Складність деяких методів експоненціювання точки кривої
Скалярне множення або експоненціювання точки кривої у криптографічних алгоритмах. Методи вікон з алгоритмом подвоєння – додавання – віднімання. Метод еспоненціювання Монтгомері. Методи експоненціювання при фіксованій точці. Алгоритм максимальної пам'яті.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 07.02.2011 |
| Размер файла | 130,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Складність деяких методів експоненціювання точки кривої
Найпоширенішою операцією у всіх криптографічних алгоритмах є - кратне додавання точки , позначуване як
Цю операцію звичайно називають скалярним множенням, або, звертаючись до термінології мультиплікативної групи, експоненціюванням точки кривої.
З метою підвищення продуктивності під час обчислення точки багатьма авторами запропоновано різні методи. Дамо стислий опис й оцінку складності найпоширеніших з них.
Підхід до розрахунку точки може відрізнятися залежно від того, чи є точка фіксованою (заздалегідь відомою) або довільною точкою. У першому випадку завжди можна користуватися передрозрахунками точок, наприклад, , які зберігаються в пам'яті. Двійкове подання числа дозволяє селектрувати ті з них, які в результаті підсумовування утворять точку . У другому, більш загальному випадку, всі обчислення доводиться проводити в реальному часі.
Нехай порядок і число подано у двійковій системі
Розглянемо спочатку основні алгоритми експоненціювання при невідомій заздалегідь точці
експоненціювання алгоритм скалярне множення
Алгоритм подвоєння-додавання
Це найприродніший і найпростіший метод, при якому обчислення здійснюються за формулою
Ці обчислення на основі методу розрахунку ліворуч-праворуч здійснюються за допомогою наступного алгоритму.
Алгоритм 1.
Вхід
Вихід
1.
2.
2.1
2.2
3. .
Реалізація методу вимагає операцій подвоєння точки й додавань , де - вага Хеммінга двійкового вектора (число одиниць цього вектора). Оскільки в середньому число одиниць випадкового вектора дорівнює , загальне число групових операцій оцінюється величиною
Алгоритм подвоєння-додавання-віднімання
Попередній алгоритм можна вдосконалити, якщо вести додаткову операцію-віднімання точки. Цей метод запропонований в 1990 році Ф. Морейном і Дж. Олівосом. Наприклад, число у двійковій системі має вага у , але його можна подати як з вагою Ця ідея знижує вагу Хеммінга і, відповідно, число групових операцій. Реалізувати алгоритм подвоєння - додавання віднімання можна переходом від двійкового подання числа до трійкового з коефіцієнтами Одне із властивостей подання - відсутність у ньому суміжних пар ненульових елементів, завдяки чому зростає питома вага нульових елементів . Для розрахунку використовується наступний алгоритм.
Алгоритм 2.
Вхід позитивне ціле число
Вихід
1.
2.
2.1
2.2
2.3
3.
Після розрахунку обчислюється точка методом ліворуч-праворуч за допомогою алгоритму 3.
Алгоритм 3.
Вхід
Вихід
1.
2.
2.1
2.2
2.3
3. .
-подання числа може виявитися на один біт більше двійкового. Водночас, для випадкового ймовірність ненульових елементів і знижується від до , тобто, у середньому, для - розрядного числа їхня кількість оцінюється величиною . Тоді загальне середнє число групових операцій додавання й подвоєння в алгоритмі 3 можна оцінити як суму
Метод вікон з алгоритмом подвоєння - додавання - віднімання
Якщо в криптосистемі є резерви пам'яті, їх можна задіяти для подальшого збільшення швидкості обчислень. Ідея в тому, що замість точки можна експоненціювати і надалі складати суміжні блоки або вікна шириною в - поданні точки
Для цього розраховується за допомогою алгоритму 2 трійкове число , що потім може розбиватися на блоки довжиною, не менше
Назвемо - вікном числа непарний коефіцієнт утримуючий хоча б один ненульовий елемент. Зазначимо, що . Наприклад, при маємо вісім різних значень
Цих вікон достатньо для формування числа довільної довжини . Зазначимо, що парні коефіцієнти в - поданні числа надлишкові, тому що вони утворяться подвоєнням непарних. На першому етапі передрозрахунків розраховуються й записуються на згадку вісім точок і
У загальному випадку в пам'яті зберігається точок. Число може бути визначене за допомогою модифікованого алгоритму 2. Модифікація полягає в тому, що на кроці 2.1 замість необхідно записати , де означає ціле число , певне в інтервалі . Далі обчислюється точка згідно з алгоритмом 4.
Алгоритм 4.
Вхід
Вихід
1.
2.
3.
3.1
3.2
4. .
Нехай, наприклад, при цьому й Використання трійкового вимагає, мабуть, двох додавань точок, тоді як у другому випадку за рахунок попереднього розрахунку точки достатньо одного додавання. Число подвоєнь однаково в обох випадках. Зрозуміло також, що виграш за рахунок вікна з'являється лише при порівняно більших довжинах числа
Перший крок алгоритму 4 у загальному випадку вимагає групових операцій із точками кривої. На третьому кроці складність обчислень оцінюється середнім числом групових операцій додавання й подвоєння. Збільшення ширини вікна веде до збільшення складності обчислень на першому кроці (і об'єму пам'яті) і зниження тимчасової складності на третьому кроці. Для значень розширення поля порядку 180-260 оптимальним виявляється вікно шириною , а при - вікно шириною
Метод Монтгомері
Розглянемо метод Монтгомері. Нехай з Позначимо Можна перевірити, що
(1)
Отже, знаючи - координати точок й , можна обчислити координати точок й , перейти до пари , або до пари .
Кожна така ітерація вимагає одного подвоєння й одного додавання з використанням формули (1).
Після останньої ітерації, - координата точки може бути відновлена з - координати точки й - координат точок і за формулою
Використовуючи проективні координати, можна позбутися від інвертування, і кожна ітерація вимагатиме шість множень. Усього ж трудомісткість алгоритму 5, що реалізує метод експоненціювання Монтгомері, дорівнює причому алгоритм не вимагає додаткової пам'яті на зберігання попередньо обчислених змінних, а час його роботи не залежить від значення
Алгоритм 5. Метод експоненціювання Монтгомері.
Вхід
Вихід
1.
2.
2.1
3.1
3.2
4.
Алгоритм 5 вимагає однієї інверсії, а не двох, тому що можна обчислити
, а потім отримати множенням на . Можна домогтися істотного збільшення продуктивності, якщо операцію подвоєння замінити операцією ділення точки на два. Виграш до 40% при цьому досягається у зв'язку з відсутністю операції інверсії елемента в полі. Крім того, групові операції послідовних ділень у НБ зводяться практично до однієї операції множення в полі.
Методи експоненціювання при фіксованій точці
Фіксованою точкою в криптосистемі завжди є генератор або базова точка криптосистеми порядку . Такі точки - це відкриті ключі користувачів. Якщо в системі є резерв пам'яті, його можна використати для зберігання заздалегідь розрахованих точок. Наприклад, якщо обчислити й записати в пам'яті точки , то для визначення скалярного добутку залишиться лише обчислити суми точок відповідно до двійкового подання . У середньому для цього буде потрібно лише операцій. Їхнє число можна зменшити до операцій додавання й віднімання, якщо скористатися трійковим поданням .
Другим досить витонченим підходом є підхід на основі вікон з фіксованою базою. Замість двійкового подання числа використовується -е із передобчислюванням точок . Дійсно, нехай -е подання числа має вигляд
Тоді
де
Ці обчислення здійснюються за допомогою наступного алгоритму.
Алгоритм 6.
Вхід ширина вікна , ,
Вихід
1. Передрозрахунки
2.
3.
3.1
3.2
4.
Середня обчислювальна складність алгоритму оцінюється кількістю додавань
.
Метод вікон у цьому випадку більше продуктивний, ніж при невідомій точці, тому що передрозрахунки не входять в алгоритм експоненціювання. Якщо використати поряд з додаванням подвоєння точки, реалізувати алгоритм можна інакше. Два вікна точки шириною кожне можна подати у вигляді
Всі можливі точки й обчислюються на етапі передрозрахунків і записуються на згадку. Загальна кількість цих точок зростає експоненційно зі збільшенням ширини вікна . Двійкове подання точки розбивається далі на фрагментів шириною . У кожному такому фрагменті відбираються старші розряди й розряди зі зрушенням вправо на (тобто на половину фрагмента).
Їхні двійкові подання дають першу пару точок й , які складаються, після чого їхня сума подвоюється.
Далі реалізується алгоритм послідовних додавань і подвоєнь праворуч із двома вікнами, описаний нижче.
Алгоритм 7.
Вхід ширина вікна , ,,
Вихід
1. Передрозрахунки обчислити всі точки й
,
2. Подати число у вигляді конкатенації фрагментів шириною
Нехай означає й біт фрагмента
3.
4.
4.1
4.2
5.
Обчислювальна складність цього алгоритму оцінюється числом групових операцій
Обмінюючи час обчислень на пам'ять, можна й далі підвищувати продуктивність експоненціювання точки кривої. Наприклад, для кожного вікна шириною можна заздалегідь розрахувати точок, при цьому на згадку рийдеться записати точок. Операція подвоєння в цьому випадку не використовується, а складність оцінюється числом додавань. Цей алгоритм назвемо алгоритмом максимальної пам'яті. У табл.13.1 дані для порівняння величини пам'яті й тимчасової складності (числа групових операцій) алгоритму 6 й алгоритму максимальної пам'яті при . В обох випадках зі збільшенням ширини вікна збільшується пам'ять і знижується число групових операцій. Очевидно, що останній алгоритм за наявності більших резервів пам'яті дозволяє істотно прискорити операцію експоненціювання фіксованої точки
Таблиця 1 Об'єм пам'яті й тимчасова складність (число групових операцій) алгоритму 6 й алгоритму максимальної пам'яті при
|
Метод |
W = 3 |
W = 4 |
W = 5 |
W = 6 |
|||||
|
M |
S |
M |
S |
M |
S |
M |
S |
||
|
Алгоритм 6 |
14 |
900 |
30 |
725 |
62 |
632 |
126 |
529 |
|
|
Алгоритм максимальної пам'яті. |
469 |
58 |
750 |
46 |
1280 |
38 |
2079 |
33 |
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Використання методу Монтгомері як ефективний шлях багаторазового зведення за модулем. Складність операцій з многочленами та обчислення їх значень. Алгоритм Руфіні-Горнера. Визначення рекурсивного процесу для множення. Доведення алгоритму Тоома-Кука.
контрольная работа [103,8 K], добавлен 07.02.2011Використання методу Полларда для вирішення проблеми дискретного логарифмування, його складність і час обчислення рішення ECDLP. Аномальні криві й криві над розширеннями малого поля. MOV-атака та суперсингулярні криві над полем F. Метод спуску Вейля.
реферат [269,5 K], добавлен 21.02.2011Суть інтерполяції - у відшуканні значень функції в деякій проміжній точці. Лінійна інтерполяція, в основі якої лежить наближення кривої на ділянці між заданими точками прямою, що проходить через ті ж точки. Інтерполяція за Лагранжем. Практична формула.
презентация [92,6 K], добавлен 06.02.2014Обчислення довжини дуги для просторової кривої, що задана параметрично. Варіант розрахунку у випадку задання кривої в полярній системі координат. Формули для обчислення площі поверхні обертання. Вираз площі циліндричної поверхні через елементарні функції.
научная работа [103,7 K], добавлен 12.05.2010Комплексні числа як розширення множини дійсних чисел. Приклади дії над комплексними числами: додавання, віднімання та множення. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична форма запису комплексних чисел, поняття модуля і аргумента.
реферат [75,3 K], добавлен 22.02.2010Поняття вектора, його характерні риси та ознаки, порядок визначення координат та напряму. Додавання, віднімання та множення вектора на число. Тривимірний векторний простір і його підпростори. Колінеарність та компланарність векторів, їх скалярний добуток.
курсовая работа [473,6 K], добавлен 17.11.2009Огляд проблеми дискретного логарифмування в групі точок еліптичної кривої. Сутність та сфера використання методу Поліга-Хелмана. Особливості використання методу ділення точок на два. Можливі підходи і приклади розв’язання задач дискретного логарифмування.
реферат [112,8 K], добавлен 09.02.2011Методи багатомірної безумовної оптимізації першого й нульового порядків і їх засвоєння, порівняння ефективності застосування цих методів для конкретних цільових функцій. Загальна схема градієнтного спуску. Метод найшвидшого спуску. Схема яружного методу.
лабораторная работа [218,0 K], добавлен 10.12.2010Розгляд найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою: чисельна ітерація рівнянь Ньютона; алгоритм Бімана і Шофілда; метод Рунге-Кутта; методи Адамса, Крилова, Чаплигіна. Програма Рунге-Кутта на мові С#.
курсовая работа [359,5 K], добавлен 27.01.2011Оцінювання параметрів розподілів. Незміщені, спроможні оцінки. Методи знаходження оцінок: емпіричні оцінки, метод максимальної правдоподібності. Означення емпіричної функції розподілу, емпіричні значення параметрів. Задача перевірки статистичних гіпотез.
контрольная работа [57,2 K], добавлен 12.08.2010
