4.2. Дискретные случайные величины и законы их распределения

Простейшей формой выражения закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности

xi	x1	x2	...	xn
pi	p1	p2	...	xn

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины.

Все возможные значения случайной величины Х образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна 1, т.е.

. (4.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ряд распределения может быть представлен графически ломаной линией, которая называется многоугольником распределения (рис. 4.1). По оси абсцисс графика откладываются все возможные значения случайной величины, а по оси ординат _ соответствующие веро-ятности. Полученные точки соединяются отрезками прямых.

случайный величина вероятность

Пример 4.1 Для изучения уровня зарплаты рабочих обследовано 5 частных предприятий. Вероятность того, что на каждом из них зарплата выше среднего уровня обеспеченности, равна 0,6. Построить ряд распределения и многоугольник распределения случайной величины Х - числа предприятий, на которых зарплата выше среднего уровня обеспеченности

Возможными значениями случайной величины Х являются:

x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3, x₅=4, x₆=5.

Вероятности этих значений по формуле Бернулли при

,

соответственно равны

P(X=0)=P₅(0)=(0,6)⁰(0,4)⁵0,0102,

P(X=1)=P₅(1)=(0,6)¹(0,4)⁴=0,0768,

P(X=2)=P₅(2)=(0,6)²(0,4)³ =0,2304,

P(X=3)=P₅(3)=(0,6)³(0,4)²=0,3456,

P(X=4)=P₅(4)=(0,6)⁴(0,4)¹=0,2592,

P(X=5)=P₅(5)=(0,6)⁵(0,4)⁰0,0778.

Ряд распределения величины Х имеет вид

. xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,0102	0,0768	0,2304	0,3456	0,2592	0,0778

Размещено на http://www.allbest.ru/

Условие выполнено

=0,0102+0,0768+0,2304+ +0,3456+0,2502+0,0778=1

Многоугольник распределения изображен на рис.4.2.

4.3 Функция распределения

Функцией распределения F(x) (интегральным законом распределения) случайной величины Х называется вероятность выполнения неравенства Х< x:

F(x)=P(X<x) . (4.2)

Если рассматривать случайную величину как случайную точку Х оси ОХ, которая в результате опыта может занять то или иное положение, то функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка Х в результате опыта попадает левее точки x.

Cвойства функции распределения

1) 0F(x) 1

2) P(X<)=F()-F()

3) F(x) - неубывающая функция, т.е. при

Размещено на http://www.allbest.ru/

4) Функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю

Функция распределения непрерывной случайной величины может быть схематично представлена графиком, изображенным на рис.4.3.

Для дискретной случайной величины X, которая принимает значения x₁, x₂, …, x_n , функция распределения имеет вид

F(x)= P(X<x) =, (4.3)



Размещено на http://www.allbest.ru/

где символ x_i<x под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все значения случайной величины, которые по своей величине меньше аргумента х. Из выражения для F(x) следует, что функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через точки возможных ее значений x₁, x₂,...,x_n, причем величина скачка равна вероятности соответствую-щего значения, а в точке разрыва функция непрерывна слева (рис. 4.4.).

Пример 4.2 Производится три независимых исследования оборачиваемости средств предприятия. Вероятность ошибки при каждом исследовании равна 0,4. Построить функцию распределения случайной величины Х - числа ошибок

Возможными значениями случайной величины Х будут

x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3.

Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли:

где n=3,

Получим

Р(Х=0)=0,216, Р(Х=1)=0,432, Р(Х=2)= 0,288

P(X=3)=0,064

Ряд распределения:

xi	0	1	2	3
P(X=xi)	0,216	0,432	0,288	0,064

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проверка

Функция распределения и ее график (рис 4.5.)

F(x) = .

Пример 4.3 Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением

F(x) =

Найти коэффициент a и построить график F(х). Определить вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так как функция распределения непрерывной случайной величины X должна быть непрерывной в любой точке, то

=1

a(3-1)²=1 a=1/4

График функции F(х) изображен на рис. 4.6. Исходя из второго и пятого свойств функции распределения

P(1<X<2) = P(1X<2) _ Р(Х=1) =

=F(2) _ F(1) _ 0 =1/4(2-1)^2_1/4(1-1)²=1/4

4.4 Плотность распределения вероятностей

Плотностью распределения вероятностей (плотностью вероятности, дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины Х называют

. (4.4)

Свойства плотности вероятности

1) 3)

2) 4)

5)

Пример 4.4. Дана плотность распределения случайной величины

Найти функцию распределения Х.

В соответствии со свойством (2): при x 0

при 0< x 2 F(x)= += sinx;

при x> 2 F(x)= + += =1.

Итак, искомая функция распределения

F(x)=

4.5 Числовые характеристики случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно бывает указать только некоторые характерные особенности распределения. Это делается при помощи числовых характеристик: математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения, моды, медианы, асимметрии, эксцесса. Обобщением основных числовых характеристик являются теоретические моменты.

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и обозначается М[X] или m_x. Под символом М[X] понимают оператор математического ожидания, примененный в случайной величине Х. Оператор имеет различные выражения для дискретной и непрерывной случайной величины Х.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности принятия этих значений.

М[X]= = (4.5)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X определяется равенством

М[Х] = (4.6)

Свойства математического ожидания

1. М[С]=С

2. М[CX]=CМ[X]

3. М[X₁+X₂+...+X_n]= M[X₁]+ M[X₂]+...+ M[X_n]

4. Для независимых случайных величин

X₁,X₂,...,X_n

М[X₁X₂...X_n]= M[X₁] M[X₂]... M[X_n].

Пример 4.5. Изделия испытываются на надежность. Вероятность выхода из строя за время испытания для каждого изделия равна р Испытания заканчиваются после первого же вышедшего из строя изделия. Найти математическое ожидание случайной величины Х - числа проверенных изделий

Если X - случайное число проверенных изделий, то ряд распределения случайной величины Х имеет вид

i	1	2	3	...	k	...
pi	p	pq	pq2	...	рqk-1	...

где q=1-p. Математическое ожидание Х выражается суммой ряда

М[Х]=1p+2pq+3pq²+...+kpq^k-1+...= p(1+2q+3q²+...+kq^k-1+...)

Легко заметить, что ряд, стоящий в скобках представляет собой результат дифференцирования геометрической прогрессии

q+q²+q³+...+q^k+...=

Следовательно

М[Х]=р(1+2q+3q²+...+kq^k-1+...)==

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

= D[X]=M[(X-M[X])²] (4.7)

Дисперсия характеризует рассеяние значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. Символ D[X] означает оператор дисперсии, примененный к случайной величине Х. Свойства математического ожидания позволяют получить удобную формулу для определения дисперсии

D[X]=M[X²]-(M[X])² (4.8)

Дисперсия дискретной случайной величины Х вычисляется по формулам

D[X]= (4.9)

или D[X]= _ (M[X])² (4.10)

Дисперсия непрерывной случайной величины Х вычисляется по формулам

D[X]= (4.11)

илиD[X]= _(M[X]) ² (4.12)

Свойства дисперсии

1. D[C] = 0.

2. D[CX])=C²D[X].

3. Для независимых случайных величин X₁,X₂,...X_n:

D[X₁+X₂+...+X_n ]= D[X₁]+D[X₂] +...+ D[X_n].

Средним квадратичным отклонением _х случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии

_х =. (4.13)

Модой М₀ дискретной случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение.

Модой М₀ непрерывной случайной величины Х называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой М_e случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины

Р(Х < М_e ) =Р(Х > М_e ). (4.14)

Для непрерывной случайной величины медиана определяется из условия

, . (4.15)

Пример 4.6 Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти: а) параметр с; б) математическое ожидание Х; в) дисперсию; г) моду; д) медиану

a). Используя свойство

плотности распределения, получим

, отсюда c=1/2.

б) По формуле (4.5.2.)

M[Х]===

в) По формуле (4.5.8.)

D_Х=_==0,550-

0,502=0,048.

г) Мода M_o случайной величины Х -это точка максимума функции

f(x)=

необходимое условие существования экстремума

тогда 3x+1=0, откуда M_o=

д) Медиана М_e определяется из уравнения



Интегрируя, получим

Решая приближенно это уравнение, находим

Теоретические моменты. Начальным теоретическим моментом k-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание величин

Х^k , т.е. (4.16)

Начальный момент k-го порядка дискретной случайной величины выражается суммой

, (4.17)

непрерывной - интегралом

(4.18)

Очевидно, что при

k=1

Начальные моменты высших порядков используются главным образом для вычисления центральных моментов.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание величины

(4.19)

Для дискретной случайной Х величины центральный момент выражается суммой

, (4.20)

для непрерывной интегралом

. (4.21)

Центральный момент первого порядка , центральный момент второго порядка - это дисперсия

Центральный момент любого порядка можно выразить через начальные моменты

(4.21)

и т.д

Асимметрией (коэффициентом асимметрии) называется отношение

(4.22)

Коэффициент асимметрия характеризует “скошенность” графика плотности распределения вероятностей.

Эксцессом случайной величины Х называется величина

, (4.23)

она характеризует крутизну кривой распределения.

Пример 4.7. Динамика курса доллара на биржевых торгах в течение 2 месяцев 1994г. есть случайная величина Х, характеризующаяся плотностью распределения

Найти моду, медиану, асимметрию и эксцесс Х

График плотности распределения изображен на рис. 4.7. Мода М₀ этого распределения отсутствует, т.к

для

и экстремум не существует. Медиана определяется из условия:

Математическое ожидание

==.

По формуле

найдем начальные моменты

Для определения центральных моментов воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные

,

.

Тогда:

.

Глава 5. Наиболее распространенные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики

5.1 Биномиальное распределение

Дискретная случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, n, а соответствующие вероятности

(5.1)

где 0<p<1, q=1-p, k=0, 1, 2, …, n.

Ряд распределения имеет вид:

хi=k	0	1	…	i		n
P(X=k)

Для этого распределения

D[X]=npq. (5.2)

Пример 5.1. Три конкурирующие фирмы работают независимо друг то друга. Вероятность обанкротиться для каждой из них равна 0.1. Составить закон распределения случайной величины Х - числа обанкротившихся фирм. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Дискретная случайная величина X - число обанкротившихся фирм имеет следующие возможные значения: x₁=0 (ни одна фирма не обанкротилась), x₂=1 (обанкротилась одна фирма), x₃=2 (две обанкротились) и x₄=3 (обанкротились все три). Банкротства фирм независимы друг от друга, поэтому применима формула Бернулли

(n=3, k=0, 1, 2, 3; p=0,1, q=1 _ 0,1= 0,9), следовательно

P(X=0)=P₃(0)=q³=0,9³=0,729

P(X=1)=P₃(1)= pq²=30,10,9=0,243;

P(X=2)=P₃(2)=p²q=3(0,1)²(0,9)=0,027;

P(X=3)=P₃(3)=p³=0,1³=0,001.

Контроль

0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Закон распределения Х имеет вид:

хi=k	0	1	2	3
P(X=k)	0,729	0,243	0,027	0,001

M[X]=

D[X]=

5.2. Геометрическое и гипергеометрическое распределения

Дискретная случайная величина Х подчинена геометрическому распределению, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, а соответствующие вероятности

(5.3)

где 0<p<1, q=1-р.

Ряд распределения Х имеет вид:

xi	0	1	2	…	k	…
pi	p	pq	pq2	…	pqk	…

Математическое ожидание и дисперсия

D[X]. (5.4)

Случайная величина Х подчинена гипергеометрическому распределению с параметрами a, b, n, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, а, а соответствующие вероятности =

. (5.5)

(Если в урне а белых и b черных шаров и из нее вынимают n шаров, то случайная величина Х = {число белых шаров среди вынутых} подчиняется гипергеометрическому закону).

Примечание. В приведенной формуле полагают

, если

Математическое ожидание и дисперсия гипергеометричекого распределения

,

D. (5.6)

Пример 5.2. В группе 20 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 5 студентов. Найти закон распределения и построить функцию распределения F(x) случайной величины Х - числа отличников среди отобранных студентов. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение Х.

Случайная величина Х _ число отличников среди отобранных студентов_ принимает возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

=0,05108+0,25524+0,39732+0,23839+0,05418+0,02167=1

Ряд распределения имеет вид:

	0	1	2	3	4	5
	0,05108	0,25524	0,39732	0,23839	0,05418	0,02167

Построим функцию распределения случайной величины Х:

При

х <0

F(x)=0;

0 х <1 F(х)=0,05108;

1 х <2 F(x)=0,05108+0,25542=0,30650;

2 х<3 F(x)=0,05108+0,25542 +0.39732=0,70382.

3 х <4 F(x)= 0,05108+0,25542+0.39732+0,23839=0,94221.

4 х <5 F(x)= 0,05108+0,25542+0.39732+0,23839+0,05418=0,99639.

х 5

F(x)= 0,05108+0,25542+0.39732+0,23839+0,05418+0,02167=1.

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение соответственно равны

M[X]==2

D[X]= =1,45;

5.3 Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, а соответствующие вероятности

, (5.7)

где k - число появлений события А в n независимых испытаниях (), ()_ параметр распределения, который равен среднему числу появления события А в n испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна р: .

Распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения , если число испытаний n велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала (порядка 1/n).

Ряд распределения случайной величины Х , распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

х	0	1	2	…	n	…
рk				…		…

Математическое ожидание и дисперсия

, D. (5.8)

Типичными примерами случайной величины, имеющей распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за некоторое время t; число отказов аппаратуры за время t, если известно, что отказы независимы друг от друга и в среднем на единицу времени приходится отказов, и т.д.

Пример 5.3 На телефонную станцию в течение часа поступают в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что в течение минуты поступает не более двух вызовов

Математическое ожидание числа вызовов за минуту равно

Вероятность того, что в течение данной минуты будет получено не более двух вызовов, равна сумме вероятностей того, что в течение данной минуты будет либо 0, либо 1, либо 2 вызова. Поэтому искомая вероятность

P(k2) = p(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=

=++=(1+1/2+)0,98

5.4. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х подчинена равномерному закону распределения на интервале (а, b), если ее плотность распределения имеет вид

. (5.9)

График плотности f(x) равномерного распределения изображен на рис.5.1. Функция распределения F(x) имеет вид

, (5.10)

график функции F(x) представлен на рис. 5.2.

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и вероятность попадания Х в заданный интервал значений соответственно равны

D

; (5.11)

Пример 5.4 Цена деления измерительного прибора равна 0,1. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02

Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,1, отсюда

.

Очевидно, ошибка превысит 0,02, если 0,02<X<0,08. Вероятность

5.5 Показательное распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если ее плотность вероятности имеет вид

, (5.12)

где - параметр распределения. Кривая распределения f(x) изображена на рис.5.3. Функция распределения

, (5.13)

ее график показан на рис 5.4.

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и вероятность попадания Х в заданный интервал значений соответственно равны

M[X]=1/

D[X]=1/²

_х=1/

. (5.14)

Пример 5.5. Случайная величина Т--время безотказной работы телевизора - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время безотказной работы телевизора будет не меньше 600 часов, если среднее время работы его 400 часов

По условию задачи математическое ожидание случайной величины Т равно 400 часов. Искомая вероятность

P(T 600 )= 1- P(T<600 )= 1- F(600)=1-(1-e^-600/400 )=e^-1,5 0,2231

5.6 Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, если ее плотность распределения имеет вид

, (5.14)

где a _ математическое ожидание, _ среднее квадратичное отклонение Х.

Функция распределения

, (5.15)

где

функция Лапласа, или интеграл вероятностей.

Свойства функции Лапласа

1) (0) = 0; 2) (нечетная функция)

3) ()=0,5

Таблица значений функции (х) при

приведена в приложении, и т.к. эта функция нечетная, то для отрицательных значений х пользуются теми же таблицами, что и для положительных значений х.

Вероятность попадания Х в заданный интервал значений

, (5.16)

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения

нормальной случайной величины Х от ее математического ожидания меньше положительного числа , определяется выражением

. (5.17)

В частности, при а=0, P(Х <) =2().

Для нормально распределенной случайной величины Х имеет место правило “трех сигм”



Размещено на http://www.allbest.ru/

т.е. абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания с практической достоверностью не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

а_s=0, е_k=0, M_o=a, M_e=a, где a=M[X]

График плотности вероятности нормального распределения (рис.5.5) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Пример 5.6 Ошибка измерения длины платформы станции метро подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5см, а среднее квадратичное отклонение равно 10см. Найти вероятность того, что измеряемое значение длины платформы будет отклоняться от истинного не более чем на 20см

Решение задачи сводится к определению вероятности попадания случайной величины Х (ошибка измерения) с математическим ожиданием а=5см и средним квадратичным отклонением =10см в интервал значений (_20, 20). По формуле вероятности попадания Х в заданный интервал имеем

P(_20<Х<20) = =

Пример 5.7 Доказать, что параметр а нормальной плотности распределения случайной величины Х является математическим ожиданием Х

Доказательство

По определению

Для нормального распределения получим:

= =

= = +=a

(так как =0, а интеграл Пуассона ).

Глава 6. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

6.1 Законы распределения систем случайных величин

Несколько случайных величин, рассматриваемых совместно, образуют систему, обозначаемую (X,Y), (X,Y,Z), ... . В дальнейшем рассматриваются системы двух случайных величин (случайные векторы) (Х,Y), где Х, Y - могут быть дискретными и непрерывными.

Охарактеризовать систему (Х,Y) можно законом ее распределения. Законом распределения (X,Y) называется соотношение, устанавливающее связь между областями ее значений и соответствующими вероятностями. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задается в виде таблицы 1:

Таблица 1

X \ Y			. . .
			. . .
			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .

где - вероятность события, заключающегося в совместном выполнении равенств

причем



Размещено на http://www.allbest.ru/

Интегральная функция распределения вероятностей системы случайных величин (Х,У) определяется:

(6.1)

и геометрически представляет собой вероятность попадания случайной точки с координатами (Х,У) в бесконечный прямоугольник с вершиной в точке М(х;у), лежащий левее и ниже ее.

Для систем дискретных случайных величин интегральная функция распределения

. (6.2)

Для систем непрерывных случайных величин интегральная функция распределения

, (6.3)

где _ плотность распределения вероятности или дифференциальная функция распределения системы случайных величин (Х,У)

(6.4)

Свойства интегральной функции распределения:

1) .

2) .

3).

4).

Свойства дифференциальной функции распределения (плотности вероятности)

1)

2) (условие нормировки);

3) ;

4) вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в область D

. (6.5)

Случайные величины Х и Y являются независимыми, если



где F₁(x), F₂(y) - безусловные интегральные функции распределения составляющих системы.

Одномерные плотности вероятностей составляющих системы

(6.5)

Для системы независимых случайных величин Х и Y двумерная плотность вероятности равна произведению плотностей распределения вероятностей составляющих

(6.6)

В случае системы дискретных случайных величин можно построить безусловные законы распределения составляющих в виде таблиц 2 и 3.

Таблица 2

			. . .
			. . .

Таблица 3

			. . .
			. . .

Пример 6.1 Передаются два сообщения, каждое из которых может быть независимо друг от друга либо искажено, либо не искажено. Вероятность события А {сообщение искажено} для первого сообщения равна 0,2, для второго - 0,3. Рассматривается система двух случайных величин (Х,У), определяемых так

Х=0, если первое сообщение не искажено, Р(X=0)=0,8;

X=1, если первое сообщение искажено, Р(X=1)=0,2;

Y=0, если второе сообщение не искажено, Р(Y=0)=0,7;

Y=1, если второе сообщение искажено, Р(Y=1)=0,3;

Найти закон совместного распределения системы (Х,Y).

Так как случайные величины, входящие в систему, дискретны, то закон распределения должен быть выражен в виде таблицы 1. Вероятности

определятся следующим образом.

;

.

Закон распределения системы (Х,У) имеет вид

\	0	1
0	0,56	0,24
1	0,14	0,06

6.2 Числовые характеристики системы случайных величин

Закон распределения полностью характеризует систему случайных величин, но использовать его на практике не всегда удобно в силу сложности. Зачастую бывает достаточно знать числовые характеристики составляющих систему случайных величин, к которым относятся: математические ожидания M[X], M[Y], дисперсии D[X], D[Y] и среднеквадратические отклонения . Они вычисляются по следующим формулам.

Для дискретных систем случайных величин

Для непрерывных систем случайных величин

;

Дисперсии составляющих можно вычислять и по укороченным формулам

Важную роль в теории двумерных случайных величин играет корреляционный момент (ковариация) , характеризующий линейную связь между составляющими системы

. (6.7)

Корреляционный момент вычисляется по следующим формулам.

Для дискретных систем случайных величин

.

Для непрерывных систем случайных величин

=

=

Наряду с корреляционным моментом используется безразмерная характеристика корреляционной связи - коэффициент корреляции

(6.8)

Для любых систем случайных величин

Случайные величины Х и Y называются некоррелированными, если

Независимые величины всегда некоррелированы.

Условным законом распределения случайной величины, входящей в систему, называется закон ее распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. Для систем непрерывных случайных величин условные законы выражаются условными плотностями распределения составляющих

, при этом , (6.9)

, при этом

6.3 Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин

Равномерный закон. Если все значения случайных величин входящих в систему расположены внутри области D, и плотность вероятности системы имеет следующий вид

и , (6.10)

то (Х,У) подчинена равномерному закону распределения.

Нормальный закон. Если плотность распределения системы (Х,У) имеет вид

, (6.11)

где - математические ожидания; - среднеквадратичные отклонения, а - коэффициент корреляции, то система подчинена нормальному закону распределения.

Для некоррелированных случайных величин нормальная плотность распределения

. (6.12)

Пример 6.2. Планируется деятельность 3-х предприятий на очередной год. Система (X,Y)

где - номер предприятия

-размеры вложений (в тыс. усл. ден. ед.),

, , задана таблицей

\	3	4
1	0,1	0,2
2	0,1	0,1
3	0,3	0,2

Построить законы распределения составляющих системы, найти все числовые характеристики системы.

Законы распределения составляющих системы строим в виде таблиц 2 и 3, суммируя вероятности соответственно по сторокам (для составляющей Х) или по столбцам (для составляющей ).

	1	2	3
	0,1+0,2=0,3	0,1+0,1=0,2	0,3+0,2=0,5

Закон распределения составляющей Х означает, что независимо от объема вложений первое предприятие будет иметь вложения с вероятностью 0,3, второе - с вероятностью 0,2 и третье - с вероятностью 0,5. Составляющей Y соответствует закон распределения

	3	4
	0,1+0,1+0,3=0,5	0,2+0,1+0,2=0,5

и это значит, что независимо от номера предприятия объем вложений может быть равен 3 тыс. усл. ден. ед. с вероятностью 0,5 или 4 тыс. усл.ден.ед. с вероятностью 0,5.

Для определения числовых характеристик составляющих воспользуемся найденными законами распределения Х и У и формулами для определения числовых характеристик дискретных систем

- средний объем вложений;

;

- отклонение от среднего объема вложений

Связь между номером предприятия и объемом вложений

Пример 6.3. На производстве за определенный период использовалось два вида сырья. Случайные величины X и Y - соответственно объемы сырья, выраженные в условных единицах. Плотность распределения вероятностей системы имеет вид

Определить: 1) интегральную функцию распределения F(х,у) и числовые характеристик M[X], M[Y], D[X], D[Y], К_ху.; 2) вероятность попадания случайной точки (Х, У) в прямоугольник

F(х,у) находим в соответствии с формулами (6.2)

1) x<0 или y<0 ;

2)

== ;

3)

= = 0,5;

4)

= = 0,5;

5)

=+.

Таким образом,

.

Числовые характеристики M[X], D[X] вычисляются по формулам определения числовых характеристик непрерывных систем

Из симметрии f(x,y) относительно x и y следует, что

M[X]=M[Y], D[X]=D[Y].

Корреляционный момент



Вероятность попадания (Х,У) в прямоугольник

в соответствии с формулой (6.4)

ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ ОДНОГО И ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ

7.1 Функции одного случайного аргумента. Законы распределения. Числовые характеристики

Если каждому значению случайного аргумента X поставлено в соответствие значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X и записывают

Если X - дискретная случайная величина и функция

монотонна, то различным значениям X будут соответствовать различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений будут одинаковы. Т.е. если x_i - возможные значения X, а

- полученные значения Y, то

Если же

немонотонная функция, то различным значениям X могут соответствовать одинаковые значения Y. В таких случаях для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех значений X, при которых Y принимает одинаковые значения и расположить все значения в порядке возростания Y.

Если X - непрерывная случайная величина, заданная дифференциальной функцией

и если функциональная зависимость

строго монотонна, то дифференциальная функция

находится из равенства

(7.1)

Если же функция в интервале возможных значений X немонотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых монотонна, найти на каждом из этих интервалов, затем представить в виде суммы

Если закон распределения функции случайного аргумента Х уже каким либо образом определен, то определение числовых характеристик производится обычным способом

для дискретных Х для непрерывных Х

; ;

; ;

однако и можно получить и не определяя предварительно закон распределения функции .

Пример 7.1 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	2	3	4	5
Р	0,3	0,2	0,4	0,1

Найти закон распределения функции

Составляем таблицу

У=5(X-2)2+3	3	8	23	48
Р(Y=уi)	0,3	0,2	0,4	0,1

Так как все полученные значения у_i различны и расположены в возрастающем порядке, эта таблица выражает закон распределения функции

Пример 7.2 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	-1	0	1	2	3
Р	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

Найти закон распределения функции

Составляем таблицу

.	0	-1	0	3	8
Р(У=уi)	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

Здесь есть два одинаковых значения у=0, им следует отвести один столбец, а соответствующие вероятности сложить и расположить столбцы в порядке возрастания у_i . Закон распределения У будет иметь вид

У=Х2-1	-1	0	3	8
Р(Y=уi)	0,1	0,5	0,2	0,2

Пример 7.3 Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей

Найти дифференциальную функцию случайной величины

Поскольку функциональная зависимость

монотонна на всей числовой оси, пользуемся готовой формулой

где - обратная функция функции

; Ю ;

, ,

итак, 3

Пример 7.4 Случайная величина Х задана дифференциальной функцией

.

Найти дифференциальную функцию распределения случайной величины.

4 Функция на интервале не является монотонной. Разобьем этот интервал на две части и, в каждой из которых эта функция монотонна. В интервале, обратная функция, в интервале . Найдем из равенства

Определим производные обратных функций

получим

.

Т.к. Х расположена в интервале , то . Таким образом

.

Контроль

Пример 7.5 Закон распределения случайной величины Х имеет вид

Х	0	1	3	3
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Воспользуемся готовыми формулами, не вычисляя предварительно закон распределения У

=

=;

Пример 7.6 Плотность распределения случайной величины Х задана выражением

Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Пользуемся формулами для вычисления математического ожидания и дисперсии функции непрерывного случайного аргумента Х, не находя предварительно закона распределения У

;

3

7.2 Законы распределения функций двух случайных аргументов. Числовые характеристики

Если имеется система двух непрерывных случайных величин (Х,У) с плотностью распределенния

то закон распределения случайной величины

следует находить, начиная с интегральной функции

, (7.2)

величина z содержится в этом выражении неявно в пределах интегрирования. Плотность распределения Z найдем, дифференцируя G(z) по

z: . (7.3)

Числовые характеристики случайной величины Z можно определить по известным формулам, если найден закон распределения, но можно их определить и не находя предварительно закон распределения случайной величины Z.

Для дискретных Х и Y:

. (7.4)

Для непрерывных Х и Y

(7.5)

Пример 7.7 Система (Х₁, Х₂) задана плотностью распределения

;

величина Z есть произведение случайных величин

и ; .

Найти плотность распределения величины Z.

Линиями уровня функции

 являются гиперболы

Функция распределения имеет вид

+

Дифференцируя по z, получим

Пример 7.8 Система (Х,У) задана законом распределения

Х\У	0	1	2	3
-1	0,01	0,06	0,05	0,04
0	0,04	0,24	0,15	0,07
1	0,05	0,10	0,10	0,09

Найти закон распределения случайной величины Z =Х+У.

Находим значения x_i+y_j: -1, 0, 1, 2, 0, 1,2 , 3, 1, 2, 3, 4.

Возможными значениями Z являются: -1, 0, 1, 2, 3, 4. Вычисляем соответствующие вероятности

;

; и т.д.

Искомый закон распределения Z имеет вид

Z	-1	0	1	2	3	4
P	0,01	0,1	0,34	0,29	0,17	0,09

Проверка

0,01+0,1+0,34+0,29+0,17+0,09=1

Пример 7.9. Система (Х,У) задана плотностью распределения

, где .

Вычислить числовые характеристики и случайной величины

Воспользуемся формулами

и

Получим: =

= = 8 =8=



Пример 7.10 Система (Х,У) задана законом распределения

Х\У	1	2
0	0,3	0,1
1	0,2	0,4

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Не определяя закон распределения случайной величины Z, воспользуемся готовыми формулами

=

=

7.3 Теоремы о числовых характеристиках и их применение

Теоремы о математических ожиданиях

1.

2.

3.

4.

5. Если случайные величины независимы, то

Теоремы о дисперсиях

1.

2.

3. ,

где - корреляционный момент пары случайных величин

и

4.

Применение названных теорем значительно упрощает процесс вычисления числовых характеристик функций случайных аргументов, особенно в тех случаях, когда эти функции - линейны.

Пример 7.11 Случайная величина Х - число автомобилей, реализуемых в течение одного дня автомобильным салоном, задана законом распределения

Х	1	2	4	5
Р	0,4	0,3	0,2	0,1

Номинальная стоимость одного автомобиля 3тыс. усл. ед. и за каждый день салон имеет 0,2 тыс. усл. ед. прибыли за счет дополнительных услуг. Указать среднюю выручку, получаемую салоном ежедневно и ее разброс.

4 Ежедневная выручка автомобильного салона есть случайная величина

и для решения задачи требуется определить и . Вначале найдем числовые характеристики Х

в среднем продается 2 автомобиля в день

-разброс продажи составляет 1 автомобиль в день.

На основании теорем о числовых характеристиках будем иметь:

тыс. усл. ден. ед.

средняя ежедневная выручка

тыс. усл. ден. ед

разброс от средней выручки

Пример 7.12.Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Функция представляет собой плотность показательного закона распределения, а это значит, что

и

Тогда согласно теоремам о числовых характеристиках

и

Пример 7.13. Случайные величины Х и У, характеризующие соответственно расширение ассортимента выпускаемой продукции и изменение ее качества, заданы своими числовыми характеристиками

Вычислить числовые характеристики и случайной величины

характеризующей колебания прибыли предприятия.

Согласно теоремам о числовых характеристиках, будем иметь

Пример 7.14 Плотности распределения вероятностей независимых случайных величин Х и У заданы формулами

Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Случайная величина Х распределена равномерно в интервале

,

это значит, что

Случайная величина У подчинена показательному закону распределения, следовательно

Так как Х и У независимы, то

и согласно теоремам о числовых характеристиках, получим

.

ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Установление статистических закономерностей, присущих массовым случайным явлениям, основано на изучении статистических данных - сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак.

В математической статистике изучаются две основные задачи:

- указать способы сбора и группировки статистических сведений (данных), полученных в результате наблюдений или поставленных экспериментов (здесь не рассматриваются);

- разработать методы анализа статистических данных в зависимости от поставленных целей исследования.

С математической статистикой тесно связаны такие науки как планирование эксперимента, последовательный анализ данных, регрессионный анализ, эконометрика и ряд других. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Генеральная и выборочная совокупность.

Вся совокупность объектов, изучаемая относительно некоторого количественного признака Х (случайной величины) называется генеральной совокупностью. Количество объектов в ней может быть и не известно.

Любое количество объектов, каким-либо образом отобранных из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Полное количество членов в любой из совокупностей называется ее объемом.

8.1 Вариационный ряд. Представление и первоначальная обработка

Различные значения признака Х, обозначаемые называются вариантами. Выборка, упорядоченная по возрастанию и оформленная в виде таблицы (см. таблицу 1) называется простым статистическим рядом. Если объем выборки значителен, а повторяемость вариант небольшая, то весь объем выборки разбивают на части - интервалы. В результате получается ряд интервалов - вариационный ряд (таблица 2). При этом фиксируется только факт попадания варианты в конкретный интервал. Количество интервалов m рекомендуется выбирать в соответствии с формулой Стерджеса:

а ширину интервала

,

где - разность между наибольшей и наименьшей вариантами, а n - объем выборки.

Пример 8,1 Изучается выработка на одного рабочего предприятия в текущем году, взятая в процентах по отношению к прошлому году. Пусть из генеральной совокупности (общего числа сотрудников) сделана выборка объемом n=100. Получены следующие данные

X={101, 98, 110, 111, 100, 97, 102, 89, 94, 101, 113, 95, 90, 92, 89, 102, 100, 93, 116, 96, 106, 105, 98, 101, 112, 97, 101, 104, 97, 100, 100,112, 103, 109, 94, 94, 94, 101, 96, 100, 97, 102, 89, 100,112, 102, 100, 94, 104, 99, 110, 111, 101, 100, 101, 103, 99, 94, 101, 98, 111, 111, 102, 101, 111, 96, 103, 104, 97, 99, 100, 100,112, 103, 109, 94, 113, 96, 106, 105, 98, 101, 111, 97, 101, 106, 97, 100, 107,112, 113, 96, 106, 105, 98, 101, 112, 97, 101, 104,}.

Требуется построить статистические ряды.

Расположим признак в порядке возрастания вариант

X={89, 89, 89, 90, 92, 93, 94, 94, 94,94, 94, 94, 94, 95, 96, 96, 96, 96, 96, 97, 97, 97, 97, 97, 97, 97, 97, 98, 98, 98, 98, 98, 99, 99, 99, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 101, 101, 101, 101, 101, 101, 101 101, 101, 101, 101, 101, 101, 102, 102, 102, 102, 102, 103, 103, 103, 103, 104, 104, 104, 104, 105, 105, 105, 106, 106, 106, 106, 107, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 111, 111, 111, 111, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 113, 113, 113, 116}.

Подсчитаем количество повторяющихся вариант и построим простой статистический ряд в виде таблицы 1:

Таблица 1.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
	89	90	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	109
	3	1	1	1	7	1	5	8	5	3	11	13	5	4	4	3	4	1	2

i	20	21	22	23	24
	110	111	112	113	116
	2	6	6	3	1

Здесь - количество появлений значения признака (варианты) в выборке. Очевидно, что

Учитывая, что в большинстве случаев каждое значение варианты встречается редко, 1-3 раза, перейдем к вариационному интервальному ряду.

примем: (%)

За начало первого интервала рекомендуется брать величину

В данном случае

Сгруппированный вариационный ряд представляется в виде таблицы 2:

Таблица 2

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	87-91	91 - 95	95 - 99	99- 103	103-107	107-111	111-115	115-119
	4	10	16	33	16	5	15	1
	0,04	0,1	0,16	0,33	0,16	0,05	0,15	0,01

Числа , показывающие, сколько раз встретилась i-тая варианта, называются частотами, а отношения их к общему числу вариант

- частностями или относительными частотами

8.2 Графические характеристики выборки

Такими характеристиками служат эмпирическая функция распределения, полигон частот (относительных частот) и гистограмма.

Эмпирической функцией распределения называется относительная частота того, что признак (случайная величина Х) примет значение, меньше заданного х, т.е.

Полигон частот - ломаная, концы отрезков которой имеют координаты или - для полигона относительных частот. Полигон частот используется для графического представления простого статистического ряда.

Гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака и высотами . Площадь всей гистограммы равна 1. На рисунке 8.1 изображен полигон частот, на рисунке 8.2 - эмпирическая функция распределения, на рисунке 8.3 - гистограмма для примера 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

8.3 Точечные характеристики выборки (оценки параметров)

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализации) распределения признака (случайной величины Х). В этом смысле полигон (гистограмма) аналогичен кривой распределения - дифференциальной функции распределения случайной величины Х. Однако построение их достаточно громоздко. В то же время, на практике часто оказывается достаточным знание лишь числовых характеристик случайной величины (признака Х)- математического ожидания, дисперсии и т.д. Но числовые характеристики Х неизвестны и информация о них может быть получена только на основе изучения имеющихся опытных данных - выборки. В математической статистике принято говорить, что некоторые сводные характеристики выборки служат для оценивания (являются оценкой) числовых характеристик генеральной совокупности. Эти характеристики носят название точечных оценок выборки. Расчет их - следующий этап обработки опытных данных.

К точечным оценкам предъявляются требования несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценка параметра генеральной совокупности называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е.

Оценка параметра генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру

Эффективной называется та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию среди других возможных оценок.

Рассмотрим эти оценки.

Выборочная средняя - (аналог математического ожидания с.в.) -средняя арифметическая значений вариант, рассчитанная по значениям вариационного ряда

(8.3.1)

- варианты простого статистического ряда или середины интервалов вариационного

Выборочная дисперсия - (аналог дисперсии с.в.) - средняя арифметическая квадратов отклонения вариант от выборочной средней; служит характеристикой рассеяния вариант относительно выборочной средней

(8.3.2.)

Выборочная дисперсия не удовлетворяет свойству несмещенности, поэтому вводится также исправленная выборочная дисперсия

(8.3.3.)

Желательно в качестве меры рассеяния иметь характеристику, выраженную в тех же единицах, что и варианты. Поэтому вводится среднее выборочное квадратическое отклонение:

(8.3.4.)

Рассматривается также безразмерная характеристика - коэффициент вариации, который служит для оценки однородности опытных данных

% (8.3.5.)

Мода - варианта, которой соответствует наибольшая частота;

Медиана - значение признака, приходящееся на середину вариационного ряда (количество вариант меньших равно количеству вариант больших ).

Для дискретного ряда из нечетного числа членов медиана равна серединной варианте, для ряда из четного числа членов - полусумме двух серединных вариант.

Рассчитаем эти оценки для примера 1.

Выборочная средняя:

а) Для простого вариационного ряда (таблица 1):

б) Для интервального вариационного ряда (таблица 2):

Выборочная дисперсия:

а) Для простого вариационного ряда



б) Для интервального вариационного ряда

Исправленная выборочная дисперсия и среднее выборочное квадратическое отклонение:

а) Для простого вариационного ряда

б) Для интервального вариационного ряда

Коэффициент вариации:

а) Для простого вариационного ряда

б) Для интервального вариационного ряда

Мода и медиана:

а) Для простого вариационного ряда

б) Для интервального вариационного ряда

8.4 Интервальные оценки параметров

Выборка, полученная из генеральной совокупности, содержит n значений признака - случайной величины Х. Найденные значения точечных характеристик в свою очередь будут случайными величинами, меняющимися от выборки к выборке. Однако они используются для оценки неслучайных числовых параметров генеральной совокупности - математического ожидания (генеральной средней) и дисперсии (генеральной дисперсии). С этим обстоятельством связана необходимость ввести в рассмотрение понятия интервальных оценок параметров - оценок, определяемых двумя числами, границами некоторого интервала.

Интервальной оценкой какого-либо оцениваемого параметра служит доверительный интервал.

Доверительный интервал - интервал со случайными границами, вычисляемыми по выборке, который с заданной исследователем (доверительной) вероятностью «накрывает» оцениваемый параметр. Как правило, выбирается симметричный интервал относительно .

Пусть исследуемый признак распределен в соответствии с нормальным законом распределения.

Интервальная оценка для генеральной средней:

а) при известной среднеквадратической ошибке измерения

(8.4.1.)

где - генеральная средняя (математическое ожидание);- известное среднее квадратическое отклонение; n - объем выборки; t определяется из условия , где - функция Лапласа, заданная таблично; - доверительная вероятность, назначаемая исследователем.

б) при неизвестной среднеквадратической ошибке

(8.4.2.)

где s - среднее выборочное квадратическое отклонение; - табулированная функция, построенная на основе распределения Стьюдента.

Интервальная оценка для генеральной дисперсии

 (8.4.3.)

где D - генеральная дисперсия k =n-1 или k=n-m; - квантили - распределения, зависящие от k доверительной вероятности .

Интервальная оценка для генерального среднего квадратического отклонения

(8..4.4)

где - генеральное среднее квадратическое отклонение, - таблично заданная функция.

Подсчитаем интервальные оценки параметров для примера 8.1.

Зададимся доверительной вероятностью . Так как истинное значение неизвестно, то доверительный интервал для генерального среднего рассчитаем по формуле (8.4.2)

По таблице находим

Тогда

или .

оверительный интервал для генеральной дисперсии в соответствии с формулой (8.4.3.)

; тогда

, или

Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения в соответствии с формулой (8.4.4.): по таблицам

.\

Тогда , или

8.5 Проверка статистических гипотез

В основе понятия статистической гипотезы лежит принцип практической уверенности: если вероятность события А очень мала, то при однократном проведении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, будто событие А вообще невозможно.

Вопрос о конкретной величине вероятности события А решает исследователь.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу называют нулевой и обозначают . Наряду с нулевой рассматривают альтернативную, конкурирующую гипотезу , являющуюся логическим отрицанием . Правило, по которому гипотеза принимается или отвергается, называется статистическим критерием.

Вероятность допустить ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу , когда она верна, называется уровнем значимости критерия.

Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу , когда она неверна, обычно обозначают . Вероятность называют мощностью статистического критерия.

По своему содержанию статистические гипотезы подразделяются на основные следующие типы:

· О равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей;

· О числовых значениях параметров;

· О законе распределения;

· Об однородности выборок, т.е. принадлежности их одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две совокупности, генеральные средние которых соответственно и , дисперсии известны и равны соответственно и . Из этих совокупностей взяты независимые выборки объемами и по которым найдены выборочные средние и , и выборочные дисперсии . В этом случае могут проверяться следующие статистические гипотезы.

8.5.1 Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух генеральных совокупностей

Проверяется гипотеза : , на уровне значимости . Конкурирующая гипотеза :

Статистика для проверки

критическая область выбирается из условия

Если , то гипотеза не отвергается (не противоречит имеющимся наблюдениям)

Пример 8.2 Для проверки эффективности рекламной компании отобраны две группы магазинов. В первой, численностью , где проводилась рекламная компания, выборочная средняя составила проданных изделий, во второй группе, численностью , где рекламная компания не проводилась, выборочная средняя изделий. Установлено, что дисперсии продаж соответственно равны:

Выяснить: повлияла ли рекламная компания на объем продаж?

Нулевая гипотеза

: ,

на уровне значимости

Конкурирующая гипотез

:

Фактическое значение критерия (статистики)



Критическое значения критерия находится из условия:

Так как , то нулевая гипотеза отвергается, что свидетельствует о влиянии рекламной компании на объем продаж.

8.5.2 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. Критерий Фишера-Снедекора.

Пусть имеются две нормально распределенных совокупности, дисперсии которых и . Проверяется гипотеза

:

Конкурирующая гипотеза

: .

Статистика для проверки

Критическое значение критерия Фишера-Снедекора определяется по таблицам

,

где - числа степеней свободы дисперсий. Если

то нет основания отвергнуть нулевую дисперсию.

Пример 8,3 Проверяется точность изготовления детали на двух станках x и y. Извлечены выборки объемами

и

изделий соответственно. При этом рассчитаны исправленные выборочные дисперсии

и

На уровне значимости

проверить нулевую гипотезу

:

при конкурирующей гипотезе