Преобразование Лапласа

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра 21

Реферат на тему:

«Преобразование Лапласа»

Выполнила

студентка гр.0850

Киселева Ю.В.

Проверил:

доцент

Данейкин Ю.В.

Томск, 2008г.

Введение

Преобразование Лапласа -- интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

1. Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной , называется функция комплексной переменной , такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

2. Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция действительного переменного, такая что:

где -- некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

3. Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа -- обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения x < 0

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

4. Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают -преобразование и -преобразование.

· -преобразование

Пусть

решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где -- целое число, а -- период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

· -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим Z-преобразование:

5. Свойства и теоремы

· Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при у = у₀, то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и F(s) -- аналитическая функция при ( -- действительная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань у_a множества чисел у, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

· Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. Случай : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл

2. Случай у > у_a: преобразование Лапласа существует, если интеграл

существует для каждого конечного

x₁ > 0 и для

3. Случай у > 0 или у > у_a (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f'(x) (производная к f(x)) для у > у_a.

Примечание: это достаточные условия существования.

· Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s) -- аналитичная функция для и имеет порядок меньше ?1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём

для

2. Пусть

,

так что

аналитична относительно каждого z_k и равна нулю для

, и

тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

· Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов.

· Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

· Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа.

В более общем случае (производная n-го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала деленное на свой аргумент.



· Дифференцирование и интегрирование изображения. Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком.

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, деленный на свой аргумент.

· Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

Примечание: u(x) -- Функция Хэвисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

Все полюсы в левой полуплоскости. Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, к примеру, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

· Другие свойства

Линейность

Умножение на число

6. Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

№	Функция	Временная область	Частотная область	Область сходимости для причинных систем
1	идеальное запаздывание
1а	единичный импульс
2	запаздывание n-го порядка с частотным сдвигом
2а	степенная n-го порядка
2а.1	степенная q-го порядка
2а.2	единичная функция
2b	единичная функция с запаздыванием
2c	«ступенька скорости»
2d	n-го порядка с частотным сдвигом
2d.1	экспоненциальное затухание
3	экспоненциальное приближение
4	синус
5	косинус
6	гиперболический синус
7	гиперболический косинус
8	экспоненциально затухающий синус
9	экспоненциально затухающий косинус
10	корень n-го порядка
11	натуральный логарифм
12	функция Бесселя первого рода порядка n
13	модифицированная функция Бесселя первого рода порядка n
14	функция Бесселя второго рода нулевого порядка
15	модифицированная функция Бесселя второго рода, нулевого порядка
16	функция ошибок

Примечания к таблице:

· -- функция Хэвисайда.

· -- дельта-функция.

· -- гамма-функция.

· -- постоянная Эйлера -- Маскерони.

· , -- вещественная переменная.

· -- комплексная переменная.

· , , и -- вещественные числа.

· -- целое число.

Причинная система -- система, в которой импульсная передаточная функция h(t) равна нулю для любого момента времени .

7. Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.

· Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.

· Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.

· Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов -- так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.

· Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

· Решение нестационарных задач математической физики.

8. Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа-Карсона

Преобразование Лапласа-Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа связано с односторонним с помощью следующей формулы:

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом s = iщ:

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель

который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

положим и = e ^{? x}, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

Z-преобразование -- это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

где -- период дискретизации, а -- частота дискретизации сигнала. Связь выражается с помощью следующего соотношения:

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

9. Преобразование Лапласа по энергии

Запишем уравнение

для моноэнергетического источника S(E)=(E-E₀) с интегральным членом в форме:

и, не пренебрегая для простоты зависимостью сечений У(E) и

от E, перейдем от E к новой переменной

=:

Ф()=Ф(E) (1)

Решение этого уравнения можно получить с помощью преобразования Лапласа по энергии:

(2)

(3)

Его можно рассматривать как разложение дифференциальной плотности потока по системе биортогональной функции и .

Подействуем на все члены уравнения (1) оператором

В соответствии с (3) первый член преобразования к виде

Во втором члене необходимо изменить порядок интегрирования и в интеграле по сделать замену переменных

Тогда он приведется к виду

,

где (4)

-трансформанта Лапласа от дифференциального сечения рассеяния.

Правая часть уравнения (1) легко преобразуется, после чего получаем

'

Откуда

. (5)

Подставляя (5) в (2), находим интересующую нас функцию Ф():

Если сечение

быстро убывает с ростом Q экспоненту в (4) можно разложить в ряд.

Тогда

где -середина потери энергии на единице длины пути. Подставим это разложение в (6) и сделаем замену переменных

Тогда (6) перейдет в:

Вычисляя, интеграл с помощью вычетов и возвращаясь от переменной к переменной E, получаем:

(7)

Экспонента в формуле (7) есть вероятность того, что частица избежит поглощения на пути, где энергия меняется от Е₀ до Е. Если сечение поглощения равно нулю, то

(8)

Формула (8) имеет простой физический смысл. По определению Ф(E)=dE есть средний путь, пройденный частицей за время, пока ее энергия меняется от E+dE до E.

В приближении непрерывного замедления dE/dl=, откуда dl/dE=1/, что совпадает с (8).

10. Преобразование Лапласа по координатам

Запишем кинетическое уравнение в приближении «прямо-вперед» (т.е. без учета отклонения частиц при рассеянии), для частиц, испускаемых моноэнергетическим источником, который находится в начале координат:

(208)

(209)

Поскольку частицы испускаются в положительном направлении оси Оz, в области z0 плотность потока равна 0 и область изменения z в уравнении (208) следует считать полубесконечный интервал (0,). Это обстоятельство позволяет применить для решения уравнения (208) преобразование Лапласа по координатам:

(210)

где трансформанта Лапласа Ф(,E) выражается через плотность потока следующим образом:

(211)

Умножим обе части уравнения (208) на и проинтегрируем по z от 0 до . Преобразовав первый член интегрированием по частям с учетом граничного условия (209) и, использовав обозначение (211), получим:

После преобразования Лапласа остальных членов уравнения (208) приходим к уравнению для трансформанты плотности потока:

(212)

которое в отличие от (208) не содержит производных и является интегральным уравнением типа уравнения деградации энергии. Введя обозначение

(213)

Перепишем уравнение (312) в виде

(214)

При действительных уравнение (214) по форме совпадает с уравнением деградации энергии для частиц с макроскопическим сечением столкновений и дифференциальным сечением рассеяния

Из (213) видно, что по мере уменьшения обращается в нуль, а потом становится отрицательной. Отсюда следует, что решение уравнения (214) существует лишь в области

Если выполняется условие

то для трансформанты рассеянной компоненты плотности потока получим

(215)

Если и C не зависят от энергии, формула (215) упрощается:

(216)

Перейдем к восстановлению энергетического спектра рассеянных частиц:

(217)

гдеRe=C-

Введем обозначения

Тогда формула (217) примет вид:

(218)

Функция , представляющая собой обратное преобразование Лапласа функции s^-2exp(a/s),равна

'

где I₁- модифицированная функция Бесселя первого порядка. Таким образом

(219)

В частности, при малых значениях аргумента I₁(x), поэтому

(220)

При больших значениях аргумента , следовательно,



(221)

Из (219)-(221) видно, что с увеличением z отношение рассеянного излучения к нерассеянному возрастет сначала линейно (когда главную роль играет однократное рассеяние), затем более сложным образом, причем низкоэнергетическая часть спектра, обусловленная многократным рассеянием, растет быстрее высокоэнергетической.

Список литературы

1. А.М. Кольчужкин, В.В. Учайкин «Введение в теорию прохождения частиц через вещество». М., Атомиздат,1978, 256с.

2. В.Н.Русак «Математическая физика», Минск, 1998

3. Деч Густав «Руководство к практическому применению Лапласа и Z-преобразования».М.:Наука,1971

4. Л.Г. Смышляева «Преобразования Лапласа функций многих переменных» Изд-во ЛГУ, 1981