Задачі з параметрами в курсі математики середньої школи

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНI ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Механіко-математичний факультет

Дипломна робота

ЗА ОСВІТНЬО-КВАЛІФІКАЦІЙНИМ РІВНЕМ СПЕЦІАЛІСТА

на тему:

«Задачі з параметрами в курсі математики середньої школи»

Керівник розділу

«Охорона праці та безпека

в надзвичайних ситуаціях»:

старший викладач

«__»_____________ 2013 р. _________________Тарасенко Ю.В.

Дніпропетровськ

2013 р.

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. РІВНЯННЯ В ЗАДАЧАХ З ПАРАМЕТРАМИ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ'ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ

1.1 Лінійні рівняння з параметром

1.2 Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром 2

1.3 Квадратні рівняння з параметром

1.4 Системи квадратних рівнянь з двома змінними з параметром

1.5 Ірраціональні рівняння з параметрами

1.6 Показникові рівняння з параметрами

1.7 Логарифмічні рівняння з параметрами

1.8 Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами

РОЗДІЛ 2. НЕРІВНОСТІ В ЗАДАЧАХ З ПАРАМЕТРАМИ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ'ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ

2.1 Лінійні та квадратні нерівності з параметром

2.2 Системи лінійних та квадратних нерівностей з двома змінними з параметром

2.3 Ірраціональні нерівності з параметрами

2.4 Показникові нерівності з параметрами

2.5 Логарифмічні нерівності з параметрами

2.6. Тригонометричні нерівності та системи тригонометричних нерівностей з параметрами

РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІЧНИХ МЕТОДІВ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОГРАМНО-ГРАФІЧНОГО КАЛЬКУЛЯТОРА MICROSOFT MATHEMATICS

3.1 Застосування графічних методів паралельного переносу в розв'язанні задач з параметрами

3.2 Застосування графічних методів повороту в розв'язанні задач з параметрами

3.3 Застосування графічних методів гомотетії в розв'язанні задач з параметрами

3.4 Застосування графічних методів двох прямих на площині в розв'язанні задач з параметрами

РОЗДІЛ 4. ОХОРОНА ПРАЦІ ТА БЕЗПЕКА В НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЯХ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ ШКОЛІ

4.1 Законодавчі основи організації охорони праці в галузі освіти та безпеки життєдіяльності в загальноосвітній школі

4.2 Аналіз стану охорони навчання і праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в приміщенні кабінету математики та інформатики 11 класу

4.3 Обґрунтування заходів щодо покращення санітарно-гігієнічних умов навчання учнів в кабінеті математики та інформатики 11 класу загальноосвітньої школи

4.3.1 Вимоги до штучного освітлення на робочому місці при роботі за комп'ютером

4.3.2 Вимоги до природнього освітлення

4.3.3 Розробка системи штучного освітлення

4.3.4 Практичний розрахунок штучного освітлення

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Орієнтація освіти на особистісний розвиток, варіативність школи вимагає переусвідомлення всіх чинників, в тому числі змісту, методів, форм і засобів навчання, від яких залежить якість навчально-виховного процесу. Реалізація цієї мети можлива у збагаченні шкільного курсу математики таким навчальним матеріалом, який міг би забезпечити учню можливість активно залучатися до дослідницької діяльності, у процесі якої в нього відбувалося б формування дослідницьких умінь. Таким матеріалом можуть стати системи задач із параметрами, тобто задачі, в яких умова, хід розв'язку і форма результату залежать від величин, чисельні значення яких не задані конкретно, але повинні вважатися відомими.

Залучення до навчального процесу задач із параметрами дозволяє природно й педагогічно доцільно імітувати повний процес прикладного математичного дослідження або окремих його етапів, що сприяє розвитку в учнів глибокого стійкого інтересу до дослідження. В процесі розв'язування задач із параметрами учні знайомляться з великою кількістю евристичних прийомів загального і спеціального характеру .

У методичній літературі зустрічається ряд робіт, пов'язаних із задачами з параметрами, автори яких В.І.Голубєв, О.М.Гольдман, Г.В.Дорофєєв, М.Я.Ігнатенко, К.С.Кочарова, О.А.Корміхін, В,С,Крамор, В.М.Лейфура, В.К.Марков, С.І.Мещерякова, Г.Ф.Олійник, Н.О.Тарасенкова, І.І.Чучаєв, І.Ф.Шаригін та ін., але анкетування учнів 10х - 11х класів й їх учителів показало, що задачам з параметрами, навіть у класах із поглибленим теоретичним і практичним вивченням математики, не надається належної уваги.

Таким чином, проблема формування й розвитку дослідницьких умінь учнів у процесі розв'язування математичних задач з параметрами є актуальною з точки зору розвитку творчої особистості школярів в умовах впровадження нової парадигми освіти.

Об'єкт дослідження - процес навчання математики учнів загальноосвітніх класів та класів з поглибленим теоретичним і практичним вивченням математики. Предмет дослідження - система задач із параметрами як засіб розвитку дослідницьких умінь учнів і методика навчання їх розв'язуванню. Мета дослідження - розробка системи задач із параметрами й методик їх розв'язання в процесі навчання з метою реалізації розвиваючого навчання, ідей моделювання і прикладної спрямованості курсу математики.

Гіпотеза дослідження - якщо в процесі навчання математики використовувати систему задач із параметрами, яка містить їх як моделі реальних систем і процесів, їх дослідження, а також узагальнення математичних задач і тверджень, реалізуючи при цьому дидактичні і психологічні принципи розвиваючого навчання, то це буде сприяти інтелектуальному розвитку учнів, підвищенню їх інтересу до математики як навчального предмета, розвитку дослідницьких умінь і загального рівня математичної підготовки.

Теоретичне значення дослідження полягає в тому, що:

1) запропонована система задач з параметрами во всіх розділах шкільної програми алгебри; 2) запропоновані аналітичні способи досліджень при розв'язанні рівнянь та нерівностей з параметрами; 3) запропоновані інтерактивні способи графічного розв'язання задач з параметрами з використанням комп'ютерної графіки в системі MICROSOFT MATHEMATICS, встановлена їх ефективність впровадження у плані формування дослідницьких умінь в учнів.

Практичне значення результатів дослідження полягає в тому, що в ньому розроблена методика конструювання і використання в навчальному процесі системи задач з параметрами на основі методології математичного моделювання, запропонована методика сприяє розвитку інтелектуальних і дослідницьких умінь і навичок, оволодінню корисними прийомами евристики та прикладного застосування комп'ютерних систем професійного рівня.

РОЗДІЛ 1. РІВНЯННЯ В ЗАДАЧАХ З ПАРАМЕТРАМИ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ'ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ

1.1 Лінійні рівняння з параметром

Задачі з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури в школярів, але їхнє рішення викликає в них значні утруднення. Це пов'язане з тим, що кожне рівняння з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких повинне бути отримане рішення. Такі задачі пропонуються на єдиному державному іспиті й на вступних іспитах у вузи [15].

Розв'язування рівнянь з параметрами визначається залежно від допустимих значень параметрів. Параметр - це змінна або постійна величина в рівняння, яка не розглядається як така, що треба знайти, а навпаки, корені рівняння знаходять залежно від цієї величини.

Означення. Рівнянням з параметрами а1, а2, …, аn називаємо рівняння виду:

(1.1.1)

де х -- шукана невідома.

Значення шуканого невідомого х залежить від значення параметрів.

Значення параметрів при яких вираз має зміст при деяких значеннях х, називають допустимими. Множину всіх допустимих систем значень параметрів рівняння (1.1.1) називають областю зміни параметрів цього рівняння.

Розв'язати рівняння з параметрами означає знайти всі розв'язки цього рівняння для кожної допустимої системи значень параметрів.

Щоб розв'язати рівняння (1.1.1) треба:

визначити область допустимих значень параметрів

розв'язати рівняння (1.1.1) відносно х і подати невідоме х у вигляді функції від параметрів;

з'ясувати, при яких допустимих значеннях параметрів значення функції є розв'язками даного рівняння;

розглянути рівняння (1.1.1) при таких допустимих значеннях параметрів, при яких його не можна розв'язати відносно х і з'ясувати чи має рівняння при цих значеннях параметрів розв'язки і, якщо має, то які.

Означення. Рівняння виду

(1.1.2)

де х -- невідоме, -- параметри, називають лінійним рівнянням з параметрами.

Якщо , то рівняння (1.1.2) має єдиний розв'язок:

Якщо , то рівняння (1.1.2) має безліч розв'язків.

Якщо то рівняння (1.1.2) не має розв'язків.

Приклад 1.1.1. При якому значенні параметра в рівняння

має безліч розв'язків?

1. Використовуючи схему дослідження лінійного рівняння, маємо:

Розв'язуючи цю систему, дістанемо:

 отже,

Відповідь. При система рівнянь має безліч розв'язків.

Приклад 1.1.2. При якому значенні параметра b рівняння

не має розв'язку?

1. Після перетворення рівняння до виду

Останнє рівняння не має розв'язків якщо

звідки

Відповідь. .

Приклад 1.1.3. Розв'язати рівняння

ах - 3 = b залежно від параметрів а і b.

Розв'язання.

1. Виконавши у рівняння ах-3 = b тотожні перетворення, дістанемо: ах = b+3.

1) якщо а?0, то х = при будь - якому b;

2) якщо а =0, то при b= -3 рівняння набуває вигляду 0х=0, тобто коренями рівняння є всі числа;

3) якщо а=0 і b?-3, дістанемо 0х = b +3 ?0, така рівність неможлива, тому рівняння коренів не має.

Відповідь. при а ?0 і будь - якому b х =;

при а =0 і b = -3 корені рівняння - всі числа;

при а=0 і b?0 коренів немає.

Приклад 1.1.4. Розв'язати рівняння :

(а-1)(а+1)х - а -1 =0 залежно від а.

Розв'язання.

1. Запишемо рівняння у вигляді: (а-1)(а+1)х = а+1.

2. Добуток (а-1)(а+1) дорівнює нулю при а =1 або

а = -1, тому розглянемо такі випадки:

1) при а = 1 рівняння набуває вигляду 0х = 2, яке коренів не має;

2) при а = -1 дістанемо рівняння 0х =0, корені якого є всі числа;

3)при |а| ?1 (а-1)(а+1) ?0, тому

х =.

Відповідь: при |а| ?1 ;

при а = -1 корені рівняння - всі числа;

при а = 1 - коренів немає.

Приклад 1.1.5. Розв'язати рівняння з параметрами .

Розв'язання.

1. Область допустимих значень невідомого і параметрів х ?0, х ? а.
Маємо а - х = bх, (b+1)х = а.

2. Якщо b = -1, а = 0, то рівняння а - х = bх, (b+1)х = а набирає вигляду 0х = 0. Це рівняння справджується для будь - яких значень х, що входять до області допустимих значень.

3. Якщо b = - 1, а ? 0, то рівняння набуває вигляду 0х = а. Коренів немає.

4. Якщо b ? - 1, то рівняння має єдиний розв'язок х = .

Перевіримо, при яких значеннях параметрів а і b утворений корінь задовольняє рівняння.

Виходячи з умови, х ? 0 та а - х ?0, Отже,
Звідси а ? 0 та b ? 0.

Висновок: 1. якщо b = -1, а =0, то рівняння має безліч коренів, тобто має смисл при будь - яких дійсних х, крім х = 0, х =а. 2. Якщо b - 1, а ?0, то розв'язків немає. 3. Якщо х ? 0, а ? 0, b ? 0, то х = .

1.2 Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром

Дослідження та розв'язання систем лінійних рівнянь з двома невідомими та з параметрами складається з етапів встановлення:

- чи є система визначеною тобто має єдиний розв'язок, і при яких умовах;

- чи є система несумісною тобто немає розв'язків, і при яких умовах;

- чи має вона безліч розв'язків і при яких умовах.

Дослідження системи рівнянь в загальному алгебраїчному вигляді здійснюється за наступним алгоритмом:

(1.2.1)

де -- невідомі; -- параметр.

1. Якщо то система має єдиний розв'язок.

При цьому графіки рівнянь, що входять у систему, мають одну спільну точку, координати якої є розв'язком системи.

2. Якщо то система не має розв'язків.

Графіки рівнянь при цьому є взаємно паралельними прямими.

Якщо то система рівнянь має безліч розв'язків.

Графіки рівнянь збігаються.

Найпоширенішими способами розв'язання системи рівнянь з двома змінними є спосіб підстановки та спосіб додавання.

Спосіб підстановки. Щоб розв'язати систему (1.2.1) способом підстанов-ки, треба:

1) виразити з якого небудь її рівняння одну змінну через другу змінну та коефіцієнти, наприклад із системи (1.2.1):

(1.2.2)

2) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної здобутий вираз;

 (1.2.3)

3) розв'язати утворене лінійне рівняння (1.2.3) з однією змінною ;

4) знайти відповідне значення (1.2.1) другої змінної .

Приклад 1.2.1. При якому значенні параметра а система має безліч розв'язків?

1. Система має безліч розв'язків, якщо

2. Розв'язуємо рівняння .

3. Звідси . З умови маємо .

Відповідь.

Приклад 1.2.2. При яких значеннях а система не має розв'язків?

1. Система не має розв'язків, якщо

2. Розв'яжемо рівняння

Звідси

3. Перевіримо умову

4. Підставимо в останній вираз замість а значення дістанемо

5. Якщо то система немає розв'язків.

Відповідь: (.)

Приклад 1.2.3. При яких значеннях система рівнянь має розв'язки ?

1. Система має розв'язки, якщо

тобто

2. Розв'язуючи систему рівнянь, матимемо

3. За умовою задачі тобто



4. Оскільки , то остання система рівносильна системі:

звідси

Відповідь:

Приклад 1.2.4.Знайдіть значення параметра а, при якому система не має розв'язків.

.

Щоб система не мала розв'язків, потрібно, щоб виконувалися умови

, звідси , ,

, а=-8.

Відповідь: при а=-8.

Приклад 1.2.5. Знайдіть значення параметра а, при якому система рівнянь

 , має нескінченну кількість розв'язків.

Розв'язання

Система має нескінченну кількість розв'язків тоді, коли виконуються умови

= ,

Звідси ,

а2+15а+14=6а-6,

6а-60=2а2+28а, а=-5.

а

Відповідь при а=-5.

Приклад 1.2.6. Знайдіть значення параметрів а і b, при яких система рівнянь

, має безліч розв'язків.

Розв'язання

Система має безліч розв'язків, якщо

,

звідси ; відповідно

Відповідь: (-2;-6), (6;2).

Приклад 1.2.7. Знайдіть значення параметра а, при яких розв'язки системи рівнянь , задовольняють умови:

Розв'язання

Додавши почленно рівняння системи, дістанемо 4, х = . Здобутий вираз підставимо в друге рівняння системи: ,

З'ясуємо, при яких значеннях параметра розв'язки системи задовольняють умову

Для цього розв'яжемо систему нерівностей

а=2.

Відповідь: а = 2

1.3 Квадратні рівняння з параметром

Рівняння виду де -- шукане невідоме, -- параметри, називається квадратним рівнянням з параметрами.

Корені квадратного рівняння знаходимо за формулою:

, де (1.3.1)

Якщо то рівняння має 2 дійсні корені.

Якщо , то рівняння має єдиний корінь.

Якщо , то рівняння не має дійсних коренів.

Для коренів і квадратного рівняння виконуються наступні теореми, для чого розглянемо деякі властивості квадратного тричлена. Виділяючи повний квадрат, дістанемо формулу:

(1.3.2)

із якої маємо, що графік квадратичної функції отримується із графіка функції за допомогою 2-х паралельних переносів -- зсуву на вимогу вздовж осі ох і зсуву на величину вздовж осі оу.

Тому координати визначаються параметром

(1.3.3)

Віссю симетрії параболи є пряма

Теорема (Вієта). Між коренями і квадратного рівняння існують співвідношення:

(1.3.4)

Теорема. Для того щоб корені квадратного рівняння мали однакові знаки, необхідно і достатньо виконання співвідношень:

(1.3.5)

при цьому обидва корені будуть додатні, якщо додатково виконується умова

(1.3.6)

і обидва кореня будуть від'ємні, якщо

(1.3.7)

Теорема. Для того щоб корені квадратного рівняння мали різні знаки, необхідно і достатньо щоб виконувалися співвідношення

(1.3.8)

Наведемо також теореми про розташування коренів квадратного рівняння.

Теорема. Нехай числа і корені квадратного рівняння де і дані деякі точки і на осі

Тоді:

1. Обидва корені менше числа , тобто

і

тоді і тільки тоді, коли

або (1.3.9)

2. Корені лежать по різні боки від числа тобто

тоді і тільки тоді, коли

або (1.3.10)

3. Обидва корені більше числа , тобто і тоді і тільки тоді, коли

або (1.3.11)

4. Обидва кореня між точками і тобто

і

тоді і тільки тоді, коли

або (1.3.12)

5. Корені рівняння лежать по різні боки відрізка , тобто тоді і тільки тоді

або (1.3.13)

Приклад 1.3.1. При яких значеннях а число 2 знаходиться між коренями рівняння ?

1. Нехай і -- корені квадратного рівняння причому Формалізуючи умови задачі, дістанемо

2. Якщо розв'язувати цю систему рівнянь, то будемо мати значні труднощі.

Тому користуємося п. 2 теореми

Відповідь.

Приклад 1.3.2. При якому значенні параметра в рівняння має єдиний розв'язок?

1. Спочатку перетворюємо рівняння до виду

.

2. Це рівняння має єдиний розв'язок, якщо його дискримінант дорівнює нулю, тобто

,

звідки

Відповідь.

Приклад 1.3.3. Обчислити суму цілих значень параметра а при яких рівняння має два різні дійсні корені.

1. Рівняння має два різні дійсні корені якщо

тобто

,

2. Далі знаходимо суму цілих значень параметра а:

Відповідь.

Приклад 1.3.4. Визначити найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння має два різні розв'язки.

1. Введемо заміну (наочно, що ) і залишимо рівняння у виді:

2. Це рівняння має два розв'язки, якщо тобто . Звідци

Корені рівняння . Тому і

3. Із системи маємо: .

Відповідь.

Приклад 1.3.5. Знайти кількість цілих значень параметра при яких сума розв'язків рівняння належить проміжку ?

1. За теоремою Вієта



2. Тоді

або

або

3. Параметр набуває наступних цілих значень: 9, 10, 11, 12, 13.

Відповідь. 5 цілих значень.

Приклад 1.3.6. Розв'язати рівняння

1. ОДЗ:

Тоді після зведення до спільного знаменника рівняння набуває вигляду

або на області допустимих значень невідомого та параметра

2. Знайдемо дискримінант цього рівняння

і його корені:

3. Враховуючи ОДЗ дістанемо:

при

рівняння має два корені

4. Якщо

Приклад 1.3.7. Розв'язати рівняння а(а+1)х2- (2а2-1)х+ а(а-1)=0.

Розв'язання

1. Дане рівняння при а=0 і а=-1 є лінійним і має відповідно вид: х=0; -х+2=0. Отже при а=0, х=0; при а=-1, х=2.

2. Нехай а?0 і а ? - 1. Тоді, рівняння є квадратним, знайдемо його дискримінант.

D=(2а2 - 1)2 - 4 а(а+1) а(а-1)=1>0

3. Рівняння має два корені:

. ; .

Відповідь: Коли а=0, х=0; коли а=-1, х=2; коли а?0, а ? - 1,

; .

Приклад 1.3.11. Знайти всі значення а, для яких один корінь рівняння

2ах2 - 2х - 3а - 2 =0 більше 1, а другий менше 1.

Розв'язання

1. Для того щоб корені рівняння задовольняли умову задачі потрібно, щоб виконувалася умова:

аf(т)= 2а(2ат2 - 2т - 3а - 2)<0;

2а( - 4 - а ) <0, а.

Відповідь: а.

Приклад 1.3.8. Розв'яжіть рівняння .

Розв'язання. Многочлен додатний при будь-якому значенні . Отже, вихідне рівняння рівносильне рівнянню або рівнянню .

Відповідь: 1. , якщо ;

2. , якщо ;

3. , якщо ;

4. розв'язків не існує, якщо

1.4 Системи квадратних рівнянь з двома змінними з параметром

Враховуючи, що кожне окреме лінійне рівняння з двома змінними має безліч розв'язків, розв”язком системи квадратних та лінійних рівнянь назива-ється спільний розв'язок усіх її рівнянь. Тобто розв'язати систему квадратного та лінійного рівнянь з двома змінними:

(1.4.1)

- при заданих коефіцієнтах - це знайти множину значень (), які задовольняють кожному рівнянню.

Найпоширенішими способами розв'язання системи рівнянь з двома змінними є спосіб підстановки та спосіб додавання.

Спосіб підстановки. Щоб розв'язати систему (1.4.1) способом підстанов-ки, треба:

1) виразити з якого небудь її рівняння одну змінну через другу змінну та коефіцієнти, наприклад із системи (1.4.1):

(1.4.2)

2) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної здобутий вираз;

(1.4.3)

3) розв'язати утворене квадратне рівняння (1.4.3) з однією змінною ;

4) знайти відповідне значення (1.4.2) другої змінної .

Спосіб додавання.При вирішенні системи рівнянь способом додавання:

1) Виконуємо рівносильними перетвореннями зрівнювання коефіцієнтів перед однією парою однакових змінних в першому та другому рівнянні;

(1.4.4)

Для цього перше рівняння (праву і ліву частину) домножуємо на , друге рівняння (праву і ліву частину) на .

Отримуємо рівносильну систему з рівними коефіцієнтами з різними знаками перед змінною :

(1.4.5)

2) Додаючи одне рівняння від другого по частинам, отримуємо рівняння з однією змінною, яке вирішуємо.

(1.4.6)

(1.4.7)

3) підставляючи отримане значення в одне з рівнянь системи (1.4.4), отримуємо рівняння з однією змінною, яке вирішуємо, таким чином знаходячи розв'язок системи.

Приклад 1.4.1. При яких значеннях параметра система:

(1.4.8)

має єдиний розв'язок?

1. Підставивши вирази для з першого рівняння системи (1.4.8) в друге, одержимо

(1.4.9)

2. а) Якщо , то рівняння (1.4.9) не має розв'язків.

б) Якщо , то рівняння (1.4.9), а отже і система (1.4.8) має більше одного розв'язку.

в) Якщо , то має розв'язок тільки при

Відповідь: при розв'язок .

Приклад 1.4.2. При яких значеннях параметрів та система:

(1.4.10)

має не менше 5 розв'язків?

1. Перепишемо перше рівняння системи (1.4.10) у вигляді

(1.4.11)

2. Тоді початкова система (1.4.10) рівносильна сукупності наступних двох систем:

а) б) (1.4.12)

Кожна з цих систем може мати або не більше двох, або нескінченну множину розв'язків, тому система має не менше п'яти розв'язків у тому і тільки в тому випадку, коли хоча б одна з систем рівнянь (1.4.12а) чи (1.4.12б) має нескінченну множину розв'язків.

3. Виразивши з першого рівняння системи (1.4.12а) змінну і підставив-ши її у друге рівняння цієї системи, отримаємо:

(1.4.13)

4. При розв'язком рівняння (1.4.13) є будь-яке . При рівняння (1.4.13) має не більше двох розв'язків.

5. Виразивши з першого рівняння системи (1.4.12б) змінну і підставив-ши її у друге рівняння цієї системи, отримаємо:

(1.4.14)

звідки випливає, що при та , система (1.4.14) має нескінчен-ну множину розв'язків.

Відповідь: система має більше 5 розв'язків при:

1.

2.

Приклад 1.4.3. При яких значеннях параметра система:

(1.4.15)

має рівно 2 розв'язки ?

1. Нехай - шукане значення параметра, а пара чисел () - розв'язки системи. Легко встановити, що пари чисел () , (),(), також будуть розв'язками системи (1.4.15).

2. Розв'язки (),() також різні, оскільки в противному разі , але тоді пара чисел () не задовольняє друге рівняння системи.

3. Розв'язки (),() також різні, оскільки в противному разі , але тоді пара чисел () не задовольняє друге рівняння системи.

4. За умовою, система має два розв'язки, отже розв'язки (),() повинні збігатися, тобто повинна виконуватись рівність .

5. Підставивши замість у друге рівняння системи, отримуємо рівняння:

.

6. Отже, якщо при данному а пара () - розв'язок початкової системи, то . В обох випадках, підставивши () у перше рівняння системи, одержимо:

.

7. Таким чином, якщо - шукане значення параметра, то воно може приймати значення тільки .

8. При початкова система рівнянь набуде вигляду:

(1.4.16)

9. Помножимо перше рівняння системи (1.4.16) на 2 і віднімемо результат від другого рівняння системи (1.4.16). Одержимо систему:

(1.4.17)

рівносильну системі (1.4.16)

10. Система (1.4.17) у свою чергу рівносильна системі:

(1.4.18)

яка має 2 розв'язки ( та (. Отже значення параметра

і тільки це значення задовольняє умові задачі.

Відповідь: при розв'язки ( та (.

1.5 Ірраціональні рівняння з параметрами

Рівняння називається ірраціональним, якщо невідоме входить під знаком чи радикала невідоме зводиться в ступінь із дробовим показником. Рішення ірраціонального рівняння зводиться до звільнення від ірраціональності і рішенню отриманого рівняння. При зведенні рівняння в ступінь можуть з'явитися сторонні корені. Тому необхідно робити перевірку, чи є знайдені корені рішеннями вихідного рівняння. Основним методом рішення ірраціональних рівнянь є зведення обох частин рівняння в ступінь. Основними способами рішення ірраціональних рівнянь є наступні:

1. Рівняння на ОДЗ

Знаходимо ОДЗ з умов того, що підкореневе вираження вираження задовольняє умові . При рішенні ірраціонального рівняння перевіряємо, чи входять знайдені корені в ОДЗ.

2. Зведення рівняння в квадрат

3. Метод заміни

Заміна підкореневого вираження спрощує зведення ірраціонального рівняння до раціонального.

4. Виділення повного квадрата

При рішенні ірраціональних рівнянь часто використовують прийом виділення повного квадрата.

5. Множення на сполучене вираження

6. Зведення до однорідних ірраціональних рівнянь

Рівняння виду

називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною

.

7. Розкладання на множники

8. Рівняння з кубічними ірраціональностями

Розглянемо ірраціональні рівняння виду

(3)

Зведемо обидві частини рівняння в куб

.

Використаємо для спрощення рівняння (3)

. (4)

Зведемо обидві частини рівняння в куб

.

Якщо рівняння (3) маємо корінь, те він є коренем рівняння (4). Однак рівняння (4) може мати корінь, який не є коренем рівняння (3).

Позначимо:

, , .

Рівняння (4) приймає вигляд

.

Це рівняння відрізняється від рівняння (30, яку можна записати у виді . Якщо рівняння (4) має зайві корені, те смороду є коренями рівнянь

 , , .

т. е.

; , . (5)

Якщо при рішенні рівняння (4) з'явилися зайві корені, то вони задовольняють системі рівнянь (5).

9. Заміна радикалів новими невідомими

Основним способом рішення складних ірраціональних рівнянь є заміна кожного радикала новим невідомої. Це дозволяє звести ірраціональне рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.

Приклад 1.5.1. Розв'язати відносно х рівняння:

1. Нехай , тоді

при цьому . Отже

, де .

2. Нехай , тоді рівняння набуде вигляду . Таким чином - будь-яке невід'ємне число.

3. Нехай , тоді рівняння набуде вигляду . Як видно, це рівняння не має рішення.

Відповідь: 1. Якщо , то ;

2. Якщо , то ;

3. Якщо і , то коренів немає.

Приклад 1.5.2. Розв'язати відносно х рівняння:

(1.5.1)

1. Піднявши обидві частини рівняння (1.5.1) до квадрата, одержуємо:

(1.5.2)

або

(1.5.3)

2. Нехай , тоді рівняння (1.5.3) набуде вигляду , тобто воно не має розв'язків.

3. Нехай , тоді рівняння (1.5.3) набуде вигляду

. (1.5.4)

4. Для перевірки підставимо отриманий вираз (1.5.4) у ліву і праву частину рівняння (1.5.1):

а) Ліва частина

При і при маємо ;

При маємо .

б) Права частина

5. Звідси випливає, що є коренем рівняння (1.5.1) при і при . При - розв'язків немає.

Відповідь: 1. Якщо і , то .

2. Якщо , то коренів немає.

Приклад 1.5.3. Залежно від значення параметра а розв'язати відносно х рівняння:

(1.5.5)

1. Приймемо заміну , де . Тоді і рівняння (1.5.5) набуде вигляду

(1.5.6)

2. Рівняння (1.5.6) рівносильне системі рівнянь

 (1.5.7)

3. Розв'язавши перше рівняння системи (1.5.7), отримуємо:

4. Система (1.5.7) буде мати розв'язки у наступних трьох випадках:

а) ;

б) ;

в) .

5. Випадок а) можливий, коли .

6. Випадок б) можливий, коли .

Ця нерівність рівносильна системі:

з якої випливає, що . При таких значеннях параметра а одержуємо два корені:

7. Випадок в) можливий, коли виконуються умови:

 (1.5.8)

Розв'язавши систему (1.5.8), знаходимо, що при , одержуємо один корінь:

.

Відповідь: 1. Якщо , то ;

2. Якщо , то

3. Якщо , то ;

4. Якщо , то розв'язків немає.

1.6 Показникові рівняння з параметрами

Приведемо деякі властивості показників функції , які застосовуються при рішенні рівнянь з параметрами:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

При показова функція зростає при всіх значеннях х, при показова функція убуває при всіх значеннях х (Рис. 1.6.1).

Рис. 1.6.1. Графіки показникової функції в областях ОДЗ

Приклад 1.6.1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння

15·10 х - 20 = n - n · 10х + 1 не має коренів?

Розв'язок: 1. перетворимо задане рівняння:

15·10 х - 20 = n - n · 10х + 1;

15·10 х + n· 10х + 1 = n + 20;

10 х ·(15 + 10n) = n + 20;

10 х = . (1.6.1)

2. Рівняння (1.6.1) не буде мати рішень при ? 0, оскільки 10 х завжди позитивно.

3. Вирішуючи зазначену нерівність методом інтервалів, маємо:

? 0;

(n + 20)·(15 + 10n) ? 0;

- 20 ? n ? - 1,5.

Відповідь: n належить інтервалу.

Приклад 1.6.2. Указати найбільше ціле значення параметра а, при якому корінь рівняння 4х2 - 2х + а = 0 належить проміжку (- 1; 1).

Розв'язок: 1. Корені заданого рівняння рівні:

х1 = (1+ )

х2 = , при цьому а ? .

2. За умовою -1 < (1+ ) < 1 < < 3,

- 1 < < 1 > > - 3.

3. Рішенням, що задовольняють зазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: - 3 < < 3.

4. Нерівність - 3 < виконується при всіх а ? , нерівність < 3 - при - 2 < а ? . Таким чином, припустимі значення параметра а лежать в інтервалі (-2; .

Найбільше ціле значення параметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і проміжку (-1; 1), дорівнює 0.

Відповідь: .

Приклад 1.6.3. Указати значення параметра а, при якому рівняння

х4 + (1 - 2а)х2 + а2 - 4 = 0 має три різних корені.

Розв'язок: 1. Усяке біквадратне рівняння в загальному випадку має дві пари корінів, при чому корні однієї пари різняться тільки знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля.

Корінь заданого рівняння дорівнює:

х =

Одна з пар корінів буде дорівнює 0, якщо (2а-1) = . Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1 > 0 > , маємо: (2а - 1) = (2а - 1)2 = 17 - 4а

4а2 - 4а +1 = 17 - 4а а = 2.

Відповідь: .

1.7 Логарифмічні рівняння з параметрами

Визначення. Логарифм числа b по заснуванню а називається степінь, в яку потрібно звести до основи а, щоб отримати число b

. (1.7.0)

При визначенні логарифма (1.7.0) приймають наступні обмеження на ОДЗ параметрів - .

Логарифмічна функція є функція зворотна до показової функції .

При логарифмічна функція зростає при , при логарифмічна функція убуває при (Рис. 1.7.1).

Рис. 1.7.1. Характер зміни функції логарифму в області ОДЗ

Основні тотожності для визначення логарифмів

.

Приведемо деякі властивості логарифмів

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. Формула переходу до нової основи

.

8. .

9. .

10.

11. .

12. .

Приклад 1.7.1. Знайти всі значення а, при яких рівняння

(1.7.1)

Має два розв'язки. У відповіді вказати найбільше ціле значення а.

1. Рівняння (1.7.1) за визначення логарифма має зміст, якщо та , тобто якщо

2. Із рівності логарифмів в рівнянні (1.7.1) випливає, що

(1.7.2)

3. Отримане квадратне рівняння має два розв'язки, якщо дискримінант , звідки .

4. Враховуючи ОДЗ, знаходимо, що дане рішення має наступні розв'язки в проміжках, якщо

.

Найбільше ціле значення а=-2.

Відповідь: Найбільше ціле значення а=-2.

Приклад 1.7.2. Знайти всі значення а, при яких рівняння

(1.7.3)

має один корень.

1. Зрозуміло, що ОДЗ даного рівняння визначається системою нерівностей .

2. Отже рівняння (1.7.3) має єдиний корінь тільки тоді, коли система

(1.7.4)

має єдиний розв'язок.

3. Записавши рівняння у вигляді

(1.7.5)

робимо висновок, що воно має розв'язок при додатному дискримінанті

,

тобто, якщо або . При виконанні цих умов рівняння має два корені

 та

а) при не виконується нерівність

б) при із системи коренів по теоремі Вієтта

Випливає, що обидва корені рівняння (1.7.5) -від'ємні.

Для коренів виконуються наступні нерівності:

і

і

тому при система (1.7.4), а отже і рівняння (1.7.3) мають єдиний розв'язок .

При система (1.7.4) має тільки один розв'язок .

При із системи

випливає, що обидва корені рівняння (1.7.5) додатні, тобто система (1.7.4), а з ним і система (1.7.3) мають два розв'язки.

Отже, рівняння (1.7.3) має єдиний розв'язок, якщо або .

Відповідь: .

Приклад 1.7.3. Розв'язати відносно рівняння

(1.7.6)

1. Рівняння (1.7.6) має зміст при - це область визначення данного логарифмічного рівняння.

2. У визначеній області рівняння (1.7.6) рівносильне наступному:

(1.7.7)

3. Користуючись означенням логарифма, від рівняння (1.7.7) перйдемо до рівносильного рівняння

(1.7.8)

4. Розглянемо два випадки: а) ; б) .

а) нехай , тоді рівняння (1.7.8) набуде вигляду

звідки , , де , тобто .

Зауважуємо, що обидва отримані корені задовольняють умові .

б) Нехай , тоді рівняння (1.7.8) набуде вигляду



звідки , , де , тобто .

При цьому корінь не задовольняє умові , а корінь при.

Відповідь: 1. якщо , то три корені , ,

2. якщо , то один корінь

Приклад 1.7.4. Знайти всі значення , що задовольняють рівняння

(1.7.9)

при будь-яких значеннях параметра а.

1. Оскільки рівняння (1.7.9) повинне мати розв'язок при будь-яких значеннях параметра , то воно буде мати розв'язок і при .

2. При такому значенні рівняння (1.7.9) набуде вигляду

(1.7.10)

3. Рівняння (1.7.10) має зміст, якщо виконується умова . За цієї умови маємо

(1.7.11)

4. Спростивши рівняння (1.7.11), отримуємо рівняння

 (1.7.12)

коренями якого є значення та .

5. Ці два значення дають потрібні умови існування розв'язків рівняння (1.7.9) при всіх значеннях параметра .

6. Підставивши значення у рівняння (1.7.9), отримуємо співвідношення

, яке має зміст, якщо

Тобто якщо . Таким чином, у даному випадку рівняння (1.7.9) задовольняється не при будь-яких значеннях , що суперечить вимозі задачі.

7. Якщо ж , то рівняння (1.7.9) стає правильною рівністю

Відповідь: .

1.8 Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами

При розв'язанні тригонометричних рівнянь з параметрами застосовують основні тригонометричні тотожності та основні властивості тригонометричних перетворень взаємопов'язаних тригонометричних функцій.

Вкажемо застосовуємі вісім основних груп формул тригонометрії:

1. Основні співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу:

2. Формули додавання аргументів:

3. Формули подвійного і потрійного аргументів:

4. Формули зниження степеня:

5. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму:

6. Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:

7. Формули, які дають раціональний вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу:



8. Формули тригонометричних функцій половинного аргументу:

Знак перед радикалом в останніх трьох формулах залежить від того , в'якій кординатній чверті знаходиться кут .

Крім основних формул тригонометрії, при розвязуванні прикладів часто використовують метод введення допоміжного кута для виразів виду

де

Цей вираз можна перетворити у добуток у такий спосіб:



( такий кут існує, оскільки

).

Таким чином, , де ( інакше ).

Розглянемо розв' язання найпростіших тригонометричних рівнянь з параметрами.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв'язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 1.8.1)

Рис.1.8.1 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв'яків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо ( серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв'язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Зазначимо , що для запису розв'язків тригонометричних рівнянь часто використовують символіку з теорії множин. Наприкла, множина розв'язків рівняння можна записати у вигляді .

2. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв'язки тільки при . Використовуючи рис.1.8.2, і провівши міркування, аналогічно при розв'язанні рівняння , остаточно дістаємо:

Для окремих випадків

А)

Б)

В)

Відповідні геометричні ілюстрації наведені на рис. 1.8.2.

Рис.1.8.2. До рівняння

3.Рівняння

Використовуючи рис. 1.8.3 , неважко довести, що всі корені рівняння задаються формулою

Для окремих випадків, коли дістаємо:



Рис.1.8.3. До рівняння

4.Рівняння

Використовуючи рис.1.8.4 , неважно довести, що всі корені рівняння визначаються співвідношенням

Для окремих випадків, коли дістаємо:



Рис.1.8.4. До рівняння

Розглянемо деякі типи систем тригонометричних рівнянь і найважливіші методи їх розв'язання.

Приклад 1.8.1. Розв'яжемо систему виду:

(1.8.1)

а) Додаючи та віднімаючи рівняння системи (1.8.1), одержуємо рівносильну систему

(1.8.2)

б) Система (1.8.2), а отже, і система (1.8.1) мають розв'язки тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

якщо ці умови виконано, то

 (1.8.3)

де - будь-які цілі числа, а їх знаки довільні.

в) Нехай , а . Таким чином формули (1.8.3) визначають чотири серії розв'язків:

(1.8.4)

(1.8.5)

(1.8.6)

(1.8.7)

г) Розв'язавши ці підсистеми, отримуємо:

(1.8.8)

(1.8.9)

(1.8.10)

(1.8.11)

де , а .

Приклад 1.8.2. При яких значеннях рівняння

має розв'язок? (1.8.12)

Розв'язок:

а) Перетворимо рівняння (1.8.12) наступним чином

або після скорочення

(1.8.13)

б) Нехай , де . Тоді після цієї заміни рівняння (1.8.13) набуде вигляду

(1.8.14)

в) Знайдемо корені рівняння (1.8.14):

, де (1.8.15)

г) Розв'яжемо сукупність двох систем нерівностей:

г1) звідки

г2) звідки

Відповідь:

Приклад 1.8.3. При кожному значенні параметру розв'язати рівняння

(1.8.16)

1. Розв'яжемо дане рівняння як квадратне відносно синуса, увівши обмеження .

2. Рівняння (1.8.16) зводиться до сукупності двох рівнянь:

(1.8.17)

(1.8.18)

2. Рівняння (1.8.17) не має розв'язків при жодному значенні а , оскільки

(за означенням арифметичного кореня, для додатного значення підкореневого виразу повинно виконуватись нерівність )

3. Для рівняння (1.8.18) повинна виконуватись система нерівностей:

(1.8.19)

5. Розв'язавши систему (1.8.19), знаходимо

Відповідь: якщо , то ;

якщо , то коренів немає.

Приклад 1.8.4. При кожному значенні параметру розв'язати рівняння

(1.8.20)

1. Розв'яжемо дане рівняння як квадратне відносно синуса, увівши обмеження .

2. Вводимо заміну , тоді рівняння (1.8.20) перетворюється на квадратне

, а його рішення становитимуть

; ;

при умові (1.8.21)

3. Рівняння має розв'язок, якщо виконується система нерівностей

(1.8.22)

Розв'язання системи (1.8.22) є належність а до подвійного інтервалу, що записується як .

4. Рівняння має розв'язок, якщо виконується система нерівностей

(1.8.23)

Розв'язання системи (1.8.23) є належність а до подвійного інтервалу, що записується як

.

Відповідь: 1. якщо , то коренів немає;

1. Якщо ,то

2. Якщо ,то

Приклад 1.8.5. При кожному значенні параметру розв'язати рівняння

(1.8.24)

1. Скористаємось формулою різниць синусів, а також формулою синуса подвійного кута. Тоді з рівняння (1.8.24) одержимо

(1.8.25)

2. Винесемо спільний множник за дужки

Звідки, застосовуючи формулу суми косинусів, маємо

(1.8.26)

3. Розглянемо окремо кожен множник у рівнянні (1.8.26):

а) , тобто . У цьому випадку рівняння (1.8.24) задовольняється при будь якому з множини дійсних чисел;

б) , тобто , незалежно від значення параметра а;

в) , тобто .

Відповідь: 1. якщо , то (будь-яке дійсне число).

2. якщо , то і

Приклад 1.8.6. При кожному значенні параметру розв'язати рівняння

(1.8.27)

1. Після рівносильних перетворень зведемо рівняння (1.8.27) до вигляду

(1.8.28)

2. Рівняння (1.8.28) зводиться до сукупності двох рівнянь:

(1.8.29)

(1.8.30)

3. Рівняння (1.8.29) має розв'язок при умові .

Ці нерівності виконуються, якщо .

4. Права частина рівняння (1.8.30) більша або дорівнює 1. Тому воно має розв'язок тільки у випадку , коли . Тоді рівняння (1.8.30) набуває вигляду і збігається з рівнянням (1.8.29) при .

5. Отже рівняння (1.8.29) має ті ж самі розв'язки, що і рівняння (1.8.30). Запишемо ці розв'язки

Відповідь: 1. Якщо , то

2. якщо , то коренів немає.

Приклад 1.8.7. При кожному значенні параметру розв'язати рівняння

(1.8.31)

1. Застосовуючи формулу суми косинусів, перетворимо рівняння (1.8.31) до вигляду

(1.8.32)

2. Після спрощення рівняння (1.8.32) одержимо

(1.8.33)

3. Рівняння має розв'язок при всіх , а рівняння - тільки при

Відповідь: 1. якщо , то

2. якщо , то

Приклад 1.8.8. При кожному значенні параметру розв'язати рівняння

(1.8.34)

1. Після переходу до функцій подвійного аргументу рівняння (1.8.34) набуде вигляду

(1.8.35)

2. Спростивши ліву частину рівняння (1.8.35), одержимо

(1.8.36)

3. Рівняння (1.8.36) має розв'язок при умові .

4. Отже

Відповідь: 1. Якщо , то

2. Якщо , то коренів немає.

Приклад 1.8.9. При кожному значенні параметру розв'язати рівняння

(1.8.37)

1. Якщо використати формули тангенса подвійного кута і тангенса різниці двох кутів, то рівняння (1.8.37) зведеться до вигляду

(1.8.38)

2. Спростивши рівняння (1.8.38), одержимо

(1.8.39)

3. Якщо , то права частина рівняння (1.8.39) не визначена. Разом з тим, при рівняння (1.8.37) має вигляд

і його можна розв'язувати.

4. Повернемось до рівняння (1.8.37) і перетворимо його за допомогою формули різниці тангенсів; тоді при одержимо

(1.8.40)

5. Розв'яжемо рівняння (1.8.40):

а) використовуючи формулу зведення, замінимо на .

б) отже, при ліву частину рівняння (1.8.40) можна скоротити і звести його до вигляду .

в) звідси . Такі значення входять в ОДЗ рівняння (1.8.40).

6. Повернемось до рівняння (1.8.39). При і воно зводиться до рівняння і, отже:



Відповідь: 1. Якщо , то

2. Якщо , то

3. Якщо , то коренів немає.

Приклад 1.8.10. При кожному значенні параметру розв'язати рівняння

(1.8.41)

1. Застосовуючи формули синуса й косинуса подвійного аргументу й основну тригонометричну тотожність, одержимо однорідне рівняння другого степеня відносно синуса і косинуса

(1.8.42)

рівняння тригонометричний система параметр

2. Після спрощення рівняння (1.8.42), отримуємо рівняння

(1.8.43)

а) якщо , то рівняння (1.8.43) набуває вигляду

Звідси випливає, що

.

б) якщо , то рівняння (1.8.43) набуває вигляду

в) нарешті, якщо та , то обидві частини рівняння (1.8.43) можна почленно поділити на . Маємо

звідки

(1.8.44)

3. Розв'яжемо рівняння (1.8.44):

а) при одержуємо .

б) при знаходимо

Відповідь: 1. Якщо , то

2. Якщо , то

3. Якщо , то .

4. Якщо , то коренів немає.

5. Якщо , то .

Приклад 1.8.11. Залежно від значень параметру розв'язати рівняння

(1.8.45)

1. Перейдемо від дробового рівняння (1.8.45) до цілого з урахуванням ОДЗ. При умовах та , одержимо рівносильне рівняння

(1.8.46)

2. Рівняння (1.8.46) зводиться до сукупності рівнянь:

а)

б) , або

(1.8.47)

3. Розглянемо модуль правої частини рівняння (1.8.47):

( оскільки .

Тому рівняння (1.8.47) не має коренів.

4. У пункті 2 ми встановили, що - корені рівняння (1.8.46), які не залежать від параметра а. Однак з множини коренів варто відкинути ті, при яких та (умови перетворення та спрощення), або корені рівнянь та .

Враховуючи, що рівність реалізується при , відповідно в цих точках , тобто .

Відповідь: 1. Якщо , то

2. Якщо , то

3. Якщо , то

Приклад 1.8.12. При якій залежності між параметрами і b має розв'язки рівняння

(1.8.48)

1. Початкове рівняння рівносильне сукупності двох систем:



(1.8.49)

(1.8.50)

2. Для системи (1.8.49) маємо рішення:

Звідки випливає, що

3. Для системи (1.8.50) маємо рішення:

Звідки випливає, що

Відповідь: або

РОЗДІЛ 2. НЕРІВНОСТІ В ЗАДАЧАХ З ПАРАМЕТРАМИ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ'ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ

2.1 Лінійні та квадратні нерівності з параметром

Два математичних вирази, з'єднані знаком «більше» >, «менше» <, «не більше» або «не менше» , називаються нерівностями.

Запис позначає, що або або .

Нерівності бувають чисельні і буквені. Якщо в нерівність входять перемінні, то нерівність називається з перемінними. Якщо нерівність виконується при всіх значеннях перемінних, то воно називається тотожньою нерівністю. Нерівність називається алгебраїчною, якщо з перемінними виконуються алгебраїчні дії. Інші нерівності називаються неалгебраїчними або трансцендентними.

Властивості числових нерівностей

Якщо: а < b і b < с, то а < с;

а < b і с -- довільне число, то а + с < b + с;

а < b і с > 0, то ас < bс;

а < b і с < 0, то ас > bс;

а < b і c < d, то а + с < b + d;

а < b, c < d і а, b, с, d -- числа додатні, то ас < bd.

Нерівності виду а < х < b, а ? х < b, а < х ? b, а ? х ? b називаються подвійними нерівностями. Їх зручно використовувати для оцінювання значень величин і наближених обчислень. Адже якщо а < х < b і с < у < d, то

а + с < х + у < b + d, a - d < х - у < b - с,

ас < ху < bd, a : d < х : у < b : c.

Дві останні подвійні нерівності правильні за умови, якщо числа а і с -- додатні.

Розв'язати нерівність означає знайти всі її розв'язки або показати, що їх немає. Множини розв'язків найчастіше утворюють проміжки.

Нерівності зі змінними мають багато властивостей, аналогічних до властивостей рівнянь.

1. Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в іншу доданок з проти-лежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

3. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме від'ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Якщо а і b -- дані числа, а х -- невідома змінна, то кожна з нерівностей

ах < b, ах > b, ах ? b, ах ? b (2.1.1)

називається лінійною нерівністю першої степені з однією змінною х (невідомим).

Якщо а = 0, то кожна з нерівностей (2.1.1) або не має розв'язків, або множиною її розв'язків є множина всіх дійсних чисел.

Розглянемо квадратні нерівності

. (2.1.2)

Якщо , то нерівність (2.1.2) виконується при всіх при і нерівність (2.3.1) не виконується ні в одній точці при .

Якщо , то нерівність (2.1.2) завжди виконується в точці . Нерівність (2.1.2) виконується при при і не виконується при при .

При знаходимо корні рівняння

, . (2.1.3)

При нерівність виконується при .

При нерівність виконується при .

Можна сформувати просте правило.

Якщо квадратна нерівність (2.1.2) виконана при великих значеннях , то воно виконується поза відрізка, обмеженого коренями рівняння . Якщо нерівність (2.1.2) не виконано при великих значеннях , то воно виконується на відрізку, обмеженими коренями рівняння (2.1.3).

Приклад 2.1.1. Знайти всі значення параметра , при яких система нерівностей

(2.1.4)

задовольняється лише при одному .

Розв'язання. Перепишемо систему в такому виді:

(2.1.5)

Всі розв'язки цієї системи (2.1.5) утворюють область, показану на рис.2.1.1 штриховою лінією.

Рис. 2.1.1. Графіки системи нерівностей

Вимога єдності розв'язку системи (2.1.5): горизонтальні прямі повинні мати з цією областю тільки одну спільну точку.

Знаходимо точки перетину графіків: , звідки , .

Тоді та .

Лише прямі та задовольняють вимозі єдиності розв'язку системи.

Відповідь: та .

Приклад 2.1.2. Знайти всі значення параметра , при яких система нерівностей

 (2.1.6)

задовольняється лише при одному .

Розв'язання. Перепишемо систему в такому виді:

. (2.1.7)

Всі розв'язки системи (2.1.7) утворюють область, показану на рис.2.1.2 штриховою лінією.

Рис. 2.1.2. Графіки системи нерівностей (2.1.7)

Вимога єдності розв'язку даної системи (2.1.7) : горизонтальні прямі повинні мати з цією областю тільки одну спільну точку.

Знаходимо точки перетину графіків:

, звідки .

З рис. 2.1.2. видно, що лише прямі та задовольняють вимозі єдиності розв'язку системи.

Відповідь: та .

Приклад 2.1.3. Знайти всі значення а, при яких система має єдиний розв'язок.

(2.1.8)

Розв'язок. Перепишемо початкову систему в такому вигляді:

(2.1.9)

Все розв'язки цієї системи (пари виду) утворюють область, наведену на рис. 2.1.3 штриховою лінією.

Рис. 2.1.3. Графіки функцій системи , побудовані в вигляді геометричного ескізу та масштабованого графіка в комп'ютерному пакеті Microsoft Mathematics 4.0

Вимога єдиності розв'язка даної системи така: горизонтальні прямі повинні мати зі знайденою областю тільки одну спільну точку. Лише прямі а = 0 та а = 1 задовольняють висунутій вимозі.

Відповідь: а = 0 або а = 1.

Приклад 2.1.4. Для яких а в множині розв'язків нерівності

(2.1.10)

міститься проміжок ?

Розв'язок. Запишемо сукупність двох систем, рівносильну початковому рівнянню:

(2.1.11)

або (2.1.12)

Оскільки в розв'язок першої системи (2.1.11) ні при яких значеннях параметра а не може входити відрізок , то необхідні дослідження проведемо для другої системи (2.1.12). Маємо

(2.1.13)

Позначимо Тоді друга нерівність системи (2.1.13) на координатній площині задає множину , наведену на рис. 2.1.4 штриховою лінією.

Рис. 2.1.4. Графік нерівності

Тепер за допомогою рис. 2.1.4 легко встановити, що при в знайденій множині містяться всі точки, абсциси яких пробігають всі значення з проміжку Тоді Звідси

Відповідь:

Приклад 2.1.5. При яких значеннях параметра а система

(2.1.14)

має розв'язки?

Розв'язок. Після перетворень першої нерівності в системі маємо

(2.1.15)

Нерівність системи(2.1.15) задає область, обмежену кутами АКВ и CKD (рис.2.1.5).

.

Рис. 2.1.5. Графіки системи нерівностей (2.1.15)

Тоді абсциси виділених дуг гіперболи - це розв'язки початкової системи. Знайдемо абсциси точок розв'язавши рівняння та Звідси для перелічених точок абсциси відповідно дорівнюють Залишилося записати або

Відповідь: або

Приклад 2.1.6. При яких значеннях а множина розв'язків нерівності

(2.1.16)

містить не більше чотирьох цілих значень ?

Розв'язок. Перетвореннями встановлюємо, що задана нерівність (2.1.16) рівносильна сукупності двох систем:

(2.1.17)

або (2.1.18)

За допомогою цієї сукупності наведено розв'язки початкової нерівності (2.1.16) на рис. 2.1.6.

Рис.2.19. Графіки нерівності систем (2.1.17) та (2.1.18)

Проведемо прямі де Тоді значення для якого пряма перетинає прямі не більш, ніж в чотирьох точках з відміченої множини, буде шуканим. Проводячи аналіз графіка, приходимо до висновку, що в заданій задачі або або

Відповідь: або або

2.2 Системи лінійних та квадратних нерівностей з двома змінними з параметром

Розв'язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке задовольняє кожну з нерівностей даної системи.

Система двох нерівностей зводиться до одного з наступних випадків.

1. 2. 3. 4. .

Якщо , то розв'язком системи нерівностей будуть:

1. 2. 3. 4.

Множиною розв'язків системи нерівностей буде переріз множин розв'язків нерівностей, що входять до неї.

Приклад 2.2.1. При яких а та b система

(2.2.1)

має розв'язання?

Розв'язання.

1. Перетворимо нерівність системи (2.2.1) до вигляду

.

Звідси .

Тоді , тобто .

2. Таким чином, початкова система (2.2.1) рівносильна такій:

(2.2.2)

Нерівність системи задає півплощину з межею (рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1 Графік нерівності

Система має розв'язок, якщо пряма перетинає межу півплощини або, будучи паралельна їй, лежить в півплощині .

Почнемо з випадку b = 0. Тоді рівняння задає вертикальну пряму, яка перетинає пряму . Однак це твердження справедливе лише при . Значить, при b = 0 та система має розв'язки. Далі, при маємо . В цьому випадку умова перетину прямих досягається при тобто .Якщо , то прямі або співпадають, або паралельні. Додаючи вимогу (пряма перетинає вісь ординат нижче точки (0; --1)), одержимо ще одне взаємне розташування прямих.

Відповідь: та , або та , або та .

Приклад 2.2.2. При яких значеннях параметра а система нерівностей має Розв'язання?

(2.2.3)

Розв'язання. Якщо межі півплощин, які задають нерівності системи, перетинаються, то дана система має розв'язки.

Очевидно а = 1 підходе. Якщо , то рівняння меж півплощин перепишемо в такому виді: та . Ці прямі перетинаються, якщо , тобто та .

Розглянемо випадки а = 3 та а = 4. При а = 3 межі співпадають, і очевидно система розв'язків не має (нерівності системи задають різні півплощини). При маємо

Ця система також розв'язків не має (рис. 2.2.2).



Рис. 2.2.2. Графіки системи

Таким чином, а = 4 не підходе. Відповідь: та .

Приклад 2.2.3. При яких значеннях а множина точок, задана нерівністю , є підмножиною множини точок, заданої нерівністю ?

Розв'язання. Графіком нерівності є область, обмежена ромбом

Нерівність рівносильна системі . Очевидно при ця система задає необмежену множину точок (рис. 2.2.4), яка не може поміститися в середині ромба.