Задача 2.

Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, составить уравнение прямой, проходящей через точки Р₀(х₀, у₀) и Р₁(х₁, у₁), если х₀=-1, у₀=-3, х₁=2, у₁=4.

Решение. В данном случае многочлен Лагранжа примет вид

.

Уравнение искомой прямой есть .

1.5 Про погрешность полинома

Если [a,b] На непрерывном отрезке и в точке обозначили множество функции, имеющей производную по Тейлору m-го порядка.

(естественно,

Верно следующее соответствие:

здесь

(9) (,), где

 [a,b] в промежутке беспрерывно n+1 раз объясняет совокупность дифференцируемых функций.

[a,b] [a,b];

Берем любую точку и зафиксируем ее (,), рассмотрим вспомогательную функцию:

(10) , ().

- свободный параметр, который открыто объясняет ().

Значение берем проходящим через равенство . В это время концы , будучи точками промежутка, можно использовать теорему Ролля.

Существует : ()

Сейчас для этой теоремы берем точки :

Существует : ()

Когда закончим этот процесс, то получим следующее:

:

Итак, при t = x из (10) вытекает (9). Что и требовалось доказать.

Следствие 1:

Пусть .

В то время (); над ними: .

Задача 3:

С помощью узлов построить полином для этой функции, при:

1) . Оценить погрешность полинома;

2) в [a,b] найти максимальную погрешность полинома.

Решение:

1) На основании Следствия 1 в непрерывном виде находим:

2) Использовав второе равенство из Следствия 1 получаем:

.

Замечание 2:

Полученные с помощью этой формулы множества полиномов называются полиномами Чебышева. В отдельных случаях:

В теории приближения функции хорошо известен следующий факт: если в качестве узлов интерполяции взять корни полинома , то ()

В этом случае из Следствия 1 следует, что

. Если свободная интерполяция находится в отрезке [a,b], то с помощью замены этот отрезок можно заменить на [-1;1]. В это время точки

(11) (, )

будут однородными с корнями , а остаточный член записывается следующим образом:

.

Последнее неравенство полностью дает оптимальную оценку на отрезке [a,b], т.е. мы оцениваем погрешность интерполяции на отрезке [a,b], чтобы узлы (11) были оптимальными.

2. Один вид обобщенной интерполяции

2.1 Обобщенная интерполяция

Рассмотрим пример интерполяции для элементов множества . Для простоты и краткости возьмем [a,b]=[-1;1], .

Пусть точки и будут разными между собой. Поставим такую задачу:

(12)

построить многочлен , удовлетворяющий данным условиям. Здесь «собственный» оператор класса :

Теорема 2.

Если взять в произвольной форме fC{m;0}, удовлетворяющее условию (12), то существует «обобщенный» интерполяционный полином и он единственен.

Доказательство:

Найдем интерполяционный полином в стандартном виде:

(13)

Затем, учитывая (13) для того, чтобы найти коэффициенты (), приходим к следующей алгебраической системе:

(14)

Эту систему упорядочим в матрицу S, являющуюся прямой суммой двух квадратных матриц размерностью m и n+1.

Здесь

Значит, основываясь на фактах линейной алгебры, определяем

Что и требовалось доказать.

Сейчас поставим перед собой цель записать многочлен G(x) в явном виде. Будет полезно рассмотреть стандартный вид многочлена Лагранжа. Из (13) видно, что

Поэтому имеет место следующее:

(14)

Возьмем параметры из (13):

(15)

Таким образом, из (13), (14), (15) следует, что

(16)

Замечание 3:

Если m=0, C{0;0}C[-1;1], (). Значит, рассмотрев функцию в задаче (11) приводится к обычной интерполяционной задаче, а многочлен Лагранжа (16) превращается в обычный интерполяционный многочлен. Таким образом, задача (11), действительно, в значении одного определения становится обобщенной задачей интерполирования.

Сейчас поговорим о погрешности обобщенной интерполяции.

В этом случае нужно дать оценку побольше. Выше приведены размышления и следствия, полученные в целях определения одной системы функций.

.

Теорема 3.

Если

Здесь

Доказательство:

Приняв во внимание (16) получаем

(17)

Следующие приведения к формуле теоремы легко доказываются из (17) и теоремы 1.

Следствие 2.

Пусть

В это время:

2.2 Важное представление гладкой функции

Теорема 4.

Верна следующая связь:

(18)

Вдобавок

(19)

Доказательство:

Пусть . По (19) получим в последовательной форме используем метод интегрирования по частям, и изменяем его:

Отсюда выходит следующее неравенство:

(20)

называют формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Возьмем некоторую функцию , чтобы равенство (18) было правильным . При рассмотрении второго слагаемого полинома, достаточно показать что С^(m).

При изучении производной полезно использовать дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Эта формула в математическом анализе очень известна и определяет следующее:

(21)

здесь вдобавок

Таким образом, находим в нашем случае необходимый вид:

Значит .

Замечание 6.

Рассмотрев, оператор из последнего размышления вытекает полезное рассуждение:

(22)

Заключение

Мы убедились, что в вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек.

В данной курсовой работе рассматривается интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке, определили понятие погрешности интерполяции.

У нас возникла задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, поэтому в данной работе были приведены конкретные примеры по построению интерполяционного полинома Лагранжа, по оцениванию погрешности интерполяционного полинома.

В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно проиллюстрировано само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.

Список использованной литературы