Интерполяционный многочлен Ньютона. Итерационные уравнения
Интерполяция с помощью полинома Ньютона исходных данных. Значение интерполяционного полинома в заданной точке. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и поиск погрешности вычисления. Методы треугольников, трапеций и Симпсона.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.06.2011 |
| Размер файла | 225,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задачи
Задание 1
Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл.1 вычислить значение интерполяционного полинома в точке .
Таблица 1
|
Порядковый номер исходных данных |
|||||||||||
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
Х |
3,500 |
3,550 |
3,600 |
3,650 |
3,700 |
3,750 |
3,800 |
3,850 |
3,900 |
3,950 |
|
|
У |
33,11 |
34,65 |
36,6 |
38,47 |
40,44 |
42,52 |
44,7 |
46,99 |
49,4 |
51,93 |
Решение
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде
- конечная разность первого порядка
- конечная разность К-го порядка.
Таблица конечных разностей для экспериментальных данных:
|
1 |
3,500 |
33,11 |
1,5400 |
0,4100 |
-0,4900 |
0,6700 |
-0,8400 |
0,9900 |
-1,1000 |
1,1500 |
-1,1300 |
|
|
2 |
3,550 |
34,65 |
1,9500 |
-0,0800 |
0,1800 |
-0,1700 |
0,1500 |
-0,1100 |
0,0500 |
0,0200 |
||
|
3 |
3,600 |
36,6 |
1,8700 |
0,1000 |
0,0100 |
-0,0200 |
0,0400 |
-0,0600 |
0,0700 |
|||
|
4 |
3,650 |
38,47 |
1,9700 |
0,1100 |
-0,0100 |
0,0200 |
-0,0200 |
0,0100 |
||||
|
5 |
3,700 |
40,44 |
2,0800 |
0,1000 |
0,0100 |
0,0000 |
-0,0100 |
|||||
|
6 |
3,750 |
42,52 |
2,1800 |
0,1100 |
0,0100 |
-0,0100 |
||||||
|
7 |
3,800 |
44,7 |
2,2900 |
0,1200 |
0,0000 |
|||||||
|
8 |
3,850 |
46,99 |
2,4100 |
0,1200 |
||||||||
|
9 |
3,900 |
49,4 |
2,5300 |
|||||||||
|
10 |
3,950 |
51,93 |
.
Задание 2
Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.
, [0,4].
Решение
Вычислим первую и вторую производную функции . Получим и .
Итерационное уравнение запишется так:
.
В качестве начального приближения возьмем правый конец отрезка . Проверяем условие сходимости: . Условие сходимости метода Ньютона выполнено.
Таблица значений корня уравнения:
|
i |
||
|
1 |
3,5 |
|
|
2 |
3,3550 |
|
|
3 |
3,3428 |
Уточненное значение корня .
В качестве оценки абсолютной погрешности полученного результата можно использовать величину .
Задание 3.
Методами треугольников, трапеций и Симпсона вычислить определенный интеграл.
Решение
Метод прямоугольников
Значение интеграла на интервале определяется следующей формулой:
|
слева |
справа |
||
|
0 |
0,032 |
0,250 |
|
|
1 |
0,250 |
0, 200 |
|
|
2 |
0, 200 |
0,267 |
|
|
3 |
0,267 |
0,243 |
|
|
0,749 |
0,9595 |
Значение интеграла: .
Метод трапеций
Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию между точками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.
интерполяция полином ньютон итерационный
|
0 |
0,032 |
|
|
1 |
0,250 |
|
|
2 |
0, 200 |
|
|
3 |
0,267 |
Значение интеграла: . Метод Симпсона
|
0 |
0,333 |
|
|
1 |
0,25 |
|
|
2 |
0,2 |
|
|
3 |
0,1667 |
Значение интеграла: .
Задание 4
Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале [0.2, 1.2]. Начальное условие у (0,2) =0,25.
Решение
Все вычисления удобно представить в виде таблицы:
|
0 |
0,2 |
0,2500 |
0,1744 |
0,0436 |
0,2936 |
|
|
1 |
0,45 |
0,2936 |
0,2911 |
0,0728 |
0,3664 |
|
|
2 |
0,7 |
0,3664 |
0,4385 |
0,1096 |
0,4760 |
|
|
3 |
0,95 |
0,4760 |
0,6154 |
0,1539 |
0,6298 |
|
|
4 |
1,2 |
0,6298 |
0,8220 |
0, 2055 |
Таким образом, задача решена.
Задание 5
Задача 1. Вычислить сумму и разность комплексных чисел, заданных в показательной форме. Переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.
Задача 2. Вычислить произведение и частное комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости.
Задание 6.
Задача 1.
Задача 2.
Вычислить производную функции f (z) в точке .
Решение
Так как для аналитических функций справедливы все формулы и правила дифференцирования действительного аргумента, то
Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки.
Решение
а)
Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:
б)
Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:
.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа [155,2 K], добавлен 02.06.2011Вычислительные методы линейной алгебры. Интерполяция функций. Интерполяционный многочлен Ньютона. Узлы интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Коэффициенты кубических сплайнов.
лабораторная работа [70,5 K], добавлен 06.02.2004Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени.
лабораторная работа [70,8 K], добавлен 06.02.2004Метод решения задачи, при котором коэффициенты a[i], определяются непосредственным решением системы - метод неопределенных коэффициентов. Интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной функции.
лабораторная работа [147,4 K], добавлен 16.11.2015Суть модифицированного метода Эйлера. Определение интерполяционного многочлена. Выведение формулы трапеций из геометрических соображений. Применение для расчетов интерполированного полинома Ньютона. Составление блок-схемы алгоритма решения уравнений.
курсовая работа [252,7 K], добавлен 14.02.2016Контрольный пример к алгоритму метода хорд. Вычисление и уточнение корня методом хорд и касательных. Нахождение второй производной заданной функции. Уточненное значение корня решаемого уравнения на заданном интервале. Код программы данного примера.
лабораторная работа [276,9 K], добавлен 02.12.2014Построение приближающей функции, используя исходные данные, с помощью методов Лагранжа, Ньютона и Эйткена (простая и упрощенная форма реализации). Алгоритм вычисления интерполяционного многочлена. Сравнение результатов реализации методов в среде Mathcad.
курсовая работа [299,3 K], добавлен 30.04.2011Метод Гаусса, метод прогонки, нелинейное уравнение. Метод вращения Якоби. Интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона. Метод наименьших квадратов, интерполяция сплайнами. Дифференцирование многочленами, метод Монте-Карло и Рунге-Кутты, краевая задача.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 23.05.2013Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.
реферат [99,0 K], добавлен 05.09.2010Разделенные разности и аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Экспериментальные данные функциональной зависимости. Система уравнений для полинома. Графики аппроксимирующих многочленов.
реферат [139,0 K], добавлен 26.07.2009
