Широко известна классическая последовательность чисел Фибоначчи, в которой первые два элемента равны единице (F₁=F₂=1), а каждый последующий равен сумме двух предыдущих. (F_i+2=F_i+1+F_i.) В данной работе представлена последовательность, схожая по построению с последовательностью Фибоначчи, но состоящая не из чисел, а из троек чисел (Далее будем называть её трёхмерной последовательностью Фибоначчи). Цель данной работы - найти формулы зависимости между её членами, рекуррентные соотношения, общие формулы. Также в работе рассмотрены возможные применения данной последовательности: при решении задачи из турнира юных математиков (г. Минск, 2007 г.), и кроме этого, были рассмотрены фигуры в декартовых системах координат, чьи вершины имеют координаты, равные соответствующим компонентам троек.

Дадим определение основным понятиям.

· Аддитивная тройка - тройка целых чисел (a, b, c), где одно из чисел равно сумме двух других. Натуральной аддитивной тройкой назовём ту, в которой все числа натуральны, мнимой аддитивной тройкой назовём ту, в которой хотя бы одно число неположительное.

· Производная аддитивной тройки первым и вторым способом. Занумеруем переменные циклически. Пусть в некоторый момент i-1, i, i+1 - номера компонент тройки, полученные циклической перестановкой номеров 1, 2, 3, причём такой, что число с номером i равно сумме двух других. Тогда её производная «первым способом» - это тройка чисел, где числа с номерами i, i-1 остаются неизменными, а число с номером i+1 заменяется на сумму двух других. Аналогично, производная вторым способом - это та тройка, где числа с номерами i, i+1 остаются неизменными, а число с номером i-1 заменяется на сумму двух других.

· Производную первым способом от аддитивной тройки T обозначим f(T), а производную вторым способом - g(T).

Например, производные от тройки (1, 2, 3) первым и вторым способом соответственно - это тройки (5, 2, 3) и (1, 4, 3). При этом тройки вида (p+q,p,q) назовём аддитивными тройками 1 рода, тройки вида (p,p+q,q) - аддитивными тройками 2 рода, тройки вида (p,q,p+q) - соответственно аддитивными тройками 3 рода.

· Простейшие тройки - это аддитивные тройки (2,1,1), (1,2,1) и (1,1,2)

· Множество на k-том ходу - это некоторое множество, состоящее из нескольких аддитивных троек. Правила построения этих множеств будут описаны ниже. Каждая аддитивная тройка является либо простейшей тройкой, либо производной от некоторой другой аддитивной тройки.

1. Свойства последовательности

Построим последовательность, и назовём её трёхмерной последовательностью Фибоначчи. Эта последовательность будет состоять из множеств М₁, М₂, … и так далее. Множество М₁ состоит всего из одной аддитивной тройки (2,1,1). Далее строим последовательность следующим образом: Если аддитивная тройка Т содержится в М_i, то её производная первым способом содержится в М_i+1, а производная вторым способом содержится в М_i+2. Кроме этого, множество М₂ дополняется простейшей тройкой (1,2,1), а множество М₃ - соответственно простейшей тройкой (1,1,2).

Понятно, что при этом аддитивные тройки 1 рода лежат в множествах М₁, М₄, М₇, …, М_3k+1, …, аддитивные тройки 2 рода соответственно лежат в множествах М₂, М₅, М₈, …, М_3k+2, …, и, наконец тройки 3 рода - соответственно в множествах М₃, М₆, М₉, …, М_3k, …

Ниже представлено схематическое изображение этой последовательности, в виде таблицы:

Заметим, что начиная с n=3, количество элементов во множестве M_i равняется i-тому числу из последовательности Фибоначчи, умноженному на 2. (|M_i|=2F_i).

Действительно, каждое множество состоит из производных троек предыдущего множества, и предыдущего за ним. Поэтому его мощность равняется сумме мощностей двух предыдущих множеств. Для n3 |M_i|=|M_i-1|+|M_i-2| (Под последовательностью Фибоначчи здесь понимается последовательность F_n, где F₁=F₂=1, F_i+2=F_i+1+F_i, i>1)

Номер той компоненты тройки, которая равняется сумме двух других, соответствует остатку при делении числа q на 3, где q - номер множества, в котором содержится данная тройка.

Свойства трёхмерной последовательности Фибоначчи

Докажем следующие две теоремы:

1. Все числа аддитивной тройки попарно взаимно просты.

2. Любая аддитивная тройка со взаимно простыми компонентами входит в трёхмерную последовательность Фибоначчи, причём ровно один раз.

Доказательство (Теорема 1). Посчитаем наибольший общий делитель любых двух чисел в такой тройке. По алгоритму Евклида, он равен наибольшему общему делителю в предыдущей аддитивной тройке, из которой была образована данная. Так как все такие тройки, в конечном итоге, образуются из простейших троек, в которых любые два числа взаимно просты, то в любой тройке все числа попарно взаимно просты. Теорема доказана.

Доказательство (Теорема 2). Разобьём теорему на два утверждения. Первое утверждение: «Никакая тройка в последовательности не встретится дважды». Второе утверждение: «Любая аддитивная тройка со взаимно простыми компонентами входит в трёхмерную последовательность Фибоначчи».

Обозначим за отношение между двумя числами, сумма которых образует третье число аддитивной тройки (для удобства отношения можно брать циклически, например, если сумма стоит на втором месте в тройке, то берётся отношение третьего числа к первому; а если сумма стоит на первом месте, то рассматривается отношение второго числа к третьему). Так как числа аддитивной тройки попарно взаимно просты, то л можно считать несократимой дробью. Для конкретной тройки M_a[b] известен номер множества, в котором она содержится, значит, можно сказать, на каком месте в тройке стоит сумма. Следовательно (так как числа взаимно просты), из несократимой дроби можно восстановить исходную тройку. Поэтому далее вместо аддитивных троек мы для удобства доказательства будем писать лишь число л. Ясно, что если было выписано число л, то в более нижних рядах будут выписаны числа и . Теперь докажем исходные утверждения. Понятно, что производная «первым способом», то есть f(л) даёт тройку (), а вторым способом, то есть g(л), даёт тройку (). Зная такое число, можно определить (с учётом приведенных неравенств), с помощью какой производной оно было образовано. Действительно, если л<1, то она образована с помощью первой производной, если л>1, то с помощью второй. Если л=1, то эта тройка - простейшая. Итак, для каждой аддитивной тройки мы однозначно восстанавливаем её первообразные вплоть до простейшей тройки. Если бы встретились две одинаковые тройки, то они, с учётом приведенных рассуждений, были бы образованы от одной простейшей, и стояли бы в одном множестве, а значит, совпадали. Поэтому такое невозможно. Первое утверждение доказано. С другой стороны, чтобы доказать второе утверждение, достаточно рассмотреть произвольную дробь и показать, что с помощью приведенных выше преобразований можно получить эту дробь из единицы. Это нетрудно сделать, используя алгоритм Евклида. Если дробь больше единицы, отнимем от неё единицу. Если меньше, то разделим единицу на эту дробь. Так как числа в дроби взаимно просты, то бесконечно такие преобразования выполнять нельзя, поэтому рано или поздно мы придём к единице, а значит, такое число (и соответствующая ему аддитивная тройка) будет содержаться в 3-х мерной последовательности Фибоначчи.

Теорема доказана.

Задача. У трёх математиков написаны на головах натуральные числа, причём одно из них равно сумме двух других. Каждый математик видит два других числа, но не видит своё. Каждого математика спрашивают (по кругу), знает ли он своё число. Докажите, что через некоторое время кто-то из математиков угадает число, написанное у него на лбу, причём это будет тот математик, у которого написана сумма двух других чисел.

Решение. Рассмотрим трёхмерную последовательность, где все числа умножены на одну и ту же натуральную константу a. Назовём ответ каждого математика ходом; числа первого, второго и третьего математика поместим в упорядоченную тройку в соответственном порядке. Нетрудно показать, что множество M_i содержит все возможные тройки на i-том ходу. Докажем это при помощи математической индукции. Для начала, понятно, что если тройка имеет вид (2a,a,a), то математик, видя перед собой два равных числа, определяет, что у него на голове написана не сумма чисел, а их разность. Аналогичное верно для троек (a,2a,a), (a, a, 2a). Теперь положим, что для первых k чисел доказано, что если тройка чисел (делённая на НОД чисел) находится в множестве M_k, то на k-том ходу математик, у которого на голове написана сумма, угадает своё число. Теперь рассмотрим тройку, содержащуюся в множестве M_k+1. Математик с суммой на голове (на k+1 ходу должен отвечать именно он) может рассуждать следующим образом: «Допустим, у меня на голове написана разность. Тогда я могу однозначно определить тройку чисел на наших головах. Но в этом случае ещё на предыдущем ходу математик, стоящий передо мной, угадал бы число, написанное на его голове. Следовательно, на моей голове написана не сумма, а разность». Так как было показано, что все возможные тройки содержатся в этой последовательности, то рано или поздно кто-то из математиков отгадает своё число. Более того, так как на 3k+q-том ходу отвечает q-тый математик, и по свойству последовательности, на q-том месте написана сумма двух других чисел, то угадает своё число именно тот математик, у которого на лбу написана сумма. Итак, задача доказана.

Сами по себе интересны некоторые пункты этой задачи.

· Можем ли мы, то есть «наблюдатели», зная ответ математика, угадавшего своё число, и количество ходов перед правильным ответом, определить все остальные числа?

Посмотрим, когда это возможно. Понятно, что каждая аддитивная тройка содержится в одном из множеств M_i, номер которого легко определяется из количества ходов. От нас требуется показать, что из всех аддитивных троек данного множества можно выбрать всего одну, удовлетворяющую условиям. Для начала, обозначим отношение числа, равного сумме, к ответу математика, через некоторое число p. Найдём его для каждой тройки в отдельности. Ясно, что числа на головах математиков получаются домножением всех чисел тройки на этот множитель. Условием для единственности решения является тот факт, что существует единственная тройка, в которой все три числа целые.

· Предположим, что на головах у математиков написаны произвольные целые числа (но не обязательно одно из чисел равно сумме двух других), но математики играют по тем же правилам, то есть считают, что у одного из них всё же на голове написана сумма. Самое примечательное то, что в конце концов найдётся математик, который будет считать, что отгадал своё число.

Для того, чтобы найти это количество ходов, совершим такое преобразование. Ясно, что всем тройкам в трёхмерной последовательности Фибоначчи можно поставить в соответствие некоторое рациональное положительное число (Причём это соответствие будет взаимно однозначным. Этот факт доказывался в начале работы после введения основных понятий, в доказательстве двух теорем). Если одно из таких чисел будет равняться одному из отношений чисел, записанных на головах математиков, и это число будет стоять в соответствующем множестве (номер должен иметь соответствующую кратность трём), то соответствующий математик будет утверждать, что отгадал своё число.

· Числа на головах у математиков не натуральные, а целые. В этом случае, однако, все возможных тройки ограничиваются тремя частными случаями.

· Математиков не четверо, а больше. В этом случае строится по аналогии 4х-мерная, 5-мерная, и т.д. последовательность Фибоначчи. Решение задачи почти аналогично.

4.2 Фигуры в декартовых системах координат, с вершинами в координатах, равных числам тройки