Частные производные. Экстремумы функций
Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 14.01.2015 |
| Размер файла | 61,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет непрерывного и дистанционного обучения
Специальность: искусственный интеллект
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Минск 2013
Задача 1.
Дана функция . Показать что
Решение:
Найдем частные производные и .
Получаем:
Задача 2.
Дана функция и две точки А(х0 , y0) и В (х1,,y1). Требуется:
1) вычислить значение z1функции в точке В;
2) вычислить приближенное значение функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;
3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
Решение:
1)
2)
Найдем частные производные и .
3) уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид:
Найдем частные производные , и .
Искомое уравнение касательной плоскости имеет вид
Так как в условии задачи координаты точки С не заданы, следовательно уравнение касательной плоскости может быть найдено только в общем виде.
Ответ:
1)
2)
3)
Задача 3.
Исследовать на экстремум функции двух переменных.
Решение:
В соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:
Получили одну стационарную точку (0;0)
найдем все вторые частные производные от функции и составим дискриминант :
Так как дискриминант больше нуля и А>0, то функция z имеет минимум в точке (0;0)
Ответ: функция z имеет минимум в точке (0;0).
Задача 4.
Дана функция , точка и вектор а. Найти:
1) grad z в точке ;
2) производную в точке в направлении вектора а.
Решение:
1) Согласно определению
Найдем частные производные функции z в точке А.
2) Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле
Где , - направляющие косинусы:
Получаем:
Частные производные в точке А уже найдены. Окончательно получаем:
Ответ:
1)
2)
Задача 5.
Найти условный экстремум функции при помощи функции Лагранжа.
Решение:
Составляем функцию Лагранжа:
Имеем:
Необходимые условия дают систему
Получаем:
Находим:
производный функция лагранж
и вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа
в этой точке условный минимум,
в этой точке условный максимум,
Ответ: ,
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.
презентация [112,6 K], добавлен 17.09.2013Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Исследование функции на непрерывность. Алгоритм вычисления производных первого и второго порядков. Порядок определения скорости и ускорения в определенный момент времени при помощи производных. Особенности исследования функции на наличие точек экстремума.
контрольная работа [362,7 K], добавлен 23.03.2014
