Решение уравнений в конечных разностях
Соотношения между операторами дифференцирования и конечных разностей. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Интерполяционные рекуррентные формулы, метод Эйлера. Интерполяция конечными разностями "назад". Рекуррентные формулы Адамса.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.08.2009 |
| Размер файла | 156,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
13
Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет
“ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"
Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування"
Реферат з курсу “Численные методы"
Тема: “Решение уравнений в конечных разностях”
Виконав:
студент групи
Перевірив:
Харків
Содержание
- 1. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений
- 2. Решение линейных разностных уравнений
- 3. Рекуррентные формулы для решения разностных уравнений
- 4. Интерполяционные рекуррентные формулы
- 4.1 Интерполяция конечными разностями “назад”
- 4.2 Рекуррентные формулы Адамса
- Литература
1. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений
Используя описанные выше соотношения между операторами дифференцирования и операторами конечных разностей несложно в заданном интервале изменения независимой переменной получить конечно-разностную аппроксимации дифференциальных уравнений системой алгебраических рекуррентных формул или уравнений. Основная идея аппроксимации схематически представляется так: В заданном в общем виде дифференциальном уравнении или системе
производится замена независимой переменной t ее представлением в заданном интервале путем преобразования , а искомая функция и ее производные выражаются посредством конечно-разностных соотношений через некоторое число равномерно расположенных с шагом ординат , начиная с : , , ,..., : .
Разрешив неявную форму разностного выражения относительно старшей ординаты , получим рекуррентную формулу, из которой по известным k начальным ординатам можно последовательно найти ординаты всего искомого процесса. Вопрос лишь в том, где взять нужное количество начальных ординат. Благополучно разрешима задача лишь в случае, когда производная аппроксимируется разностью первого порядка:
.
После приведения исходной системы к системе уравнений первого порядка каждая искомая переменная получает значение при , равное своему начальному условию. В результате рекуррентный вычислительный процесс оказывается определенным и позволяет вычислить на очередном шаге значения всех переменных:
или
где - вектор переменных,
- вектор производных.
Такой вычислительный процесс в литературе получил название численного интегрирования систем дифференциальных уравнений по явному методу Эйлера. Основная трудность здесь заключается в выборе шага интегрирования для нецелочисленной независимой переменной t.
2. Решение линейных разностных уравнений
Система линейных разностных уравнений может быть в ряде случаев решена и аналитически. Решение представляется в виде алгебраического выражения от целочисленной переменной. Методика решения аналогична той, что применяется и при решении линейных дифференциальных уравнений.
Используется тот факт, что общее решение неоднородного линейного уравнения представляется взвешенной суммой системы фундаментальных решений однородного уравнения и одного частного решения уравнения неоднородного. Воздействие неоднородности на характер общего решения не связано с конкретными значениями начальных условий. Именно это позволяет находить лишь одно частное решение уравнения с правой частью. Число фундаментальных решений однородного уравнения определяется порядком последнего.
В качестве частных решений для линейных уравнений обычно используют функции, инвариантные по отношению к операции сдвига, т.е. функции, не изменяющие своей структуры при переносе начала координат. В конечно-разностных уравнениях это показательные функции:
Где p - некоторый параметр-константа. Количество частных решений определится числом параметров , для которых будет обращать разностное уравнение в тождество. Общее решение составляется в виде суммы частных решений, умноженных на коэффициенты, определяемые конкретными начальными условиями. Рассмотрим пример решения линейного неоднородного уравнения третьего порядка.
Пусть требуется заменить рекуррентный вычислительный процесс с псевдокодом следующего вида:
на формульное выражение для , как функции от n, позволяющее выборочно вычислять значение любого члена последовательности. Для этого в рекуррентном операторе цикла заменим оператор ': =' на символ равенства '=' и запишем полученное уравнение в форме неоднородного разностного уравнения относительно :
.
В качестве фундаментальной системы функций возьмем тогда характеристическое уравнение примет следующий вид:
.
Решив уравнение, найдем корни: , следовательно, частными решениями однородного уравнения будут:
Частное решение неоднородного уравнения (с правой частью) попробуем найти в виде функции, которая будет пропорциональна квадратуре от правой части с неизвестными коэффициентами:
Для нахождения коэффициентов a и b подставим в уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях полученного равенства. Последовательно выполняя сказанное, имеем:
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при различных степенях n, получим
откуда и частное решение примет вид
.
Общее решение для конкретных начальных условий ищем в виде суммы частных решений:
.
Константы находим из уравнений, получаемых после подстановки в общее решение значений для при :
В результате, общее решение неоднородного уравнения будет:
Для примера выпишем несколько первых членов ряда, полученных вычислением этого выражения: [0, - 1, 1, 2, 2, 5, 11, 16, 20, 27, 37, 46, 54, 65, 79, 92, 104, 119, 137, 154, 170,...]
3. Рекуррентные формулы для решения разностных уравнений
Интегрирование системы нелинейных разностных уравнений первого порядка по Эйлеру аналитически выполнить, как правило, не удается. Поэтому решение задачи получают в численном виде путем вычисления очередных значений процессов по рекуррентным формулам, начиная с известных начальных условий:
,
Где - очередное значение вектора решений,
- вектор начальных значений.
Основной проблемой процесса численного интегрирования является выбор величины шага h. Формула Эйлера вносит в процесс численного решения погрешность, пропорциональную h. Это несложно увидеть, если сравнить вычисляемое при интегрировании уравнения выражение с первыми слагаемыми ряда Тейлора для точки :
.
По Эйлеру
,
или иначе:
,
а по Тейлору:
,
или иначе:
.
Отбрасываемые члены разложения характеризуют погрешность формулы Эйлера, в которую входят слагаемые с h в первой степени и выше.
Результат интегрирования можно улучшить, если по найденному значению , вычислить значение производной, т.е. , и в формулу Эйлера ввести среднее арифметическое двух производных: для начала и для конца интервала . Модифицированная формула примет следующий вид:
Такого рода уточнения (итерации) можно повторять, пока в выражении
модуль разности станет .
Погрешность модифицированной формулы будет пропорциональна . Это показывается аналогично предыдущему сопоставлению.
Продифференцируем исходное уравнение
и подставим выражение производной в ряд Тейлора. В результате получим:
Аналогичное выражение для первых двух слагаемых и остаточного ряда второй степени от h получается и для модифицированной формулы Эйлера, если в последней осуществить разложение в ряд Тейлора по степеням h:
Усреднение производных с итерационным уточнением их для нескольких точек интервала особенно наглядно представлено в формулах Рунге-Кутта четвертого порядка :
где
Здесь производная вычисляется в трех точках интервала h (на концевых точках и дважды в средней точке интервала для итерационного уточнения), после чего окончательное приращение находится как взвешенное среднее.
4. Интерполяционные рекуррентные формулы
Достоинством методов Эйлера и Рунге-Кутта является их самоначинаемость независимо от порядка формулы, а основной недостаток в том, что число вычислений правой части неоднородной системы дифференциальных уравнений равно порядку формулы.
В этом плане выгодно отличаются формулы интегрирования, построенные на основе интерполяционных многочленов, опорными точками которого являются предыдущие, уже вычисленные значения переходного процесса. Широко используемым методом интегрирования с таким подходом могут служить формулы интегрирования Адамса.
4.1 Интерполяция конечными разностями “назад”
Возьмем в качестве примера интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования функции “назад”, т.е. в сторону меньших значений независимой переменной по отношению к текущему ее значению:
Построение такого интерполяционного многочлена удобно осуществлять с применением повторных конечных разностей “назад”:
.
Взаимосвязь оператора и рассмотренных выше операторов и характеризуется следующими соотношениями:
Выразим ординату функции, отстоящую от текущей на k шагов назад, через ординату функции в текущей точке и выполним ряд эквивалентных преобразований с названными линейными операторами:
Если положить
, то
Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования “назад” принимает вид:
,
где принимает целые значения для ,
- i-тая повторная конечная разность “вперед", вычисляемая по значениям функции в соответствии с таблицей:
|
-4 |
|||||||
|
-3 |
- |
||||||
|
-2 |
- |
- |
|||||
|
-1 |
- |
- |
- |
||||
|
0 |
- |
- |
- |
||||
|
1 |
- |
- |
- |
В таблице жирным шрифтом выделены конечные разности от нулевого порядка и выше, которые входят в интерполяционную формулу Ньютона.
4.2 Рекуррентные формулы Адамса
Пусть теперь требуется найти решение уравнения
.
для которого уже каким-либо способом найдены k+1 значений решения , что, естественно, определяет и соответству-ющие значения . На основе построим интерполя-ционный многочлен k-той степени:
Приращение решения на внешнем интервале можно получить, проинтегрировав интерполяционный многочлен в интервале по переменной q, предварительно сделав замену переменных:
.
Интегралы в каждом слагаемом зависят только от i и определяют коэффициенты, с которыми повторные разности входят в выражение для приращения. Таким образом, экстраполяционная формула Адамса имеет вид:
,
где первые пять коэффициентов приведены в таблице
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Появление нового значения требует для очередного шага вычислить новые значения повторных разностей. Для этого в таблице разностей заполняется по одной дополнительной клеточки в каждом столбце после одного-единственного вычисления правой части. В этом и состоит основное достоинство экстраполяционных формул.
В формулу Адамса вместо повторных разностей можно подставить их выражения через ординаты . Например, ограничившись , получим
Модификаций у формул Адамса много. Можно менять не только интерполяционные многочлены, но и вычислять приращения в пределах нескольких шагов. Наиболее простой получается формула для k=4, в которой приращение вычисляется на интервале в два шага :
Если построить интерполяционный многочлен Ньютона не от точки , а от точки и опять вычислить для k=4 приращение в интервале , то последнее может служить контролем за точностью вычислений:
Литература
1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548с.
2. Волков Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. - 248с.
3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 375с.
4. Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. - Харьков: НТУ “ХПИ", 2002. - 196с.
5. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во иностр. лит., 1958. - 474с.
6. Скалкина М.А., “О колебаниях решений уравнений в конечных разностях", Изв. вузов. Матем., 1959, № 6, 138-144
Подобные документы
Вычисление производной по ее определению, с помощью конечных разностей и на основе первой интерполяционной формулы Ньютона. Интерполяционные многочлены Лагранжа и их применение в численном дифференцировании. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка).
реферат [71,6 K], добавлен 06.03.2011Общая характеристика параболических дифференциальных уравнений на примере уравнения теплопроводности. Основные определения и конечно-разностные схемы. Решение дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток или методом конечных разностей.
контрольная работа [835,6 K], добавлен 27.04.2011Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
курс лекций [871,5 K], добавлен 11.02.2012Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.
реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
лекция [463,7 K], добавлен 28.06.2009Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 06.07.2011Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.
курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций. Формула Лагранжа. Интерполирование по схеме Эйткена. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Формула Ньютона с разделенными разностями. Интерполяция сплайнами.
контрольная работа [131,6 K], добавлен 05.01.2011
