Динамические системы в плоской области

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТЕМА

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ



1. Введение

Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений вида

(I)

где Р (х, у) и Q (х, у) -- непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (х, у -- декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные частные производные до порядка не ниже первого. Область может быть как ограниченной, так и неограниченной. В частности, область G может совпадать со всей плоскостью (х, у).

Системы вида (I) являются частным случаем систем двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями: независимое переменное t в их правые части явно не входит. Системы дифференциальных уравнений, правые части которых не содержат явно независимое переменное, называются автономными. Автономные системы дифференциальных уравнений называются также динамическими системами.

Систему (I) мы будем называть динамической системой на плоскости или в плоской области. Мы будем также говорить, что динамическая система задана или определена в области G. В дальнейшем мы будем опускать слова «на плоскости» и «в плоской области».

Динамическая система (I), заданная в области G, называется системой класса С_n, если функции Р (х, у) и Q (я, у) являются функциями класса С_n, т. е. имеют в области G непрерывные частные производные до порядка n включительно.

Динамическая система (I) называется системой аналитического класса или аналитической системой, если функции Р и Q являются аналитическими функциями в области G.

Очевидно, всякая система класса C_k (к > 1) является одновременно системой класса C_k1, где к₁ < к, в частности, системой класса C₁. Аналитическая система является системой класса C_k для любого натурального к.

Все рассматриваемые в этой книге динамические системы являются системами класса . Поэтому всюду в дальнейшем под динамической системой мы будем во всяком случае всегда подразумевать систему класса , не оговаривая этого явно.

Изложим простейшие свойства динамических систем в плоской области. Свойства эти характерны для автономных систем дифференциальных уравнений. Неавтономные системы (т. е. системы, в правые части которых t входит явно), вообще говоря, ими не обладают .



2. Геометрическая интерпретация динамической системы (I) в пространстве -R³

Рассмотрим обычную для системы двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями геометрическую интерпретацию, т. е. геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве с декартовыми координатами х, у, t.

Функции Р (х, у) и Q (х, у) нужно при этом рассматривать как функции трех переменных х, у и t. Но так как эти функции от t не зависят, то в трехмерном пространстве R³ областью определения правых частей системы (I) является бесконечная цилиндрическая область Н, образованная всеми прямыми, параллельными оси t, пересекающими плоскость (х, у) в точках области G .

Решения

системы (I) интерпретируются как кривые, расположенные в области Н. Эти кривые называются интегральными кривыми системы (I). Мы будем, здесь и всюду в дальнейшем, под решением системы дифференциальных уравнений подразумевать решение, продолженное на максимальный возможный интервал значений t.

Так как функции Р (х, у) и Q (х, у) во всяком случае являются функциями класса С₁ то для системы (I) во всех точках области H выполняются условия теоремы существования и единственности, а следовательно и сама эта теорема. Мы сформулируем ее для системы (I) следующим образом:

Теорема 1. Для любой точки М₀(х₀, ) G и для любого t₀, , существует одно и только одно решение



системы (I), удовлетворяющее начальным условиям

определенное для всех значений t в некотором определенном интервале (, Т), содержащем t₀.(В частности, решение может быть определено при всех значениях t, т. е. t может быть равно , а Т может быть равно ).

Геометрически теорема 1 означает, что через каждую точку области Н проходит интегральная кривая системы (I) и при этом только одна.

Для системы вида (I) справедлива также следующая теорема, которая существенно используется в дальнейшем:

Теорема 2. Пусть -- замкнутая ограниченная область, содержащаяся в области G ( G),

(1)

-- решение системы (I), определенное в интервале (, Т) и такое, что при всех t на интервале (, Т) точка N (,) все время остается в области . Тогда =, T=+, т.е.решение (1) определено для всех значений t.

Доказательство. Предположим, что решение

определено при значении t - t₀. Пусть -- два произвольных числа, причем < t₀, > t₀. Обозначим через конечную цилиндрическую область пространства , состоящую из всех точек М (t, x, у) таких, что , а х, у таковы, что точка (х, у) (рис. 1). Интегральная кривая, соответствующая решению (1), проходит через точку М₀ (t₀,,), принадлежащую области H₁. Но тогда, в силу теоремы (А') дополнения, эта интегральная кривая выходит из области как при значении, большем t₀, так и при значении, меньшем t₀. Однако выйти из цилиндрической области через боковую поверхность этой области интегральная кривая не может, так как в этом случае, очевидно, нашлась бы точка N (), лежащая вне замкнутой области , что противоречит условию теоремы.

Рис. 1.

Следовательно, рассматриваемая интегральная кривая выходит из через нижнее и верхнее основания (рис. 1). Но это значит, что решение (1) определено при t = и t =. Так как произвольны, то решение (1) определено при всех значениях t. Теорема доказана.

3. Простейшие свойства решений системы (I)

Мы установим некоторые cвойства решений системы (I), являющиеся следствием автономности этой системы.

Лемма 1. Если

есть решение системы (I), определенное на интервале (, Т), то

(2)

где С -- любая постоянная, также есть решение системы (I) и это решение определено на интервале ( -- С, Т -- С).

Доказательство. Так как (1) есть решение системы (I), то при всех t (, Т) имеет место тождественное равенство

(), .

Если заменить в этих равенствах t на t+C, то при всех t ( --С,Т -- С) мы будем иметь тождественное равенство

(3)

Но, очевидно

,

и, следовательно, равенства (3) могут быть записаны в виде

Последние равенства показывают, что функции (2) являются решением системы (I). Тот факт, что это решение определено на интервале ( -- С, Т -- С), устанавливается простым рассуждением, которое мы опускаем. Лемма доказана.

С точки зрения геометрической интерпретации в трехмерном пространстве утверждение леммы 1 означает, что линия, получающаяся из любой интегральной кривой путем сдвига ее вдоль оси t на любой отрезок, также есть интегральная кривая. В самом деле, интегральная кривая

получается из интегральной кривой

сдвигом вдоль оси t на величину С.

Лемма 2.

а) Решения системы (I)

(1)

и (2)

можно рассматривать как решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями х₀ и у₀ и различными начальными значениями переменного t.

б) Два решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями переменных х₀, у₀ и различными начальными значениями t,могут быть получены одно из другого заменой t на с надлежащим выбором постоянной С.

Доказательство. Если решение (1) соответствует начальным значениям t₀, x₀, у₀ так, что

(3)

то в силу очевидных равенств

(t₀--С + С) = (t₀) = x₀ ? (t₀--С + С) = ? (t₀) = y₀

решение (2) соответствует начальным значениям t₀--С, х₀, у₀, что и доказывает утверждение а).

Далее, рассмотрим наряду с решением (1), соответствующим начальным значениям t₀, x₀, у₀, решение

(4)

соответствующее начальным значениям , x₀, у₀, где t₀. Если в решении

(2)

величину С взять равной t₀--, то оно, очевидно, будет соответствовать тем же начальным значениям , x₀, у₀, что и решение (4). В силу единственности решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, отсюда следует

,

что и доказывает утверждение б) леммы.

В дальнейшем, рассматривая наряду с решением (1) решение (2), мы будем часто говорить, что рассматриваются решения, отличающиеся выбором начального значения t. Решение всякой системы двух дифференциальных уравнении, соответствующее любым произвольным начальным значениям t₀, х₀, у₀ , очевидно, является функцией t, t₀, х₀, у₀ , т. е. записывается в виде

х = Ф(t, t₀, х₀, г/о), y= ? (t, t₀, х₀, у₀) (5)

При этом по самому смыслу функций Ф (t, t₀, х₀, у₀) и ? (t, t₀, x₀, у₀), Ф(t₀, t₀, х₀, у₀) = х₀, ? (t₀, t₀, х₀, у₀)= у₀

Однако в случае системы (1), вследствие автономности этой системы, функции (5) являются по существу не функциями переменных t и t₀, а функциями разности t--t₀. Это устанавливается в следующей лемме:

Лемма 3. Решение системы (I) как функции от t и от начальных значений t₀ , x₀ , у₀ ,может быть записано в виде

x = (t--t₀ , х₀ , у₀), y = ?(t --t₀, х₀, у₀). (6)

Доказательство. Рассмотрим наряду с решением (5) решение

х = Ф(t, 0, х₀, у₀), y =? (t, 0, х₀, у₀),

удовлетворяющие начальным условиям: при t=0, х=х₀, у=у₀

В силу леммы 1 функции

x = Ф (t -- t₀, 0, х₀, у₀), y =? (t-- t₀ ,0, х₀ ,у₀) (7)

также являются решением системы (I). Решения (5) и (7) соответствуют одним и тем же начальным значениям t₀, x₀, у₀ . Но тогда эти решения совпадают, т. е.

Ф (t ,t₀ , х₀, у₀)= Ф (t -- t₀, 0, х₀, у₀)

? (t , t₀, х₀ ,у₀)= ? (t-- t₀ ,0, х₀ ,у₀)

Введение обозначений



Ф (t -- t₀, 0, х₀, у₀)=(t--t₀ , х₀ , у₀),

? (t-- t₀ ,0, х₀ ,у₀)= ?(t --t₀, х₀, у₀)

устанавливает справедливость утверждения леммы.

В дальнейшем решение системы (I), соответствующее начальным значениям t₀, х₀, у₀, мы всегда будем записывать в виде (6).

Лемма 4. Если решение

x = (t--t₀ , х₀ , у₀), y = ?(t --t₀, х₀, у₀). (8)

определено при значении t = t₁ , и

(9) то

(t--t₀ , х₀ , у₀) (t --t₁, х₀, у₀)

?(t--t₀ , х₀ , у₀) (t --t₁, х₀, у₀) (10)

Доказательство. Из соотношений (9), очевидно, следует, что решение (8) и решение

x = (t --t₁, х₀, у₀), y= (t --t₁, х₀, у₀)

являются решениями, соответствующими одним и тем же начальным значениям t₁ , х₁ , y₁. Но тогда эти решения совпадают, т. е. имеют место равенства (10).

Замечание. Полагая в тождествах (10) t = t₀, мы получим

x₀ = (t₀ t₁ , х₁ , у₁) , y₀ = ?(t₀ t₁ , х₁ , у₁)

Это, очевидно, справедливо при любых t₁ , х₁ , у₁ удовлетворяющих соотношениям (10). Опуская индексы, мы получаем

x₀ = (t₀--t, х, у) , y₀ = ?(t₀--t, х, у).

Лемма 5. Если система (I) является системой класса С_n , тo функции

x₀ =(t--t₀ , х₀ , у₀) , y₀ = ? (t--t₀ , х₀ , у₀)

при всех значениях, входящих в них переменных, при которых эти функции определены, имеют непрерывные (по совокупности всех переменных) частные производные:

1) по t (или t₀) до порядка n+1 включительно,

2) по х₀ и у₀ до порядка n включительно

3). пo t (или t₀) и по х₀ и у₀--содержащие по крайней мере одно дифференцирование по t (или t₀)--до порядка n + 1

4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у)

Геометрическая интерпретация системы (I) в трехмерном пространстве (х, у, t) в настоящей книге является вспомогательной. Основная геометрическая интерпретация автономной системы (1)связана с рассмотрением плоскости (х, у). Эта плоскость называется фазовой плоскостью системы (I).

Будем в каждой точке М (х, у) области G плоскости (х, у) рассматривать вектор v с компонентами Р (х, у), Q (x, у). Динамическая система (I) определяет, таким образом, в области G векторное поле *).

В силу того, что Р (х, у) и Q (х, у) по предположению имеют непрерывные частные производные, векторное поле, определяемое системой (I), является так называемым непрерывно дифференцируемым векторным полем.

Пусть в точке М (х, у) хотя бы одна из величин Р (х, у), Q (х, у) не обращается в нуль. Тогда длина вектора в этой точке

отлична от нуля, а синус и косинус угла (x, у) между положительным направлением оси х и направлением вектора даются выражениями

В тех точках, в которых одновременно Р (х, у), Q (x, у).

длина вектора обращается в нуль, а направление вектора становится неопределенным. Такие точки называются особыми точками векторного поля (или особыми точками системы (1)); точки, в которых хотя бы одна из величин Р (x, у), Q (х, у) не равна нулю,-- обыкновенными или неособыми точками этого векторного поля. Во всякой неособой точке М векторного поля угол (x, у), непрерывен. В особой точке угол (x, у) неопределен, и при стремлении и к координатам особой точки lim может не существовать.

Пусть

(11)

-- какое-нибудь решение системы (I). Множество точек М ((t), ? (t)), где t принимает все значения, при которых определено решение (11), называется траекторией, соответствующей данному решению, а также траекторией векторного поля, заданного динамической системой (І), или просто траекторией данной динамической системы (а также иногда фазовой траекторией).

Уравнения (11), очевидно, являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, мы будем называть решением, соответствующим данной траектории.

В математической литературе весьма употребительно векторное обозначение для системы дифференциальных уравнений. Система (I) в этом обозначении запишется в виде векторного уравнения

= F(x)

Векторное обозначение чрезвычайно удобно при рассмотрении систем, состоящих из большого числа уравнении. Однако в рассмотренном нами случае системы только двух дифференциальных уравнении в этом обозначении нет особой необходимости, п мы не будем пользоваться им для того, чтобы не загромождать изложение различными символиками.]

Если точка М (х, у) траектории не является особой точкой векторного поля, то вектор (Р (х, у), Q (х, у)) является касательным вектором к траектории (рис. 2). Действительно, в силу того, что

есть решение системы (I), имеют место тождества

(12)



Но вектор с компонентами (t), (t), очевидно, является касательным вектором к траектории, и в силу равенств (12) он совпадает с вектором поля, заданного системой (I).

Рассматривая параметр t как «время», можно дать следующую «кинематическую» интерпретацию системы (I): решение

можно рассматривать как закон движения точки по траектории на фазовой плоскости. В каждой точке фазовой плоскости вектор, заданный системой (I), т. е. вектор Р(х, у), Q (х, у), очевидно, равен скорости движущейся точки или «фазовой скорости». Решениям с одними и теми же начальными значениями х₀ и у₀ и различными начальными значениями t₀ соответствуют движения, начинающиеся в одной и той же точке, но в различные начальные моменты «времени» (t₀ и t*). Точка с координатами () называется также «изображающей» или «представляющей» точкой.

Пусть М (a,b) -- особая точка системы (I), так что

P(a,b)=Q(a,b) (13)

Тогда, очевидно, х = a, у = b есть решение системы (I), и, следовательно, особая точка векторного поля сама является отдельной траекторией. Такая траектория называется состоянием равновесия *). Очевидно, также обратно, если у системы (I) есть решение

х = а, y= b (14)

(а и b -- некоторые постоянные), то точка a, b непременно является состоянием равновесия (особой точкой векторного поля), т. е. для нее выполняются равенства (13). Решение (14), очевидно, вследствие того, что t в него не входит, определено для всех t.

В дальнейшем для точек х, у области G, для которых Р (х, у) =0, Q (х, у) = 0, в основном будет использоваться термин «состояние равновесия» (а не особая точка).

Состояние равновесия М (а, Ь) системы (I) называется изолированным, если существует > 0 такое, что в -окрестности кроме М не лежит уже более ни одного состояния равновесия.

5. Разбиение области в фазовой плоскости на траектории

Некоторые элементарные сведения о траекториях.

Лемма 6. Всяким двум решениям, отличающимся только выбором начального значения t₀, соответствует одна и та же траектория.

В другой терминологии -- «положением равновесия» или «точкой покоя».

Доказательство. В силу лемм 1 и 2 всякие два решения, отличающиеся выбором начальных значений t₀ (но имеющие одни и те же Начальные значения ), могут быть получены одно из другого заменой t на t + С. Но если даны два решении

(15)

(16)

причем решение (15) определено на интервале (, Т), а решение (16) -- на интервале ( -- С, Т -- С), то, очевидно, им соответствует одна и та же траектория (так как замена в (15) t через t +С является просто заменой обозначении переменного). Лемма доказана.

Теорема 3. Через каждую точку области G проходит одна и только одна траектория динамической системы (1).

Доказательство. Пусть М₀ (х₀, у₀) -- произвольная точка области G.

Тогда в силу теоремы 1 (о существовании и единственности решения) при всяком t существует решение, соответствующее начальным значениям t₀, x₀,

Это, очевидно, и означает, что через точку х₀, у₀ проходит хотя бы одна траектория L.

Предположим теперь, что через одну и ту же точку М₀ (х₀, у₀) области G проходят две различные траектории L и L*.

Пусть

-- решение, соответствующее траектории L*. Это решение, очевидно, непременно должно быть таким, чтобы при некотором значении t = t* мы имели бы

но тогда в силу леммы 2 при надлежащем выборе С мы должны иметь

и, следовательно (см. лемму 6), траектории L и L* вопреки предположению не могут быть различны. Теорема доказана.

Замечание 1. Из проведенного в теореме рассуждения непосредственно вытекает, что всякие два различных решения, соответствующих одной и той же траектории, получаются друг из друга заменой t на t +С, т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значения t₀ (см. лемму 2).

Замечание 2. Пусть при каком-либо выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ этой траектории соответствует значение t₀, а точке M₁ -- значение t₀ +. Тогда из замечания 1 следует, что если при некотором другом выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ соответствует значение t*, то значению t* + соответствует точка .

Замечание 3. Если траектория целиком лежит в ограниченной замкнутой области с G, то в силу теоремы 2 соответствующее ей решение определено при всех значениях

t (< t < )

В силу теоремы 3 динамическая система, заданная в области G, определяет некоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некоторое разбиение области G на траектории.

Мы укажем здесь некоторые основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одном частном типе траекторий, именно, на состояниях равновесия.

Как мы видели, х = а, y=b тогда и только тогда является состоянием равновесия, когда выполняются условия Р(а, b) = Q(a, b) = 0.

Предположим теперь, что траектория L, соответствующая решению



не является состоянием равновесия. Во всех точках такой траектории, очевидно, выполняется неравенство

Действительно, если бы в какой-нибудь точке М*(х*, у*) траектории L, соответствующей значению t*, имело место равенство

т. е. одновременно

и это, очевидно, означало бы, что точка х*, у* является состоянием равновесия. Но состояние равновесия само является отдельной траекторией, и в силу теоремы 3 точка М* (х*, у*) не может принадлежать отличной от состояния равновесия траектории L.

Рассмотрим вопрос о том, могут ли быть у траектории, отличной от состояния равновесия, «самопересечения», т. е. возможно ли, чтобы существовали значения t₁ и t₂, t₁ t₂ такие, чтобы соответствующие им точки траектории совпадали.

Ответ на этот вопрос дается следующей леммой:

Лемма 7. Пусть траектория L, соответствующая решению

( < t < T), (17)

отлична от состояния равновесия, и пусть существуют значения t, t₁ и t₂ ( < t₁ < t₂ < T) такие, что



Тогда решение (17) определено при всех значениях

t (т. е. )

функции , являются периодическими функциями t, а соответствующая траектория--простой гладкой замкнутой кривой.

Доказательство. Пусть

(18)

Рассмотрим наряду с решением (17) решение

(19)

определенное на интервале

( -- С, Т -- С)

где С = t₂ -- t₁ (см. лемму 1).

Из равенств (18) следует, что решения (17) и (19) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям (при t = t₁ , x = х₀ , у =у₀). Но тогда эти решения совпадают, а следовательно, совпадают интервалы значений t, на которых они определены. Но интервалы (, Т) и ( -- С, Т -- С) при С0 могут совпадать лишь в том случае, когда =-, Т =+.

Таким образом, мы показали, что решения (17) и (19) определены для всех t ( < t < ). Далее, из совпадения решений (17) и (19) следует, что при всех t (-- < t < )

(20)



где C = t₂-- t₁ >0. Это, очевидно, означает, что функции (t) и (t)-- периодические функции с общим периодом 0 = t₂ -- t₁. Пусть

) (21)

-- наименьшее положительное число, при котором имеют место равенства

(22)

Такое число непременно существует. Действительно, в противном случае можно было бы указать последовательность положительных чисел {} таких, что

и

Очевидно, тогда при любом n и любом целом |k|

или, зафиксировав какое-нибудь t₀, можно написать

Таким образом, каждая из функции (t) и (t) принимает одно и то же значение, равное соответственно () и () при всех следующих значениях t



где N может быть любым целым числом, а сколь угодно мало при достаточно большом n. Следовательно, какое бы значение t* мы ни взяли, либо t* =t и тогда , либо t* попадает в некоторый интервал (t₀+(k-1) , t₀ + ) или

(t₀--(k-1) , t₀ -- ) и в силу того, что Q_n сколь угодно мало при достаточно большом n, существуют сколь угодно близкие к t* значения t', при которых

Но тогда в силу непрерывности функций (t), (t) мы, очевидно, также имеем

Это означает, что функции (t), (t)-- постоянные, т. е. траектория L состояние равновесия, что противоречит условию теоремы.

Очевидно, все точки траектории L могут быть получены при изменении t в уравнениях (17) от t₀ до t₀ + ₀ (t₀ t t₀ -₀), где t₀ -- любое фиксированное число. Так как по самому определению ₀ есть наименьшее число,при котором выполняются равенства(22),то всяким двум значениям и t", t₀ заведомо соответствуют различные точки траектории L. Это и означает, что траектория L является простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана.

Решение, в котором функции (t) и (t) -- периодические функции t, называется периодическим решением. Наименьшее число ₀ > 0, при котором выполняются равенства (22),-- периодом этого решения.

Траектория L, соответствующая периодическому решению, называется замкнутой траекторией. Очевидно, все решения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом. Всякая траектория, не являющаяся замкнутой траекторий или состоянием равновесия, называется незамкнутой траекторией.

Из леммы 7 следует, что у траекторий системы (I) не может быть «самопересечений», т. е. что всякая часть незамкнутой траектории, соответствующая значениям t в любом конечном сегменте, является простой гладкой дугой.

Таким образом, мы получили следующие основные элементарные сведения о траекториях. Траектория может быть: 1) состоянием равновесия, 2) замкнутой траекторией, 3) незамкнутой (несамопересекающейся) траекторией. Эти сведения являются предварительными, так как возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным.

6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R³ и геометрической интерпретации на фазовой плоскости

Как мы уже указывали, каждому решению системы (I) соответствует в интегральная кривая.

Траектория, очевидно, является проекцией этой интегральной кривой на плоскость (x, у). Из леммы 4 следует, что в траекторию проектируются те и только те интегральные кривые пространства , которые получаются из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом на произвольный отрезок вдоль оси t. Таким образом, устанавливается естественное соответствие между траекториями динамической системы на фазовой плоскости и интегральными кривыми в пространстве . При этом могут представиться следующие случаи в зависимости от характера траектории L:

L есть состояние равновесия М (а, Ь). Соответствующая интегральная кривая в является прямой х = а, у = b, параллельной оси t и проходящей через точку М. При сдвиге вдоль оси t эта прямая переходит сама в себя.

2) L есть замкнутая траектория, соответствующая решению с периодом ₀. Соответствующие интегральные кривые имеют характер «винтовых линий» с шагом ₀ и проектируются в траекторию L. При сдвиге вдоль оси t на отрезок С каждая интегральная кривая переходит в другую кривую, если С не кратно ₀, и сама в себя, если С кратно ₀ (рис. 3).

3) L -- незамкнутая траектория. Каждая интегральная кривая, соответствующая траектории L, при любом сдвиге вдоль оси t, отличном от нулевого, переходит в другую интегральную кривую (рис. 4).

Рис. 3. Рис. 4.

Подчеркнем следующие элементарные факты. Точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия (т. е. «изображающая точка» с координатами х = (t), y= (t) ), не может стремиться к точке какой-либо отличной от нее траектории при t, стремящемся к конечному значению. Действительно, в противном случае , интегральные кривые в пространстве (x, у, t) пересекались бы, что невозможно в силу теоремы 1. В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия, может стремиться к состоянию равновесия либо при t , либо при



7. Направление на траектории. Изменение параметризации

Пусть L -- траектория системы (I) и

х = (t), y = (t)

-- какое-нибудь соответствующее ей решение.

Мы введем на траектории L определенное направление в качестве положительного. Именно, будем считать положительным направлением на L направление в сторону возрастания t. При таком определении можно сказать, что положительное направление в каждой точке траектории L совпадает с направлением вектора, заданного в этой точке системой (I).

Пользуясь «кинематической» интерпретацией, можно сказать, что положительное направление на L есть то направление, в котором точка с координатами х = (t), y = (t) движется по траектории при возрастании t и при котором направление ее скорости в каждой точке совпадает с направлением фазовой скорости.

Введенное таким образом положительное направление на L не зависит от того, какое из решений, соответствующих траектории L, мы возьмем (так как все такие решения получаются одно из другого заменой t на

В дальнейшем мы будем обычно опускать слово «положительное», т. е. под направлением на траектории L системы (I) мы будем подразумевать положительное направление, определяемое (или, как говорят, индуцируемое) на L этой системой.

Рассмотрим наряду с системой (I) систему

(I')

Векторное поле системы (I') получается из векторного поля системы (I), если изменить направление каждого вектора на противоположное (не меняя длин векторов).

Непосредственной проверкой устанавливается, что каждому решению

х = (t), y = (t) (23)

системы (I) соответствует решение

х = (-t), y = (-t) (24)

системы (I'). Отсюда очевидно, что системы (I) и (1') имеют одинаковые траектории, но индуцируют на траекториях противоположные направления. Таким образом, переход от системы (I) к системе (I') можно рассматривать, как изменение параметризации на траекториях, именно, как замену параметра t параметром --t.

Рассмотрим более общий случай изменения параметризации на траекториях системы (1). Пусть f (х, у) -- функция класса C₁ , заданная в области G. Предположим, что функция f(х, у) отлична от нуля во всех точках области G, отличных от состояний равновесия системы (1), и имеет в них один и тот же знак.

Рассмотрим наряду с системой (I) систему

(I*)

В силу предположений, сделанных относительно функции f(х, у), очевидно, что состояния равновесия системы (I) совпадают с состояниями равновесия системы (I*).

Лемма 8. Если

х = (t), y = (t) (25)

есть решение системы (I), причем соответствующая ему траектория отлична от состояния равновесия, то существует монотонная функция класса C₁ (t) = (s) такая, что пара функций

(26)

является решением системы (I*).

Доказательство. Задавая какое-нибудь начальное значение t₀, t₀ (, Т), где (, Т) -- интервал определения решения (25), и произвольное s₀, рассмотрим следующую функцию s(t)

Так как f(х, у) не обращается в нуль в точках, отличных от состояний равновесия, то s(t) является монотонной функцией класса С₁ , определенной на интервале (, Т). Очевидно, существует обратная функция

(s), определенная в некотором интервале ( S), также класса С₁ , монотонная. Очевидно,

Поэтому

(27)



Последние соотношения показывают, что функции (26) являются решением системы (I*). Нетрудно видеть, что ( S), является максимальным интервалом определения решения (26), так как в противном случае интервал (, Т) не был бы максимальным для решения (25). Лемма доказана.

Уравнения (25) и (26) являются, очевидно, различными параметрическими уравнениями одной и той же траектории. Поэтому из леммы 8 следует, что динамические системы (I) и (I*) имеют одни и те же траектории, но с различными параметризациями на них. При переходе от системы (I) к системе (I*) направления на траекториях остаются неизменными, если f(х, у) > 0, и меняются, если F(x,y)<0.

Предположим теперь, что функция f(х, у) может обращаться в нуль в точках, отличных от состояний равновесия системы (I), а также может менять знак в области G. Рассмотрим снова систему (I*). Очевидно, состояниями равновесия системы (I*) являются все состояния равновесия системы (I), а также все точки области G, которые не являются состояниями равновесия системы (1), но в которых f(х, у) = 0.

Кривая f(х, у) = 0 называется особой линией системы (I*) (каждая точка этой кривой является состоянием равновесия системы (I*)).

Рассмотрим теперь траекторию L системы (I), отличную от состояния равновесия. Если на траектории L функция f(х, у) 0, то так же, как и выше, L является траекторией системы (I*) с измененной, вообще говоря, параметризацией.

Если же на траектории L имеются точки кривой f(х, у) = 0, то все точки L, отличные от этих точек, распадаются, как легко видеть, на конечное или счетное число гладких кривых, являющихся траекториями системы (I*) (рис. 5). Направление на каждой такой траектории совпадает с направлением на L, если на этой траектории f(х, у) > 0, и не совпадает в противном случае.

Таким образом, каждая траектория системы (I) либо является траекторией системы (I*), либо состоит из конечного или бесконечного множества траекторий системы (I*) .

В дальнейшем, в ряде предложений и в примерах мы неоднократно будем встречаться с динамическими системами вида

()

где Р (х, у), Q (х, у) -- функции класса C_N ( > 1) или аналитические, f(х, y) -- функция класса C_N или аналитическая, которая может обращаться в нуль в области G (в которой рассматривается система). Очевидно, в точках, где (х, у) = 0, правые части рассматриваемой системы (I **) не определены. Однако при указанном виде правых частей можно путем замены параметра t привести рассмотрение системы (I**) к рассмотрению системы вида (I).

Действительно, полагая при х и у, необращающих в нуль f(х, у), dt =f(х, у) d, мы получаем систему

(I***)

Эту же систему мы будем рассматривать при х и у, обращающих в нуль функцию f(х, у) (что соответствует доопределению по непрерывности), так что система (I***) будет определена во всей области G. Очевидно, во всякой части области G, в которой f(х, у) не обращается в нуль, траектории системы (I**) и (I***) совпадают как точечные множества, однако, параметры на них различны. При этом там, где f(х, у) > 0, направление по совпадает с направлением по t, а там, где f(х, у) < 0 -- противоположно ему. Точки с координатами х и у, обращающими в нуль функцию f(х, у), в которых правые части системы (I**) не определены, естественно выделять и считать не принадлежащими траекториям системы (I**) (к таким точкам, как нетрудно убедиться на простых примерах, точка по траектории может стремиться при t, стремящемся к конечному значению).

8. Терминология и обозначения

В случае, когда решения, соответствующие данной траектории L, определены для всех значении t (), мы будем иногда, желая подчеркнуть это, называть такую траекторию L целой траекторией. В силу теоремы 2 всякая траектория, лежащая в ограниченйой части плоскости, у которой расстояние любой ее точки от границы области G больше некоторого ₀ > 0, заведомо является целой траекторией.

Обратное неверно. Траектория, у которой есть точки, сколь угодно близкие к границе области G, может как быть, так и не быть целой траекторией.

Пусть М₀ -- точка траектории L, которая при выбранном решении соответствует значению t = t₀. Если решение определено при всех t(t > t₀), то множество точек траектории L, соответствующих значениям t > t₀, называется положительной полутраекторией, выделенной из траектории L, и обозначается через L⁽⁺⁾ или . Аналогично если решение определено при всех t t₀, то множество точек траектории L, соответствующих значениям t t₀, называется отрицательной полутраекторией, выделенной из траектории L, и обозначается через или . Очевидно, если взять другое решение, соответствующее траектории L, при котором точке М₀ соответствует значение t₁ t₀, то точки полутраектории (или ) будут соответствовать значениям . Точку М₀ мы иногда будем называть «концом» полутраектории. В дальнейшем нам часто придется рассматривать полутраекторию без указания на то, является ли она положительной или отрицательной. В этом случае мы будем обозначать полутраекторию через U ' или L\j₀. В случае, когда траектория L является состоянием равновесия или замкнутой траекторией, всякая положительная и всякая отрицательная полутраектория, выделенная из нее, совпадает с ней самой. Полутраекторию, выделенную из незамкнутой траектории, мы будем называть незамкнутой полу траекторией, а полутраекторию, выделенную из замкнутой траектории (очевидно, совпадающую с этой траекторией), будем называть замкнутой полутраекторией.

В математической литературе решение системы (I) часто называют движением. Эта терминология находится в соответствии с «кинематическим» истолкованием динамической системы. Мы также будем пользоваться этой весьма употребительной терминологией. Таким образом, мы будем говорить о движении, соответствующем данным начальным значениям, о траектории, соответствующей данному движению, о движении, соответствующем данной траектории, или, иначе, о движении на траектории (т. е. о решении, соответствующем данной траектории), о периодическом движении и т. д.

Будем также говорить, что траектория L при t = t₀ проходит через точку М₀, подразумевая при этом, что на траектории L выбрано некоторое определенное движение и при этом движении точке М₀ соответствует значение t = t₀. Точно так же мы будем говорить: «точка М₁ траектории L соответствует значению t = t₁ » или «траектория при t = t₁ пересекает данную дугу и т. д., подразумевая под этим, что при данном выбранном движении на L точка М₁ или общая точка траектории L и дуги соответствует значению t= t₁ и т. д.

Мы будем часто пользоваться следующими выражениями: «траектория L при возрастании (или убывании) входит в данную область или выходит из данной области», «траектория при t > T₀ остается в данной области» и другими аналогичными выражениями, не требующими пояснения. Кроме того, укажем следующие обозначения. Если

х = (t), y = (t) (28)

-- какое-нибудь движение (т. е. решение), то точку с координатами (t), (t) мы будем обозначать через М (t) и решение (28) -- через М=М (t). Если указаны начальные значения, которым соответствует рассматриваемое движение, т. е. движение (решение) записано в виде

x= (t -- t₀, х₀, у₀) , y = (t -- t₀, х₀, у₀), (29)

то, обозначая через М₀ точку х₀, у₀, мы будем записывать точку с координатами (t--t₀, х₀, у₀), (t -- t₀, х₀, у₀) в виде М (t -- t₀, M₀) и решение (29) --в виде М = М (t -- t₀, M₀).

9. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений

Наряду с теоремой о существовании и единственности решения основной теоремой теории дифференциальных уравнений является теорема о непрерывной зависимости от начальных значений.

Мы сформулируем здесь эту теорему для рассматриваемых нами автономных систем вида (I).

Теорема 4. Пусть

x= (t -- t₀, х₀, у₀) , y = (t -- t₀, х₀, у₀)

-- решение системы (I), определенное на интервале (, Т), а и ( < ) -- два произвольных числа из этого интервала. Тогда, каково бы ни было > 0, существует такое > 0, что, если

то решение x = (t -- t₀, ), y = (t -- t₀, ) определено при всех значениях t , t при всех этих значениях t выполняются неравенства

Замечание. Функции (t -- t₀, x₀, y₀), (t -- t₀, x₀, y₀) по самому своему определению являются непрерывными функциями t -- t₀.

Рис. 6.

Так как в силу настоящей теоремы эти функции непрерывны по переменным х₀, у₀ и равномерно непрерывны относительно t на всяком замкнутом конечном промежутке значений t, то, очевидно, эти функции непрерывны по совокупности своих аргументов при всех тех значениях этих аргументов, при которых они определены.

Теорема 4 может быть также сформулирована в следующей геометрической форме, которой мы в основном будем пользоваться в дальнейшем.

Теорема 4'. Пусть

М₀ (х₀, у₀) и M₁ (x₁ y₁)



-- две точки произвольной траектории L, соответствующие значениям t₀ и t₁ переменного t. Тогда для любого > 0 можно указать такое > 0, что если точка М'₀ (М₀), то проходящая через эту точку при t = t₀ траектория L' определена для всех t в промежутке (или t₀ ) и точка М' траектории L', соответствующая любому значению t из этого промежутка, лежит в -окрестности точки М траектории L, соответствующей тому же t (рис. 6).

Докажем лемму, непосредственно вытекающую из теоремы 4.

Лемма 9. Пусть К -- замкнутое ограниченное множество, целиком лежащее в G. Всегда существует h₀ > 0 такое, что при любом t₀ решение

x= (t -- t₀, x₀, y₀), y= (t -- t₀, x₀, y₀) (30)

для любой точки М₀ (х₀, у₀) К заведомо определено при всех значениях t из промежутка

t₀ - ht t₀ +h.

Доказательство. Предположим, что лемма несправедлива, т. е. для любого h > 0 найдется такая точка М К, что решение (30), которое мы для краткости запишем в виде M = M(t -- t₀, ), не определено на всем сегменте [t₀ -- h, t₀ + h]. Тогда существует последовательность стремящихся к нулю положительных чисел { } и последовательность точек { } множества К таких, что решение M = M(t -- t₀, ) не определено на всем сегменте [t₀ -- h_n, t₀ + h_n]. Так как по предположению К -- замкнутое ограниченное множество, то из { } всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к некоторой точке М* множества К. Поэтому мы можем без ограничения общности считать, что сама последовательность { } сходится к некоторой точке M* К. Рассмотрим решение M = M(t--t₀, М*). Всегда существует h* > 0 такое, что это решение во всяком случае определено при значениях t на сегменте [t₀--h*, t₀ + h*]. В силу теоремы 4 тогда и всякое решение

M=M(t -- t₀, M_n)

при достаточно большом n определено на сегменте [t₀ -- h*, t₀ + h*]. Ho h_n < h* при достаточно большом n (так как h_n 0), и, следовательно, решение М = М (t -- t₀, M_n) должно быть определено при всех значениях t из сегмента [t₀ -- h_n, t₀ + h_n ], что противоречит выбору точек М_n. Лемма доказана.

10. Замена переменных

Предположим, что область определения G системы (I) ограничена, и рассмотрим регулярное отображение этой области на некоторую область G* плоскости (и, v).

Пусть это отображение задается формулами

x=f(u, v), y = g(и, v) (Т)

или эквивалентными им формулами

x = f*(x,y), y=g*(x,y), (Т*)

где функции f, g, f*, g* являются функциями класса С₂. Мы будем предполагать также, что G* -- ограниченная область; для этого необходимо и достаточно, чтобы функции f* и g* были ограниченными в области G.

Переменные и и v можно рассматривать, как известно, не только как декартовы координаты на плоскости (и, v), но и как криволинейные координаты в области G плоскости (х, у). Тогда (Т) и (Т*) являются формулами замены переменных или преобразования координат.

Пусть после перехода к координатам и, v система (I) принимает вид

= U(u,v), = V(u,v). (31)

При этом мы имеем, очевидно,

g (u, v)) + Q(f(u, v), g(u,v)), (32)

V(u, v) = P(f(u, v), g(u, v)) + Q(f(u, v), g(u, v)).

Таким образом, при переходе к новым координатам и, v вектор т с координатами Р (х, у), Q (х, у) преобразуется в вектор т* с координатами U (и, v), V (и, и), связанными с Р (х, у), Q (х, у) выражениями (32).

При отображении (Т) всякая траектория системы (I)

x = (t), y = (t) переходит в траекторию системы (31)

(33)

и, обратно, при отображении (Т*) траектории системы (31) переходят в траектории системы (I). Нетрудно убедиться непосредственно, что пара функций (33) является решением системы (31).

В дальнейшем мы будем рассматривать не только регулярные преобразования координат. В частности, мы часто будем пользоваться переходом к полярной системе координат, который, очевидно, не является регулярным преобразованием координат.

Действительно, при преобразовании к полярным координатам

во-первых нарушается взаимная однозначность, а во-вторых функциональный детерминант

,обращается в нуль, при

11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе

Если разделить одно уравнение системы (I) на другое, то мы получим либо дифференциальное уравнение

(II)

либо дифференциальное уравнение

. ()

Рассмотрим сначала уравнение (II). Пусть какая-нибудь точка области G. В силу теоремы о существовании и единственности решения, если при значениях , P(), то существует единственное решение y=f(x), соответствующее начальным значениям , и, следовательно единственная интегральная кривая уравнения (II), проходящая через точку

В каждой точке этой кривой угловой коэффициент касательной задается уравнением (II).

Пусть

х = (t), у = (t)

-- решение системы (I), соответствующее начальным значениям t₀, x₀ y₀ . Выражая t вблизи значений t₀, х₀, у₀ как функцию х, t=(х) (это возможно в силу того, что по условию ' (t₀) = Р (x₀ ,y₀) 0) и подставляя в функцию у = (t), мы, как нетрудно видеть, получаем решение уравнения (II)

y = ((x)) = f(x)

Очевидно, интегральная кривая уравнения (II) в точках, в которых она определена, совпадает с траекторией системы (I) или является частью этой траектории.

Рис. 7

Предположим, что решение у = f (х) определено на интервале (x₁ , x₂) , и пусть х стремится к одному из концов этого интервала, например х x₁ (все сказанное в этом случае может быть повторено для случая, когда хх₂). На основании общих теорем нетрудно видеть, что если при х x₁ точка с координатами (x, f(х)) не стремится к границе области G, то она стремится к точке М (x₁ , f (x₁)), для которой Р (x₁ , f (x₁)) = 0, т. е. к точке, в которой уравнение (II) теряет смысл. Если при этом Q (x₁ , f (x₁)) 0, то точка М, очевидно, является такой точкой траектории системы (I), в которой касательная параллельна оси у (рис. 7). В окрестности такой точки естественно рассматривать уравнение (II*), и как «продолжение» интегральной кривой, соответствующей данному решению у = f (x) уравнения (II), рассматривать интегральную кривую уравнения (II*), проходящую через точку М(x₁ , f (x₁)) . Очевидно, в окрестности всякой точки, в которой ни Р (х, у), ни Q (х, у) не обращается в нуль, решение уравнения (II*) может быть получено из решения у = f (х) уравнения (II), если в нем х выразить как функцию у, х =g (у), а части соответствующих интегральных кривых уравнений (II) и (II*), лежащие в достаточно малой окрестности такой точки, совпадают.

Совершенно аналогично в точке N (), в которой Q (g (у₁), y₁) = 0, а Р(g (у₁), y₁) 0, естественно «продолжением» интегральной кривой уравнения (II*) считать проходящую через эту точку интегральную кривую уравнения (II).

Нетрудно убедиться в том, что множество точек, состоящее из точек интегральной кривой уравнения (II). проходящей через некоторую, отличную от состояния равновесия системы (I) точку М₀ (х₀, у₀) области G и всех «продолжений» этой интегральной кривой в указанном выше смысле, совпадает с траекторией, проходящей через точку М₀.

Таким образом, одновременное задание уравнений (II) и (II*) определяет все траектории системы (I), отличные от состояний равновесия. Но в то время, как при рассмотрении системы (I) траектории определяются с помощью параметрических уравнении, при рассмотрении уравнений (II) и (II*) траектории определяются уравнениями в переменных х и у (уравнениями в декартовых координатах). В дальнейшем, рассматривая одновременно дифференциальные уравнения (II) и (II*), мы не будем выписывать оба эти уравнения: выписывая одно из этих уравнений, мы будем подразумевать, что рассматриваются оба. Мы будем также пользоваться следующими симметричными относительно х и у записями уравнений (II) и (II*), именно

(III)

Траектории системы (I), отличные от состояния равновесия, мы будем называть интегральными кривыми уравнения (III) (а также, не совсем точно, интегральными кривыми уравнения (II) или (II*)).

Точки, в которых одновременно

Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0

и оба уравнения (II) и (II*) теряют смысл, называются особыми точками уравнений (II), (II*) или (III). Таким образом, состояниям равновесия системы (I) соответствуют особые точки уравнении (II), (II*) или (III) и, наоборот, особым точкам -- состояния равновесия.

В то время, как система (I) определяет в области G фазовой плоскости векторное поле, состоящее из векторов (х, у) с компонентами Р (х, у), Q (х, у) , уравнение (III) (или пара уравнений (II) и (II*)) определяет поле направлений или поле линейных элементов. Линейным элементом называется точка М и проходящий через эту точку ненаправленный прямолинейный отрезок, для которого М является внутренней точкой. Поле линейных элементов, определенное уравнением (III), получается, если через каждую точку М (х, у) области провести прямолинейный отрезок, имеющий угловой коэффициент (если 0, то соответствующий отрезок параллелен оси у).

Очевидно, линейный элемент, соответствующий точке М (х, у), лежит на касательной к траектории, проходящей через точку М.

Если функция класса f (x, у) не обращается в нуль в области G, то системе

, (I *)

соответствует, очевидно, то же дифференциальное уравнение (II)

, что и системе ,

Отсюда вторично вытекает доказанное в п. 7 утверждение, что системы (I) и (I*) имеют одни и те же траектории. Если функция f(х, у) обращается в нуль в точках области G, то, рассматривая уравнение