Метрические инварианты многочлена второй степени от трех переменных

Замечание:

Общее уравнение

Поверхности второго порядка, заданное относительно общей декартовой системы координат, выражает одну из семнадцати поверхностей:

В данной работе будем использована теорема, сформулированная в предыдущей курсовой работе, но для трех переменных.

Именно произведем над переменными x, y, z целой рациональной функции F второй степени от этих переменных

(1)

Линейное неоднородное преобразование:

(2)

Пусть

(3)

функция, в которую при этом преобразуется функция F. Тогда имеют место соотношения

(4)

(5)

В самом деле, квадратичная форма, входящая в состав функции F, преобразует в квадратичную форму, входящую в состав функции F' при однородном преобразовании

(6)

Отсюда следует формула (4)

Далее, функция F может быть получена из квадратичной формы:

при t'=1, а неоднородное преобразование (2) получается из однородного:

при t'=1

Из этих соображений получается формула(5). Из соотношений (4) и (5) следует, что при линейном преобразовании (2) над переменными x, y, z целой рациональной функции F, при котором она переходит в функцию F', имеет место соотношения:

(4')

(5')

Определение:

Целая рациональная функция от коэффициентов многочлена второй степени называется ортогональным инвариантом этого многочлена относительно ортогонального преобразования, если она сохраняет свое значение при неоднородных ортогональных преобразованиях переменных.

Теорема:

Функции *

(7)

(8)

(9)

(10)

являются ортогональными инвариантами целой рациональной функции второй степени от трех аргументов:

Доказательство:

Так как определитель ортогонального преобразования равен ±1, то его квадрат равен 1 и инвариантность I3 и K4 следует из соотношений (5') и (4').

Для доказательства того, что I2 и I1 также являются ортогональными инвариантами, заметим, что коэффициенты являются инвариантами переноса:

(11)

Это доказывается так же, как и в предыдущей курсовой работе.

Поэтому достаточно доказать, что I2 и I1 являются инвариантами однородного ортогонального преобразования:

(12)

При этом преобразовании имеет место соотношение

Рассмотрим вспомогательную квадратичную форму

(13)

При ортогональном преобразовании (12) она перейдет в форму

По доказанному дискриминант квадратичной формы является ортогональным инвариантом, значит,

Это равенство верно при всех значениях , следовательно, равны соответствующие коэффициенты при и в левой и правой частях т. е.

Теорема:

Функции

(15)

(16)

Являются инвариантами однородного преобразования. Эти функции K3 и K2 называются «семиинвариантами» (полуинвариантами).

Если же функция

однородным ортогональным преобразованием может быть приведена к виду

то K3 является ортогональным инвариантом, а если F однородным ортогональным преобразованием может быть приведена к виду

, (18)

то K2 (и K3) являются ортогональным инвариантом.

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию

Производя однородное ортогональное преобразование (12), получим функцию

По доказанному K4 Їортогональный инвариант. Используя это по отношению к функции Ц, получим

(тождество относительно л). Приравнивая коэффициенты при л и л2 в левой и правой частях, получим

=

Предположим теперь, что существует однородное ортогональное преобразование щ1, при котором функция F переходит в функцию(17) семиинвариант K3 имеет значение

(19)

равное его значению, вычисленному по формуле (15). Определитель

не меняется, если над переменными x' и y' функции (17) совершить преобразование перенос

Пусть щЇпроизвольное ортогональное преобразование. Рассмотрим ортогональное преобразование тогда . Далее, представим ортогональное преобразование щ' в виде произведения однородного ортогонального преобразования щ3 на перенос щ2; тогда .

После однородного ортогонального преобразования щ1 функция F перейдем в функцию (17) и по доказанному K3 не изменится и будем равен его значению, вычисленному по формуле (19).

При преобразовании переноса щ2 функции F' перейдет в функцию

и по доказанному

наконец, после однородного ортогонального преобразования щ3 функция F'' перейдет в функцию

и, следовательно,

Аналогично доказывается, что K2 является ортогональным инвариантом, если функция F однородным ортогональным преобразованием может быть приведена к виду

Определение канонического уравнения.

В таблице указаны необходимые и достаточные признаки того, что поверхность второго порядка является поверхностью I, II, III, IV или V групп:

1. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью I группы. Тогда, уравнение этой поверхности при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную систему можно привести к виду

где л1?0, л2?0, л3?0. В таком случае

2. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью II группы. Тогда её уравнение при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную может быть приведено к виду

Где л1 и л2 Їотличные от нуля корни характеристического уравнения (л3=0) и . Находим

3. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью III группы. Тогда её уравнение при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную может быть приведено к виду

В данной таблице даны необходимые и достаточные признаки каждого из семнадцати классов поверхностей второго порядка

Глава 2. Применение теории инвариантов,уравнения линии второго порядка от трех переменных

Пример 1

Определить вид поверхности второго порядка:

Решение