Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

Xij=, (1)

где xij -- значение исследуемой переменой, полученной на i-м уровне фактора (i=1,2,...,m) с j-м порядковым номером (j=1,2,...,n);

Fi -- эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;

ij -- случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменной внутри отдельного уровня.

Под уровнем фактора понимается некоторая его мера или состояние, например, количество вносимых удобрений, вид плавки металла или номер партии деталей и т.п.

Основные предпосылки дисперсионного анализа:

1. Математическое ожидание возмущения ij равно нулю для любых і, т.е.

M(ij)=0(2)

2. Возмущения ij взаимно независимы.

3. Дисперсия переменной xij (или возмущения ij) постоянна для любых i,j, т.е.

D(ij )=(3)

4. Переменная xij (или возмущения ij) имеет нормальный закон распределения N(0; ).

Влияние уровней фактора может быть как фиксированным, или систематическим (модель I), так и случайным (модель II).

Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли существенные различия между партиями изделий по некоторому показателю качества, т.е. проверить влияние на качество одного фактора -- партии изделий. Если включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора систематическое (модель I), a полученные выводы применимы только к тем отдельным партиям, которые привлекались при исследовании; если же включить только отобранную случайно часть партий, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная модель III, в которой одни факторы имеют случайные уровни, а другие -- фиксированные.

Рассмотрим эту задачу подробнее. Пусть имеется т партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно п1, п2, ..., пт изделий (для простоты полагаем, что п1=n2=...=пт=п). Значения показателя качества этих изделий представим в виде матрицы наблюдений

=( xij), (i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n).

Необходимо проверить существенность влияния партий изделий на их качество.

Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений -- это численные значения (реализации) случайных величин Х1, Х2,..., Хm, выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственно а1, а2,..., ат и одинаковыми дисперсиями , то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы H0: а1= а2=...= ат, осуществляемой в дисперсионном анализе.

Обозначим усреднение по какому-либо индексу звездочкой (или точкой) вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая средняя для i-го уровня фактора, примет вид:

(4)

а общая средняя --

(5)

Рассмотрим сумму квадратов отклонений наблюдений xij от общей средней :

, (6)

или Q=Q1+Q2+Q3.

Последнее слагаемое

Q3=2,

так как сумма отклонений значений переменной от ее средней, т.е.

равна нулю.

Первое слагаемое можно записать в виде:

Q == n. (7)

В результате получим следующее тождество:

Q=Q1+Q2(8)

Где Q = -- общая, или полная, сумма квадратов отклонений;

Q1 = n -- сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

Q2 = -- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.

В разложении (8) заключена основная идея дисперсионного анализа. Если поделить обе части равенства (8) на число наблюдений, то получим правило сложения дисперсий. Применительно к рассматриваемой задаче равенство (8) показывает, что общая вариация показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент -- Q1 и Q2, характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q1) и изменчивость «внутри» партий (Q2), характеризующих одинаковую (по условию) для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.

В дисперсионном анализе анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние квадраты, являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы.

Напомним, что число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравнений. Поэтому для среднего квадрата S12 , являющегося несмещенной оценкой межгрупповой дисперсии, число степеней свободы k1=m - 1, так как при его расчете используются m групповых средних, связанных между собой одним уравнением (5).

А для среднего квадрата S22, являющегося несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы k2=mn-m, ибо при ее расчете используются все mn наблюдений, связанны между собой m уравнениями (4). Таким образом, S12=Q1/(m-1), S22=Q2/(mn-m).

Найдем математические ожидания средних квадратов S12 и S22, подставив в их формулы выражение xij (1) через параметры модели.

M(S12) = =

= = +

+ + =

= + (9)

( = 0 с учетом свойств математического ожидания, а = n M = n = n = ).

M (S22) = = =

= = = = . (10)

Таблица 1.1. Схема дисперсионного анализа

Для модели 1 с фиксированными уровнями фактора Fi (I=1, 2,..., m) -- величины неслучайные, поэтому

M(S12) =+ .

Гипотеза H0 примет вид Fi = F* (i = 1, 2,... , m), т.е. влияние всех yровней фактора одно и то же. В случае справедливости этой гипотезы

M(S12) = M(S22) =.

Для случайной модели 2 слагаемое Fi в выражении (1) -- величина случайная. Обозначая ее дисперсию

, получим из (9)

M(S12) =, (11)

и, как и в модели 1, M(S22) =. В случае справедливости нулевой гипотезы H0, которая для модели 2 принимает вид =0, имеем:

M(S12) = M(S22) =.

Итак, в случае однофакторного комплекса как для модели 1, так и модели 2 средние квадраты S12 и S22 являются несмещенными и, как можно показать, независимыми оценками одной и той же дисперсии .

Следовательно, проверка нулевой гипотезы Н0 свелась к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок S12 и S22 дисперсии .

Гипотеза Н0 отвергается, если фактически вычисленное значение статистики F = больше критического , определенного на уровне значимости при числе степеней свободы k2=mn--m, и принимается, если F.

Применительно к данной задаче опровержение гипотезы Н0 означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.

Замечание. Для вычисления сумм квадратов Q1, Q2, Q часто бывает удобно использовать следующие формулы:

Q1 = , (12)

Q2 = , (13)

Q =, (14)

т.е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно.

1.3 Двухфакторный дисперсионный анализ

Можно эффективно выполнить однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA), используя программу ONEWAY. Эта программа также позволяет проверить априорные и апостериорные контрасты. Для выполнения многофакторного дисперсионного анализа используем ANOVA. Для полного дисперсионного анализа, включая повторные измерения или множественные зависимые измерения, рекомендуется процедура MANOVA. Для неметрического дисперсионного анализа, включая медианный тест к-выборок и однофакторный дисперсионный анализ Краскела--Уоллеса (Kruskal--Wallis), следует использовать программу NPAR TESTS.

SAS

Основная программа для выполнения дисперсионного анализа в случае сбалансированного плана -- ANOVA. Она обрабатывает данные из широкого диапазона экспериментальных планов, включая многомерный дисперсионный анализ и повторные измерения. Можно проверить как априорные, так и апостериорные контрасты. Для несбалансированных планов используется более общая GLM-процедура. Эта программа выполняет следующий анализ: дисперсионный, дисперсионный с повторными измерениями и множественный дисперсионный, а также проверяет априорные и апостериорные контрасты. Хотя программа GLM используется и для анализа сбалансированных планов, она не настолько эффективна для таких моделей, как программа ANOVA. Процедура VARCOMP вычисляет компоненты дисперсии. Для неметрического дисперсионного анализа используем NPAR1WAY.

BMDP

Для однофакторного дисперсионного анализа используем программу P1V. Однако более общей моделью является программа P2V, которая выполняет дисперсионный анализ для множества моделей эксперимента с фиксированными уровнями факторов. Она также может обрабатывать повторные измерения, сбалансированные и несбалансированные планы. P4V, являясь более совершенной программой, может выполнять многомерный дисперсионный анализ, в том числе и анализ комплексных экспериментальных планов. Другой специализированной программой является P3V, которая использует метод максимального правдоподобия для анализа моделей с фиксированными и случайными коэффициентами. Она подходит как для сбалансированных, так и несбалансированных планов. P8V является общей моделью, которая выполняет дисперсионный анализ для любого полного плана с ячейками одинакового размера. Непараметрический дисперсионный анализ можно выполнить с помощью программы P3S. И наконец, программа P7D, кроме создания гистограмм, может выполнять однофакторный дисперсионный анализ.

Minitab

Дисперсионный анализ можно выполнить с помощью функции Stats>ANOVA. Она выполняет однофакторный ANOVA, однофакторный невложенный (unstacked) ANOVA, двухфакторный ANOVA, анализ средних, сбалансированный ANOVA, общую линейную модель, построение графика главных эффектов, графика взаимодействия и графиков остатков. Для вычисления среднего и стандартного отклонений применима функция кросстабулирования. Для получения F и р значений используйте сбалансированный ANOVA.

2.2 Применение Excel

Пакет анализа включает в себя три средства дисперсионного анализа. Выбор конкретного инструмента определяется числом факторов и числом выборок в исследуемой совокупности данных.

Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух или более выборок, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности. Этот метод распространяется также на тесты для двух средних (к которым относится, например, t-критерий).

Параметры диалогового окна "Однофакторный дисперсионный анализ"

Входной диапазон

Ссылка на диапазон, содержащий анализируемые данные. Ссылка должна состоять не менее чем из двух смежных диапазонов данных, данные в которых расположены по строкам или столбцам.

3. Примеры использования методов

Проиллюстрируем применение однофакторного анализа вначале с вычислениями, сделанными вручную, а затем с использованием компьютера. Предположим, что мы оперировали только одним фактором, а именно, рекламой на месте торговли, т.е. чтобы показать процесс вычисления, проигнорируем второй фактор -- купонную распродажу.

Таблица 3.2. Влияние уровня внутримагазинной рекламы на уровень продаж

Маркетологи пытались определить влияние внутримагазинной рекламы товаров на продажи. Чтобы показать процесс вычисления с помощью калькулятора, данные табл. 3.1 преобразованы в табл. 3.2, где приведены продажи для каждого уровня рекламы. Нулевая гипотеза утверждает, что групповые средние равны: Но: = = .

Имеем m = 3, n = 10 . Найдем среднее значение продаж по супермаркетам для каждого уровня внутримагазинной рекламы по формуле (4):

= (10 + 9 + 10+ 8 + 9 + 8 + 9 + 7 + 7 + 6) / 10 = 8,3,

= (8 + 8 + 7 + 9 +6 + 4 + 5 + 5 + 6 + 4) / 10 = 6,2,

= (5 + 7 + 6 + 4 + 5 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2)/ 10 = 3,7,

Найдем среднее значение продаж по всем отобранным супермаркетам по формуле (5) и результаты занесем в таблицу 3.2:

= (10 + 9 + 10 + … + 2 + 1 + 2) / 30 = 6,067,

или, иначе, через групповые средние,

= (83 + 62 + 37) / 30 = 6,067.

Вычислим суммы квадратов отклонений по формулам (5), (7):

Q1 = 10 = 10 [(8,3 - 6,067)2+ (6,2 - 6,067)2+ (3,7 - 6,067)2] = 106,067

Q2 = = (10 - 8,3)2 + (9 - 8,3)2 + (10 - 8,3)2 + (8 - 8,3)2 + (9 - 8,3)2 +

+ (8 - 8,3)2 + (9 - 8,3)2 + (7 - 8,3)2 + (7 - 8,3)2 + (6 - 8,3)2 + (8 - 6,2)2 + (8 - 6,2)2 +

+ (7 - 6,2)2 + (9 - 6,2)2 + (6 - 6,2)2 + (4 - 6,2)2 + (5 - 6,2)2 + (5 - 6,2)2 + (6 - 6,2)2 +

+ (4 - 6,2)2 + (5 - 3,7)2 + (7 - 3,7)2 + (6 - 3,7)2 + (4 - 3,7)2 + (5 - 3,7)2 + (2 - 3,7)2 +

+ (3 - 3,7)2 + (2 - 3,7)2 + (1 - 3,7)2 + (2 - 3,7)2 =79,80

Q == (10 - 6,067)2 + (9 - 6,067)2 + (10 - 6,067)2 + (8 - 6,067)2 +

+ (9 - 6,067)2 + (8 - 6,О67)2 + (9 - 6,067)2 + (7 - 6,067)2 + (7 - 6,067)2 + (6 - 6,067)2 +

+ (8 - 6,067)2 + (8 - 6,067)2 + (7 - 6,067)2 + (9 - 6,067)2 + (6 - 6,067)2 + (4 - 6,067)2 +

+ (5 - 6,067)2 + (5 - 6,067)2 + (6 - 6,067)2 + (4 - 6,067)2 + (5 - 6,О67)2 + (7 - 6,067)2 +

+ (6 - 6,О67)2 + (4 - 6,067)2 + (5 - 6,067)2 + (2 - 6,067)2 + (3 - 6,067)2 +(2 - 6,067)2 +

+ (1 - 6,067)2 + (2 - 6,067)2 =185,867

Соответствующее число степеней свободы для этих сумм m-1= 3-1= 2,

mn-m = 3*10-3 = 27, mn-1 = 3*10-1 = 29.

Результаты расчета сведем в таблицу 3.3:

Можно утверждать, что Q = Q1 + Q2:

185,867 = 106,067 + 79,80.

Фактически наблюдаемое значение статистики F=. По таблице в приложении критическое значение F-критерия Фишера - Снедекора на уровне значимости при k1=2 и k2=27степенях свободы F0,05;2;27=3,35. Поскольку вычисленное значение F-статистики больше критического, мы отклоняем нулевую гипотезу. Заключаем, что средние значения совокупностей для трех уровней внутримагазинной рекламы товаров действительно различаются между собой. Сравнение средних для трех категорий показывает, что высокий уровень рекламы ведет к существенно более высоким продажам.

Замечание. С точки зрения техники вычисления сумм Q1, Q2, Q проще воспользоваться формулами (12) - (14), не требующими вычисления средних. Так, вычислив

10 + 8 + … + 4 + 2 = 182,

102 + 82 + … + 42 + 22 = 1290,

(10 + … + 6)2 + (8 + … + 4) + (5 + … + 2)2 = 12102,

Найдем

Q1 = 12102/ 10 - 1822/30 = 106,067,

Q2 = 1290 - 12102/10 = 79,8,

Q = 1290 - 1822/30 = 185,867.

Теперь проиллюстрируем процедуру выполнения дисперсионного анализа с помощью компьютерной программы. Результаты выполнения анализа на компьютере:

Значение Q1, указывающее на главные эффекты (систематические), равно 106,067 для двух степеней свободы; значение Q2, указывающее на остаточные эффекты, равно 79,80 для 27 степеней свободы. Следовательно, значения средних квадратов соответственно равны MS1= 106,067/2 = 53,033 и MS2= 79,80/27 = 2,956. Значение F = 53,033/2,956 = 17,944 при 2 и 27 степенях свободы приводит к вероятности, равной 1,10362E-05 (0,000). Так как соответствующая вероятность меньше, чем уровень значимости, равный 0,05, то нулевую гипотезу о равенстве средних в совокупности отклоняют. Критическое значение F для 2 и 27 степеней свободы равно 3,35. Поскольку вычисленное значение F (17,944) больше критического, то нулевую гипотезу отклоняют. Данные табл. 1.4 показывают, что выборочные средние, равные 8,3; 6,2 и 3,7, совершенно различны.

3.2 Применение двухфакторного дисперсионного анализа

Иллюстрация применения двухфакторного дисперсионного анализа. Возвратившись к данным табл. 3.1, изучим эффекты, обусловленные влиянием уровня внутримагазинной рекламы и уровня купонной распродажи на уровень продаж супермаркетов.