Прямое дискретное преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа для непрерывных оригиналов имеет вид:

(1)

Получим формулы дискретного преобразования Лапласа. Для выхода импульсного элемента можно записать соотношение

(2)

Подставив это выражение в формулу преобразования Лапласа, получим

(3)

При этом получили одну из формул дискретного преобразования Лапласа, которая имеет вид:

(4)

По сравнению с обычным преобразованием Лапласа для непрерывных оригиналов, интеграл заменен на сумму, а непрерывная переменная -t на дискретную - nT.

Пример 1. Определить дискретное преобразование Лапласа для единичной функции x (t) = 1 (t).

Решение: Применив формулу дискретного преобразования Лапласа, получим

Если изображения непрерывных сигналов являются степенными уравнениями - f (pⁿ), то изображения дискретных функций являются показательными уравнениями - f (e^pnT), следовательно, к ним нельзя применять аппарат теории непрерывных систем. Выполнив подстановку z = e^pT в формуле (4), получим

(5)

Получили вторую формулу дискретного преобразования Лапласа, которое называется z-преобразованием. При использовании z- преобразования получаем степенные уравнения, что позволяет применять методы исследования непрерывных систем для дискретных систем с учетом некоторых особенностей.

Пример 2. Определить дискретное изображение F (z), если оригинал f (t) имеет вид (рис.1):

Рис. 1

Решение: Функцию F (z) можно представить в виде ряда

Получили дискретное преобразование исходной непрерывной функции.

2. Дискретное преобразование Лапласа в общем виде

Для выхода импульсного элемента можно записать соотношение

(6)

Для нахождения изображения x* (p) воспользуемся теоремой умножения в комплексной области.

Изображение произведения равно свертке изображений

Если то

(7)

На основании теоремы Коши о вычетах этот интеграл можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции.

(8)

Это третья формула прямого дискретного преобразования Лапласа.

Пример 3. Определить дискретное преобразование Лапласа для еди-ничной функции.

Решение: Функции x (t) = 1 (t) соответствует изображение

Записываем характеристическое уравнение и определяем значения полюсов, их количество и кратность. s = 0, s₁ = 0, n = 1, m = 1.

Находим дискретное изображение, используя теорему Коши о вычетах по полюсам подынтегральной функции

Пример 4. Определить дискретное преобразование Лапласа для линейнорастушей функции x (t) = t.

Решение: Функции x (t) = t соответствует изображение.

Записываем характеристическое уравнение и определяем значения полюсов, их количество и кратность. s² = 0, s₁ = 0, n = 1, m =

Находим дискретное изображение, используя теорему Коши о вычетах по полюсам подынтегральной функции

Пример 5. Определить дискретное преобразование Лапласа для экспоненциальной функции x (t) = e^-t.

Решение: Функции x (t) = e^-t соответствует изображение

Записываем характеристическое уравнение и определяем значения полюсов, их количество и кратность. s+ = 0, s₁ = - , n = 1, m = 1.

Находим дискретное изображение, используя теорему Коши о вычетах по полюсам подынтегральной функции

Для нахождения дискретных изображений можно использовать любую из рассмотренных выше форм дискретного преобразования Лапласа. Краткая таблица z-преобразований приведена в Приложении 3.

3. Модифицированное дискретное преобразование Лапласа

После временного квантования непрерывного сигнала на выходе импульсного элемента получим дискретную функцию, соответствующую решетчатой функции, которая представляет значение непрерывного сигнала в дискретные моменты времени срабатывания импульсного элемента.

Заданному непрерывному сигналу соответствует одна решетчатая функция, а значит и одна дискретная функция. Обратная задача неоднозначна, т.е. дискретной функции соответствует бесконечное множество непрерывных функций (рис.2а).

Чтобы получить промежуточные значения решетчатой функции, а значит и непрерывного сигнала, необходимо заставить срабатывать ИЭ с запаздыванием (опережением). Величина сдвига должна изменяться в пределах такта. Если время сдвига обозначить Т, то 0 1.

Если = 0 сдвиг отсутствует, если = 1 сдвиг на 1 такт.

Направление сдвига безразлично условимся сдвигать в сторону опе-режения. Сдвигать можно как решетчатую функцию, так и момент сра-батывания ИЭ. В соответствии с теоремой сдвига, сдвигу в области оригиналов соответствует умножение на e^pT в области изображений.

(9)

При этом: x* (t) x* (t,); x [nT] x [nT,] ;

x (p) x (p,) =x (p) e^pT; x (z) x (z,).

На схеме это можно обозначить следующим образом (рис.2б)

а) б)

Рис. 2

Формулы обычного дискретного преобразования Лапласа и соответствующие им формулы модифицированного дискретного преобразования имеют вид

Формулы, использующие вычеты

Применение метода модифицированного z -преобразования для анализа дискретных систем управления аналогично применению обычного преобразования Лапласа для непрерывных систем.

Пример 6. Определить модифицированное дискретное преобразование Лапласа - x^* (p,), если x (t) = e^-t.

Решение: Функции x (t) = e^-t соответствует изображение

Рассмотрим решение с использованием формулы (4).

Еслито

При этом модифицированное преобразование имеет вид

Рассмотрим решение с использованием третьей формулы (8).

Записываем характеристическое уравнение и определяем значения полюсов, их количество и кратность

s + = 0, s₁ = - , n = 1, m = 1.

Находим дискретное изображение, используя теорему Коши о вычетах

Литература

Вандер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. - М., ИЛ, 1952

Справочник по теории автоматического управления. /Под ред.А. А. Красовского - М.: Наука, 1987. - 712с.

Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. - М., Наука, 1980. - 336 с.

Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М, Физматгиз, 1974. - 542 с.

Микусинский Я. Операторное исчисление. - М., ИЛ, 1956

Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - 2-е. - Спб: Питер, 2006. - С.751.

М.А. Павлейно, В.М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. - СПб: 2007. - С.160.