Частные производные. Экстремумы функций

Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 14.01.2015
Размер файла 61,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Специальность: искусственный интеллект

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Минск 2013

Задача 1.

Дана функция . Показать что

Решение:

Найдем частные производные и .

Получаем:

Задача 2.

Дана функция и две точки А(х0 , y0) и В (х1,,y1). Требуется:

1) вычислить значение z1функции в точке В;

2) вычислить приближенное значение функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;

3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

Решение:

1)

2)

Найдем частные производные и .

3) уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид:

Найдем частные производные , и .

Искомое уравнение касательной плоскости имеет вид

Так как в условии задачи координаты точки С не заданы, следовательно уравнение касательной плоскости может быть найдено только в общем виде.

Ответ:

1)

2)

3)

Задача 3.

Исследовать на экстремум функции двух переменных.

Решение:

В соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:

Получили одну стационарную точку (0;0)

найдем все вторые частные производные от функции и составим дискриминант :

Так как дискриминант больше нуля и А>0, то функция z имеет минимум в точке (0;0)

Ответ: функция z имеет минимум в точке (0;0).

Задача 4.

Дана функция , точка и вектор а. Найти:

1) grad z в точке ;

2) производную в точке в направлении вектора а.

Решение:

1) Согласно определению

Найдем частные производные функции z в точке А.

2) Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле

Где , - направляющие косинусы:

Получаем:

Частные производные в точке А уже найдены. Окончательно получаем:

Ответ:

1)

2)

Задача 5.

Найти условный экстремум функции при помощи функции Лагранжа.

Решение:

Составляем функцию Лагранжа:

Имеем:

Необходимые условия дают систему

Получаем:

Находим:

производный функция лагранж

и вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа

в этой точке условный минимум,

в этой точке условный максимум,

Ответ: ,

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.

    контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014

  • Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.

    контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014

  • Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.

    реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010

  • Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.

    контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012

  • Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.

    презентация [112,6 K], добавлен 17.09.2013

  • Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.

    контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010

  • Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.

    контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015

  • Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.

    курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010

  • Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.

    презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013

  • Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.

    курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.