62449 |
2.97684 |
3.32570 |
3.78739 |
4.14045 |
|
|
15 |
1.34061 |
1.75305 |
2.13145 |
2.60248 |
2.94671 |
3.28604 |
3.73283 |
4.07277 |
|
|
16 |
1.33676 |
1.74588 |
2.11991 |
2.58349 |
2.92078 |
3.25199 |
3.68615 |
4.01500 |
|
|
17 |
1.33338 |
1.73961 |
2.10982 |
2.56693 |
2.89823 |
3.22245 |
3.64577 |
3.96513 |
|
|
18 |
1.33039 |
1.73406 |
2.10092 |
2.55238 |
2.87844 |
3.19657 |
3.61048 |
3.92165 |
|
|
19 |
1.32773 |
1.72913 |
2.09302 |
2.53948 |
2.86093 |
3.17372 |
3.57940 |
3.88341 |
|
|
20 |
1.32534 |
1.72472 |
2.08596 |
2.52798 |
2.84534 |
3.15340 |
3.55181 |
3.84952 |
|
|
21 |
1.32319 |
1.72074 |
2.07961 |
2.51765 |
2.83136 |
3.13521 |
3.52715 |
3.81928 |
|
|
22 |
1.32124 |
1.71714 |
2.07387 |
2.50832 |
2.81876 |
3.11882 |
3.50499 |
3.79213 |
|
|
23 |
1.31946 |
1.71387 |
2.06866 |
2.49987 |
2.80734 |
3.10400 |
3.48496 |
3.76763 |
|
|
24 |
1.31784 |
1.71088 |
2.06390 |
2.49216 |
2.79694 |
3.09051 |
3.46678 |
3.74540 |
|
|
25 |
1.31635 |
1.70814 |
2.05954 |
2.48511 |
2.78744 |
3.07820 |
3.45019 |
3.72514 |
|
|
26 |
1.31497 |
1.70562 |
2.05553 |
2.47863 |
2.77871 |
3.06691 |
3.43500 |
3.70661 |
|
|
27 |
1.31370 |
1.70329 |
2.05183 |
2.47266 |
2.77068 |
3.05652 |
3.42103 |
3.68959 |
|
|
28 |
1.31253 |
1.70113 |
2.04841 |
2.46714 |
2.76326 |
3.04693 |
3.40816 |
3.67391 |
|
|
29 |
1.31143 |
1.69913 |
2.04523 |
2.46202 |
2.75639 |
3.03805 |
3.39624 |
3.65941 |
|
|
30 |
1.31042 |
1.69726 |
2.04227 |
2.45726 |
2.75000 |
3.02980 |
3.38518 |
3.64596 |
|
|
40 |
1.30308 |
1.68385 |
2.02108 |
2.42326 |
2.70446 |
2.97117 |
3.30688 |
3.55097 |
|
|
50 |
1.29871 |
1.67591 |
2.00856 |
2.40327 |
2.67779 |
2.93696 |
3.26141 |
3.49601 |
|
|
60 |
1.29582 |
1.67065 |
2.00030 |
2.39012 |
2.66028 |
2.91455 |
3.23171 |
3.46020 |
|
|
90 |
1.29103 |
1.66196 |
1.98667 |
2.36850 |
2.63157 |
2.87788 |
3.18327 |
3.40194 |
|
|
120 |
1.28865 |
1.65765 |
1.97993 |
2.35782 |
2.61742 |
2.85986 |
3.15954 |
3.37345 |
|
|
240 |
1.28509 |
1.65123 |
1.96990 |
2.34199 |
2.59647 |
2.83322 |
3.12454 |
3.33152 |
|
|
1.28155 |
1.64485 |
1.95996 |
2.32635 |
2.57583 |
2.80703 |
3.09023 |
3.29053 |
Таблица П3. Квантили 2-распределения Пирсона 2p(f)
|
f \ p |
0.9 |
0.95 |
0.975 |
0.99 |
0.995 |
0.9975 |
0.999 |
0.9995 |
|
|
1 |
2.70554 |
3.84146 |
5.02389 |
6.63490 |
7.87944 |
9.14059 |
10.82757 |
12.11567 |
|
|
2 |
4.60517 |
5.99146 |
7.37776 |
9.21034 |
10.59663 |
11.98293 |
13.81551 |
15.20180 |
|
|
3 |
6.25139 |
7.81473 |
9.34840 |
11.34487 |
12.83816 |
14.32035 |
16.26624 |
17.73000 |
|
|
4 |
7.77944 |
9.48773 |
11.14329 |
13.27670 |
14.86026 |
16.42394 |
18.46683 |
19.99735 |
|
|
5 |
9.23636 |
11.07050 |
12.83250 |
15.08627 |
16.74960 |
18.38561 |
20.51501 |
22.10533 |
|
|
6 |
10.64464 |
12.59159 |
14.44938 |
16.81189 |
18.54758 |
20.24940 |
22.45774 |
24.10280 |
|
|
7 |
12.01704 |
14.06714 |
16.01276 |
18.47531 |
20.27774 |
22.04039 |
24.32189 |
26.01783 |
|
|
8 |
13.36157 |
15.50731 |
17.53455 |
20.09024 |
21.95495 |
23.77447 |
26.12448 |
27.86805 |
|
|
9 |
14.68366 |
16.91898 |
19.02277 |
21.66599 |
23.58935 |
25.46248 |
27.87718 |
29.66582 |
|
|
10 |
15.98718 |
18.30704 |
20.48318 |
23.20925 |
25.18818 |
27.11217 |
29.58830 |
31.41981 |
|
|
11 |
17.27501 |
19.67514 |
21.92005 |
24.72497 |
26.75685 |
28.72935 |
31.26414 |
33.13662 |
|
|
12 |
18.54935 |
21.02607 |
23.33666 |
26.21697 |
28.29952 |
30.31848 |
32.90949 |
34.82127 |
|
|
13 |
19.81193 |
22.36203 |
24.73560 |
27.68825 |
29.81947 |
31.88309 |
34.52818 |
36.47779 |
|
|
14 |
21.06414 |
23.68479 |
26.11895 |
29.14124 |
31.31935 |
33.42601 |
36.12327 |
38.10940 |
|
|
15 |
22.30713 |
24.99579 |
27.48839 |
30.57791 |
32.80132 |
34.94959 |
37.69730 |
39.71876 |
|
|
16 |
23.54183 |
26.29623 |
28.84535 |
31.99993 |
34.26719 |
36.45575 |
39.25235 |
41.30807 |
|
|
17 |
24.76904 |
27.58711 |
30.19101 |
33.40866 |
35.71847 |
37.94614 |
40.79022 |
42.87921 |
|
|
18 |
25.98942 |
28.86930 |
31.52638 |
34.80531 |
37.15645 |
39.42215 |
42.31240 |
44.43377 |
|
|
19 |
27.20357 |
30.14353 |
32.85233 |
36.19087 |
38.58226 |
40.88497 |
43.82020 |
45.97312 |
|
|
20 |
28.41198 |
31.41043 |
34.16961 |
37.56623 |
39.99685 |
42.33566 |
45.31475 |
47.49845 |
|
|
21 |
29.61509 |
32.67057 |
35.47888 |
38.93217 |
41.40106 |
43.77512 |
46.79704 |
49.01081 |
|
|
22 |
30.81328 |
33.92444 |
36.78071 |
40.28936 |
42.79565 |
45.20415 |
48.26794 |
50.51112 |
|
|
23 |
32.00690 |
35.17246 |
38.07563 |
41.63840 |
44.18128 |
46.62346 |
49.72823 |
52.00019 |
|
|
24 |
33.19624 |
36.41503 |
39.36408 |
42.97982 |
45.55851 |
48.03369 |
51.17860 |
53.47875 |
|
|
25 |
34.38159 |
37.65248 |
40.64647 |
44.31410 |
46.92789 |
49.43540 |
52.61966 |
54.94746 |
|
|
26 |
35.56317 |
38.88514 |
41.92317 |
45.64168 |
48.28988 |
50.82911 |
54.05196 |
56.40689 |
|
|
27 |
36.74122 |
40.11327 |
43.19451 |
46.96294 |
49.64492 |
52.21527 |
55.47602 |
57.85759 |
|
|
28 |
37.91592 |
41.33714 |
44.46079 |
48.27824 |
50.99338 |
53.59431 |
56.89229 |
59.30003 |
|
|
29 |
39.08747 |
42.55697 |
45.72229 |
49.58788 |
52.33562 |
54.96660 |
58.30117 |
60.73465 |
|
|
30 |
40.25602 |
43.77297 |
46.97924 |
50.89218 |
53.67196 |
56.33250 |
59.70306 |
62.16185 |
|
|
40 |
51.80506 |
55.75848 |
59.34171 |
63.69074 |
66.76596 |
69.69911 |
73.40196 |
76.09460 |
|
|
50 |
63.16712 |
67.50481 |
71.42020 |
76.15389 |
79.48998 |
82.66405 |
86.66082 |
89.56052 |
|
|
60 |
74.39701 |
79.08194 |
83.29767 |
88.37942 |
91.95170 |
95.34402 |
99.60723 |
102.6948 |
|
|
90 |
107.5595 |
113.1425 |
118.1388 |
124.1303 |
128.3240 |
132.2938 |
137.2668 |
140.8583 |
|
|
120 |
140.2278 |
146.5652 |
152.2141 |
158.9625 |
163.6700 |
168.1148 |
173.6679 |
177.6683 |
|
|
240 |
268.4675 |
277.1363 |
284.8046 |
293.8971 |
300.1978 |
306.1168 |
313.4722 |
318.7450 |
Для больших f
где up - квантиль стандартного нормального распределения (см.последнюю строку таблицы 2).
Продолжение табл.П3
|
f \ p |
0.1 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
0.005 |
0.0025 |
0.001 |
0.0005 |
|
|
1 |
0.01579 |
0.00393 |
0.00098 |
0.00016 |
0.00004 |
0.00001 |
0.00000 |
0.00000 |
|
|
2 |
0.21072 |
0.10259 |
0.05064 |
0.02010 |
0.01003 |
0.00501 |
0.00200 |
0.00100 |
|
|
3 |
0.58437 |
0.35185 |
0.21580 |
0.11483 |
0.07172 |
0.04494 |
0.02430 |
0.01528 |
|
|
4 |
1.06362 |
0.71072 |
0.48442 |
0.29711 |
0.20699 |
0.14487 |
0.09080 |
0.06392 |
|
|
5 |
1.61031 |
1.14548 |
0.83121 |
0.55430 |
0.41174 |
0.30748 |
0.21021 |
0.15814 |
|
|
6 |
2.20413 |
1.63538 |
1.23734 |
0.87209 |
0.67573 |
0.52657 |
0.38107 |
0.29941 |
|
|
7 |
2.83311 |
2.16735 |
1.68987 |
1.23904 |
0.98926 |
0.79447 |
0.59849 |
0.48487 |
|
|
8 |
3.48954 |
2.73264 |
2.17973 |
1.64650 |
1.34441 |
1.10426 |
0.85710 |
0.71038 |
|
|
9 |
4.16816 |
3.32511 |
2.70039 |
2.08790 |
1.73493 |
1.45014 |
1.15195 |
0.97170 |
|
|
10 |
4.86518 |
3.94030 |
3.24697 |
2.55821 |
2.15586 |
1.82740 |
1.47874 |
1.26498 |
|
|
11 |
5.57778 |
4.57481 |
3.81575 |
3.05348 |
2.60322 |
2.23214 |
1.83385 |
1.58685 |
|
|
12 |
6.30380 |
5.22603 |
4.40379 |
3.57057 |
3.07382 |
2.66118 |
2.21421 |
1.93438 |
|
|
13 |
7.04150 |
5.89186 |
5.00875 |
4.10692 |
3.56503 |
3.11188 |
2.61722 |
2.30506 |
|
|
14 |
7.78953 |
6.57063 |
5.62873 |
4.66043 |
4.07467 |
3.58202 |
3.04067 |
2.69673 |
|
|
15 |
8.54676 |
7.26094 |
6.26214 |
5.22935 |
4.60092 |
4.06973 |
3.48268 |
3.10752 |
|
|
16 |
9.31224 |
7.96165 |
6.90766 |
5.81221 |
5.14221 |
4.57341 |
3.94163 |
3.53581 |
|
|
17 |
10.08519 |
8.67176 |
7.56419 |
6.40776 |
5.69722 |
5.09167 |
4.41609 |
3.98018 |
|
|
18 |
10.86494 |
9.39046 |
8.23075 |
7.01491 |
6.26480 |
5.62334 |
4.90485 |
4.43939 |
|
|
19 |
11.65091 |
10.11701 |
8.90652 |
7.63273 |
6.84397 |
6.16736 |
5.40682 |
4.91234 |
|
|
20 |
12.44261 |
10.85081 |
9.59078 |
8.26040 |
7.43384 |
6.72282 |
5.92104 |
5.39807 |
|
|
21 |
13.23960 |
11.59131 |
10.28290 |
8.89720 |
8.03365 |
7.28892 |
6.44668 |
5.89570 |
|
|
22 |
14.04149 |
12.33801 |
10.98232 |
9.54249 |
8.64272 |
7.86493 |
6.98297 |
6.40447 |
|
|
23 |
14.84796 |
13.09051 |
11.68855 |
10.19572 |
9.26042 |
8.45021 |
7.52924 |
6.92368 |
|
|
24 |
15.65868 |
13.84843 |
12.40115 |
10.85636 |
9.88623 |
9.04418 |
8.08488 |
7.45269 |
|
|
25 |
16.47341 |
14.61141 |
13.11972 |
11.52398 |
10.51965 |
9.64633 |
8.64934 |
7.99096 |
|
|
26 |
17.29188 |
15.37916 |
13.84390 |
12.19815 |
11.16024 |
10.25618 |
9.22213 |
8.53795 |
|
|
27 |
18.11390 |
16.15140 |
14.57338 |
12.87850 |
11.80759 |
10.87331 |
9.80278 |
9.09320 |
|
|
28 |
18.93924 |
16.92788 |
15.30786 |
13.56471 |
12.46134 |
11.49732 |
10.39088 |
9.65627 |
|
|
29 |
19.76774 |
17.70837 |
16.04707 |
14.25645 |
13.12115 |
12.12787 |
10.98605 |
10.22678 |
|
|
30 |
20.59923 |
18.49266 |
16.79077 |
14.95346 |
13.78672 |
12.76462 |
11.58795 |
10.80436 |
|
|
40 |
29.05052 |
26.50930 |
24.43304 |
22.16426 |
20.70654 |
19.41710 |
17.91643 |
16.90622 |
|
|
50 |
37.68865 |
34.76425 |
32.35736 |
29.70668 |
27.99075 |
26.46355 |
24.67391 |
23.46097 |
|
|
60 |
46.45889 |
43.18796 |
40.48175 |
37.48485 |
35.53449 |
33.79114 |
31.73834 |
30.34048 |
|
|
90 |
73.29493 |
69.12590 |
65.64051 |
61.73768 |
59.17068 |
56.85617 |
54.10442 |
52.21280 |
|
|
120 |
100.6271 |
95.70469 |
91.56752 |
86.90915 |
83.82929 |
81.04082 |
77.71040 |
75.41087 |
|
|
240 |
212.3882 |
205.1357 |
198.9805 |
191.9800 |
187.3084 |
183.0473 |
177.9166 |
174.3463 |
Таблица 4. Квантили распределения Колмогорова 1p
|
p |
1p |
p |
1p |
p |
1p |
|
|
0.99 |
0.44 |
0.50 |
0.83 |
0.15 |
1.14 |
|
|
0.90 |
0.57 |
0.40 |
0.89 |
0.10 |
1.22 |
|
|
0.80 |
0.64 |
0.30 |
0.97 |
0.05 |
1.36 |
|
|
0.70 |
0.71 |
0.25 |
1.02 |
0.02 |
1.52 |
|
|
0.60 |
0.77 |
0.20 |
1.07 |
0.01 |
1.63 |
Список рекомендованной литературы
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. _ М.: Наука, 1973. _ 366
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983. _ 416 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1998. _ 400с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998. _ 479с.
Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. _ М.: Высшая школа, 1998. _ 336с.
Коваленко И.М., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. _ М.: Высшая школа, 1973. _ 368с.
Пугачев В.С. . Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 1979. _ 495 с.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под. ред. А.А. Свешникова. _ М.: Наука, 1965. _ 656 с.
Справочник по теории вероятностей и математической статистике В.С. Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. - М.: Наука, 1985. 640 с.
Теория вероятностей и математическая статистика И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко._К.: Выща школа, 1988. - 439 с.
Четыркин Е.М.: Калихман И.Л. Вероятность и статистика. - М.: Финансы и статистика, 1982. - 319 с.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. - М.: Агар, 1996. _ 256 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Понятие и направления исследования случайных величин в математике, их классификация и типы: дискретные и непрерывные. Их основные числовые характеристики, отличительные признаки и свойства. Законы распределения случайных величин, их содержание и роль.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Возможные варианты расчета вероятности событий. Выборочное пространство и события, их взаимосвязь. Общее правило сложения вероятностей. Законы распределения дискретных случайных величин, их математическое ожидание. Свойства биномиального распределения.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Пространство элементарных событий, математическое ожидание. Функции распределения и плотности распределения составляющих системы случайных величин. Числовые характеристики системы. Условия нормировки плотности системы случайных непрерывных величин.
практическая работа [103,1 K], добавлен 15.06.2012События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин. Понятие условной функции распределения и плотности распределения вероятностей. Корреляция двух случайных величин. Система произвольного числа величин, условная плотность распределения.
реферат [325,3 K], добавлен 23.01.2011Классификация случайных событий. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон равномерного распределения вероятностей. Распределение Стьюдента. Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности.
лекция [387,7 K], добавлен 12.12.2011
