Многочлены Чебышева и их основные свойства

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНистерство ОБРазования и НАУКИ РОССИи

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО»

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

«Многочлены Чебышева и их основные свойства»

Выполнила:

студентка 3 курса ОЗО ФМФ

направления

«Педагогическое образование»

профиля «Математика»

Ю.М. Симонаева

Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наук

М.М. Сорокина

Брянск 2014



Содержание

Введение

Глава 1. Обозначения, определения и известные результаты, используемые в работе

Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной

Глава 3. Многочлены Чебышева и их основные свойства

3.1 Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева

3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева

Заключение

Список используемой литературы



Введение

Теория многочленов представляет один из центральных разделов современной алгебры. Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности. В XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Позднее Н.Абель и П.Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Э.Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.

Параллельно с этим К.Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). В дальнейшем многие ученые занимались изучением многочленов. Я.Бернулли, Э.Безу, У.Горнер, Ж.Лагранж, П.Чебышев, С.Эйзенштейн, Д.Гильберт и многие другие известные математики открыли немало нового и удивительного о многочленах, ставшего впоследствии привычным и обыкновенным.

В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Современная математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а₀, а₁, …, а_n являются объектами произвольной природы, а не только числами. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т.д.).

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе. Изучение многочленов обогатило математику, позволило расширить понятие числа и доказать основную теорему алгебры.

Среди многочленов от одной переменной важное место занимают многочлены Чебышева. Чебышев Пафнутий Львович - великий русский математик и механик, академик Петербургской Академии наук. В научном наследии П.Л. Чебышева насчитывается более 80 работ. Математические достижения П.Л.Чебышева в основном получены в следующих областях: теория чисел, теория вероятностей, проблема наилучшего приближения функций и общая теория многочленов, теория интегрирования функций. П.Л.Чебышев открыл класс специальных многочленов, носящих его имя и в наши дни. Многочлены Чебышева, Чебышева-Лагерра, Чебышева-Эрмита и их разновидности играют большую роль в математике и в разнообразных приложениях. Чебышевская теория наилучшего приближения функций многочленами находит применение в решении геодезических и картографических задач, в решении алгебраических уравнений. В рассматриваемой теории Чебышева содержатся идеи общей теории ортогональных многочленов.

В курсовой работе изучаются основные положения теории многочленов. Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Глава 1 носит вспомогательный характер. Здесь приводятся все используемые в работе определения и обозначения. Основное содержание курсовой работы представлено в главах 2 и 3. Глава 2 посвящена изучению основных положений теории многочленов от одной переменной. В главе 3 проводится исследование многочленов Чебышева. Данная глава состоит из 2 разделов. В первом разделе рассматривается определение и изучаются простейшие свойства многочленов Чебышева. Второй раздел посвящен исследованию основных теорем о многочленах Чебышева. Автором курсовой работы изучены и детально изложены центральные результаты о многочленах Чебышева, представленные в книге В.В. Прасолова «Многочлены» [1].



Глава 1. Обозначения, определения и известные результаты, используемые в работе

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве называется правило или закон, по которому любым двум элементам из , необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставится в соответствие единственный элемент из .

Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом.

Определение 1?. Бинарной алгебраической операцией на множестве называется отображение . Вместо пишут . Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают символами и другими.

Определение 2. Непустое множество с определённой на нём бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1) операция ассоциативна на , т.е.

;

2) в существует нейтральный элемент относительно операции , т.е.

;

3) для каждого элемента из в существует симметричный ему элемент относительно операции , т. е. .

Определение 3. Группа относительно операции называется абелевой, если операция коммутативна на , т. е. .

Определение 4. Группа относительно операции сложения называется аддитивной.

Определение 5. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной.

Определение 6. Непустое множество с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):

1. - аддитивная абелева группа, т.е.

а) ассоциативность сложения на

;

б) ;

в) ;

г) коммутативность сложения на

.

2. В выполняются дистрибутивные законы, т.е.

а) - правый дистрибутивный закон,

б) - левый дистрибутивный закон.

Определение 7. Кольцо называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на , т.е. .

Определение 8. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на , т.е. .

Определение 9. Кольцо называется ассоциативно-коммутатитвным, если - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.

Определение 10. Кольцо называется кольцом с единицей, если в существует единичный элемент, т.е. .

Определение 11. Элементы и кольца называются делителями нуля, если , но .

Определение 12. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

Определение 13. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элементы и кольца называются ассоциированными в и обозначаются , если и .

Определение 14. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элемент называется обратимым в кольце , если в кольце найдется обратный к нему элемент, т.е. такой элемент , что . Иначе, элемент называется необратимым элементом .

Определение 15. Полем называется ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим.

Определение 15'. Непустое множество с определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями и называется полем, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля):

1. - аддитивная абелева группа, т.е.

а) ассоциативность операции , т.е.

;

б) ;

в) ;

г) коммутативность операции , т.е. .

2. В выполняются дистрибутивные законы, т.е.

а) - правый дистрибутивный закон;

б) - левый дистрибутивный закон.

3. - мультипликативная абелева группа, т.е.

а) ассоциативность операции , т.е.

;

б) ;

в) ;

г) коммутативность операции , т.е. .

Определение 16. Множество называется числовым, если .

Определение 17. Поле называется числовым, если оно является числовым множеством, т.е. .



Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной

Определение 1. Пусть и - ассоциативно-коммутативные кольца с единицами. Кольцо называется простым расширением кольца с помощью элемента , если выполняются следующие условия:

1) - подкольцо кольца ;

2) , и записывают .

Определение 2. Простое расширение называется простым трансцендентным расширением кольца , если выполняется следующее условие: из равенства следует, что . Элемент в этом случае называется трансцендентным элементом над (относительно ).

Лемма 1. Пусть - простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей,. Если

и

,

то и .

Лемма 2. Пусть и - простые трансцендентные расширения ассоциативно-коммутативных колец и с единицами. Если и - изоморфизм на , то , причем существует единственный изоморфизм кольца на , который переводит элемент в элемент (т.е. ) и продолжает изоморфизм .

Следствие 2.1. Пусть и - простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей. Тогда .

Лемма 3. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, и лишь конечное число . Тогда множество является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей относительно операций, заданных по правилу:

1)

2) где

и т.д.,

Теорема 1. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда для существуют простые трансцендентные расширения, причём любые 2 из них изоморфны.

Замечание. Кольцо , построенное в лемме 3, и являющееся простым трансцендентным расширением кольца согласно теореме 1, называется кольцом многочленов (полиномов) от одной переменной (неизвестной) над кольцом и обозначается . Элементы кольца называются многочленами (полиномами) над кольцом от переменной .

Пусть, например, , причём (ввиду теоремы 1). Тогда - свободный или постоянный член многочлена , - старший коэффициент многочлена .

Определение 3. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, Число называется степенью многочлена и обозначается , т.е. (степень многочлена - это степень переменной при старшем коэффициенте).

Определение 4. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0. По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. . Таким образом, если , то (.

Теорема 2. Пусть - ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, . Тогда:

1) ;

2) .

Следствие 2.1. Пусть - область целостности. Тогда .

Теорема 3. Если - область целостности, то - область целостности.

Теорема 4. Пусть - область целостности. Тогда для существует поле частных.

Определение 5. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен , если и обозначается или .

Простейшие свойства отношения делимости в :

1) рефлексивность ;

2) транзитивность и ;

3) и ;

4) ;

5).

Определение 6. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (т.е. ), . Элемент называется значением многочлена в точке (на элементе ) и обозначается , то есть .

Теорема 5 (теорема Безу). Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда существует такой, что .

Доказательство. Пусть . Тогда .

Таким образом, , где . Теорема доказана.

Определение 7. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, . Элемент называется корнем многочлена , если .

Следствие 5.1. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда - корень делится на .

Следствие 5.2. При делении многочлена на получается остаток , равный .

Теорема 6. Пусть - область целостности, , . Тогда многочлен имеет не более попарно различных корней. Другими словами, любой ненулевой многочлен -й степени над областью целостности имеет не более попарно различных корней.

Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру .

1) Пусть не имеет корней, т.е. имеет нуль корней и значит - верно.

2) Пусть . Предположим, что утверждение верно при .

3) Докажем, что утверждение верно при : . Если не имеет корней, то число корней равно и - верно. Пусть имеет хотя бы один корень и - корень такой, что . Тогда по теореме Безу , где , причём по пункту 2) имеет не более попарно различных корней.

Покажем, что все корни многочлена , отличные от , являются также корнями многочлена . Пусть - корень ,
, т.е. так как - область целостности) - корень . Таким образом, многочлен имеет корень , а все остальные корни многочлена являются также корнями многочлена . Так как имеет не более попарно различных корней, то многочлен имеет не более, чем попарно различных корней.

Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого . Теорема доказана.

Следствие 6.1. Пусть - область целостности, . Если многочлен имеет более попарно различных корней, то является нулевым многочленом.

Определение 8. Пусть , , где - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены и называются алгебраически равными, если , .

Определение 9. Многочлены и из называются функционально равными, если , , т.е. значения многочленов и в любой точке кольца совпадают.

Теорема 7. Пусть - бесконечная область целостности,. Многочлены и алгебраически равны и равны функционально.

Теорема 8. Пусть - поле, . Тогда существуют единственные многочлены такие, что , причем .

Определение 10. Пусть - поле, . Многочлен называется наибольшим общим делителем многочленов и (или коротко, НОД и ) и обозначается , если выполняются два условия:

1) - общий делитель многочленов и , т.е. и ;

2) делится на любой общий делитель многочленов и , т.е. если и , то .

Лемма 4. Пусть - поле, , и . Тогда НОД многочленов и и НОД многочленов и ассоциированы, т.е. .

Лемма 5. НОД двух многочленов определяется однозначно с точностью до ассоциированности.

Определение 11. Пусть - поле, . Многочлен называется наименьшим общим кратным многочленов и (или коротко, НОК и ) и обозначается , если выполняются два условия:

1) - общее кратное многочленов и , т.е. и ;

2) делит любое общее кратное многочленов и , т.е. если и , то .

Лемма 6. НОК двух многочленов определяется однозначно с точностью до ассоциированности.

Пусть - поле, . Для нахождения НОК многочленов и применяется следующая формула: .

Теорема 9 (теорема о линейном представлении НОД). Пусть - поле, , , . Тогда .

Определение 12. Пусть - поле, , . Многочлен вида называется формальной производной многочлена и обозначается .

Нетрудно проверить, что формальная производная многочлена удовлетворяет следующим свойствам:



1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Определение 13. Многочлен положительной степени над полем называется неприводимым над, если он не допускает представления в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Определение 14. Многочлен положительной степени над полем называется приводимым над , если он допускает представление в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Лемма 7. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.

Лемма 8. Пусть - поле, - неприводимые над многочлены. Если , то .

Замечание 1. Пусть - поле. Тогда - область целостности - область целостности все элементы области целостности подразделяются на 4 вида:

=

Замечание 2. Поскольку НОД и НОК многочленов определяются однозначно с точностью до ассоциированности, то многочлены и являются взаимно простыми .

Замечание 3. Пусть - неприводимый над многочлен. Если , то либо , либо .

Лемма 9. Пусть - поле, , - неприводимый над многочлен. f p и взаимно просты.

Лемма 10. Пусть - поле, , - неприводимый над многочлен. Если , то хотя бы из множителей делится на , то есть .

Теорема 10. (Основная теорема о многочленах). Любой многочлен положительной степени над полем допускает представление в виде произведения неприводимых над многочленов, причем такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности.

Доказательство. 1) Существование. Пусть и . Доказательство проведем методом математической индукции по параметру .

1. Пусть неприводим над - искомое представление.

2. Допустим, что утверждение верно для любого многочлена положительной степени над полем .

3. Докажем утверждение для многочлена . Если неприводим над , то - искомое представление. Пусть приводим над

, где и и - представление и в виде произведения неприводимых над многочленов - искомое представление.

Из 1-3 по методу математической индукции утверждение верно для любого .

2) Единственность. Пусть и - требуемые представления . Так как , то либо , либо . Пусть, например, . Так как левая часть делится на , то по лемме 4 хотя бы один из множителей делится на . Так как множители можем менять местами, то будем считать, что по лемме 8 и по замечанию 3 , где , . Так как левая часть делится на , то, как и выше, получим и , где , причем и т.д., через конечное число шагов получим . Допустим, что противоречие . Таким образом, представление многочлена в виде требуемого произведения определяется однозначно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности. Теорема доказана.

Определение 15. Пусть - поле. Многочлен называется нормированным или приведенным, если .

Следствие 10.1. Любой многочлен положительной степени над полем допускает представление в виде: , где , - неприводимые над нормированные многочлены.

Определение 16. Пусть , - поле, . Представление многочлена в виде , где , - попарно различные неприводимые над полем нормированные многочлены, , называется каноническим представлением многочлена , число называется кратностью множителя . Если , то называется простым неприводимым множителем многочлена .

Определение 17. Пусть , - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, - корень . Число называется кратностью корня многочлена , если , но .

В этом случае пишут - данная запись означает, что - это наибольшая степень , которая делит .

Теорема 11. Пусть - несократимая рациональная дробь. Если - корень , то .

Доказательство. Так как - корень , то , то есть:

. Так как , то . Так как , то .

Теорема доказана.

Следствие 11.1. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами являются его целыми корнями.

Следствие 11.2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного числа.

Теорема 12. Пусть , , - несократимая рациональная дробь. Если - корень , то , .

Следствие 12.1. Пусть , - несократимая рациональная дробь. Если - корень , то , .



Глава 3. Многочлены Чебышева и их основные свойства

3.1 Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева

многочлен чебышев корень переменная

Определение 1. Многочлены , где , определенные рекуррентным соотношением и начальными условиями и называют многочленами Чебышева.

Определение многочленов Чебышева основано на том, что полиномиально выражается через , т.е. существует такой многочлен , что при .

Формула показывает, что многочлены , определенные рекуррентным соотношением и начальными условиями и , обладают нужным свойством.

Непосредственно из того, что при , следует, что при . А из рекуррентного соотношения следует, что , где - целые числа.

Теорема 1. Пусть - многочлен степени со старшим коэффициентом 1, причем при .

Тогда . Другими словами, многочлен - наименее уклоняющийся от нуля на интервале многочлен степени со старшим коэффициентом 1.

Доказательство. Воспользуемся свойством многочлена , а именно тем, что при . Рассмотрим многочлен . Его степень не превосходит , поскольку старшие члены многочленов и равны. Из того, что при , следует, что в точке

знак числа cовпадает со знаком числа . Таким образом, в концах каждого отрезка многочлен принимает значения разного знака. Поэтому у многочлена на этом отрезке есть корень. В случае, когда , либо - двукратный корень, либо внутри одного из отрезков и есть еще один корень. Это следует из того, что в точках и мнгочлен принимает значения одного знака (рис.1).

Рис.1

Количество отрезков равно , поэтому многочлен имеет по крайней мере корней. Для многочлена степени не более это означает, что он тождественно равен нулю, т.е. . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть . Тогда

Доказательство. Поскольку , то и . Следовательно, .

Пусть и . Тогда и

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть - нечетное простое число. Тогда

.

Доказательство. Запишем в виде . Тогда

Если , то делится на . Поэтому

. Следствие доказано.

Определение 2. Композиция многочленов и определяется равенством .

Определение 3. Многочлены и называются коммутирующими, если , т.е. .

Теорема 3. Многочлены и коммутирующие.

Доказательство. Пусть . Тогда и . Поэтому . Аналогично . Таким образом, равенство выполняется при , а значит, это равенство выполняется при всех . Теорема доказана.

Определение 4. Пусть , где и . Говорят, что пара многочленов и эквивалентна паре многочленов и .

Теорема 4 (Ритт). Пустьи - коммутирующие многочлены. Тогда пара многочленов и эквивалентна одной из следующих пар:

(1) игде

(2) игдеи - многочлены Чебышева;

(3) игде

Теорема 4 была доказана в 1922 году американским математиком Риттом; все известные ее доказательства весьма сложные. Современное изложение доказательства теоремы Ритта приведено в книге Прасолова В.В., Шварцмана О.В. [13].

В некоторых случаях вместо многочлена рассматривают многочлен со старшим коэффициентом 1. Многочлены удовлетворяют рекуррентному соотношению . Поэтому - многочлен с целыми коэффициентами.

Если , то и . Следовательно, , т.е. многочлен соответствует полиномиальному выражению величины через .

С помощью многочленов можно доказать следующее утверждение.

Теорема 5. Если оба числа и рациональны, то число целое, т.е..

Доказательство. Пусть - несократимая дробь и , где . Тогда . Поэтому - корень многочлена с целыми коэффициентами. Пусть - несократимая дробь. Тогда , и значит, делится на . Однако числа взаимно простые. Поэтому , т.е. - целое число. Теорема доказана.

3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева

Определение 5. Многочлены называют ортогональными многочленами на отрезке с весовой функцией , если и при .

В пространстве многочленов степени не более задают скалярное произведение формулой .

Ортогональные многочлены образуют ортогональный базис в пространстве с таким скалярным произведением.

Если задан отрезок и весовая функция, то ортогональные многочлены определены однозначно с точность до пропорциональности. В самом деле, они получаются в результате ортогонализации базиса

Наиболее известны следующие ортогональные многочлены:

			Название
-1	1	1	многочлены Лежандра
-1	1		многочлены Гегенбауэра
-1	1		многочлены Якоби
			многочлены Эрмита
0			многочлены Лагерра

Теорема 6. Многочлены Чебышева образуют ортогональную систему многочленов на отрезке с весовой функцией .

Доказательство. Сделаем замену . Получим

при . Теорема доказана.

Следствие 2. Если - многочлен степени и



при , то , где - некоторое число.

Доказательство. В пространстве со скалярным произведением

ортогональное дополнение к подпространству, порожденному многочленами , порождено многочленом Чебышева . Следствие доказано.

Теорема 7. Многочлены Чебышева можно вычислять по формуле

.

Доказательство. Индукцией по доказывается, что при , где - многочлен степени , причем , и

при .

Следовательно, - многочлен степени .

Проверим, что , т.е.

при . Интегрируя по частям получаем

Первое слагаемое равно нулю, так как при . Затем интегрируем по частям второе слагаемое и т.д. Чтобы в конце концов получить нуль, необходимо проинтегрировать по частям раз. При этом на последнем шаге возникнет дифференциал . Это означает, что число должно быть неотрицательно, т.е. .

Остается проверить, что . Для этого вычисляют . Действительно, что при рекуррентное соотношение

принимает вид . Таким образом,

. Кроме того, . Теорема доказана.

Теорема 8. Пусть многочлен , где , таков, что при . Тогда при .

Доказательство. Воспользуемся тем, что при , . Многочлен полностью определяется значениями .

Где

Дифференцируя раз соотношение (1), получим



Так как , то

Многочлен в точке принимает значение . Поэтому

Кроме того, . Далее, при знак числа не зависит от . Действительно, все корни многочлена принадлежат отрезку . Поэтому все корни многочлена также принадлежат этому отрезку. Следовательно, при и при .

В итоге при получаем

В этом случае из неравенства (2) следует, что Теорема доказана.

Теорема 9. Пусть многочлен , где , таков, что при . Тогда .

Доказательство. Так как , где , то по теореме 8 при получим . Теорема доказана.

Теорема 10. При и при выполняется неравенство .

Доказательство. Для многочлена выполняется условие теоремы 8. Поэтому . Теорема доказана.

Теорема 11. При выполняется неравенство
.

Доказательство. Пусть . Рассмотрим многочлен . Проверим, что многочлен удовлетворяет условию теоремы 8, т.е. что при . При вещественном функция зависит только от , причем если , то монотонно возрастает с возрастанием . Кроме того,

при . Следовательно, если и , то .

Согласно теореме 8 при выполняется неравенство , т.е. . Теорема доказана.

Определение 6. Для последовательности функций рассматривают ряд . Если радиус сходимости данного ряда положителен, то функцию называют производящей функцией последовательности .

Теорема 12. При и выполняются следующие равенства:

(а)

(б) .

Доказательство.

а) Пусть . Тогда . Поэтому . Кроме того,

при . Следовательно,

Теорема доказана.

б) Продифференцировав по обе части равенства (а), получим

Следовательно,

Теорема доказана.

Теорема 13. Пусть и . Тогда

Доказательство. Согласно теореме 12 (а),

Поэтому

Суммирование ведется до тех пор, пока . Поэтому . Теорема доказана.

Для многочлена :

где

При выполняется равенство

а при выполняется равенство

Таким образом, если , а при многочлены задаются формулой (1), то выполняется соотношение

где

Соотношения (1) и (2) можно записать следующим образом. Пусть и , где - некоторое фиксированное число. Тогда



(при второе соотношение принимает вид ). Покажем, что соотношения (3) эквивалентны не только для указанных последовательностей, но и для произвольных последовательностей. Заметим, что первое соотношение имеет вид , а второе соотношение имеет вид . Поэтому каждое соотношение однозначно определяет как последовательность по последовательности , так и последовательность по последовательности . Для последовательностей , , где и - фиксированные наборы чисел, соотношения (3) эквивалентны, поскольку они эквивалентны для последовательностей , . Проверим, что для любой последовательности можно подобрать такие числа и , что

при . Выберем произвольные попарно различные числа . Тогда для чисел получим систему линейных уравнений с определителем

Эта система уравнений имеет решение при любых .

Соотношение (3) позволяют получать нетривиальные тождества с биномиальными коэффициентами. Пусть, например, при всех . Тогда



Данные тождества получаются из разложений и по биному Ньютона. В таком случае соотношение

принимает вид



Заключение

В курсовой работе

ѕ изучены основные понятия теории многочленов от одной переменной (многочлен, степень многочлена, нулевой многочлен, неприводимый (приводимый) над полем многочлен, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов над полем, каноническое представление многочлена, корень многочлена, кратность корня многочлена и др.), приведены примеры многочленов (многочлены над числовыми полями), рассмотрены основные свойства многочленов от одной переменной (свойства кольца многочленов над областью целостности, свойства степени многочлена, свойства неприводимых многочленов над полем и др.);

ѕ изучены и детально изложены центральные результаты о многочленах Чебышева: теорема Чебышева о наименее уклоняющемся от нуля на интервале [-1,1] нормированном многочлене, теоремы о вычислении значений многочлена Чебышева, теорема о свойстве коммутирования многочленов Чебышева, теорема об эквивалентных парах многочленов, теорема об ортогональности системы многочленов Чебышева, теоремы о неравенствах для многочленов Чебышева).



Список используемой литературы

1. Прасолов В.В. Многочлены. - М.: МЦНМО, 2001.

2. Винберг Э.Б. Курс алгебры. - М.: МЦНМО, 2011.

3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Оникс, 2012.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. В 3-х частях. Часть 1: Основы алгебры: учебник. - М.: МЦНМО, 2009.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. В 3-х частях. Часть 2: Линейная алгебра: учебник. - М.: МЦНМО, 2012.

6. Кострикин А.И. Введение в алгебру. В 3-х частях. Часть 3: Основные структуры алгебры: учебник. - М.: МЦНМО, 2009.

7. Курош А.Г. Основы высшей алгебры. - СПб.: Лань, 2011.

8. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. - СПб.: Лань, 2007.

9. Родина М.А., Солодовников А. С. Задачник-практикум по алгебре. - М.: Просвещение, 1986.

10. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - СПб.: Лань, 2007.

11. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. - СПб.: Лань, 2008.

12. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. - СПб.: Лань, 2009.

13. Прасолов В.В., Шварцман О.В. Азбука римановых поверхностей. - М.: Фазис, 1999.

Размещено на Allbest.ru