Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков
Построение квадратичной двумерной стационарной системы, нахождение состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости. Необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. Построение траектории в круге.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.09.2009 |
| Размер файла | 118,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
29
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Допущена к защите
Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.
«____»_________________ 2003 г.
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ
Дипломная работа
Исполнитель: студентка группы М-51
_____________________ ПЛИКУС Т.Е.
Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.
_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.
Рецензент:доцент, к.ф-м.н.
_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.
Гомель 2003
Реферат
Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.
Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.
Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.
Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.
Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.
Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.
Содержание
Введение
1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Заключение
Список использованных источников
Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)
Введение
Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений
(0.1)
с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].
Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) - аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.
(0.2)
Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(0.3)
В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:
x3+1x2y+1xy2+1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+=0, (0.4)
mx+ny+p=0 (0.5)
в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.
Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.
1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(1.1)
Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:
, (1.2)
где Fk(x,y) - однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:
. (1.3)
Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:
F(x,y)x3+1x2y+1xy2+1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+=0 (1.4)
Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k - постоянные:
(3x2+21xy+1y2+22x+2y+3)(ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2)+(1x2+
21xy+31y2+2x+22y+3)(cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2)=(x3+1x2y+1xy2+ (1.5)
1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+)(fx+gy+k).
Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений
xm yn слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):
3a1+1a2-f=0, (1.61)
(2a1+2b2-f)1+2a21-g+6b1=0, (1.62)
21c1+(2b1+2c2-g)1+(6b2-f)1=0, (1.63)
(4b1+c2-g)1+(a1+4b2-f)1+3a21+3c1=0, (1.64)
c11+(3c2-g)1=0; (1.65)
c1+(2a1-f)2+a22-k+3a=0, (1.71)
(2a+d-k)1+2c1+(4b1-g)2+(a1+2b2-f)2+2a22+3b=0, (1.72)
2b1+(a+2d-k)1+3c1+2c12+(2b1+c2-g)2+(4b2-f)2=0, (1.73)
b1+(3d-k)1+c12+(2c2-g)2=0; (1.74)
(2a-k)2+c2+(a1-f)3+a23=0, (1.81)
2b2+(a+d-k)2+2c2+(2b1-g)3+(2b2-f)3=0, (1.82)
b2+(2d-k)2+c13+(c2-g)3=0; (1.83)
(a-k)3+c3-f=0, (1.91)
b3+(d-k)3-g=0, (1.92)
k=0. (1.93)
Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда =0. Согласно (1.93) в этом случае k=0.
Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a2=c1=0, а коэффициенты 1, 1, 1 интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.
Уравнения (1.61) - (1.93) при этих предположениях будут иметь вид:
3a1-f=0, (1.101)
g+6b1=0; (1.102)
(2a1-f)2+3a=0, (1.111)
(4b1-g)2+(a1+2b2-f)2+3b=0, (1.112)
(2b1+c2-g)2+(4b2-f)2=0, (1.113)
(2c2-g)2=0; (1.114)
2a2+c2+(a1-f)3=0, (1.121)
2b2+(a+d)2+2c2+(2b1-g)3+(2b2-f)3=0, (1.122)
b2+2d2+(c2-g)3=0; (1.123)
a3+c3-f=0, (1.131)
b3+d3-g=0. (1.132)
Из условий (1.101) и (1.102) получаем, что
f = 2a1, g = 6b1.
Из условия (1.114) имеем
(2c2-g)2=0.
Пусть 2, тогда
2c2-g=0 и g=2c2,
с другой стороны g = 6b1, значит
c2=3b1.
Имея условия f = 2a1, g = 6b1, c2=3b1, из соотношений (1.111) - (1.113), (1.121), (1.123) и (1.131) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:
2 = , 2 = ,
2 = , 3 = ,
3 = ,(1.15)
= .
Равенства (1.122) и (1.132) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1, b1, b2:
(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22) a+(8a1b22-18a12b2+9a13) b+
24(a1b12-b12b2) c+(16a1b1b2-15a12b1) d]=0, (1.16)
(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22) a2+6(3a1b12-4b12b2) ac+(3a12b1-
-4a1b1b2) bc+2(4a12b2-3a13)bd -8a1b12cd+4a12b1d2]=0. (1.17)
Итак, установлена следующая теорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c1=a2= 0, c2= 3b1.
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:
mx+ny+p=0. (1.18)
В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа
a2=c1=0, c2=3b1. (1.19)
Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= x+y+, , , - постоянные:
m(ax+by+a1x2+2b1xy)+n(cx+dy+2b2xy+3b1y2)=
=(mx+ny+p)( x+y+). (1.20)
Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm yn, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):
(a1-)m= 0, (1.211)
(2b1-)m+(2b2-)n=0, (1.212)
(3b1-)n=0; (1.213)
(a-)m+cn-p=0, (1.221)
bm+(d-)n-p= 0, (1.222)
p= 0. (1.223)
Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p0. Тогда из условия (1.223) получаем, что =0.
Условия (1.221), (1.222) запишутся в виде:
am+cn-p=0, (1.231)
bm+dn-p= 0. (1.232)
Из условий (1.211) и (1.213) имеем:
(a1-)m= 0,
(3b1-)n=0.
Пусть m0, тогда a1-=0 и
=a1, (1.24)
а при n0, получаем, что 3b1-=0 и
=3b1. (1.25)
Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.212) находим выражение коэффициента m:
m=, (1.26)
а соотношение (1.231) даст значение коэффициента p:
p=. (1.27)
Из равенства (1.232), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):
[3(a1b1-2b1b2) a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d] n=0. (1.28)
Итак, установлена следующая теорема:
Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1=a2= 0, c2= 3b1.
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22) a+(8a1b22-18a12b2+9a13) b+
24(a1b12-b12b2) c+(16a1b1b2-15a12b1) d]=0,
(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22) a2+6(3a1b12-4b12b2) ac+(3a12b1-
-4a1b1b2) bc+2(4a12b2-3a13)bd -8a1b12cd+4a12b1d2]=0,
[3(a1b1-2b1b2) a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d] n=0.
Причем b10, a10, 2b1a-ba10.
Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты
a1=, b1=1, b2=0.
Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:
a-b-3c+d=0, (1.30)
-a+b+6c-d=0, (1.31)
-a2+d2+ac+bc-bd-2cd=0. (1.32)
Выразим из условия (1.30) коэффициент c
c=a-b+d, (1.33)
подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d
d=(-21a+b). (1.34)
Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим
b=a.
Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:
b=a,
c=-a, (1.35)
d=- a,
a1=, b1=1, a2=0, c1=0, b2=0, c2=3b1=3.
Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):
2=12a, 2= -a,
2=a, 3=a2,
3= -a2,=a3, (1.36)
m= -n, p= -an.
Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).
2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости
Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:
(2.1)
Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:
x3+12ax2-axy+ay2+a2x-a2y+a3=0, (2.2)
-nx+ny-an=0. (2.3)
Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:
8192y4-11776ay3+5480a2y2-825a3y=0. (2.4)
Из (2.4) получаем, что
y0=0, y1=a, y2=a, y3=a. (2.5)
Абсциссы точек покоя имеют вид:
x0=0, x1= -a, x2= -a, x3= -a. (2.6)
Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .
Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .
Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]
Отсюда
(2.7)
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:
==0.
,
Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут
.
Корни - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка - седло.
Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно
равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:
,
,
то есть
, .
Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a0, то точка - устойчивый узел, если a0, то точка -неустойчивый узел.
Исследуем точку .
Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:
, .
Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .
Исследуем точку .
Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:
,
Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут
,
Корни - действительные и одного знака.Следовательно точка - устойчивый узел, если a0 и неустойчивый узел, если a<0 .
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.
Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:
, (2.8)
которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.
Имеем
Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:
(2.9)
Введем новое время . Система (2.9) примет вид:
(2.10)
Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.
Получаем
(2.11)
Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем
Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1(0,0) N2(0,).
Исследуем характер точек N1, N2.
1. Исследуем точку N1(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1:
(2.12)
Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:
Получим, что
Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N1(0,0) - устойчивый узел.
2. Исследуем точку N2(0,).
Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2:
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2(0,)-седло.
Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]
Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:
(2.14)
Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:
(2.15)
При z=0, получаем:
(2.16)
Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем
Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3:
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N3(0,0) - устойчивый узел.
Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1.
|
a |
О |
А |
В |
С |
? |
|||
|
N1 |
N2 |
N3 |
||||||
|
(-?;0) |
с |
У+ |
с |
У- |
У+ |
с |
У+ |
|
|
(0;+?) |
с |
У- |
с |
У+ |
У+ |
с |
У+ |
Примечание: через с, у+, у- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.
Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).
29
а) (a>0)
29
б) (a<0)
Рис.1
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.
Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.
Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.
Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 ? - сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3, а ? - сепаратрисы примыкают к точке А и N1, а при а<0 -сепаратрисы примыкают к точке А и N1, - сепаратрисы - к точке С и N3.
В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 - рисунком 2б приложения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.
Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.
Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.
Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.
Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.
Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.
Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.
Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.
Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256
Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q - многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.
Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Поведение траекторий системы (2.1)
а) (а>0)
б) (а<0)
Рис. 2
Подобные документы
Построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами. Выражение коэффициентов интегралов через коэффициенты системы, связь последних между собой тремя соотношениями. Необходимые и достаточные условия существования у системы.
дипломная работа [480,0 K], добавлен 07.09.2009Порядок и основные этапы построения квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, условия их существования. Методика качественного исследования одной системы первого и второго класса построенных двумерных стационарных систем.
дипломная работа [125,4 K], добавлен 05.09.2009Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Описание газлифтного процесса с помощью системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Конечно-разностная аппроксимация производных функций и решение дискретной линейно-квадратичной задачи оптимального управления.
статья [41,4 K], добавлен 17.10.2012Понятие и основные свойства вложимой системы, необходимые условия вложимости и методы решения системы. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования. Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.
курсовая работа [97,7 K], добавлен 21.08.2009Понятие и поиск спектра как множества всех собственных характеристических показателей решений дифференциальной системы. Характеристические показатели Ляпунова заданной линейной стационарной системы. Теорема Ляпунова о нормальности фундаментальной системы.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 21.08.2009Обработка одномерной и двумерной случайных выборок. Нахождение точечных оценок. Построение гистограммы функций распределения, корреляционной таблицы. Нахождение выборочного коэффициента корреляции. Построение поля рассеивания, корреляционные отношения.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 10.06.2013Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Поиск собственных чисел и построение фундаментальной системы решений. Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера, решение задачи Коши и построение графиков.
курсовая работа [354,7 K], добавлен 14.10.2010
