Функции многих переменных
Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.02.2014 |
| Размер файла | 148,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
2
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
Контрольная работа
Функции многих переменных
Содержание
Введение
1. Понятие функции двух переменных
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
4. Частные производные высших порядков
5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
6. Условный экстремум
Заключение
Список литературы
предел функция производная дифференциал экстремум
Введение
Явления, происходящие в общественной жизни, природе, экономике, не всегда можно описать с помощью функции всего лишь одной переменной.
Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Понятие функции нескольких переменных появилось именно для изучения такого рода зависимостей.
В наше время наука неумолимо быстро развивается, и для ее развития требуются все более сложные решения тех или иных вопросов. Поэтому для роста научно технического прогресса и усложнения экономических процессов требуются новые привлечения математических процессов.
В данной работе рассмотрим функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
1. Понятие функции двух переменных
Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2005 год, 264 с..
В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
Пусть - множество упорядоченных пар действительных чисел .
Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число - зависимой переменной.
Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: - радиуса основания и - высоты.
Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных - функцией точки .
Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.
Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.
Например, область определения функции - вся плоскость, а функции - единичный круг с центром в начале координат ( или .
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.
Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, - окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .
Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .
Обозначается предел следующим образом:
или .
Пример 1. Найти предел .
Решение. Введем обозначение , откуда . При имеем, что . Тогда
.
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .
Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2008 год, 601 с..
Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().
Пример 2. Найти точки разрыва функции .
Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или . Это окружность с центром в начале координат и радиусом . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .
3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
Пусть задана функция двух переменных . Дадим аргументу приращение , а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение , которое называется частным приращением по переменной и обозначается :
.
Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу прираще-ние , получим частное приращение функции по переменной :
.
Величина называется полным прира-щениием функции в точке .
Определение 4. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: или , или Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2007 год, 512 с..
Таким образом, по определению имеем:
,
.
Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной , считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается .
Пример 3. Найти частные производные функций:
а) ; б) .
Решение. а) Чтобы найти считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной :
.
Аналогично, считая постоянной величиной, находим :
.
Решение.
б) ;
.
Определение 5. Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
.
Учитывая, что дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. , формулу полного дифференциала можно записать в виде
или .
Пример 4. Найти полный дифференциал функции .
Решение. Так как , то по формуле полного дифференциала находим
.
4. Частные производные высших порядков
Частные производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными.
Определение 6. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
или ; или ;
или ; или .
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:
, и т. д.
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство . Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник /Под общ. ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш. шк., 2005. - 351 с.
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
.
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
Дифференцируя и по переменным х и y, получим
,
;
;
.
5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство , ().
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно). Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если - точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные и в этой точке равны нулю: .
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка . Тогда, если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.
При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найти частные производные первого порядка: и .
2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка: , , .
4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.
5. Найти экстремумы функции.
Пример 6. Найти экстремумы функции .
Решение. 1. Находим частные производные и :
, .
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
или
Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим
, , ,
откуда
.
Находим значения y, соответствующие значениям . Подставляя значения в уравнение , получим: .
Таким образом, имеем две критические точки: и .
3. Находим частные производные второго порядка:
; ; .
4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:
, , .
Так как
,
то в точке экстремума нет.
В точке :
, ,
и, следовательно,
.
Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке функция имеет минимум, так как в этой точке и .
5. Находим значение функции в точке :
.
6. Условный экстремум
В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть - функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию , называемому уравнением связи.
Определение 8. Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , ().
Если уравнение связи можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x: ), то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное значение в функцию двух переменных. В результате получают функцию одной переменной x: . Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .
Замечание. В более сложных случаях, когда уравнение связи не разрешимо относительно одной из переменных, для отыскания условного экстремума используется метод множителей Лагранжа Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш. шк., 2005. - 311 с..
Пример 7. Найти экстремумы функции при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи .
Решение. Из уравнения связи находим функцию и подставляем ее в функцию z. Получим функцию одной переменной
или
Находим экстремум данной функции:
, ,
- критическая точка первого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как , то в точке функция имеет локальный минимум. Из уравнения связи находим: . Следовательно, функция
в точке имеет условный минимум:
.
Заключение
Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.
В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).
Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.
Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.
Список литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2007 год, 512 с.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2005 год, 271 с.
3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2008 год, 703 с.
4. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш. шк., 2005. - 351 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы. Интегральное исчисление функций. Неопределённный интеграл.
курс лекций [309,0 K], добавлен 08.04.2008Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013Многие переменные, минимизация их функций. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Условия существования экстремумов функции многих переменных. Квадратичная форма, принимающая, как положительные, так и отрицательные значения.
реферат [70,2 K], добавлен 05.09.2010Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.
презентация [112,6 K], добавлен 17.09.2013
