Дифференциальные операции второго порядка
Вычисление градиента, дивергенции и ротора однократным дифференцированием функций. Дифференциальные операций и операторы второго порядка. Выполнение условий дифференцируемости и непрерывности. Оператор Лапласа, градиент дивергенции, формулы Грина.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.03.2014 |
| Размер файла | 527,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа
тема: "Дифференциальные операции второго порядка"
Москва 2014
Содержание
- Введение
- 1. Оператор Лапласа
- 2. Градиент дивергенции
- 3. Дивергенция градиента и ротора
- 4. Ротор градиента и ротора
- 5. Формулы Грина
- Список использованной литературы и источников
Введение
Вычисление градиента, дивергенции и ротора связано с однократным дифференцированием некоторых функций, поэтому эти операции называют дифференциальными операциями первого порядка.
Для скалярного поля был введен один оператор первого порядка
.
Для векторного поля введены два оператора первого порядка
.
Повторное применение оператора "набла" приводит к необходимости вычисления вторых производных. Т.о. мы приходим к дифференциальным операторам второго порядка.
Имеет смысл рассматривать пять дифференциальных операций второго порядка:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Будем считать, что необходимые условия дифференцируемости, непрерывности и пр. выполнены. Более детально эти вопросы обсуждаются в расширенных курсах высшей математики.
1. Оператор Лапласа
Рассмотрим скалярное поле . Существует единственный дифференциальный оператор, действующий на это поле
.
Полученный вектор указывает величину и направление максимального возрастания функции .
Вычислим в явном виде . Используя оператор "набла", имеем
.
Убедимся в справедливости этого выражения путем непосредственного дифференцирования:
.
Выражение, естественно, получилось таким же.
Такое выражение часто встречается в различных задачах математической физики и для его записи введен специальный дифференциальный оператор второго порядка:
дифференциальная операция градиент дивергенция
.
Этот оператор называют оператором Лапласа или лапласианом. Формально можно записать
.
Итак, дивергенция градиента скалярной функции равна лапласиану этой функции. Оператор Лапласа широко применяется в различных задачах. Так, например, расчет температурного поля сводится к решению уравнения Лапласа
с соответствующими граничными условиями.
2. Градиент дивергенции
Рассмотрим операцию . В прямоугольной декартовой системе координат имеем
Полученное выражение является вектором, компонентами которого являются комбинации частных производных второго порядка.
Отметим, что некорректное использование оператора "набла" может привести к неверным результатам:
.
В этой формуле, которая отличается от полученной в начале параграфа, допущена ошибка в преобразовании
.
Три вектора, которые здесь используются, не образуют смешанное произведение векторов (в смешанном произведении ). Заменять действие двух операторов "набла" одним оператором Д недопустимо, т.к. их последовательные действия в отношении вектора F различаются.
Следует иметь в виду, что операции с оператором требуют внимания и аккуратности, поэтому соответствующие преобразования следует сопровождать непосредственными вычислениями, выполняя дифференцирование по координатам.
3. Дивергенция градиента и ротора
Дивергенцию градиента мы определили в §1
,
где был введен оператор Лапласа
.
Найдем дивергенцию ротора с помощью оператора "набла":
.
Нетрудно убедиться в справедливости этого равенства и непосредственным дифференцированием. Предлагается сделать это самостоятельно.
В выражении рассматривается смешанное произведение трех векторов , и . Отметим отличие этого случая от выражения
,
которое не является смешанным произведением (выражение является скалярным произведением, а не векторным).
4. Ротор градиента и ротора
Для операции можно также использовать оператор "набла":
,
Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных операторов равно нулю. Предлагается получить этот же результат путем непосредственного дифференцирования.
Из полученного результата можно получить важное следствие. Рассмотрим некоторую замкнутую кривую L и натянем на нее произвольную поверхность S.
Используя теорему Стокса, можем записать
.
Полученный результат сформулируем в виде теоремы:
Теорема 1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
Следствие 1. Криволинейный интеграл от градиента скалярной функции не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется начальной и конечной точками линии интегрирования.
.
Доказательство. Сделаем рисунок.
Выполним простейшие преобразования
,
Следовательно
. Имеем
.
Это означает, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Следовательно, величина интеграла зависит только от выбора точек А и В:
.
Вычислим операцию . Для этого используем известную из векторной алгебры формулу для двойного векторного произведения
.
Перепишем эту формулу в более удобном для нас виде
.
Преобразование сделано так, чтобы в дальнейших формулах оператор "набла" не стоял на последней позиции. В терминах оператора "набла" получим
.
(Что было бы, если использовать обычную формулу для двойного векторного произведения?)
Используя обозначение оператора Лапласа, можно записать
.
Имеем систему трех дифференциальных соотношений, записанных для компонент вектора F.
Мы рассмотрели основные дифференциальные операции второго порядка. В дальнейшем будем их использовать при решении различных задач.
5. Формулы Грина
Получим еще несколько формул общего характера, которые связывают свойства различных функций и широко используются в приложениях. Запишем формулу Гаусса-Остроградского
.
Пусть и - две произвольные скалярные функции. Положим
.
Тогда теорема Гаусса-Остроградского принимает вид
.
Можно записать
,
.
Здесь введено обозначение
для производной функции по направлению
После подстановки этих выражений в видоизмененную формулу Гаусса-Остроградского получим
.
Эта формула называется первой формулой Грина.
Аналогично, если положить
,
то первая формула Грина примет вид
.
Вычитая соответствующие формулы, получим
.
Эта формула называется второй формулой Грина.
Используя формулы Грина, можно получить связи между значениями функции во внутренних точках выделенного объема и на границах.
Теорема 1. Значение функции во внутренней точке области Т, ограниченной поверхностью S, определяется формулой
, где
-
расстояние между точками и . Доказательство. Рассмотрим точку и окружим ее маленькой сферической поверхностью радиуса
Введем функцию
, где
.
Нетрудно вычислить оператор Лапласа от функции (сделать самостоятельно)
.
Из второй формулы Грина
,
записанной для области, ограниченной поверхностями S и , получим
Рассмотрим интеграл по поверхности сферы
Учитывая условие , получим
Пусть . Теорема о среднем для поверхностного интеграла имеет вид
.
Применим к нашему интегралу теорему о среднем
.
В пределе получим
.
Возвращаемся к первоначальной формуле Грина
. тсюда
.
В дальнейшем мы будем использовать эту формулу и другие формулы Грина при решении различных уравнений математической физики.
6. Вопросы и задачи
1. Вычислить оператор Лапласа для функций:
а) ,
б) , где ,
в) ,
г) ,
д) , где .
Список использованной литературы и источников
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.
2. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: "Высшая школа", 1976, 390 с.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.
5. Все решения к "Сборнику задач по общему курсу физики" В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.
6. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.
7. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Линейные операторы, собственные значения. Общее понятие о квадратичных формах. Упрощение уравнений второго порядка на плоскости. Упрощение уравнений фигур в пространстве. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
курсовая работа [162,9 K], добавлен 13.11.2012Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 11.07.2012Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.
курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010Изложение теории поля с помощью векторного анализа и составление пособия. Циркуляция векторного поля. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка. Простейшие векторные поля. Применение теории поля в инженерных задачах.
дипломная работа [190,2 K], добавлен 09.10.2011Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019
