Дифференциальные операции второго порядка

Вычисление градиента, дивергенции и ротора однократным дифференцированием функций. Дифференциальные операций и операторы второго порядка. Выполнение условий дифференцируемости и непрерывности. Оператор Лапласа, градиент дивергенции, формулы Грина.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 21.03.2014
Размер файла 527,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

тема: "Дифференциальные операции второго порядка"

Москва 2014

Содержание

  • Введение
  • 1. Оператор Лапласа
  • 2. Градиент дивергенции
  • 3. Дивергенция градиента и ротора
  • 4. Ротор градиента и ротора
  • 5. Формулы Грина
  • Список использованной литературы и источников

Введение

Вычисление градиента, дивергенции и ротора связано с однократным дифференцированием некоторых функций, поэтому эти операции называют дифференциальными операциями первого порядка.

Для скалярного поля был введен один оператор первого порядка

.

Для векторного поля введены два оператора первого порядка

.

Повторное применение оператора "набла" приводит к необходимости вычисления вторых производных. Т.о. мы приходим к дифференциальным операторам второго порядка.

Имеет смысл рассматривать пять дифференциальных операций второго порядка:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Будем считать, что необходимые условия дифференцируемости, непрерывности и пр. выполнены. Более детально эти вопросы обсуждаются в расширенных курсах высшей математики.

1. Оператор Лапласа

Рассмотрим скалярное поле . Существует единственный дифференциальный оператор, действующий на это поле

.

Полученный вектор указывает величину и направление максимального возрастания функции .

Вычислим в явном виде . Используя оператор "набла", имеем

.

Убедимся в справедливости этого выражения путем непосредственного дифференцирования:

.

Выражение, естественно, получилось таким же.

Такое выражение часто встречается в различных задачах математической физики и для его записи введен специальный дифференциальный оператор второго порядка:

дифференциальная операция градиент дивергенция

.

Этот оператор называют оператором Лапласа или лапласианом. Формально можно записать

.

Итак, дивергенция градиента скалярной функции равна лапласиану этой функции. Оператор Лапласа широко применяется в различных задачах. Так, например, расчет температурного поля сводится к решению уравнения Лапласа

с соответствующими граничными условиями.

2. Градиент дивергенции

Рассмотрим операцию . В прямоугольной декартовой системе координат имеем

Полученное выражение является вектором, компонентами которого являются комбинации частных производных второго порядка.

Отметим, что некорректное использование оператора "набла" может привести к неверным результатам:

.

В этой формуле, которая отличается от полученной в начале параграфа, допущена ошибка в преобразовании

.

Три вектора, которые здесь используются, не образуют смешанное произведение векторов (в смешанном произведении ). Заменять действие двух операторов "набла" одним оператором Д недопустимо, т.к. их последовательные действия в отношении вектора F различаются.

Следует иметь в виду, что операции с оператором требуют внимания и аккуратности, поэтому соответствующие преобразования следует сопровождать непосредственными вычислениями, выполняя дифференцирование по координатам.

3. Дивергенция градиента и ротора

Дивергенцию градиента мы определили в §1

,

где был введен оператор Лапласа

.

Найдем дивергенцию ротора с помощью оператора "набла":

.

Нетрудно убедиться в справедливости этого равенства и непосредственным дифференцированием. Предлагается сделать это самостоятельно.

В выражении рассматривается смешанное произведение трех векторов , и . Отметим отличие этого случая от выражения

,

которое не является смешанным произведением (выражение является скалярным произведением, а не векторным).

4. Ротор градиента и ротора

Для операции можно также использовать оператор "набла":

,

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных операторов равно нулю. Предлагается получить этот же результат путем непосредственного дифференцирования.

Из полученного результата можно получить важное следствие. Рассмотрим некоторую замкнутую кривую L и натянем на нее произвольную поверхность S.

Используя теорему Стокса, можем записать

.

Полученный результат сформулируем в виде теоремы:

Теорема 1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Следствие 1. Криволинейный интеграл от градиента скалярной функции не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется начальной и конечной точками линии интегрирования.

.

Доказательство. Сделаем рисунок.

Выполним простейшие преобразования

,

Следовательно

. Имеем

.

Это означает, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Следовательно, величина интеграла зависит только от выбора точек А и В:

.

Вычислим операцию . Для этого используем известную из векторной алгебры формулу для двойного векторного произведения

.

Перепишем эту формулу в более удобном для нас виде

.

Преобразование сделано так, чтобы в дальнейших формулах оператор "набла" не стоял на последней позиции. В терминах оператора "набла" получим

.

(Что было бы, если использовать обычную формулу для двойного векторного произведения?)

Используя обозначение оператора Лапласа, можно записать

.

Имеем систему трех дифференциальных соотношений, записанных для компонент вектора F.

Мы рассмотрели основные дифференциальные операции второго порядка. В дальнейшем будем их использовать при решении различных задач.

5. Формулы Грина

Получим еще несколько формул общего характера, которые связывают свойства различных функций и широко используются в приложениях. Запишем формулу Гаусса-Остроградского

.

Пусть и - две произвольные скалярные функции. Положим

.

Тогда теорема Гаусса-Остроградского принимает вид

.

Можно записать

,

.

Здесь введено обозначение

для производной функции по направлению

После подстановки этих выражений в видоизмененную формулу Гаусса-Остроградского получим

.

Эта формула называется первой формулой Грина.

Аналогично, если положить

,

то первая формула Грина примет вид

.

Вычитая соответствующие формулы, получим

.

Эта формула называется второй формулой Грина.

Используя формулы Грина, можно получить связи между значениями функции во внутренних точках выделенного объема и на границах.

Теорема 1. Значение функции во внутренней точке области Т, ограниченной поверхностью S, определяется формулой

, где

-

расстояние между точками и . Доказательство. Рассмотрим точку и окружим ее маленькой сферической поверхностью радиуса

Введем функцию

, где

.

Нетрудно вычислить оператор Лапласа от функции (сделать самостоятельно)

.

Из второй формулы Грина

,

записанной для области, ограниченной поверхностями S и , получим

Рассмотрим интеграл по поверхности сферы

Учитывая условие , получим

Пусть . Теорема о среднем для поверхностного интеграла имеет вид

.

Применим к нашему интегралу теорему о среднем

.

В пределе получим

.

Возвращаемся к первоначальной формуле Грина

. тсюда

.

В дальнейшем мы будем использовать эту формулу и другие формулы Грина при решении различных уравнений математической физики.

6. Вопросы и задачи

1. Вычислить оператор Лапласа для функций:

а) ,

б) , где ,

в) ,

г) ,

д) , где .

Список использованной литературы и источников

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.

2. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: "Высшая школа", 1976, 390 с.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.

5. Все решения к "Сборнику задач по общему курсу физики" В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

6. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

7. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.

    презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013

  • Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.

    курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011

  • Линейные операторы, собственные значения. Общее понятие о квадратичных формах. Упрощение уравнений второго порядка на плоскости. Упрощение уравнений фигур в пространстве. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

    курсовая работа [162,9 K], добавлен 13.11.2012

  • Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.

    курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013

  • Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.

    курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013

  • Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.

    курсовая работа [2,9 M], добавлен 11.07.2012

  • Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.

    курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010

  • Изложение теории поля с помощью векторного анализа и составление пособия. Циркуляция векторного поля. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка. Простейшие векторные поля. Применение теории поля в инженерных задачах.

    дипломная работа [190,2 K], добавлен 09.10.2011

  • Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.

    курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011

  • Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.

    курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.