Теорія збурень лінійних двовимірних систем

Навпаки, якщо r = у(и) - розв'язок рівняння (4.5), що починається нескінченно близько від початку, то полярне рівняння для и буде давати розв'язок и = щ(t), яке монотонне по t. Тоді якщо у(t) = у щ(t), то пара (у(t), щ(t)) продовжує розв'язок системи (4.3), починаючи біля початку.

З ціх роздумів випливає, що для того, щоб вивчити поведінку розв'язка системи (4.3) близько біля початку , достатньо вивчити поведінку розв'язків рівняння (4.5). Функція F неперервна по сукупності змінних (r, и) в деякому околі 0 ? r ? r₁ (r₁ > 0), F(r, и + 2р) = F(r, и) та F(r, и) = 0(r), r > 0, рівномірно по и. Ці факти не гарантують єдність розв'язку рівняння (4.5).

Нехай r₂, 0? r₂ ? r₁ , та з > 0 дано, та покладемо М = maxFдля 0 ? r ? r_2. Тоді, на основі теореми існування існує коло 0 ? r ? r₂/2, таке, що якщо точка (у₀, и₀) лежить всередині цього кола, то рівняння (4.5) має розв'язок:

r = у(и) , у(и₀) = у₀ , яке існує для 0 ? и - и₀ ? min(р + з, r₂/ 2М) та залишається в середині кола 0 ? r ? r_2. Більш того з відношення F= 0(r), r>0, слідує, що якщо r₂ вибрали нескінченно малим , то r₂/ 2М > 2р + з. В такому випадку функція у існує на інтервалі 0 ? и - и₀ ? 2р + з та залишається в середині інтервалу 0 ? r ? r₂ .

Нехай початок не є центром. Тоді, зменшуючи у випадку необхідності r₂, отримуємо, що в колі r < r₂ не існує періодичних траєкторій. Розглянемо знову розв'язок r = у(и) , що проходить через точку (у₀, и₀). Тоді або у = (и₀ + 2р) < у( и₀), або у = (и₀ + 2р) > у( и₀). Не загромаджуючи, достатньо розглянути тільки перший випадок. Якщо різниця у(и) - у (и₀ + 2р) перетворюється в нуль при зростанні и, то в колі r < r₂ існує періодична траєкторія. Таким чином у(и) > у (и₀ + 2р) для и ? и₀. Так як послідовність

{ у (и₀ + 2р k)}, k = 0, 1, …, монотонно спадає та додатня , то вона має границю r. Якщо r = 0, то у(и) > 0 при и > +?.

Якщо r > 0, то нехай у (и₀ + и + 2р k) = у_k (и). Так як dу/dи ? М, то наша послідовність { у_k } рівномірно неперервна на інтервалі [0, 2р]. Очевидно, у_k(0) > r та у_k(2р) > r при k> +?. Отже, існує послідовність { у_k }, що зводиться до розв'язку у рівняння (4.5) та у(0) = у (2р) = r. Тому даний розв'язок періодичний, що суперечить припущенню, про те що r < r₂ немає періодичних траєкторій. Отже, r = 0 та у(и) > 0 при и > ?.

У випадку коли через кожну точку проходить тільки один розв'язок, це й закінчує доведення. В загальному випадку Розглянемо нижній та верхній розв'язок рівняння (4.5 ), у_m та у_м , що проходять через точку (у₀, и₀). Очевидно, що у_m рухається та наближається по спіралі до початку при зростанні и, або у володіє цією властивістю. Тоді

у_м (и₀ + 2р) > у_м(и₀)

та у_m (и₀ + 2р) < у_m (и₀) = у₀ = у_м(и₀ + 2р).

Таким чином, в силу дослідження з теореми 1.3 повинен існувати періодичний розв'язок, що проходить через точку (у₀, и₀), а це суперечить припущенню. Тому всі розв'язки, що проходять через (у₀, и₀) у₀, и₀ наближаються по спіралі до початку при зростання и.

Розв'язки, що проходять через будь-яку точку поблизу початку, повинні накручуватися на нього при зростанні и, або в протилежному випадку повинно б було існувати розв'язок у, яке б розкручувалось при зростанні и. Розглянутий вище верхній розв'язок у_м повинен перетинатися з цим розв'язком, тобто повинен існувати и₁ > и₀ , таке що

у_м(и₁) = у_м (и₁ + 2рk)

для деякого цілого k. Розглянемо тепер розв'язок у₀ , де

у₀(и) = у_м(и) (и₀ ? и ? и₁),

у₀(и) = у_м(и + 2рk) (и₀ ? и).

Це розв'язок, що проходить через точку (у₀, и₀), перевищує у_м(и) при и > и₁ , а це суперечить визначеному верхньому розв'язку. Таким чином, розв'язок у існувати не може та всі розв'язки накручуються на початок при зростанні и. Теорема доведена.

5. Неправильні вузли

Розглянемо випадок, коли початок представляє собою неправильний вузол типу (ІІ) для лінійної системи (Л), та припустимо для спрощення, що система в канонічній формі має вигляд:

х₁^' = лх₁ ,

х₂^' = мх₂ (м < л < 0). (5.1)

Тоді нелінійна система (НЛ), що відповідає (5.1), має вигляд

х₁^' = лх₁ + f₁(х₁, х₂), х₁^' = лх₁ + f₁(х₁, х₂), (5.2)

та наступна теорема показує нам, в якій мірі геометрія траєкторії системи (5.2) схожа з геометрією траєкторії (5.1).

Теорема 5.1. а) Кожна траєкторія системи (5.2) близько біля початку намагається досягнути початок та має визначений напрям, що утворює з додатньою х₁-піввіссю кут 0, р/2, р чи 3р/2. Крім того, існує нескінченна кількість траєкторій, що стрімко напрямлені до початку під кутами 0, та р.

b) Існує хоча б одна траєкторія, що прямує до початку під кутом р/2, та хоча б одна - під кутом 3р/2.

с) Якщо похідні ?f₁/? х₁ , ?f₂/? х₂ існують, та ще й неперервні для

0 ? r ? r₀ то існує хоча б одна траєкторія, що прямує до початку в напрямках р/2 та 3р/2..

Доведення

а) З теореми 2.1 випливає, що початок являє собою точку притягання для системи (5.2). Тому існує таке д, 0 < д ? r₀, що кожна інтегральна крива, що починається з кола 0 ? r < д, існує при t > t₀, для деякого t₀ і напрямлена до початку при t > + ?. З (5.2) випливає, що для кожного розв'язку, що починається з кола 0 ? r < д,

r²и' = (м - л) r² cosи, sinи + 0(r²) (r > 0),

або

и' = (м - л)/2 * sin2и + 0(1) (r > 0). (5.3)

Для будь-якого е, 0 < е < р/4 розглянемо область

Т₁: и ? е Т₂: и - р ? е

Т₃: и - р/2 ? е Т₄: и - 3р/2 ? е.

На прямій и = е величина sin 2е додатня та за (5.3), и < 0 на ній якщо r достатньо мале. Тому, якщо r достатньо мале , то кожна траєкторія починається всередині Т₁ , та не може вийти з області Т₁.Аналогічно для Т₂. З іншої сторони, якщо r достатньо мале, то траєкторія на границях областей Т₃ та Т₄ напрямлена поза цими областями. Отже, кожна траєкторія, що починається за межами області Т₃ та Т₄ не може потрапити в середину Т₃ та Т₄ . Нехай число д₁ ? д на стільки мале, що траєкторія, яка починається всередині кола 0< r ? д₁ ведуть себе так само.

Очевидно, для того щоб траєкторія наближалася до початку під кутом р, необхідно і достатньо щоб для кожного е, існувало 0 < е < р/4, існувало t_е, таке що для всіх t ? t_е траєкторія буде лежати в області Т₁. Необхідно пам'ятати, про те що траєкторія прямує під кутом р, якщо вона наближається до додатної х₁-піввісі.

Покажемо тепер, що якщо траєкторія С починається всередині кола 0< r ? д₁ , то вона направляється до початку під кутом 0, р/2, р чи 3 р /2 . Припустимо протилежне. Тоді для деякого е₀ , 0 < е₀ < р/4 , траєкторія С не лежить в області Т₁, Т₂, Т₃ або Т₄ . Нехай С лежить в області S: е₀ < и < р/2 - е_0. Тоді вона в кінці кінців зайде в область Т₁ . Нехай припустимо, що це не так. Тоді С залишається в Для всіх достатньо великих t. Але в S в силу (5.3) траєкторія С повинна залишити S та увійти в Т₁ на t-інтервалі, менше р/(2ж). Ми прийшли до протиріччя, тому що траєкторія С входить в область Т₁ для кожного еі таким чином , направляється до початку під кутом р. Що й треба було довести.

Доведемо (b) . Нехай е > 0.Та нехай сектор ОАВ обмежений радіусом ОВ та ОА, що виходять з початку О під кутами (р/2) - е, (р/2) + е відповідно, та нехай радіус сектора нескінченно малий, такий що в цьому секторі r існує спадна функція t. Так як r - монотонно спадна функція t, то система (5.2) в цьому секторі може бути замінена рівняння першого порядка dи/dr = F(r, и). Розглянемо множину точок S на АВ, яке має властивість, що всі розв'язки рівняння dи/dr = F, що виходять з точок АВ зліва, від будь-якої точки S, виходять з сектору ОАВ, перетинаючи відкритий інтервал ОА. Точки S утворюють інтервал АQ, який не включає точки близькі до точки В. Покажемо, що S не має кінцеву точку Q інтервалу, тобто що інтервал а з правої сторони відкритий. Зрозуміло, нехай припустимо, що всі розв'язки, що виходять з Q, перетинають відкритий інтервал ОА. Тоді, разом нижній розв'язок буде володіти також цією властивістю. За теоремою 1.4 нижній розв'язок , для близьких точок, що лежать з правого боку від Q, будуть перетинати ОА. Для верхнього розв'язку функція и не менша, ніж для нижнього, і таким чином, верхній розв'язок, мабуть, перетинає ОА. Отже, всі розв'язки, що починаються з точки Q, та близькі до цієї точки, будуть перетинати ОА, що не можливо по визначенню точки Q.

Так, як верхній розв'язок не перервний зверху, то верхній розв'язок, що виходить з точки Q, перетинає ОА, або ж залишається в секторі ОАВ. Ніжній розв'язок не перетинає відкритий інтервал ОА. Якщо нижній розв'язок не прямує до точки О в сектор ОАВ, то воно перетинає відкритий інтервал ОВ. Нехай верхній розв'язок, що виходить з точки Q, перетинає ОА в точці С, а нижній розв'язок - ОВ в точці Д. Нехай точка А₁ лежить на ОА блище до О, ніж С та В₁ на ОВ лежить ближче до О, ніж Д, та нехай ОА₁ = ОВ₁ . Розглянемо сектор О В₁А₁ . Зробимо ті ж самі перетворення , що й з попереднім сектором. Нехай точка, що відповідає точці Q на цій дузі , позначається через Q₁. Розглянемо розв'язок рівняння dи/dr = F, що виходять з Q₁, при зростанні r. Вони не можуть перетинати ОА чи ОВ. Таким, чином вони повинні залишити сектор ОАВ після першої після першої зустрічі з розв'язком СQ чи ДQ. Але розв'язок який зустрічає СQ в точці К, відмінний від Q, може бути продовжений, як розв'язок вздовж СQ від К до Q; аналогічно стоїть завдання для розв'язків, що зустрічають ДQ. Отже, існує хоча б один розв'язок рівняння dи/dr = F, яке йде з Q в Q₁.Та так далі до нескінченності. Отже лінія Q Q₁ Q₂… є розв'язком, який напрямлений до О. Так як и близька до р/2 в секторі ОАВ, то з сказаного в (а) зрозуміло, що розв'язок напрямлений до точки під кутом 3р/2 з додатнім напрямом х₁-осі при t > ?.

Доведення висловлень (с). Буде дано для випадку 3р/2.

Для кожної фіксованої інтегральної кривої (ц₁, ц₂) що напрямлена до початку під кутом 3р/2, ц₁/ ц₂ > 0, и таким чином, з нерівності (5.2) випливає, що

ц'₂/ ц'₁ = м + 0(1) при t > +?. Отже, ц'₂ < 0, ц₂ > 0 при всіх достатньо великих t, зрозуміло функція х₂ = ц₂(t) може бути введена, як нова змінна. Штрих над символом означає диференціювання по х₂.

Припустимо, що існує дві різні траєкторії, що прямують до початку під кутом 3р/2 при t > +?. Нехай відповідні траєкторії представлені для всіх достатньо великих t рівняннями х₁ = ш₁(х₂), х₁ = ш₂(х₂). З (5.2) випливає, що

ш_і(х₂) = (л ш_і(х₂) + f₁ (ш_і(х₂), х₂) ) / (м х₂ + f₂ (ш_і(х₂), х₂)) (і = 1, 2)

зробивши підстановку ш = ш₁ - ш₂, отримаємо

ш (х₂) = (л ш (х₂) + [ f₁ (ш₁(х₂), х₂) - f₁ (ш₂(х₂), х₂)] + [л ш₂ (х₂) + f₁ (ш₂(х₂), х₂) ] [ f₂ (ш (х₂), х₂) - f₂ (ш₁(х₂), х₂) ]) / (м х₂ + f₂ (ш₁(х₂), х₂) + [м х₂ + f₂ (ш₁(х₂), х₂] [м х₂ + f₂ (ш₂(х₂), х₂] ) (5.4)

В силу теореми єдності ш ? 0, таким чином, можна припустити, що ш > 0 . Вутлу (2.1) похідні df_і / dх_j дорівнюють нулю на початку. Очевидно,

f_і (ш₁(х₂), х₂) - f_і (ш₂(х₂), х₂) = ш (х₂) (df_і / dх₁)(ж, х₂ ),

де ш₂(х₂)< ж_і < ш₁(х₂)та те що з (5.4) слідує

ш₁(х₂) = (л ш (х₂)/ м х₂ )(1 + 0(1)) (х₂ > 0) (5.5)

зробивши перетворення отримали, що

ш (х₂)/ х_{2 = (}ш₁ (х₂) - ш₂ (х₂))/ х₂) >0

при х₂ >0. Це доводить те, що існує хоча б одна траєкторія, що прямує до початку під кутом 3р/2.

6. Сідла

Для випадку сідла, спочатку нехай рівняння (НЛ) та (Л) мають відповідні канонічні рівняння:

х₁ ^'= л х₁ + f₁ (х₁, х₂),

х₂ ^'= м х₂ + f₂ (х₁, х₂) (6.1)

та х₁^' = л х₁ х₂^' = м х₂ (6.2)

де л < 0 < м. Тоді геометрія траєкторії системи (6.1) поблизу початку описує наступну теорему.

Теорема 6.1. (а) Існує хоча б одна траєкторія, що прямує до початку під кожним з кутів 0 та р.

(b) Якщо, далі, похідні ?f₁/?х₂ та ?f₂/?х₂ існують та неперервні для 0 ? r ? r₀ то існує лише одна траєкторія, що пряму до початку під кожним з кутів 0 та р. Кожна траєкторія, що починається достатньо близько від кожної з траєкторій в околі початку, при t > +? відхиляється від них.

Доведенням існування траєкторії, що прямує до початку в секторі и ? е, дуже схоже на доведення частини (b) теореми 5.1. Ця траєкторія повинна прямувати до початку с кутом дотику р, чи з 6.1 маємо

и^' = (м - л )/2 sin2 и + 0(1) (r > 0 ) ,

так, що и =щ( t) може залишатися в секторі и ? е тільки в тому випадку, коли

щ( t) > 0 при t > + ?.

7. Приклади лінійних систем

Розглянемо дві схеми, які при відповідних спрощеннях прикладів описуються лінійними диференціальними рівняннями.

1. Малі збурення динатронного генератора.

Розглянемо тепер малі збурення поблизу стану рівноваги динатронного генератора, коли точка лежить на падаючій ділянці характеристики тетрода. Для цієї схеми було отримано наступне лінійне диференціальне рівняння другого порядку:

LC d²u/d²t + [RC - LS_O]du/dt + [1 - RS_O]u=0 (1)

Або, якщо взяти нескінченний час

t_нов= щ_о, де tщ_о=1/vLC,

та безрозмірні параметри

r = щ₀RC , s = щ₀LS₀ , ЯЯ + (r - s)? + (1 - rs)u = 0

(тут крапкою зверху позначені диференційовані по новому безрозмірному часі).

Корені характеристичного рівняння

л² + (r - s)л + (1 - rs) = 0, (2)

тому, і тип розглянутої відстані рівноваги залежить від параметрів схеми r та s. Для відображення даної залежності ми побудуємо на площині ці два безрозмірні параметри (в її першій чверті) області, що відповідні для різних типів стану рівноваги дина тронного генератора на падаючій частині території характеристики (рис.1).

(рис.1)

При rs > 1, тобто Над гіперболою rs = 1, корені характеристичного рівняння (2) дійсні та різних знаків, тобто відстань рівноваги є сідлом. Корені характеристичного рівняння комплексні при

(r - s)² < 4(1 - rs) або (r + s)² < 4,

Тобто, під прямою r + s = 2 знаходиться область значення параметрів, при яких стан рівноваги - фокус. В області значення параметрів між цією прямою та гіперболою rs = 1 стан рівноваги - вузол. Стійкість вузла чи фокуса, як ми вже бачили, визначається знаком коефіцієнта характеристичного рівняння при л в першій степені: точніше, при r > s вузол чи фокус стійкий, а при r < s - нестійкі. Таким чином, відрізок прямої

r = s до перетену з гіперболою rs = 1 та потім частина гіперболи справа від цієї точки перетину становить границю області стійкості генератора. Якщо стан рівноваги не стійкий, то динатронний генератор вийде з межі цього стану рівноваги. Але, використовуючи лінійне рівняння, ми не зможемо нічого сказати про режими, які встановляться в генераторі.

2. «Універсальна » схема

Другим прикладом загальної лінійної системи може слугувати так звана «універсальна » система зображена на (рис.2), чи їй відповідна на (рис.3), авжеж при умові відповідної її ідеолїзації та частинної «лінеаризації».

(Рис. 2)

Ми будемо вважати, що характеристики як першої, так і другої лампи прямолінійні. Цей приклад, як ми вже неодноразово вказували, має важливе значення тільки для невеликих областей зміни напруги на сітках ламп, и тому лінеаризації лишає нас можливості розглядати поведінку системи у всій області зміни змінних. Але у відомій, обмеженій області ми можемо вважати систему лінійною та правильно описати її поведінку в цій області.

Крім того, ми будемо, як робили це завжди, нехтувати сітковим струмом та анодною реакцією.

(Рис. 3)

В результаті ціх спрощених прикладів ми, виходячи з рівняння Кірхгофа, отримаємо для розглянутої схеми (в позначеннях рис.3) наступні нерівності:

r₁Я₁ = u₂ - u₁, R(Я_a + Я₂) + u₂ + r₂Я₂ = E_a

C₁ du₁ / dt = Я₁, C₂ du₂ / dt = Я₂ - Я₁ , (3)

Зазначимо, що в лінійному зближенні (для стану, близьких до стану рівноваги:

Я₁ = Я₂ = 0, u = 0)

Я_а = Я_а0 - Su = Я_а0 - S( r₁Я₁ + r₂Я₂), де

S- абсолютне значення покруту падаючої частини характеристики лампової групи (ламп Л₁ та Л₂ з загальним опору R_k) в робочій точці (в стані рівноваги). Про диференціювавши перші два рівняння по часу і використавши останні два, а також приклад для анодного току лампи Л₂, отримаємо два диференціальних (лінійних) рівнянь першого порядку для точок Я₁ та Я₂:

d Я₁/ dt = ( -(1/С₁ +1/ С₂ ) Я₁ +1/ С₂* Я₂)/r₁, (4)

d Я₂/ dt = ( [1/С₁ - RS(1/С₁ +1/ С₂) ] Я₁ +( RS - 1 )1/ С₂* Я₂)/( R + r₂(1 - RS))

або, якщо ввести k = RS ? 0, r = r₁ + r₂ та в= r₂ / r(0 ? в ? 1),

d Я₁/ dt = ( -(1/С₁ +1/ С₂ ) Я₁ +1/ С₂* Я₂)/((1 - в ) r),

d Я₂/ dt =([1/С₂ (1 - k )- 1/С₁ k] Я₁ +(k - 1) 1/ С₂* Я₂)/ (R - вr (k - 1)) (5)

Щоб визначити характер особливої точки (стан рівноваги Я₁ =Я₂= 0), складемо характеристичне рівняння системи лінійних диференціальних рівнянь (5):

С₁ С₂(1 - в )r [R - вr (k - 1)]л² +

+ [R (С₁ +С₂) - (k - 1) r(С₁ +вС₂) ] л + 1 = 0. (6)

Характер коренів л рівняння (6), а також і характер особливої точки, залежить від чотирех безрозмірних параметрів схеми k, в, R/ r та С₂/ С₁ Вибираючи відмінності значення ціх параметрів, можна отримати всі розглянуті вище типи особливих точок. Далі будемо вважати змінними параметрами тільки k та в (перший з них може змінюватись шляхом зміни S), наступний - шляхом зміни положення двигуна потенціометра r ), та параметри R/ r та С₂/ С₁ - незмінні.

Побудуємо розділ площини параметрів k, в на області, кожній з яких відповідає визначений тип особливої точки (рис. 4). Перш за все при k = 0 ми отримаємо два дійсних від'ємних кореня, тобто особливу точку типу стійкого вузла (Дійсно, при k = 0 коефіцієнти при л² та л додатні, додатнім виходить і дискримінант рівняння

[R (С₁ +С₂)+[r(С₁ +вС₂)]² - 4С₁С₂ (1 - в) r[R + вr] = С₁[R +r - С₂ (R + вr)]² +4 С₁С₂[R + вr ]²>0).

(рис. 4)

Це й слідувало очікувати, так як при k = 0 лампова група не грає для нашого випадку ніякої ролі, при відсутності електронних ламп у схемі, що складається з ємкостей та відторгнень, можуть виконуватися тільки затухаючі аперіодичні рухи, тобто можуть існувати тільки стани рівноваги типу стійкого вузла. Далі, при

k > 1 + R/ вr (7)

Коефіцієнт при л² є від'ємним, тому, ми маємо місц^е з особливою точкою типу сідло (границею області сідла є гіпербола k = 1 + R/ вr, відповідає особлива точка типу вузла чи фокуса. Стійкість особливої точки в цьому випадку визначається знаком коефіцієнта при г. Цей коефіцієнт перетворюється в нуль на гіперболі

k = 1 + R/r * (С₁ +С₂)/ С₁ +вС₂) (8)

додатній під нею та від'ємний над нею. Оскільки 0 ? в ? 1,

1/ в ? (С₁ +С₂)/ (С₁ +вС₂)

Та гіпербола (8) лежить під гіперболою k = 1 + R/rв, а також є границею само збурення схеми.

Границя, що відокремлює області дійсних і комплексних коренів (що відокремлює області вузла та фокуса), визначається умовою рівності нулю дискримінанта характеристичного рівняння (6), тобто умовою

[R (С₁ +С₂)- (k - 1) r(С₁ +вС₂)]²-

- 4С₁С₂ (1 - в) r[R - вr(k - 1) ] = 0 (9)

Крива, що визначається на площині параметрами в та k Рівнянням (9), не важко побачити, що маємо дві гілки, одна з яких (границя нестійких вузлів та нестійких фокусів) проходить між гіперболами (8) та k = 1 + R/rв, а інша - під гіперболою (8), але над віссю k = 0.

Якщо умова само збурення відбулась та особлива точка являється нестійкою, то ми можемо лише стверджувати, що система виходить із стану рівноваги, та може визначити характер цього руху, але нічого не може сказати про майбутній шлях системи, так як ми розглядаємо лише лінійні рівняння. Аналіз нелінійних рівнянь «універсальної» системи показує, що при виконанні умови само збурення в схемі встановлюються атозбурення: неперервні при k < k_кр = 1 + R/rв ( або, те ж саме, при в<в_кр = R-r(k-1)

Та розривні при k > k_кр (чи при в >в_кр) це тому, що в схемі мають місце, як неперервні так и розривні авто збурення, вона і була названою «універсальна»). Зазначимо, що в останньому випадку розглянута нами спрощена модель не відображає законів руху реальної схеми: поблизу стану рівноваги в цьому випадку відбуваються «швидкі» рухи, швидкості яких визначаються не рівняннями (5), а малими паразитними ємкостями схеми, тим більше, чим менші ці ємкості. Тому, було б більш правильним назвати область k > 1 + R/rв н діаграмі малюнка (рис.4) не областю сідла, а областю швидких рухів (скачкоподібних), що виводять систему із стану рівноваги.

3. Визначити та кваліфікувати особливі точки системи

1а).

x^'₁ = x^'₂

x'₂ = - ax₂ - bsinx₁

Розв'язання:

Особлива точка: x₁ = 0; x₂ = 0. Визначимо характер особливості, для цього розглянемо систему за першим наближенням:

x^'₁ = x^'₂

x'₂ = - ax₂ - bx₁ + о (|x₁| )

Відповідна характерестична матриця матиме такий вигляд:

- л 1

А = = 0

- л - b - a - л

- л (- a - л) - (- b) = 0

л² + а л + b = 0

- а + v a² - 4b

л_1,2 = < 0

2

Особлива точка - сідло (a² > 4b)

Особлива точка - фокус (a² < 4b)

Особлива точка - дикретний вузол (a² = 4b)

2а).

x^'₁ = x^'₂

x'₂ = - ax₂ - bsinx₁

Особлива точка: x₁ = 0; x₂ = 0. Визначимо характер особливості, для цього розглянемо систему за першим наближенням:

x^'₁ = x^'₂

x'₂ = a(1 -x₁²) x₂ - bx₁

Відповідна характерестична матриця матиме такий вигляд:

- л 1

А = = 0

- b a - л

л² - а л + b = 0

а + v a² - 4b

л_1,2 = >0

2

Особлива точка - сідло (a² > 4b)

Особлива точка - фокус (a² < 4b)

Особлива точка - дикретний вузол (a² = 4b)

Висновок

В цій роботі було висвітлено основні характеристики та види лінійних двовимірних систем. Вона включає в себе не тільки центрові поняття про двовимірні лінійні системи, але й основні теореми, які являються властивостями особливих точок.

Розглянули, які бувають графіки кривих, які умови сприяли таким формам, та ситуації в яких зображено можливості тієї чи іншої функції .

Першим розділом є ”Двовимірні лінійні системи”. Де ми розглянули характеристику двовимірних лінійних систем та види їх в залежності зміни деяких параметрів. Наступним розділом є ”Збурення двовимірних лінійних систем”, де розглядається нелінійна двовимірна дійсна система та основні поняття точок (ізольована, проста, точка притягання та інші.).З третього по шостий розділи ми розкрили питання про правильні, неправильні вузли та правильні фокуси, ценри, сідла та їх властивості. Навели приклади лінійних систем: малі збурення динатронного генератора, «універсальна» схема, та приклад особливих точок.

Література

1. А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гердон, А.Г. Майер/ Качественная теорія динамических систем второго порядка, из-во Наука, М., 1966.

2. А.А. Андронов, А.А. Витт, С. Э. Хайкин/ Теорія колебаний, Наука, М., 1981.

3. А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, Гостехиздат, М.-- Л., 1947.

4. А. А. Андронов, А. А. В и т т, С. Э. X а й к и н, Теория колебаний, лад. 2-е д ред. Н. А. Железцова, Физматгиз, 1959.

5. Л. И. Мандельттам, Вопросы электрических колебательных системы радиотехники, Сб. «Первая Всесоюзная конференция по колебаниям», т. 1, стр. 5, ГТТИ, 1933.

6. Л.И.Мандельштам, А.А. Витт, Н.Д.Папалексв, А.А.Андронов, Г. С. Горелик, С.Э.Хайкин, Новые исследования в области нелинейных колебаний, Радиоиздат, 1936.

7. А. А. Андронов, 1) Математические проблемы теории колебаний; 2) Л. И. Мандельштам и теория нелинейных колебаний, Собрание сочинений, Изд. АН СССР, М.-- Л., 1956.

8. Дж. Д. Биркгоф, Динамические системы, Гостехиздат, М.-- Л., 1941.

9. Л. С.Понтрягин, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физмат - гиз, М., 1961.

10. Э. А. Коддингтон, Н.Левинсон, Теория обыкновенных дифферен-циальных уравнений, Н.Левинсон М., 1958.

11. З.С. Баталова и Л. Н. Белюстина, Исследование одной нелинейной системы на торе. Изв. высш. уч. зав., «Радиофизика», т. VI (1963).

12. А. Г.майер, О траекториях на ориентируемых поверхностях, Матем. сб. 12 (54), 1 (1943).

13. И.Бендиксон, О кривых определяемых дифферен -циальными уравнениями, УМН 9 (1941).

14. Н. II. Константинов, О несамопересекающихся кривых на плоскости, Ма-тем. сб. 54 (96), 3 (1961).

15. А. И. М а л ь ц е в, Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1956.

16. В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, изд. 4-е, Гостехиздат, 1945.

17. В. В. Н е м ы ц к и й и В. В. Степанов, Качественная теория дифферен-циальных уравнений, Гостехиздат, М.-- Л., 1949.

18. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. 1949.

19. Папалекси Н.Д., Андронов А.А., Горелик Г.С., Рытов С.М. Некоторие исследования в области нелинейных колебаний начиная с 1935 года, 1947.

20. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем, Собрание трудов.

А.А. Андронова, 1956.

21. Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым, 1934.

22. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. Гостехиздат, 1950.

23. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. Гостехиздат, 1933.

24. Ван-дер-Поль Нелинейная теория електрических колебаний. Связьтехиздат, 1935.