Динамические системы в плоской области

мы, очевидно, «теряем» особые точки системы (I*) (неявляющиеся состояниями равновесия системы (I)), для которых f(х,y) = 0.

12. Изоклины

Кривые, расположенные в области G и имеющие уравнение

Q(x, у) С Р (х, у) = 0 (34)

(С -- постоянное) или уравнение

Р(x, y) = 0, (35)

называются изоклинами (линиями равного наклона) системы (I) или уравнения (III). Эти кривые обладают, очевидно, тем свойством, что траектории системы (I), проходящие через все отличные от состояний равновесия точки каждой кривой, имеют в этих точках одинаковые направления касательных. Именно, угловые коэффициенты траекторий в точках изоклины (34) равны С, а в точках изоклины (35) равны . Таким образом, направление касательной к траектории меняется только при переходе точки с одной изоклины на другую.

Изоклины Q (х, у) = О и Р (х, у) = 0 называются главными изоклинами. В точках первой из них касательные к траекториям горизонтальны, а в точках второй -- вертикальны. Поэтому главные изоклины называют также изоклинами горизонтальных, соответственно вертикальных, наклонов.

Очевидно, все состояния равновесия лежат на каждой из изоклин и, обратно, общие точки любых двух изоклин (различных) являются состояниями равновесия системы. В частности, состояния равновесия являются общими точками двух главных изоклин.

13. Понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл». использующиеся в классической литературе при рассмотрении аналитических систем

В этом пункте мы введем понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл» дифференциального уравнения или системы уравнений так, как это обычно делается в классической литературе при рассмотрении аналитических дифференциальных уравнений и систем.

Мы останавливаемся здесь на указанных понятиях, не играющих роли в излагаемой дальше теории ввиду того, что они часто используются в дальнейшем при рассмотрении примеров.

Пусть рассматриваемая система (I)

Р(х, у) Q(x, у)

является аналитической в области G. Соответствующее этой системе дифференциальное уравнение запишем в симметричной форме (III)

интеграл динамический плоскость траектория



Пусть функция F (х, у) удовлетворяет следующим условиям:

а) она является аналитической во всех точках кривой, заданной соотношением

F(x,y) = 0, (36)

б) во всех точках кривой (36) тождественно выполняется равенство

(х, у) Р(х, y) + (x, y)Q(x, y)=0. (37)

Тогда соотношение (36) называется интегралом или частным интегралом уравнения (III) или системы (I), а кривая, определяемая этим соотношением, интегральной кривой уравнения (III) или системы (I).

Пусть F (х, у) = 0 -- интеграл системы (I). Рассмотрим соответствующую интегральную кривую. Эта кривая может иметь в числе своих точек состояния равновесия системы (I), а также точки, в которых одновременно F'_x (х, у) = F'_y (х, у) = 0, т. е. особые точки кривой (36).

Покажем, что всякий “кусок” интегральной кривой, не содержащий состояний равновесия системы (I) и не имеющий особых точек, является траекторией системы (I) или представляет часть такой траектории.

В самом деле, рассмотрим произвольную точку М₀ (х₀, у_с) такого куска кривой (36). Предположим, что в этой точке

F'_y (x₀, у₀) 0

Тогда в некоторой окрестности точки М₀ кривая может быть задана уравнением вида y = f(x), причём

для всех точек кривой в этой окрестности. Так как F'_y (х₀, у₀) 0, то в окрестности точки М₀ , F'_y (x, у) также отлична от нуля. Из соотношения (37)

F'_x (x, y)P(x, y) + F'_y (x, y)Q(x,y)=0

следует, что Р (х, у) 0 в окрестности точки М₀ и что

Но это значит, что функция y = f(x) удовлетворяет уравнению (II)

Аналогично рассматривается случай, когда F'_x (x₀, у₀) 0. Таким образом, рассматриваемый кусок кривой (36) является куском интегральной кривой в смысле п. 11, т. е. представляет траекторию или часть траектории системы (I).

Рассмотрим теперь семейство кривых

F{x_% у, С) = 0, (38)

определенное для значений С в некоторой области (обычно в некотором интервале).Соотношение (38) называется общим интегралом уравнения (III) или системы (1), если каждая кривая семейства (38) является интегральной кривой в определенном выше смысле и если каждая точка области G принадлежит по крайней мере одной из кривых (38).

Из этого определения следует, в частности, что если некоторая функция Ф (х, у) определена в области G и является аналитической во всех точках этой области, за исключением, быть может, состояний равновесия системы (I), и удовлетворяет в области тождеству

Ф'_х(х, у)Р(х, у) + Ф'_y (х, y)Q(x, y) 0, то соотношение

Ф(x, y) = С (39)

является общим интегралом системы (I).

Если у системы (I) (или уравнения (III) существует общий интеграл вида (39), причем Ф (x, у) есть функция, аналитическая во всех точках области G, то, говорят, что система (I) (или уравнение (III)) имеет в области G аналитический интеграл . В частности, системами вида (I), имеющими аналитический интеграл, являются так называемые гамильтоновы системы, о которых уже говорилось во введении

где Н (x, у) -- аналитическая функция. H (х, у) = С является аналитическим интегралом (так называемым «интегралом энергии») этой системы.

Знание аналитического интеграла системы (I) в некоторых частных случаях помогает проводить качественное исследование системы (I).

14. Примеры

Мы приведем здесь ряд простых примеров динамических систем, поясняющих материал, изложенный в предыдущих пунктах.

Во всех указанных примерах динамические системы определены на всей плоскости. Приведем сначала два простейших примера динамических систем без состояний равновесия.

Пример 1.

Траектории -- прямые, параллельные оси х

Состояний равновесия, очевидно, нет, все траектории (совпадающие с интегральными кривыми) являются целыми траекториями.

Пример 2.

.

Состояний равновесия нет, траектории не являются «целыми траекториями» ввиду того, что точки па этих траекториях уходят в бесконечность при t, стремящемся к конечному значению. Именно

при t + c₁ (2k + 1).

Пример 3

(40)

где a₁ и a₂ имеют одинаковые знаки.

На плоскости (х, у) (т. е. на фазовой плоскости системы (40)) эта система задает векторное поле, примерно изображенное на рис. 8, а при a₁ < 0, а₂ < 0 и на рис. 8, б при а₁ > 0, а₂ > 0. Прямые на этом рисунке являются изоклинами.

Система (40), очевидно, имеет единственное состояние равновесия О (0, 0). Решая систему (40) как линейную с постоянными коэффициентами, легко видеть, что решение, соответствующее начальным значениям t₀, x₀, у₀, имеет вид

(41)

Очевидно, в согласии с леммой 3 это решение является функцией t --t₀.

Траектории системы (40) проще всего получить, исключая t в уравнениях (41), т. е. переходя к декартовым координатам. Мы получаем

Полагая при у_о 0 , получим «параболы»

(42)

а при у₀ = 0 x=0 (43)

Из (42) при С = 0 мы получаем у =0 .

Нетрудно видеть, что если перейти от системы (40) к одному уравнению, например, записанному в виде

или в виде

и проинтегрировать его, то в качестве интегральных кривых в смысле п. 13 мы получим «параболы» (42) и две оси координат.

а) b)

Рис. 8

Отметим здесь же, что, как было указано в п. 13, уравнение (44) задает поле линейных элементов: оно представлено на рис. 9.

Траекториями системы (40) являются те части (половины) парабол (42) и координатных осей х = 0 и у = 0, на которые эти кривые разбиваются состоянием равновесия О (0, 0). Из соотношений (41) видно, что если a₁ < 0, а₂ <Z 0, то точка на любой, отличной от О траектории, стремится к состоянию равновесия О при t , а если a₁ > 0, a₂ > 0, то при t . Мы будем сокращенно говорить, что траектория стремится к состоянию равновесия О соответственно при t или t .

Рис. 9

Напоминаем, что когда «изображающая» точка, двигаясь по отличной от состояния равновесия траектории, стремится к некоторому состоянию равновесия А (х₀, у₀), то при этом |t|. Действительно, как это уже указывалось в п. 6, если бы t стремилось к конечному значению , то это означало бы, что через точку пространства (х, у, t) с координатами , х₀, у₀ проходят две интегральные кривые: одна -- прямая, параллельная оси t, соответствующая состоянию равновесия А (х₀, у₀), и другая, соответствующая траектории L. Это, очевидно, противоречит теореме о существовании и единственности решения.

Таким образом, разбиение на траектории, определенное системой (40) (с указанными на траекториях направлениями *)[ Если особых линий нет, то для того, чтобы наметить направление на траекториях, достаточно наметить направление в какой-либо одной точке, тогда во всех других точках направление определяется из соображений непрерывности. Определить же направление в какой-либо точке х₀, у₀, в которой Р (х₀, у₀) =/= 0, можно, вычисляя в этой точке Р (х₀, у₀) и определяя в этой точке знак Р (х₀, у₀); если Р (х₀, у₀) >(), то в точке (х₀, y_Q) dx/dt > 0, а значит, вблизи этой точки при движении по траектории в сторону возрастания t x возрастает, что н определяет направлении на траектории, проходящей через точку (а;₀, у₀). Совершенно аналогично можно наметить направления на траекториях, рассматривая знак dyidt в точке, в которой Q {х₀, у₀) М 0. 2)]), имеет вид, указанный на рис. 10. Состояние равновесия такого типа называется узлом,устойчивым в случае a₁ < 0, a₂<0 (рис. 10, а) и неустойчивым в случае a₁ >0, a₂ >0 (рис.10,б).

Рассмотрим еще интерпретацию решений системы (40), т. е. интегральные кривые системы (40) в трехмерном пространстве ? ³ с координатами х, у, t. Из формул (41) следует, что интегральными кривыми системы (40) в пространстве (х, у, t) являются



Рис. 10.

1) ось t, т. е. х = 0, у = 0 (эти уравнения получаются из уравнений (41) при х₀ = у₀ = 0); она проектируется в состояние равновесия О фазовой плоскости;

2) показательные кривые

расположенные в координатных полуплоскостях х > 0, у = 0 или х < 0, у = 0 и асимптотически стремящиеся к оси t при , если а₁ < 0 (рис. 11, а), и при , если а₁ > 0; эти кривые проектируются в положительную и отрицательную полуоси абсцисс, являющиеся траекториями системы;

3)показательные кривые

х = 0,

аналогичные кривым типа 2);

4) кривые

(х_о0, у_о0),

расположенные на параболических цилиндрах

,(С 0)

с образующими параллельными оси t. Ось t разбивает каждый такой цилиндр на две «половины» и каждая интегральная кривая типа 4) лежит целиком в одной половине цилиндра и асимптотически стремится к оси t при t , если a₁ < 0, а₂ < 0 (рис. 11, б), при , если a₁ > 0, a₂ > 0.Интегральные кривые типа 4) получаются друг из друга сдвигом вдоль оси t. To же справедливо для интегральных кривых типа 2)или 3)

а) б)

Рис.11

Пример 4

(45)

(а -- отличная от нуля постоянная).

Векторное поле, определенное этой системой (при а<0), изображено на рис. 12.

Решая систему (45) как линейную систему с постоянными коэффициентами, мы получим решение, соответствующее начальным значениям t₀, х₀, у₀ в следующем виде (оно, очевидно, является функцией t -- t₀ в согласии с леммой 3):

(46)

Рис.12

Характер траекторий рассматриваемой системы удобнее исследовать, переходя к полярным координатам. Пусть ₀ и ₀-- полярные координаты точки М₀ (х₀, у₀). Полагая х = cos , у = sin , нетрудно найти уравнение траекторий = (t), = (t) в полярных координатах (здесь (t), (t)--непрерывные функции от t, (t) > 0, . (t₀) = ). Мы получим после элементарных вычислений

(47)

Исключая t, получаем

(48)

Уравнение (48) дает, очевидно, все траектории системы (46). Если эти траектории являются логарифмическими спиралями. При = 0 получается состояние равновесия О (0, 0).

Первое из двух уравнений (47) показывает, что все траектории стремятся к состоянию равновесия О при , если а <0 (рис. 13, а), и при , если а > 0 (рис. 13, б). Состояние равновесия такого типа, как в данном примере, называется фокусом, устойчивым в случае а<0 и неустойчивым при a > 0.

Уравнение

соответствующее системе (45), является однородным. Интегрируя его с помощью подстановки = и или = и, мы получим соотношение

(49)

(50)

Первое из соотношений является общим интегралом системы (в смысле п. 13) во всякой области, не содержащей точек оси у (т. е. точек х = 0), а второе -- во всякой области, не содержащей точек оси х. Однако, ни одно из этих соотношений не является в строгом смысле слова общим интегралом системы в области, содержащей точку О. «Целую» интегральную кривую, расположенную в такой области, можно получить, «склеивая» куски кривых (49) и (50).

Рассмотрим интерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в предыдущем примере, ось t является интегральной кривой системы (45) в пространстве (х, у, t). Остальные интегральные кривые расположены на цилиндрических поверхностях, имеющих своими направляющими спирали (48), а образующими -- прямые, параллельные оси t. Эти интегральные кривые асимптотически приближаются к оси t при

t , если а < 0, и при t , если а > 0

Отметим, что хотя формы траекторий в примерах 3 и 4 при a₁ < 0, а₂ < 0 и а < 0 (a₁ > 0, а₂ > 0 и а > 0) соответственно существенно отличаются, но в некотором смысле поведение траектории в том и в другом случае одинаково: именно, в обоих примерах все отличные от состояния равновесия траектории при t (или t ) стремятся к состоянию равновесия.

а) б)

Рис. 13

Впоследствии, уточнив понятие «качественной структуры» разбиения на траектории, мы будем считать в примерах 3 и 4 «качественную структуру» разбиения на траектории одинаковой.

Пример 5

Эта система получается как частный случай системы (45) при а = 0. Решения, соответствующие начальным значениям t₀, x₀, у₀, имеют вид



х = х₀ cos (t --t₀) --у₀ sin (t --t₀) (52)

у = x₀ sin (t --t₀) + y₀ cos (t -- t₀).

Непосредственной проверкой (или используя (52)) нетрудно убедиться, что является общим интегралом системы. Таким образом, в этом случае система имеет аналитический интеграл.

х² + у² = С (53)

Траекториями системы, очевидно, являются состояние равновесия О (0, 0) и замкнутые траектории -- концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 14). Решения (52), соответствующие замкнутым траекториям -- окружностям, являются периодическими функциями с периодом 2.

Рис. 14

Интегральными кривыми в трехмерном пространстве (x, у, t) являются ось t и винтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (53). Шаг каждой винтовой линии равен 2 (рис. 15).



Пример 6

Рис. 15

Векторное поле изображено на рис. 16.

Решение системы, соответствующее начальным значениям t₀, х₀, у₀, имеет вид

(55)

Точка О(0, 0) -- состояние равновесия. Система имеет аналитический интеграл

ху = С. (56)

Интегральными кривыми при С 0 являются гиперболы (56) и при С = 0 -- координатные оси х = 0 и у =0. Каждая гипербола состоит из двух траекторий (ее ветвей) и каждая из координатных осей -- из трех траекторий (состояния равновесия О и двух полуосей). Соответствующее разбиение на траектории указано на рис. 17.

Из выражений (55) очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси х (получающаяся из (55) при у₀ =0), стремятся к состоянию равновесия при t, а траектории, являющиеся полупрямыми оси у, при t . Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О, система не имеет.

Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, называется седлом. Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном случае полупрямые х =- 0 и у = 0 -- называются сепаратрисами седла.

Траектории, сколь угодно близкие к сепаратрисе седла, при неограниченном возрастании t удаляются от сепаратрис. Такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере не противоречит теореме 4 (о непрерывной зависимости от начальных значений), так как эта теорема рассматривает поведение близких траекторий только на конечном промежутке значений t. Нетрудно убедиться в том, что если взять за исходную траекторию сепаратрису, то для любого конечного промежутка значений t теорема 4, очевидно, выполняется. Но при увеличении рассматриваемого промежутка величину б (см. теорему 4') нужно брать все меньше и меньше. Рассмотрение интегральных кривых системы (54) в пространстве (х, у, t) аналогично проведенному в предыдущих примерах, и мы его опускаем.

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров, именно, несколько примеров нелинейных динамических систем. При этом будем рассматривать только разбиение на траектории фазовой плоскости, заданное этими системами, не обращаясь уже больше к пространству (х, у, t), как в примерах линейных систем.

Рис. 16. Рис. 17



Рис. 18

Сделаем предварительно следующее элементарное замечание, являющееся, однако, весьма существенным для понимания некоторых основных свойств разбиения на траектории: в окрестности всякой точки, отличной от состояния равновесия в «малом», траектории ведут себя «аналогично параллельным прямым». Это наглядно иллюстрируется рис. 18. Далее, сделаем еще одно предварительное замечание. Пусть наряду с системо

Р(х, у), = Q(x, у) (l)

задана система

= (х, y)f(x, y)Q(x, у),

Q(x, y)f(x, y)P(x, y), ()

где f (x, y) -- функция класса С_N , или аналитическая, определенная в той же области, что и система (I).

Легко видеть, что состояния равновесия системы (I) совпадают с состояниями равновесия системы (). В каждой точке области G рассмотрим векторы и , определенные соответственно системой (I) и (). Если обозначить через и углы между положительным направлением оси х и векторами и , соответственно, то, очевидно

Тогда тангенс угла между вектором и вектором дается выражением.

(57)

Отметим, что в любой неособой точке области G скалярное произведение

() = P² + Q² > 0

Следовательно, векторы и не перпендикулярны.

Формулы (57) означают, как мы будем сокращенно говорить, что векторное поле системы () повернуто по отношению к векторному полю системы (I) на острый угол, тангенс которого равен f.

Пример 7

(58)

Легко видеть, что система (58) имеет вид системы (), в которой Р (х, у) = -- у, Q (х, у)=х и f(х, у) = х² + у² -- 1. Системой же

Р (х, у), = Q(x, у)

является система (51) примера 5. Отсюда следует, что система (58), так же как и (51), имеет единственное состояние равновесия О (0, 0) и что векторное поле системы (58) повернуто по отношению к нyлю системы (51) на острый угол, тангенс которого равен

х²+у²-- 1

Этот угол, очевидно, положителен в точке, где

(x²+ у² -- 1) > 0, и отрицателен,

где (х²+ у² -- 1) < 0, и равен нулю на окружности х² + у² -- 1 = 0.

Учитывая знак выражения х² + у² -- 1, нетрудно убедиться в том, что при С > 1 траектории системы (58) входят внутрь окружностей х² + у² = С и выходят из таких окружностей при С < 1. На рис. 19 показаны направления векторов поля системы (58) (нарисованные векторы имеют одинаковую длину и этим отличаются от векторов системы (58)).

Непосредственной проверкой легко убедиться, что окружность

х² + у² -- 1=0

есть интегральная кривая системы (58) и, следовательно, является ее замкнутой траекторией. В силу установленной выше связи между векторными полями систем (51) и (58) траектории

х² + у² = С (59)

системы (51) являются циклами без контакта для траекторий системы (58), т. е. траектории системы (58) при С 1 ни в одной точке не касаются окружностей (59). Окружность жe x²+y² = l является одновременно траекторией обеих систем (51), (58).

На основании всего вышеизложенного представляется геометрически очевидным, что траектории системы (58) имеют характер, представленный на рис. 20. Строго можно доказать это найдя уравнения траекторий в полярных координатах. Полагая

или

мы найдём

, (60)

и (61)

Рис. 19. Рис. 20

Интегрируя последнее уравнение, мы получим

Это и есть уравнение траекторий в полярных координатах. Траектории, проходящей через точку М₀ (₀, ₀), соответствует значение

С =

Если

₀ >1, то С > 0 и >1; 1 при и при

(Очевидно, при этом изменяется в интервале

.)

является решением уравнения (61). Если ₀<1, to С<0 и < 1. Тогда

при и 1 при

Отсюда следует, что траектории системы имеют вид, указанный на рис. 20. Второе из уравнений (60) показывает, что если траектория проходит через точку

М₀ (₀, ₀)

при t = t₀, то = t + (₀ -- t₀)

Состояние равновесия О (0, 0) так же, как и в случае линейной системы (45) примера 4, является фокусом, причем неустойчивым.

Траектория х² + у² -- 1 = 0 (в отличие от того, что было в примере 6) не окружена замкнутыми траекториями. Она сама является изолированной замкнутой траекторией, и все траектории, проходящие через точки достаточно малой ее окрестности, стремятся к ней при t . Такая замкнутая траектория называется предельным циклом.

Подчеркнем, что на каждой траектории, лежащей вне предельного цикла, t изменяется от конечного значения

до +

Это можно выразить, сказав, что при убывании t точка на такой траектории уходит на бесконечность в конечное время. Таким образом, траектории, лежащие вне предельного цикла, не являются целыми. Напротив, все траектории, лежащие внутри предельного цикла, очевидно, являются целыми, т. е. t на них меняется от до . Направление на траекториях может быть установлено непосредственно из системы.

Так, например, при х = 0 и у > 0 мы имеем < 0, т. е. в точках оси у с возрастанием t х убывает. Этого, очевидно, достаточно для определения направления на всех траекториях рассматриваемой системы.



Пример8

(62)

Система имеет два состояния равновесия О(0, 0) и А (4, 0). Система, очевидно, имеет аналитический интеграл

-- 6x² x³ = C. (63)

Характер семейства кривых (63) нетрудно установить, рассматривая вспомогательное семейство кривых:

и = 6х² -- х³+ С. (64)

Так как у = , то семейство кривых (64) имеет вид, представленный на рис. 21. a, а семейство кривых (63) -- вид, представленный на рис. 21, б. Состояние равновесия О (О, 0) лежит на интегральной кривой (63) при С = 0. Эта интегральная кривая состоит из четырех траектории состояния равновесия О, двух незамкнутых траекторий, одна из которых стремится к О при t , а другая при t и «петли», стремящейся к состоянию равновесия О как при t , так и при t .

Нетрудно убедиться в том, что состояние равновесия А (4, 0) принадлежит кривой (63), соответствующей С = --32. Эта кривая состоит из одной ветви и изолированной точки-состояния равновесия А. Остальные интегральные кривые не содержат состояний равновесия. При С < --32 кривая (63) имеет одну ветвь, расположенную левее бесконечных ветвей кривой (63) при С = 0. Если --32 < С < 0, то соответствующая кривая (63) состоит из двух ветвей, одна из которых есть замкнутая кривая (овал), содержащая точку А внутри себя. Наконец, при С > 0 кривая состоит из одной ветви (расположенной справа от кривой (63) при С = 0). Каждая ветвь интегральной кривой (при С 0) является траекторией.

Состояние равновесия А является центром (см. пример 5). Состояние равновесия О -- седло, стремящиеся к нему при t или t траектории -- сепаратрисы седла (см. пример 6).

Заметим, что сепаратрисой седла называется не траектория, а полутраектория. При этом, говоря о сепаратрисах, стремящихся к седлу, мы не считаем различными сепаратрисы, из которых одна является частью другой (например, С₁0 и С₂0 на рис. 22). С этой точки зрения в рассматриваемом примере к седлу стремится 4 сепаратрисы. Две из этих сепаратрис принадлежат одной и той же траектории --«петле».

Направление на траекториях может быть установлено, если, например, в первом уравнении (62) положить х = 0, у > 0. Мы получаем

что позволяет определить направление на траекториях (рис. 21, б).

Пример 9

(65)

Поле системы (65) может быть получено, если поле системы (62) повернуть на постоянный угол такой, что tg = а. Следовательно, траектории системы (65) ни в одной точке не касаются траекторий системы (62). В частности, замкнутые траектории системы (62) являются циклами без контакта для траекторий системы (65).

Для определенности предположим, что угол < 0. Тогда всякая траектория системы (65), пересекающая при t = t₀ какую-нибудь замкнутую траекторию системы (62) при t , стремится к состоянию равновесия (А), а при возрастании t выходит из области, заполненной замкнутыми траекториями.

Состояние равновесия О (0, 0) системы (65) является так же, как у системы (62), седлом. Однако расположение сепаратрис седла у системы (65) (рис. 22) отличается от расположения сепаратрис системы (62).

И можно сказать, что сепаратриса системы (62) после поворота поля, т. е. после перехода к системе (64), «разделяется» на две сепаратрисы.

Сепаратрисы L системы (65), лежащие слева от оси у, расположены аналогично сепаратрисам системы (62).

Пример 10

Приравнивая нулю правые части, мы находим состояния равновесия системы

О (0, 0), F₁ (--1, 0), F₂ (1, 0)

Легко убедиться, что

(67)

есть общий аналитический интеграл системы (66).

Исследование системы кривых ((57) легко провести полностью аналогично тому, как это было сделано в примере 8. Пользуясь вспомогательным семейством кривых

, (68)

нетрудно построить семейство кривых (67) (рис. 23). Интегральная кривая

состоит из трех траектории -- двух петель n состояния равновесия 0(0, 0). При С > 0 каждая кривая (67) представляет собой одну замкнутую кривую (овал), при С < 0 -- два овала. Каждый из овалов является траекторией. При С =1 мы получаем две изолированные точки -- состояния равновесия F₁ и F₂ .

Состояние равновесия О седло, состояния равновесии F₁ и F₂ -- центры.

Рис. 22 Pис. 23

Пример. 11

(69)

Легко видеть, что векторное поле системы (69) повернуто но отношению к векторному полю системы (66) примера 10 на острый угол, тангенс которого равен (-- 2х² х⁴). Далее, непосредственно проверяется, что соотношение

(-- 2х² х⁴) = 0 (70)

является интегралом системы (69). Поэтому кривая (70), представляющая интегральную кривую системы (66), является также интегральной кривой системы (69).

Наконец, заметим, что внутри кривой (70) выражение -- 2х² х⁴ меньше 0, а вне -- больше нуля. Сравнивая векторные поля систем (66) и (69), нетрудно видеть, что все замкнутые траектории системы (66) (рис. 23) являются циклами без контакта для траекторий системы (69).

На основании этого, можно показать, что разбиение на траектории имеет вид, представленный на рис. 24. а,при > 0 и на рис. 24.б при < 0.При > 0 все траектории, лежащие вне кривой (70) при t возрастающем, уходят на бесконечность, а при t «накручиваются» на кривую (70). Траектории, лежащие внутри кривой (70) при t , «накручиваются» на одну из простых замкнутых кривых, составляющих часть кривой (70), а при t стремятся к одному из состояний равновесия F₁ и F₂, которые являются «фокусами».

Рис. 24.а. Рис. 24.6.

Состояние равновесия О -- седло, кривая (70) является предельным континуумом для траекторий, расположенных вне нее, а каждая ее петля (вместе с состоянием равновесия О) -- предельным континуумом для траекторий, расположенных внутри этой петли. Аналогично обстоит дело при

< 0



15. Выводы

Приведенные выше примеры, на которых был проиллюстрирован целый ряд установленных выше предложений, одновременно являются примерами «исчерпывающего» исследования «качественной структуры» разбиения на траектории, т. е. «исчерпывающего» качественного исследования динамической системы.

С точки зрения качественного исследования знание точной формы траектории не представляет интереса: мы уже подчеркивали это, указывая на одинаковое «качественное поведение» траекторий в случае узла и фокуса. Однако существенный интерес представляет, например, знание числа состояний равновесия, факт наличия или отсутствия изолированной замкнутой траектории -- предельного цикла, ход сепаратрис и так далее.

В приведенных выше примерах «исчерпывающее» качественное исследование разбиения на траектории удалось провести ввиду простоты рассматриваемых динамических систем. В примерах 1--6 динамические системы являлись линейными. В других примерах получены обозримые аналитические выражения для решения или интегралов. Это позволяло полностью решить вопрос о характере разбиения на траектории. Исследование характера разбиения на траектории в примерах 9 и 11 было проведено, опираясь на результаты примеров 8 и 10, на понятие циклов и кривых без контактов и на свойства поворота поля.Конечно, такое элементарное и исчерпывающее качественное исследование, как правило, не удается провести в случае произвольной динамической системы вида (I).

Мы не можем рассчитывать получить элементарные выражения для решений или интегралов в случае произвольной динамической системы. Вследствие этого даже очень простые но виду динамические системы, имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своего качественного исследования создания специальных приемов. Примером этому может служить «система Ван-дер-Поля»

качественному исследованию которой посвящено большое количество работ. Таким образом, естественно встает вопрос об отыскании регулярных методов качественного исследования динамических систем или хотя бы о достаточно эффективных приемах такого исследования.

Подчеркнем еще раз, что даже в тех случаях, когда у рассматриваемой динамической системы существует аналитический интеграл (в смысле п. 13) и найдено его аналитическое выражение

Ф(х, у) = С (71)

(как это имело место в примерах 8 и 9), вопрос качественного исследования разбиения на траектории, как правило, не делается тривиальным. Он сводится, правда, к вопросу качественного исследования семейства кривых (71). Однако в настоящее время не существует регулярных методов качественного исследования семейства кривых (71) или отдельной кривой

F(x, y) = 0

Такие методы отсутствуют даже в том случае, когда функции Ф (х, у) и F (х, у) являются многочленами.Поэтому ни в какой мере не следует думать, что знание аналитического интеграла (в тех случаях, когда он существует) сразу же решает задачу качественного исследования динамической системы: оно просто сводит одну задачу -- задачу непосредственного исследования разбиения на траектории, заданного системой (I) -- к задаче качественного исследования семейства кривых вида (71).Поэтому представляется целесообразным отыскание методов или приемов непосредственного качественного исследования системы (I), без предварительного нахождения аналитических выражений для решений. Прежде чем переходить к описанию таких приемов, естественно установить некоторые общие свойства разбиения на траектории. Необходимо выяснить: каким вообще может быть разбиение на траектории, определенное системой (I). Вопросом, который при этом возникает первым, является вопрос о том, какие типы траекторий вообще возможны у динамических систем вида (I). В п. 5 было установлено, что траектории могут быть состояниями равновесия, замкнутыми и незамкнутыми траекториями. Однако это еще слишком общие, неконкретные сведения о возможном характере траектории (в случае незамкнутой траектории).

Размещено на http://www.allbest.ru/