Теорія збурень лінійних двовимірних систем

- 42 - -

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

Ніжинський державний університет імені Миколи Гоголя

Кафедра вищої математики

Дипломна робота з математики

Теорія збурень лінійних двовимірних

систем

Спеціальність 6.010100 - Педагогіка та методика середньої освіти

Математика та фізика

Ніжин 2008 рік

Зміст

Вступ

1. Двовимірні лінійні системи

2. Збурення двовимірних лінійних систем

3. Правильні вузли та правильні фокуси

4. Центри

5. Неправильні вузли

6. Сідла

7.Приклади лінійних систем

Висновок

Література

Вступ

В умовах різних областей людської діяльності математика мала і має досить сутєвий вплив. Сучасний розвиток науки характерезується необхідністю вивчення всіх можливих складних процесів та явищ. Теорія математики широко застосовується в інших науках, які на перший погляд зовсім немають ніякого звязку - лінгвістики, юриспруденції та інше. Це викликано процесом розвитку наукового знання, який потребує вивчення нового і більш сучасного математичного апарату, проявом нових розділів математики, що значно збільшить його застосування.

Вперше завдання якісного дослідження диференціальних рівнянь в нетривіальних своїх аспектах була поставлена Пуанкаре (в кінці минулого століття).

Приблизно в той же час Ляпунов поставив досить важливу задачу якісного дослідження диференціальних рівнянь, задачу про стійкість руху (рішення), і ця задача була розглянута для досить широкого класу випадків.

Пуанкаре поставив задачу якісного дослідження в загальному вигляді для найпростішого випадку системи двох диференціальних рівнянь

x?= P(x, y), y?= Q (x, y) (1)

Основні фактори якісної теорії системи (1) викладені ним в книзі "Про криві, що визначають диференціальні рівняння". Дослідження питань стійкості, розглянутих Ляпуновим, викладені в книзі "Загальна задача про стійкість руху".

Деякі дослідження Пуанкаре, що отримали розвиток в роботах Биркгофа, лягли в основу так званої "метричної теорії динамічних систем", яку можна розглянути як зовсім особливу частину якісну теорію диференціальних рівнянь зі своїми специфічними аспектами та специфічними методами.

До початку ХХ століття областю сучасних знань, що наповнювала якісну теорію диференціальних рівнянь, була небесна механіка. Але до початку ХХ століття положення досить суттєво змінилось. Розгляд періодичних процесів, періодичних явищ в різних областях фізики - в механіці, оптиці та інші до ХХ ст.. оформилися під назвою "Теорія звуку" Релея.

Техніка яка набирала свій розвиток повинна була в тій чи іншій степені використати теорію збурень. В інженерній роботі та в машинобудівництві у зв'язку з збільшенням швидкостей та розмірів машин виникла велика необхідність вміти уникати ті шкідливі, а іноді і просто руйнівні побудови збурень, які виникають при деяких критичних швидкостях чи перепадах (наприклад, завдяки резонансу).

При цьому до нашого століття основним переважаючим математичним апаратом, який використовується теорією збурень, були лінійні диференціальні рівняння. Багато питань фізики та техніки пов'язані з такими лінійними системами. Якщо говорити тільки про прості диференціальні рівняння, то основними рівняннями класичної теорії збурень були лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами та періодичною правою частиною. За допомогою цього апарату класична теорія збурень в основному гарно справилася з рядом завдань, наприклад , з питаннями про резонанс та про застосування мір його зупинити. Апарат лінійних диференціальних рівнянь досить простий, і досить ефективний. Картина досить швидко змінюється на початку ХХ ст. у зв'язку з розвитком радіофізики та радіотехніки. Таким чином, вияснилось, що більша частина явищ в радіотехніці ніяк не може бути описана лінійними диференціальними рівняннями. Ці явища описуються дійсними нелінійними диференціальними рівняннями. При цьому збурювальні задачі, що видвинуті для розгляду радіотехнікою, в деякому розуміння протилежні задачам класичної теорії збурень. Основна задача класичної теорії збурень, що виникла в техніці раніше, - це задача продавлення шкідливих збурень. На даний час, однією з основних завдань радіотехніки є задачі генерації збурень. Якщо для генеруючих збурень в радіотехнічних приладах використовують незалежні від часу джерело енергії, - то це так звані "автозбурення". Математично це відображається тим, що системи диференціальних рівнянь, що описують радіотехнічні прилади, автономні, тобто мають вигляд (1). В силу утвореної в теорії збурень традиції на протязі досить довгого часу задовго "нелінійні" явища намагалися втиснути в лінійний математичний апарат. Це б не тільки не дозволило скільки-небудь правильно описати явище, часто що має місце в радіотехніці, але й просто виводило до прямих помилок.

Питання математичний апарат є адекватним явищем в радіотехніці, поставлене Л.І. Мандельштамом в 20-х роках нашого часу, було вирішено А.А. Андроновим.

Виявилося, що таким апаратом був математичний, який фігурує в роботах Пуанкаре та Ляпунова, який почав розроблятись ними для використання в небесній механіці. Це - апарат якісної теорії диференціальних рівнянь. Деяким основним питанням, що цікавлять радіотехніку, відповідають математичній підстановці питання якісної теорії диференціальних рівнянь, наприклад, питання про наявності чи відсутності збурень при тих чи інших значень параметрів відповідає питання про наявність чи відсутність у відповідній системі диференціальних рівнянь ізольованої замкнутої кривої, так званого переднього циклу.

Ми говорили щойно про порівняно вузьку область - про радіотехніку, для якої математичний апарат якісної теорії диференціальних рівнянь виявився адекватним математичним апаратом. Але вже при розгляді задач радіотехніки було здійснено очевидно, що математичні питання, які виникають у зв'язку з ціми задачами, мають досить широке значення. Існує багато питань в областях сучасних знань і техніці, які зводяться до використання якісної теорії диференціальних рівнянь. Теорія автоматичного регулювання являється ще однією з досить великих областей використання якісної теорії диференціальних рівнянь (але, в деякій специфічній формі).

Отже, якісна теорія диференціальних рівнянь виявилася адекватним математичним апаратом для опису явищ в цілому ряді областей, таких, які можуть бути віднесені до теорії збурень (наприклад, небесна механіка).

Явища, що мають однаковий опис, з точки зору "якісної теорії диференціальних рівнянь", проходять аналогічно: в таких явищах незалежно від фізичної природи існують "ізоморфні закономірності". При цьому для такого ізоморфізму закономірностей немає необхідності, щоб явища описувалися співпадаючими диференціальними рівняннями. Достатньо, щоб ці рівняння мали однакову "якісну структуру" розбиття на траєкторії.

Теперішня книга призначена якісній теорії динамічної системи другого порядку, тобто систем двох незалежних диференціальних рівнянь (1), що розглядаються на площині (x, y).

Випадок динамічних систем другого порядку авжеж представляється першим і найбільш простим та його вивчення необхідне, як саме по собі так і для переходу до більш складніших випадків систем трьох, чотирьох і так далі автономних диференціальних рівнянь. Крім того системи вигляду (1) зберігають самостійний інтерес для додатків.

Для систем трьох і більшого числа незалежних диференціальних рівнянь картина робиться достатньо більшою та складнішою. Якісна теорія таких динамічних систем до нашого часу має досить маленький запас даних, хоч розвивається інтенсивно на протязі останнього десятиліття.

Завдання якісного дослідження може бути представлена не тільки для автономних динамічних систем, але й для широких класів неавтономних динамічних систем. Хоча у випадку неавтономних систем ця задача має свою специфіку, але вона органічно зв'язана по своєму змісту та методом (метод точкових відображень) із задачею якісного дослідження автономних динамічних систем другого порядку.

Навіть в найпростішому випадку системи двох неавтономних диференціальних рівнянь з періодичними відносно t правими частинами

x?= F (x, y, t), y?= Ф (x, y, t ),

де F (x, y, t + ф) ? F (x, y, t), ц (x, y, t + ф ) ? ц (x, y, t) (ф - період)

виникають труднощі того ж характеру, що й при розгляді автономних динамічних систем порядку n = 3.

Дана дипломна робота складається з сімох розділів. Першим з яких є ”Двовимірні лінійні системи”. В цьому розділі ми розглядаємо характеристику двовимірних лінійних систем та види їх в залежності зміни деяких параметрів. Наступний розділ ”Збурення двовимірних лінійних систем”, де розглядається нелінійна двовимірна дійсна система та основні поняття точок (ізольована, проста, точка притягання та інші.). В третьому розділі роглядається правильні вузли та правильні фокуси їх основні характеристики. Потім основні теореми що застосовуються до неправильних вузлів та сідла. Останнім розділом роботи є наведені ”Приклади лінійних систем”.

1. Двовимірні лінійні системи

Розглянемо дійсну лінійну систему

х₁^' = ах₁ + bх₂ (1. 1)

x₂^' = cх₁ + dх₂

де а, c, b, d - дійсні сталі числа, такі що аd - bc відмінні від нуля. Очевидно, що (х_1,х₂) = (0, 0) - єдина особа точка цієї системи, тобто єдина точка, де праві частини рівняння (1.1) перетворюються в нуль. Позначимо матрицю коефіцієнтом системи (1. 1) через

а b

А = c d

Тоді система (1. 1) може бути записана у вигляді

х = Ах, де х = (х₁, х₂).

Нехай матриця А має характеристичні корені µ, л. Ці корні можуть бути дійсними чи комплексними, якщо один з них комплексний, скажімо л = б + ів (б, в - дійсні, в ? 0), то інший корінь має вигляд µ = б - ів, бо коефіцієнти характеристичного рівняння для матриці А дійсні. Відомо що існує така дійсна неособлива стала матриця Т, що якщо y = Тх, то утворена система

y = (ТАТ^-1)y має дійсну матрицю коефіцієнтів J = (ТАТ^-1), яка має одну з наступних дійсних канонічних форм:

(І) л 0 (л ? 0 ) (ІІ) л 0 (µ <л<0 або 0< µ < л)

0 л 0 µ

(ІІІ) л 0 (л ? 0, г > 0 ) (IV) л 0 (л <0< µ)

г л 0 µ

(V) б в (б ? 0, в ? 0) (VІ) 0 в (в ? 0).

-в б -в 0

Отже вивчаючи природу траєкторії системи (1.1) поблизу точки (0,0), можна говорити, що матриця А має одну з форм (І) - (VІ).

Перед тим як розглядати кожний з цих випадків, введемо такі позначення. В загальному випадку розв'язки двовимірної системи

х₁^' = g₁(х₁,х₂),

х₂^' = g₂(х₁,х₂) (1.2)

будемо позначати через ц = (ц₁ ц₂). Будемо розглядати також полярні функції у, щ відповідно розв'язки ц та визначені рівності

у(t) = (ц²₁(t) + ц²₂(t))^1/2 , щ (t) = arc tg ц₂(t)/ ц₁(t)

Потрібно підкреслити, що функції у, щ визначені по відношенню до часткового рішення ц системи (1,2), та є функціями від t. Таким чином, функції у, щ потрібно відрізняти від полярних координат r, и в (х₁,х₂) - площині, визначених рівняннями : r = (х₁² + х₂²)^1/2 , и = arc tg х₂/х₁

також як координати ц_1, ц₂ розв'язки потрібно відрізняти від декартових координат х₁,х₂ в площині.

фиг.3 фіг.4

(І). Правильний вузол, л<0 (І). Правильний вузол, л>0

(І). В цьому випадку система має такий вигляд

х₁^'= л х_1, х₂ ^'= л х₂

Тому, (с₁,с₂) деяка точка (відмінна від точки (0,0)), рішення що проходить через цю точку, має вигляд :

ц₁(t) = с₁? ^{л t}; ц₂(t) = с₂? ^{л t}

Якщо л<0, то у(t) > 0 при t > +?, якщо л>0 , то у(t) > 0 при t > - ?. Траєкторія , що проходить через точки (с₁,с₂) є відкрита пів пряма, що проходить через цю точку з кінцевою точкою в (0,0). Див фиг.3 та 4 , на яких стрілками зображено направлення зростання t. Цей тип особих точок називається правильним вузлом. Його особлива відмінність полягає в тому, що кожна траєкторія намагається потрапити до початку у визначеному напрямку при t > +? (для л<0) чи при t > - ? (для л>0), та як би не було заданий напрямок, існує траєкторія, яка прямує до початку в цьому напрямі. Таким чином, початок (асимптотичне) стійке у випадку л<0, та не стійке у випадку л>0.

(ІІ). В цьому випадку система має такий вигляд:

х₁^'= л х_1, х₂^'= м х₂

і розв'язок який проходить через точку (с₁,с₂) ? (0,0) при t = 0, має вигляд

ц₁(t) = с₁? ^{л t}; ц₂(t) = с₂? ^{л t}

Фіг.5 фіг.6

(ІІ). Неправильний вузол, µ <л<0 . (ІІ). Неправильний вузол, 0< µ < л

Припустимо, наприклад, що µ <л<0.

Тоді (ц₁(t), ц₂(t)) >(0,0) при t > +?, і якщо с₁? 0 то (ц₂(t), ц₁(t)) =

(с₂/ с₁) ? ^{(м - л) t} >0 при t > +?. Якщо с₁= 0, с₁? 0, то (ц₂(t), ц₁(t)) = (0, с₂?^{м t} ), що представляє собою додатню чи від'ємну х₂- піввісь в залежності від того, яку з нерівностей має місце: с₁>0 або с₂<0. В такому випадку початок називається неправильним вузлом. Гарна картина траєкторії зображена на фіг. 5 та 6. Тут всі траєкторії, виключаючи одну, мають один і той же напрямок на початку. Початок (асимптотично) стійкий у випадку µ <л<0 та нестійкий у випадку, коли 0< µ < л.

(ІІІ). В даному випадку рівність має такий вигляд:

х₁^'= л х_1, х₂^'= г х₁ + л х₂

легко бачити, що ц₁(t) = с₁?^{л t}, ц₂(t) = (с₂ + с₁ г t) ?^лt є розв'язком, що проходить через точку (с_1, с₂) при t = 0. Припустимо, наприклад, що л<0. Тоді при t > +? функції ц₁, ц₂ напрямляються до нуля. Якщо с₁ ? 0, то

ц₂(t)/ ц₁(t) = с₁/ с₂ + г t > ±? при t > ±?. Якщо с₁> 0, то ц₁(t) >0 для t додатних і достатньо великих; і якщо с₁ = 0, то (ц₁(t), ц₂(t)) = (0, с₂? ^{л t} ), що утворює траєкторію, яка є х₂- піввіссю. Так само, якщо с₁ ? 0, то

ц₂(t)/ ц₁(t) = г/t + ц₂(t)/ ц₁(t) > ±? при t > ±?. Таким чином, всі траєкторії мають однин і той же непрям в точці (0,0). В такому випадку початок називається неправильним вузлом.

Характер траєкторії зображений на мал. 7 та 8.

мал. 7 мал. 8

(ІІІ). Неправильний вузол, л<0 (ІІІ). Неправильний вузол, л>0

(IV). В цьому випадку рівняння будуть такими:

х₁^'= л х_1, х₂^'= м х₂

та розв'язками будуть: ц₁(t) = с₁? ^{л t} ц₂(t) = с₂? ^{м t} , де тепер л < 0, м > 0. Коли л = м, то траєкторіями будуть рівнобічні гіперболи. В загальному випадку траєкторії подібні цім гіперболам. Див. фіг. 9. Тут, якщо (с₁, с₂) ? (0,0) то ц₁(t) > 0, а ц₂(t) > ± ? в залежності від того, яке з нерівностей має місце: с₂ > 0 або с₂ < 0. Ось в такому випадку початок називається сідлом.

фіг. 9 (IV). Сідло, л < 0 < м

(V). В даному випадку :

х₁^' = бх₁ + вх₂

x₂^' = -вх₁ + бх₂

а розв'язком буде крива, що проходить через точку (с₁, с₂) при t = 0, що має вигляд ц₁(t) = ? ^{б t}(с₁ cos вt + c₂ sin вt), ц₂(t) = ? ^{б t}(-с₁ sin вt + c₂ cos вt).

Якщо у²₀ = с₁² с₂², то цей розв'язок може бути записане у вигляді:

ц₁(t) = у₀? ^{б t} cos (вt - д),

ц₂(t) = -у₀? ^{б t} sin (вt - д), де cos д = с₁/ у₀ та sin д = с₂/ у₀.

Полярними функціями у, щ для даного рівняння будуть

у(t) = у₀? ^{б t}, щ(t) = -вt + д,

та послідовно, у = С? ^{-(б/ д)щ}, де С = у₀? ^{-(б/ в)д} , що представляє собою спіраль. В такому випадку початок називається фокусом. Див. фіг. 10 і 11.

Фіг. 10 фіг. 11

(V). Фокус, б < 0, в < 0. (V). Фокус, б > 0, в < 0

(VІ). Це - різновид випадку (V), де б = 0. В цій ситуації розв'язки, що проходять при t = 0 через точку (с_1, с₂) має вигляд:

ц₁(t) = с₁ cos вt + с₂ sin вt, ц₂(t) = -с₁ sin вt + с₂ cos вt, або так як в (V), у(t) = у₀, що представляє собою окружність радіуса у₀ з центром в точці (0, 0). В цьому випадку початок називають центром. Див. фіг. 12 та 13.

фіг. 12. (VІ). Центр, в < 0

Фіг. 13. (VІ). Центр, в > 0.

Із визначеністю стійкості легко бачити роздивляючись попередні шість випадків (І) - (VІ), що справедлива наступна теорема. Фіг. 3 - 13 дають гарне якісне представлення про стійкість в кожному з цих випадків.

Теорема1.1 Для того щоб початок був стійкий для системи (1, 1), необхідно і достатньо, щоб характеристичні корні дійсної неособливої матриці коефіцієнтів А мали від'ємні чи нульові дійсні частини.

2.Збурення двовимірних лінійних систем.

Розглянемо тепер, нелінійну двовимірну дійсну автономну систему:

х₁^' = ах₁ + bх₂ + f₁(х₁, х₂) (НЛ)

x₂^' = cх₁ + dх₂ + f₂(х₁, х₂)

де а, c, b, d - дійсні сталі числа, такі що аd - bc ? 0 та f₁, f₂ - дійсні неперервні функції, визначені в деякому колі з центром в початку (х₁, х₂) =(0, 0) радіуса r₀ > 0. Функції f₁ та f₂ називаються збуреннями, і систему (НЛ) ми будемо називати збуреною системою, яка відповідає лінійній системі:

х₁^' = ах₁ + bх₂ (Л)

x₂^' = cх₁ + dх₂

Зрозуміло інтуїтивно, що якщо збурення f₁ та f₂ «малі» в деякому розумінні, то можна чекати, що поведінка траєкторії поблизу початку в (х₁, х₂) - площини буде досить схоже на поведінку траєкторії системи (Л). Ми покажемо, що взагалі це вірно, якщо тільки функції f₁ та f₂ задовольняє деякі мінімальні припущення.

В доповнення висказаному вище зробимо наступні припущення:

f₁ = о(r) та f₂ = о(r) (при r > 0 +). (2.1)

Це забезпечує більш швидке прямує до нуля збурення, ніж лінійних членів в (НЛ). Легко також бачити, що із цього вислову та із того факту, що аd - bc ? 0, слідує, що початок є ізольована особлива (чи критична) точка для системи (НЛ); тобто існує коло з центром в початку, таке, що в ньому початок є єдиною точкою, в якій права частина системи (НЛ) перетворюється в нуль. Ізольована особлива точка, така як початок для системи (НЛ) при аd - bc ? 0, називається простою особливою точкою.

Зауважимо, що з вимог, покладених на функцію f₁ та f₂ не слідує єдність розв'язків системи (НЛ).

Один із найбільш важливих методів вивчення траєкторії системи (НЛ) має місце у використанні полярних рівнянь, отриманих з (НЛ) за допомогою підстановки:

х₁ = r cos и, х₂ = r sin и

точніше:

r r = r² ( а cos² и + (b + c) cos и sin и + в sin² и) +

+ r cos и F₁(r, и) + r sin и F₂(r, и),

r² и = r²(с cos² и + (d - a)cos и sin и- b sin² и ) +

+ r cos и F₂(r, и) - r sin и F₁(r, и), де

F_j(r, и) = f_j (r cos и, r sin и) (j= 1,2).

Очевидно, якщо ц = (ц₁, ц₂) - розв'язок системи (НЛ), то полярні функції (у , щ) утворюють розв'язок полярних рівнянь.

Перед тим як ми приступимо до детального формування та доведення результатів, уточнимо визначення різних типів особливих точок. Якщо існує д, 0 < д ? r₀ , таке, що для кожної інтегральної кривої (ц₁(t), ц₂(t)) системи (НЛ), яка має хоча б одну точку в колі радіуса r, 0 < r < д розв'язок існує на t - півпрямій, і якщо (ц₁(t), ц₂(t)) > (0, 0) при t > +? чи - ?, то початок називається точкою притягання для системи (НЛ). У випадку коли f₁ = f₂ =0 вузли і фокуси є точками при тяжіння, в той час як сідло та центр не є такими. Початок називається вузлом для системи (НЛ), якщо воно являє собою при тяжіння і всі траєкторії досягають початку у визначеному (в одному і тому ж) напрямленні , та називаються правильним вузлом, якщо воно є вузлом і кожна пів пряма , проходячи через початок , дотикається до деякої траєкторії. Початок називається фокусом для системи (НЛ), якщо воно є точкою притягання , таке, що щ(t) > + ? при t >+ ? чи - ?, де щ(t) = arctg (ц₂(t)/ ц₁(t))та (ц₁(t), ц₂(t)) - довільний розв'язок системи (НЛ), що входить в область 0 ? r < д. Якщо існує непослідовність періодичних траєкторій С_n системи (НЛ), кожна з яких має в середині себе всі наступні траєкторії і початок , таких, що С_n при n > ? направляється до початку, то початок називається центром для системи (НЛ).

Теорема 2.1 Якщо початок являється точкою притягання для лінійної системи (Л), то він являється такою ж точкою для нелінійних систем (НЛ).

Теорема 2.2. Якщо початок є фокусом для лінійної системи (Л), то він являється такою ж точкою для нелінійних систем (НЛ).

Доведення:

По теоремі 2.1, початок являється точкою притягання для (НЛ). Полярне рівняння для функції и має вигляд

r² и' = х₁ х₂^' - х₁^' х_{2 =} -в r² + 0(r²) (r >0).

Але r >0 при t > + ? (у випадку б < 0). Таким чином, при t > + ?

и^' = -в + 0(t), і тому для кожного розв'язку ц системи (НЛ), що починається достатньо близько від початку,

б(t) = -в + 0(t).

Отже, щ(t)/ t > -в при t > щ(t) + ?, звідси слідує, щ(t) > ± ? при t >+ ? в залежності від того , яке з нерівностей - в < 0 чи в > 0, має місце. Це і доводить теорему.

2. Правильні вузли та правильні фокуси

Хоч точка притягання системи (Л) переходить в точку притягання системи (НЛ), в загальному випадку не вірно, що вузол переходить в вузол. Це ілюструється в наступному прикладі, в якому правильний вузол для (Л) переходить в фокус (НЛ). Розглянемо систему :

х₁^' = - x₁ - x₂/(ln(х²₁ + х²₂)^?),

х₂^'=-x₁+x₂/(ln(х²₁+х²₂)^?). (3.1)

Очевидно що система (3.1) задовольняється тими ж умовами, що і система (НЛ). Полярні рівняння, що відповідають (3.1), мають вигляд

и^' = 1/ ln r, r^' = - r.

Таким чином, r = у(t) = ce^-t , для деякої сталої c > 0 та відповідно

и^' = щ^'(t) = 1/ (ln c - t).

Тому

щ(t) = - ln (t - ln c) + k, де k = щ(t₀) + ln (t₀ - ln c).

Звідси слідує, що щ(t) > -? при t > + ? і початок є фокусом для системи (3.1), хоча для відповідної лінійної системи x₁ = - x₁, x₂ = - x₂ початок є правильний вузол.

Даний результат представляє собою частинний випадок одного результату , який має місце для фокусу (див. нище наслідок з теореми 3.1). Розглянемо канонічну формулу для системи (НЛ), у випадку коли відповідна лінійна система має на початку фокус,

х₁^' = бх₁ + вх₂ + f₁(х₁, х₂) (3.2)

x₂^'= -вх₁ + бх₂ + f₂(х₁, х₂)

(б ? 0, в ? 0).

Для лінійного випадку

х₁^' = бх₁ + вх₂ (3.3)

x₂^' = -вх₁ + бх₂

полярні рівняння такі:

r' = бr, и' = - в.

Якщо, наприклад, б < 0, в < 0, то для кожної інтегральної кривої системи (3.3) r = у(t) > 0 та и = щ(t) > + ? при t > + ?. Далі щ + (в/ б) ln у = с для деякої сталої с. Навпаки, яка б не була стала с, існує розв'язання системи (3.3), таке, що щ + (в/ б) ln у = с. Це підказує наступне визначення. Якщо

б + ів, б - ів (б ? 0) - характеристичні корні матриці коефіцієнтів

a b

с d

системи (НЛ), то початок тоді називається правильним фокусом для (НЛ), коли він представляє собою точку притягання, таке, що для кожного розв'язку, що направляється до початку при t > + ? (t > - ?), величина щ + (в/ б) ln у > с при t > + ? (t > - ?). Якщо в = 0, то це означає, що ми маємо правильний вузол.

Теорема 3.1 Нехай функції f₁ та f₂ в системі (НЛ) задовольняють нерівність

|f_і (х₁, х₂) |? ш((х²₁ + х²₂)^?) (і = 1, 2), (3.5)

де ш = ш(r) - неперервна функція, визначена на інтервалі 0 ? r ? r₀ і така, що при r > 0 та ш(r) = 0(r) (3.6)

Тоді, якщо початок є фокусом (чи правильним вузлом) для системи (Л), то воно являється правильним фокусом (чи правильним вузлом ) для системи (НЛ).

Доведення теореми (3.1)

Можна припускати, що рівняння (НЛ) та (Л) мають канонічні форми (3.2) та (3.3) та що б < 0, в ? 0. Згідно (3.2) x₁ = r cos и, x₂ = r sin и отримаємо

rr' = ar² + r cos и f₁(r cos и, r sin и) + r sin и f₂ (r cos и, r sin и),

r² и' = - в r² + r cosи f₂ (r cos и,r sin и)- r sinи f₁(r cos и, r sinи) (3.8)

З першого рівняння (3.8) маємо

rr' = ar² + 0(r²) (r > 0),

а звідси слідує, що не тільки кожне рішення r = у(r), що починається досить близько від початку , направляється до початку, але й те, що для кожного такого розв'язку у < 0 для досить великих t. Тому, якщо t достатньо велике, то r = у(r) - монотонна функція t, таким чином вона визначає обернену функцію t = g(r), яка близька до початку r = 0 монотонна, скажімо для

0 < r ? r₁. Тоді очевидно, що и = щ(r) - розв'язок другого рівняння (3.8), то визначимо щ використовуючи рівність щ(r) = щ (g(r)), 0 < r ? r₁. Тоді очевидно, що и=щ(r) - розв'язок рівняння, отриманого з (3.8) використовуючи формального ділення, тобто

dи/ dr = F(r,и), (3.9)

де F(r,и) = (-в + F₁(r,и) / б(r + F₂(r,и) ) ) (3.10)

та F₁(r,и) = (cos и/r) f₂(r cos и, r sin и) - (sin и/ r ) f₁(r cos и, r sin и),

F₂(r,и) = (cos и/б) f₁(r cos и, r sin и) + (sin и/ б ) f₂(r cos и, r sin и). (3.11)

Із (3.5), (3.6), та (3.11) випливає, що якщо r достатньо мале, скажімо 0 < r ? r₂ то |F(r,и) | ? 4 * ((|б| + |в|) / б²) * ш(r) / r² (3.14)

В силу (3.14) та припущення (3.7) інтеграл збігається

? F(r, ю(r))dr (r = min(r₁, r₂))

Тому з (3.12) отримаємо, що

ю(r) + в/б * lnr > ю(r) + в/б * lnr - ? F(r, ю(r))dr (r > 0 ).

З визначення функції ю маємо, що

щ(t) + (в/б) ln и(t) > с, t > +?,

де с - стала.

Навпаки, нехай с - дійсна стала, та розглянемо інтеграл

Ц(r) = с + ?F(s, Ц(s) - (в/б) ln s) ds (3.15)

Так, як функція F задовольняє нерівність (3.14), та функція ш задовольняє вимоги (3.7), то можна побудувати для нерівності (3.15) рівносильну неперервну послідовність на деякому інтервалі 0 < r ? r₃ . З цієї послідовності можна вибрати збігаючи підпослідовність, яка приводить до існування розв'язку Ц рівняння (3.15). Нехай щ(r) = Ц(r) - (в/б) ln r. Тоді в силу (3.15) и = щ(r) є розв'язком рівняння (3.12) і ясно, що

щ(r) + (в/б) ln r > с при r > 0.

Відповідно даному розв'язку и = щ(r) існує розв'язок r = у(t) першої нерівності (3.8), таке, що у(t) > 0 при t > +?, та якщо щ(t) = щ(у(t)), то пара (у(t), щ(t)) є розв'язком системи (3.2), для якого щ(t) + (в/б) ln у(t) > с при

t > +?. Це й доводить теорему.

Наслідок. Завершення теореми 3.1 залишаються дійсними для системи (НЛ), якщо вимоги (3.5) - (3.7) замінити наступними:

f₁ = 0(r^{1 + е}), f₂ = 0(r^{1 + е}) (r > 0)

для деякого е > 0.

Доведення

Візьмемо в теоремі 3.1 ш(r) = С r^{1 + е}, де С - така стала, що | f₁| ? С r^{1 + е} ,

| f₂| ? С r^{1 + е} для всіх нескінченно малих r. Очевидно, що (3.6) та (3.7) виконуються, тому слідує те що завершення теореми 3.1 справедливе.

4. Центри

Розглянемо тепер випадок, коли початок виражається центром для системи (Л). Для того щоб проглянути, що може трапитися при переході до збудженої системи (НЛ), в даному випадку розглянемо приклад

x₁^' = -x₂ - x₁v x²₁ + x²₂ , x₂^' = x₁ - x₂v x²₁ + x²₂ (4.1)

Ця система задовольняє припущення для (НЛ), та полярні рівності, що відповідають системі (4.1), такі: r = -r² та и = 1. Розв'язок цієї системи , що проходить при t = 0 через точку (r₀, и₀) де r₀ ? 0, має вигляд:

и(t) = (t + 1/ r₀)^-1, щ(t) = t + и₀

І тому у(t) > 0 та щ(t) > +? при t > +?. Звідси випливає, що початок є фокусом для системи (4.1), але для відповідної лінійної системи воно є центром.

В дійсності збурена система (НЛ) може бути набагато більш складною, ніж наведена в цьому прикладі, потрібно наголосити, що початок залишається все ще центром. В якості прикладу, розглянемо систему:

x₁^' = -x₂ + x₁( x²₁ + x²₂)sin(р/( x²₁ + x²₂)^?),

x₁^' = x₁ + x₂( x²₁ + x²₂)sin(р/( x²₁ + x²₂)^?), (4.2)

Нелінійні збурення мають завжди всюди неперервні перші похідні, тому через кожну точку (с₁, с₂) ? (0, 0) при t = 0 проходить єдиний розв'язок. Полярні нерівності для (4.2) мають вигляд

r' = r³ sin (р/r), и' = 1.

Кола r = 1/n, n = 1, 2, …, є періодичними траєкторіями, представленими розв'язками у(t) = 1/n, и(t) = t + и₀ , де и₀ - стала. Далі

r' > 0, r > 1,

r' < 0, 1/2m < r < 1/(2 m - 1) (m = 1, 2, …),

r' > 0, 1/(2 m + 1) < r < 1/2m.

Тому, ніяка траєкторія , крім r = 1/ n, не може бути періодичною та кожна не періодична траєкторія залишається повністю в середині однієї з областей r > 1, 1/2m < r < 1/(2 m - 1), 1/(2 m + 1) < r < 1/2m, (m = 1, 2, …). Так як функція у та щ монотонні при t > + ?, то ці неперіодичні траєкторії або повинні стрімко йти до окружностей r = 1/ n при t > + ?, або t > - ?, або ж у > + ? у випадку коли r > 1. Таким чином, початок для системи (4.2) являється центром.

Приклади (4.1), (4.2) вичерпують можливість для системи (НЛ) в тому випадку, коли початок являється центром для лінійної системи (Л). В такому разі має місце наступна теорема

Теорема 4.1. Якщо початок є центром для системи (НЛ), в такому випадку воно є або центром, або фокусом для системи (НЛ).

Доведення

Канонічна форма розглядуваних рівнянь така:

x₁^' = вx₂ + f₁(x₁, x₂), x₂^' = - вx₁ + f₂(x₁, x₂) (4.3)

та x₁^' = вx₂, x₂^' = - вx₁

Припустимо, що в < 0; в протилежному випадку t та -t обмінюються ролями.

Полярні рівняння для (4.3) дають

r' = 0(r), и' = -в + 0(1) (при r > 0) . (4.4)

З (4.4) випливає, якщо ц - розв'язок системи (4.3), що розпочинається при

t = 0 достатньо близько від початку, то його полярні функції r = у(t), и = щ(t) задовольняють , для будь-яких нескінченно малих е > 0 та у > 0 при t > 0 нерівностям:

у₀ e^-еt < у(t), щ' > 0.

Тому у > 0 для всіх кінцевих t > 0, для яких ця функція існує, та щ - монотонна функція t. Позначимо обернену функцію для щ через h , тобто t = h(и), та визначимо у за допомогою нерівності у(и) = у (h(и)). Тоді функція r = у(и) задовольняється для диференціального рівняння

dr/dи = F (r, и), (4.5)

де

F (r, и) = (cosи f₁ (r cosи, r sinи ) + sinи f₂ (r cosи, r sinи)) / (-в + (cosи/ r) f₂(r cosи, r sinи) - (sinи/ r) f₁(r cosи, r sinи) ) .