Интегрирование и производная функций
Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.06.2011 |
| Размер файла | 155,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1
Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл. 1 вычислить значение интерполяционного полинома в точке .
Таблица 1
|
Порядковый номер исходных данных |
|||||||||||
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
Х |
1,415 |
1,420 |
1,425 |
1,430 |
1,435 |
1,440 |
1,445 |
1,450 |
1,455 |
1,460 |
|
|
У |
0,888 |
0,889 |
0,89 |
0,891 |
0,892 |
0,893 |
0,894 |
0,895 |
0,896 |
0,897 |
интерполяция погрешность производная
Решение
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде
- конечная разность первого порядка
- конечная разность К-го порядка.
Таблица конечных разностей для экспериментальных данных:
|
1 |
1,415 |
0,888 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
2 |
1,420 |
0,889 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
3 |
1,425 |
0,89 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
4 |
1,430 |
0,891 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
5 |
1,435 |
0,892 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||
|
6 |
1,440 |
0,893 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
||||||
|
7 |
1,445 |
0,894 |
0,001 |
0 |
0 |
|||||||
|
8 |
1,450 |
0,895 |
0,001 |
0 |
||||||||
|
9 |
1,455 |
0,896 |
0,001 |
|||||||||
|
10 |
1,460 |
0,897 |
.
Задание 2
Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.
, [0,4].
Решение
Вычислим первую и вторую производную функции
. Получим и .
Итерационное уравнение запишется так:
.
В качестве начального приближения возьмем правый конец отрезка .
Проверяем условие сходимости:
.
Условие сходимости метода Ньютона выполнено.
Таблица значений корня уравнения:
|
i |
||
|
1 |
3,083 |
|
|
2 |
2,606 |
|
|
3 |
2,453 |
Уточненное значение корня .
В качестве оценки абсолютной погрешности полученного результата можно использовать величину
.
Задание 3
Методами треугольников, трапеций и Симпсона вычислить определенный интеграл.
Решение
Метод прямоугольников
Значение интеграла на интервале определяется следующей формулой:
|
слева |
справа |
||
|
1 |
0,25 |
0,2 |
|
|
2 |
0,2 |
0,1667 |
|
|
3 |
0,1667 |
0,1429 |
|
|
4 |
0,1429 |
0,125 |
|
|
0,7595 |
0,6345 |
Значение интеграла: .
Метод трапеций
Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию между точками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.
|
1 |
0,25 |
|
|
2 |
0,2 |
|
|
3 |
0,1667 |
|
|
4 |
0,1429 |
|
|
5 |
0,125 |
Значение интеграла: .
Метод Симпсона
|
1 |
0,25 |
|
|
2 |
0,2 |
|
|
3 |
0,1667 |
|
|
4 |
0,1429 |
Значение интеграла: .
Задание 4
Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале [0.2, 1.2] . Начальное условие у(0,2)=0,25.
Решение
Все вычисления удобно представить в виде таблицы:
|
0 |
0,2 |
0,2500 |
0,2751 |
0,0688 |
0,3188 |
|
|
1 |
0,45 |
0,3188 |
0,4091 |
0,1023 |
0,4211 |
|
|
2 |
0,7 |
0,4211 |
0,5634 |
0,1408 |
0,5619 |
|
|
3 |
0,95 |
0,5619 |
0,7359 |
0,1840 |
0,7459 |
|
|
4 |
1,2 |
0,7459 |
0,9318 |
0,2329 |
Таким образом, задача решена.
Задание 5
Задача 1. Вычислить сумму и разность комплексных чисел, заданных в показательной форме. Переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.
Задача 2. Вычислить произведение и частное комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости.
Решение
Задача 1.
Задача 2.
Задание 6
Вычислить производную функции f(z) в точке .
Решение
Так как для аналитических функций справедливы все формулы и правила дифференцирования действительного аргумента, то
Задание 7
Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки.
Решение
а)
Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:
.
б)
Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:
.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Интерполяция с помощью полинома Ньютона исходных данных. Значение интерполяционного полинома в заданной точке. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и поиск погрешности вычисления. Методы треугольников, трапеций и Симпсона.
контрольная работа [225,2 K], добавлен 06.06.2011Контрольный пример к алгоритму метода хорд. Вычисление и уточнение корня методом хорд и касательных. Нахождение второй производной заданной функции. Уточненное значение корня решаемого уравнения на заданном интервале. Код программы данного примера.
лабораторная работа [276,9 K], добавлен 02.12.2014Применение первой и второй интерполяционной формул Ньютона. Нахождение значений функции в точках, не являющимися табличными. Bспользование формулы Ньютона для не равностоящих точек. Нахождение значения функции с помощью интерполяционной схемы Эйткена.
лабораторная работа [481,0 K], добавлен 14.10.2013Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Вычисление производной по ее определению, с помощью конечных разностей и на основе первой интерполяционной формулы Ньютона. Интерполяционные многочлены Лагранжа и их применение в численном дифференцировании. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка).
реферат [71,6 K], добавлен 06.03.2011Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004Введение в математический анализ. Индивидуальные домашние задания по теме "Предел функции и непрерывность» и по теме "Производная". Комбинаторика, бином Ньютона, математическая индукция и комплексные числа. Применение производной при исследовании функции.
учебное пособие [950,8 K], добавлен 25.08.2009Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.
реферат [458,8 K], добавлен 17.05.2009Роль интерполяции функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке. Определение понятия погрешности интерполяции.
курсовая работа [157,4 K], добавлен 10.04.2011
