Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Тема курсовой работы: "Применение СКМ для исследования математической модели RLC-цепи".

Цель работы: изучить применение СКМ для исследования математической модели RLC-цепи.

В ХХI веке компьютерные технологии плотно вошли в жизнь людей. Растущие желания мотивировали человека на создание методов и устройств для упрощения исследований, связи, строительства да и жизни в целом.

На данный момент известно множество случаев, когда техника уже полностью взяла на себя всю нагрузку в расчетах и проектировании, при этом существенно снизив финансовые затраты и использование трудовых ресурсов.

Решение прикладных задач пользователя в той или иной области приложений поддерживают прикладные компьютерные системы специального или общего назначения.

Инженерные задачи чаще всего решаются с использованием систем компьютерной математики. В настоящее время широкое распространение получили следующие математические системы: MathCAD, Matlab, Maple, Mathematica. Последние версии этих систем обладают развитым интерфейсом, языком программирования высокого уровня и возможностью создания документа в мультимедийном оформлении.

Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера позволило резко повысить скорость расчетов и уровень сложности задач.



1. Применение системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем

1.1 Средства математического моделирования

В последнее время в широких кругах пользователей вычислительных машин различного класса стал достаточно популярным и широко используемым термин «компьютерная математика». Данное понятие включает совокупность как теоретических и методических средств, так и современных программных и аппаратных средств, позволяющих производить все математические вычисления с высокой степенью точности и производительности, а также строить сложные цепочки вычислительных алгоритмов с широкими возможностями визуализации процессов и данных при их обработке.

К разработке каждой такой математической системы привлекаются сотни профессионалов из известных университетов и крупных научных центров, а также высококвалифицированные программисты и эксперты в области проектирования сложных программных систем. В результате мы имеем весьма совершенные, гибкие и одновременно универсальные продукты, включающие существенные математические понятия и обладающие богатым набором методов для решения общих математических и научно-технических задач.

1.1.1 MATLAB

MATLAB -- продукт компании MathWorks, Inc., представляющий собой язык высокого уровня для научно-технических вычислений. Среди основных областей применения MATLAB -- математические расчеты, разработка алгоритмов, моделирование, анализ данных и визуализация, научная и инженерная графика, разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя. MATLAB решает множество компьютерных задач -- от сбора и анализа данных до разработки готовых приложений. Среда MATLAB соединяет в себе математические вычисления, визуализацию и мощный технический язык. Встроенные универсальные интерфейсы позволяют легко работать с внешними информационными источниками, а также осуществлять интеграцию с процедурами, написанными на языках высокого уровня (C, C++, Java и др.). Мультиплатформенность MATLAB сделала его одним из самых распространенных продуктов -- он фактически стал принятым во всем мире стандартом технических вычислений. MATLAB имеет широкий спектр применений, в том числе цифровую обработку сигналов и изображений, проектирование систем управления, естественные науки, финансы, экономику, приборостроение и т.п.

1.1.2 MathСad

Это интегрированная среда для выполнения, документирования и обмена результатами технических вычислений от компании MathSoft, Inc. Данный продукт позволяет пользователям вводить, редактировать и решать уравнения, визуализировать результаты, документировать их, а также обмениваться результатами анализа, отслеживая при этом их размерность. Mathсad служит средством вычислений, анализа и написания отчетов для профессионалов во всех областях науки и техники. Продукт прост в использовании и не вызывает проблем при обучении.

1.1.3 Maple

Данный продукт компании Waterloo Maple Software, Inc. часто называют системой символьных вычислений или системой компьютерной алгебры. Maple позволяет выполнять как численные, так и аналитические расчеты с возможностью редактирования текста и формул на рабочем листе. Благодаря представлению формул в полиграфическом формате, великолепной двух- и трехмерной графике и анимации Maple является одновременно и мощным научным графическим редактором. Простой и эффективный язык-интерпретатор, открытая архитектура, возможность преобразования кодов Maple в коды C делает его очень эффективным средством создания новых алгоритмов. Обладающий интуитивно понятным интерфейсом, простыми правилами работы и широким функционалом, этот продукт уже завоевал популярность у российских математиков и инженеров.

1.1.4 Mathematica

Система Mathematica -- компании Wolfram Research, Inc. имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. По сути дела, все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей математики технического вуза, заложены в память компьютерной системы Mathematica. В некоторых странах (например, в США) система высшего образования тесно связана с этим продуктом. Огромное преимущество системы Mathematica состоит в том, что ее операторы и способы записи алгоритмов просты и естественны. Mathematica имеет мощный графический пакет, с помощью которого можно строить графики очень сложных функций одной и двух переменных. Главное преимущество Mathmatica, делающее ее бесспорным лидером среди других систем высокого уровня, состоит в том, что эта система получила сегодня очень широкое распространение во всем мире, охватив огромные области применения в научных и инженерных исследованиях, а также в сфере образования.

1.1.5 Macsyma

Macsyma от компании Macsyma, Inc.-- это одна из первых математических программ, оперирующих символьной математикой. Сильные стороны Macsyma -- развитой аппарат линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Система ориентирована на прикладные расчеты и не предназначена для теоретических исследований в области математики. В связи с этим в программе отсутствуют или сокращены разделы, связанные с теоретическими методами (теория чисел, теория групп, и др.). Пожалуй, главным преимуществом Macsyma перед другими универсальными математическими пакетами является то, что пользователь может аналитически и численно решать большое количество различных типов уравнений в частных производных. Macsyma имеет очень удобный интерфейс. Рабочим документом программы является научная тетрадь, в которой содержатся доступные для редактирования поля текста, команд, формул и графиков. Отличительной особенностью пакета является совместимость с текстовым редактором Microsoft Word. Почти все команды Macsyma в библиотечных файлах загружаются автоматически; очень удобно и окно просмотра (браузер) математических функций. Macsyma генерирует коды FORTRANа и C, включая управляющие операторы. Система работает на платформе Intel под управлением OS Windows.

1.1.6 MuPAD

В сравнении с другими математическими пакетами MuPAD -- продукт компании SciFace GmbH-- является относительно молодым продуктом, однако это не мешает ему уверенно конкурировать с ними. MuPAD является программным пакетом компьютерной алгебры, предназначенным для решения математических задач различного уровня сложности. Основные качественные отличия MuPAD -- невысокие требования к ресурсам PC, наличие собственного ядра символьной математики, способность к развитию самим пользователем и мощные средства визуализации решения математических задач. Пакет поддерживает большой набор математических объектов и алгоритмов для самого широкого круга задач. Работа пользователя проходит в окне блокнота, позволяющего перемежать текст с математическими формулами, форматированным текстом и выводом решений, включая двух- и трехмерную графику. Для разработки собственных алгоритмов и функций на базе библиотеки функций MuPAD в системе предусмотрены специальный паскалеподобный язык программирования и интерактивный пошаговый отладчик. Созданные пользователем алгоритмы могут объединяться в отдельные библиотеки.

1.1.7 S-PLUS

S-PLUS -- продукт компании Insightful Corporation, ранее известной как подразделение MathSoft, а теперь являющейся одним из мировых лидеров в области статистического анализа данных, визуализации и прогнозирования. S-PLUS представляет собой интерактивную компьютерную среду, обеспечивающую полнофункциональный графический анализ данных и включающую оригинальный объектно-ориентированный язык. Гибкая система S-PLUS может использоваться для исследовательского анализа данных, статистического анализа и математических вычислений, а также для удобного графического представления анализируемых данных. К основным достоинствам S-PLUS относятся непревзойденная функциональность, возможность интерактивного визуального анализа данных, интуитивно понятные интерфейс пользователя и методы подготовки анализируемых данных, простота использования самых современных статистических методов, мощные вычислительные возможности, расширяемый набор статистических методов, гибкий интерфейс пользователя.

1.2 Система MathCad, основные функции

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD - это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением, так как он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат.

Все функции системы можно классифицировать следующим образом:

a) Вычислительные функции;

б) Графические функции;

в) Программирование;

г) Сервисные функции;

Вычислительные возможности системы применяются для решения множества задач из области математики, физики, экономики, инженерных расчётов, научных исследований. К основным вычислительным функциям можно отнести следующие:

а) Вычисление арифметических выражений с различной точностью.

б) Вычисление производных (обычных и частных), интегралов (обычных, многомерных и контурных).

в) Вычисление сумм и произведения.

г) Выполнение операций с размерными величинами и переменными.

д) Решение уравнений, неравенств и их систем.

е) Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

ж) Обработка матриц, векторов и ранжированных переменных.

и) Использование встроенных математических функций.

к) Создание пользовательских функций.

л) Использование символьных преобразований и вычислений.

Графические возможности системы применяются для визуализации результатов вычислений и включают построение двумерных графиков в различных системах координат, создание графиков поверхностей, карт линий уровня, трехмерных гистограмм, точечных графиков и графиков векторных полей. Система позволяет продемонстрировать процесс движения или изменения каких-либо результатов в виде анимационного клипа.

Система позволяет создавать программы, представляющие собой выражения, состоящие из программных конструкций, подобных конструкциям языков программирования. Программные выражения позволяют успешно решать в системе те задачи, которые невозможно вычислить с помощью имеющихся встроенных функций.

Простейшие действия демонстрируют использование MathCAD в качестве обычного калькулятора с расширенным набором функций. Для математика же интерес представляет, как минимум, возможность задания переменных и операций с функциями пользователя. Нет ничего проще - в MathCAD действия, как и большинство других, реализованы по принципу "как принято в математике, так и вводится".

Вычислительный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на ЭВМ. Он позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство. В заключение подчеркнем еще раз, что компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент позволяют свести исследование "нематематического" объекта к решению математической задачи. Этим самым открывается возможность использования для его изучения хорошо разработанного математического аппарата в сочетании с мощной вычислительной техникой. На этом основано применение математики и ЭВМ для познания законов реального мира и их использования на практике.[2]

1.3 Обзор численных методов. Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения, которые можно проинтегрировать известными методами, встречаются сравнительно редко. В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Эти методы делятся на две группы. Применение аналитических методов дает приближенное решение в виде аналитического выражения, численных- в виде таблицы численных значений.

Наиболее распространенными из численных методов, применяемых в математическом моделировании, являются метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

математический моделирование mathcad электрический

1.3.1 Метод Эйлера

Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле. По методу Эйлера в формуле Тейлора не учитываются члены, содержащие производные второго и более высокого порядка. Метод Эйлера имеет первый порядок точности, откуда следует, что для достижения высокой точности требуется мелкий шаг, что экономически не выгодно. Достоинством метода является его простота. Метод Эйлера используют для более точных многошаговых методов.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

у'=(х, у) (1)

удовлетворяющее условию

у=у0 при х=х0, т. е. у(ха) =у0 (2)



При численном решении уравнения (1.1) задача ставится так: точках х0, x1, х2, ..., хп найти приближения уп для значений точного решения у(хп). Разность x=xn+1--xn = h называется шагом сетки. Во многих случаях принимают величину h постоянной, тогда

Хn=Х0=nh(n=0,1,2,…) (3)

Приближенно можно считать, что правая часть уравнения (1.1) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления

Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле

(4)

В силу сделанных предположений на первом отрезке искомое решение приближенно представляется линейной функцией

(5)

в частности, при x=x1 получаем y1=y0+ht(x0, y0). Равенство (1.4) означает, что на отрезке [х0, xo+h] искомую интегральную кривую у=у(х) приближенно заменяют прямолинейным отрезком, выходящим из начальной точки М0(х0, у0) с угловым коэффициентом f(xQ, у0). Аналогично находим приближенное значение y2: y2 = y1+hf(x1,y1).

Для точки xn = xo+nh получаем



(6)

Таким образом, в качестве приближения искомой интегральной кривой получаем линию с вершинами в точках М0(х0, уо), M1(y1, y2), .... Мп(хп, уп)

Вычисление приближений уп искомого решения у(х) по формуле (6) представляет собой обыкновенный метод Эйлера. Этот метод дает весьма грубое приближение решения задачи Коши. Он обычно используется в случае, когда необходимо получить примерное представление о решении на небольшом промежутке. Если функция f(x, у) в уравнении (1) на некотором отрезке в рассматриваемой области непрерывна по х и удовлетворяет условию Липшица

погрешность обыкновенного метода Эйлера оценивается формулой

(7)

1.3.2 Метод Рунге - Кутта

Метод Рунге-Кутта является одним из наиболее употребительных численных методов повышенной точности. Низкая точность метода Эйлера связана в первую очередь с тем, что остаточный член формулы Эйлера велик.

Очевидно, что для уменьшения погрешности вычисления необходимо увеличить количество учитываемых членов в формуле Тейлора. Наиболее распространенным является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, в котором учтены производные до 4-го порядка включительно. Метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге-Кутта 1-го порядка. Метод Рунге-Кутта требует большого объёма вычислений, однако расчёт оказывается более точным, чем расчёт по методу Эйлера с тем же шагом.

Величина погрешности метода оценивается с помощью правила Рунге. Значение оценки Рунге состоит в том, что погрешность оценивается через величины, получаемые непосредственно в процессе счёта. На этой формуле основан метод автоматического выбора шага в процессе счёта в стандартных программах. Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

а) Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти уm+1 нужна информация о предыдущей точке xm ym

б) Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода

в) Они не требуют вычисления производных от f (xy) а требуют вычисления самой функции

Наиболее точный метод решения - метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений

-этот метод является одноступенчатым и одношаговым;

-требует информацию только об одной точке;

-имеет небольшую погрешность;

-значение функции рассчитывается при каждом шаге.

Формулы описывающие классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка, состоят из следующих пяти соотношений:



ym+1=ym+h/6(R1+2R2+2R3+R4) (8)

R1=f(xmym) (9)

R2=f(xm+h/2ym+hR1/2) (10)

R3=f(xm+h/2ym+hR2/2) (11)

R4=f(xm+h/2ym+hR3/2) (12)

Ошибка ограничения для этого метода равна et=kh5

Значит формулы 8 - 12 описывают метод Рунге-Кутта четвертого порядка Однако при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза[3]



2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо применить СКМ для исследования математической модели RLC-цепи

С использованием системы MathCAD

Рассчитать значения функций тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме под воздействием начальных значений тока и напряжения без учета ЭДС. Построить графики этих функций.

Рассчитать значения функций тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме с различными значениями ЭДС. Построить графики этих функций.

Для функции напряжения, полученной в п.1.2 при ЭДС1, исследовать влияние сопротивления R1 на максимальное значение напряжения на конденсаторе. Построить на одном поле графики токов, полученные при разных значениях варьируемого параметра.

Для функции напряжения, полученной в п.1.2, вычислить время, при котором напряжение пересекает пороговое значение равное 0.1 В.

2.2 Описание математической модели

Исходными данными для выполнения поставленной цели будут являться:

А) Дифференциальные уравнения, описывающие колебания напряжения u(t) и тока i(t) в генераторе, записываемые в виде:



где t - время;

L и C - индуктивность катушки и емкость конденсатора;

R1 , R2 , R3 , R4 - сопротивление источника питания и обмотки катушки индуктивности;

E - источник ЭДС.

Б) Численные значения используемых данных:

- Е1= 10sin450t (В) - значение ЕДС;

- E2= Asin150t+Bsin(210t) - значение ЕДС;

- R1=5 (Ом)

- R2= 10 (Ом)

- R3=10 (Ом) - сопротивление;

- R4 =3 (Ом)

- C = 2•10-3 (Ф) - исходная емкость;

- L = 0,4 (Гн) - исходная индуктивность;

- UC1 = 0,1 (В) - начальное значение напряжения;

- i0 = 0 (А) - начальное значение тока;

- Т= 0,1 (с)- время исследования.

Схема электрической цепи представлена на рисунке 1.



Рисунок 1 - Схема электрической цепи

2.3 Анализ исходных и результирующих данных

Для решения данных уравнений необходимо задать данные, для решения дифференциальных уравнений:

- Е1= 10sin450t (В) - значение ЕДС;

- E2= Asin150t+Bsin(210t) - значение ЕДС;

- R1=5 (Ом)

- R2= 10 (Ом)

- R3=10 (Ом) - сопротивление;

- R4 =3 (Ом)

- C = 2•10-3 (Ф) - исходная емкость;

- L = 0,4 (Гн) - исходная индуктивность;

- UC1 = 0,1 (В) - начальное значение напряжения;

- i0 = 0 (А) - начальное значение тока;

- Т= 0,1 (с)- время исследования

Результирующими данными в системе уравнений являются ток i и напряжение U.

Для решения ДУ (1) и (2) с помощью функции rkfixed, производим необходимые замены:



A1=uc

A2=iL

Получаем уравнения в форме Коши:



2.4 Графические схемы алгоритмов реализации задачи в MatCAD



Рисунок 2 - Графическая схема алгоритма реализации задачи в MatCAD



Рисунок 3 - Графическая схема алгоритма вычисления программного фрагмента

Описание графической схемы алгоритма реализации задачи в MatCAD:

- Вводим исходные данные.

- Записываем систему ДУ и решаем её с помощью функции rkfixed.

- Находим численные значения времени, напряжения, тока в 1000 точках.

- Строим графики зависимости напряжения от времени и тока от времени.

- Изменяем варьируемый параметр ЭДС и выполняем пункты 2,3,4.

- Изменяем варьируемый параметр R и выполняем пункты 2,3,4.

- Полученные графики в пункте 6 соединяем в одном.

- По полученным данным проводим аппроксимацию с помощью функции linfit.

- Строим график аппроксимирующей зависимости.

- Для функции напряжения находим значение времени при котором напряжение пересекает пороговое значение равное 0.1 В при помощи программного фрагмента.

- Строим график зависимости напряжения от времени и выделяем на нем точку пересечения значения напряжения с пороговым значением.

Описание графической схемы алгоритма вычисление программного фрагмента:

Искомый номер переменной в таблице P (Приложение В) обозначим за S и приравняем его к нулю. Номер строки в таблице обозначим за i и приравняем его к единице. Если больше или равен пороговому значению времени, то искомое S равно номеру строки i, следственно и номеру искомой переменной. Выводим номер переменной в таблице S и его значение.



3. Описание реализации задачи в MathCad

3.1 Описание реализации базовой модели

Реализация в MathCad

Вводим исходные данные. Вводим вектора начальных значений A. Создаем вектор D, состоящего из первой производной от уравнений Коши (5) и (6). Решаем полученную систему с помощью функции rkfixed в 1000 точек, в заданном интервале времени от 0 до 0.1 секунд. Получим матрицу B, в которой:

- Первый столбец - вектор значений времени.

- Второй столбец - вектор значений напряжения.

- Третий столбец - вектор значений тока.

Строим графики полученных зависимостей функции напряжения и тока от времени (рисунок A.1, рисунок А.2). Аналогичным способом рассчитываются значения функций тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме с различными значениями ЭДС.

В ходе опытов функция ЭДС принимает значения:

ЭДС1: E(t)=10sin450t;

ЭДС2: E(t)=Asin150t+Bsin(210t)

Рисунок 4 - график зависимости ЭДС 2 от времени, данный в условии



Так как функция E(t) задана графически для начала зададим зависимость. Из рисунка 4 берем координаты функции E(t) и задаем их в MathCAD. После получения результатов строим графики полученных зависимостей функции напряжения и тока от времени (рисунок A.3, рисунок А.4, рисунок А.5, рисунок А.6)

3.2 Описание исследований

3.2.1 Реализация в MathCad

Рассчитываем значение функции напряжения при изменении сопротивления в диапазоне значений от 10 до 50 при ЭДС 1. Строится графики всех полученных функций тока от времени на одном поле (Рисунок 5).

В ходе опытов сопротивление R принимает значения:

R=10

R=15

R=20

R=25

R=30

R=35

R=40

R=45

R=50



Рисунок 5 - Сводный график зависимости тока от времени

Вычисляем аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований приложения Б, строим графики исходной и аппроксимирующей зависимости. С помощью функции linfit выполняем аппроксимацию по методу наименьших квадратов. Для этого записываем координаты исходных точек результатов опытов и вектор F содержащий функции в символьном виде. Строим графики исходной и аппроксимирующей зависимости (Рисунок 6).

3.2.2 Реализация в MathCad

Для функции напряжения находим значение времени при котором напряжение пересекает пороговое значение равное 0.1 В при помощи программного фрагмента. Искомый номер переменной в таблице P обозначим за S и приравняем его к нулю. Номер строки в таблице обозначим за i и приравняем его к единице. Если больше или равен пороговому значению времени, то искомое S равно номеру строки i, следственно и номеру искомой переменной. Выводим номер переменной в таблице S и его значение. Строим график функции зависимости порогового значения напряжения от найденного значения времени.

Методом трассировки выделяем полученную точку (Рисунок 7).

Выводы по результатам исследований

В ходе проведённых опытов было установлено, что при изменении сопротивления R от 10 до 50 Ом амплитуда напряжений уменьшается(Рисунок 6). Значение времени при пороговом значение напряжения u=0.1 В равно 0.25 с. Номер данного элемента в таблице - 125. Пересечение порогового значения и найденного времени показано на рисунке 7.

Рисунок 6 - График аппроксимирующей зависимости

Рисунок 7 - График зависимости напряжения от времени



Заключение

В данной курсовой работе с помощью СКМ была исследована математическая модель электрической цепи. Были рассчитаны функции напряжений и тока, установлено влияние изменения сопротивления на амплитуду тока цепи, вычислены аналитические аппроксимирующие функции зависимости амплитуды напряжений от сопротивления. Было найдено значение времени при достижении напряжением порогового значения.

После проведения расчетов можно с уверенностью сказать, что СКМ действительно намного упрощают студентам жизнь. Да и не только студентам: множество сфер нашей жизни плотно связано с использованием компьютерных расчетов. Со времени ввода СКМ в науку и инженерию в разы сократились затраты по времени на получение точных числовых данных. Проектирование, исследования и вычисления стали намного быстрее, точнее и доступнее.

На данном примере было показано, как легко можно исследовать математическую модель RLC-цепи в системе MathCad.



Список использованных источников

1. Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем, - Мн.: ДизайнПРО, 1997.- 640с

2. Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987.

3. Трохова Т. А., Самоведнюк Н. В., Романькова Т. Л. Практическое руководство к курсовому проектированию по курсу "Информатика" для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения. - Гомель: Учреждение образования "ГГТУ имени П.О.Сухого", 2004. - 34 с.

Размещено на Allbest.ur