Значення критерію Стьюдента для рівня довірчості Р = 0,95

де n - число дослідів, k - число констант, що визначаються із них.

Довірчі границі a і b для цих коефіцієнтів обчислюються за формулами:

a = t • Sa;

b = t • Sb. (1.19)

Коефіцієнти рівняння значущі, якщо виконуються умови a>a і b>b.

Після визначення коефіцієнтів регресії та оцінки їхньої значущості (по абсолютній величині) перевіряють адекватність самого рівняння регресії. Відхилення розрахункового значення від експериментального yi може мати місце або тому, що обрана модель недосконала, або внаслідок випадкових похибок. Тому статистична оцінка адекватності проводиться по F-критерію:

Fексп = , (1.20)

при числі ступенів свободи чисельника n-2, а знаменника n (m-1). Тут дисперсія відтворності при вимірі величини y або вибіркова дисперсія.

Значення критерію Фішера для рівня довірчості Р = 0,95 приведені в табл. 1.2.

Таблиця 1.2 Значення критерію Фішера для рівня довірчості Р = 0,95

Розглянемо тепер рівняння нелінійної регресії y= а + bx3

Задану нелінійну залежність y=а + bx3 необхідно попередньо привести до лінійного виду. Зробимо заміну X = x3 отримаємо лінійну залежність:

y= a + bX

За допомогою програми mnk знайдемо значення Xi, yi, X, y, Xi yi (табл.2.4)

Таблиця 2.4 Результати обчислень для залежності y = a + bX

Знаходимо значення коефіцієнтів нормальних рівнянь:

8a + 13,8b = 50,4;

= 1,577+2,738 X

По цьому рівнянню обчислюємо значення в кожній точці (табл. 2.4).

Розраховуємо дисперсію адекватності моделі:

S = = 0,59295

Тепер для оцінки значимості коефіцієнтів рівняння регресії визначимо дисперсії і :

S = =0,0989;

S = =0,3647;

Знаходимо довірчі границі а і b:

a = 0,6039;= 1,4796

b = 0,3145= 0,77298

Так як по абсолютному розміру а >а и b>b, то коефіцієнти рівняння а значущій і b значущі.

Отже, нелінійна залежність має вигляд :

= 1,577+2,738(x)1/2

По цьому рівнянню обчислюємо значення в кожній точці (табл. 2.5 ).

Таблиця 2.5

Розраховуємо дисперсію адекватності моделі:

S = = 0,03601

y = 0,02*50,4/8=0,126

S = 2*(0,126)^2=0.0318

Критерій Фішера у даному випадку:

Fексп = = 1.1324

По табл. 2,2 F6,1 = 234. Оскільки Fексп<Fтабл, то дана модель адекватна результатам експерименту. Це очевидно і по розмірах обчислених значень , що значно відрізняються від експериментальних

2.5 Параболічна інтерполяція

Використовуючи метод параболічної інтерполяції визначимо необхідну ступінь поліному, його коефіцієнти і значення параметрів у зазначених невузлових точках по вихідним даним 2. Складемо по кожній заданій температурі для кожного параметру поліном починая з першого ступеню.

1) При Т=475К знайдемо , складемо поліном першого порядку. Для цього виберемо з таблиці експериментальних даних (див. вихідні дані 2) 2 точки між якими знаходиться задана Т. Та складемо систему нормальних рівнянь. Поліном першого ступеню прийме вид:

108=y=a0+a1x

де x=T.

Дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=2795; y1=3012.

Система нормальних рівнянь прийме вид:

Рішати усі системи нормальних рівнянь ми будемо за допомогою прикладної програми GZ1.EXE (дивись додаток 2), зокрема і цю систему, коефіцієнкти якої приймуть значення:

a0=841,99; a1=4,34.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню 108=y=841,99+4,34x=2903,49, звідси =2903,49 Пас.

Ступінь поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо аналогічно попередньому прикладу.

Поліном другого ступеню прийме вид:

108=y=a0+a1x+a2x2;

Оберемо три точки найближче розташовані коло заданого х=Т=475

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=2795; y1=3012; y2=3217.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=301,99; a1=6,62; a2= -0,0024.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном другого ступеню 108=y=301,99+6,62x+(-0,0024)x2=2904,99, звідси =2904,99Пас

Тепер перевіримо похибку за формулою , коли <5, тоді даний поліном найменшого порядку нам підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі.

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=841,99; a1=4,34 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К, =2903,4910Пас.

2) Аналогічно розраховуємо для Т=475К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

104=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=370; y1=404.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=366,63; a1=0,075.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню 104=y=366,63+0,075x=402,255 , звідси =402,255 Вт/(мК)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

104=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=370; y1=404; y2=439.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=109; a1=0,49; a2=0.00019.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=530 у поліном другого ступеню 104=y=109+0,49x+0.00019x2=384,61, звідси =384,61Вт/(мК)

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=366,63; a1=0,075; підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К, =402,255 Вт/(мК)

3) Аналогічно розраховуємо для Т=475К, Ср=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Ср=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=0,957; y1=0,973.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,813; a1=0,00032.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню Ср=y=0,813+0,00032x=0,965, де Ср=0,965 кДж/(кгК)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Ср=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=0,957; y1=0,973; y2=0,988.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,768; a1=0,0005; a2= -0.00000019.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном другого ступеню Cp=y=0,768+0,0005x+(-0.00000019)x2=0,963, де Ср=0,963 кДж/(кгК)

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=0,813; a1=0,00032 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К, Ср=0,965 кДж/(кгК)

4) Аналогічно розраховуємо для Т=315К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

108=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350;

y0=2057; y1=2321.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=472,9998; a1=5,28.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню108=y=472,9998+5,28x=2136,19, звідси =2136,19Пас.

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

108=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350; x2=400;

y0=2057; y1=2321; y2=2566.

Складемо систему нормальних рівнянь

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=74; a1=7,75; a2= -0.0038.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном другого ступеню 108=y=74+7,75x-0.0038x2=2138,19, звідси =2138,19 Пас.

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=472,9998; a1=5,28 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=315К, =2136,19Пас

5) Аналогічно розраховуємо для Т=315К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

104=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350;

y0=262; y1=299.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=40; a1=0.74.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню 104=y=40+0.74х=273,1, звідси =273,1 Вт/(мК)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

104=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=3500; x2=400;

y0=262; y1=299; y2=334.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0= -2; a1=1; a2=0.00039.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном другого ступеню 104=y=(-2)+x+0.00039x2=274,3 , звідси =274,3Вт/(мК)

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=40; a1=0.74 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=315К, =273,1Вт/(мК)

6) Аналогічно розраховуємо для Т=315К, Cp=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Cp=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350;

y0=0,920; y1=0,929.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,866; a1=0.0001.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню Cp=y=0,866+0.0001х=0,8975, де Ср=0,8975кДж/(кгК)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Cp=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350; x2=400;

y0=0,920; y1=0,929; y2=0,942.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,9492; a1=-0,00034; a2=0,0000008.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315К у поліном другого ступеню Cp=y=0,9492+( -0,00034)x-0.0000008x2=0,9222, де Ср=0,9222 кДж/(кгК)

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=0,866; a1=0,0001 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=315К, Ср=0,8975 кДж/(кгК)

7) Аналогічно розраховуємо для Т=675К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

108=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=600; x1=650;

y0=3414; y1=3603.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=1146; a1=3,78.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=675 у поліном першого ступеню 108=y=1146+3,78x=3697,5 , звідси =3,69710-5 Пас.

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

108=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=600; x1=650; x2=550;

y0=3414; y1=3603; y2=3217.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=521,99; a1=5,78; a2=-0.0016.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=675 у поліном другого ступеню 108=y=521,99+5,78x+(-0.0016)x2=3694,49 , звідси =3,69410-5 Пас.

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=1146; a1=3,78 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=675К =3,69710-5 Пас

8) Аналогічно розраховуємо для Т=675К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

104=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=600; x1=650;

y0=509; y1=473.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=40,99; a1=0,72.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=750 у поліном першого ступеню 104=y=40,99+0,72x=526,99, звідси =5,269910-2 Вт/(мК)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

104=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=600; x1=650; x2=550;

y0=473; y1=509; y2=439.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=197; a1=0,22; a2=0.00039.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=675 у поліном другого ступеню 104=y=197+0.22x+0.00039x2=523,99, звідси =5,239910-2 Вт/(мК)

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=40,99; a1=0,72 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=675К =5,269910-2 Вт/(мК)

9) Аналогічно розраховуємо для Т=675К, Cp=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Cp=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=650; x1=600;

y0=1,018; y1=1,004.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,8359; a1=0.00028.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=750 у поліном першого ступеню Cp=y=0,8359+0.00028x=1,0249, де Ср=1,0249кДж/(кгК)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Cp=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=650; x1=600; x2=550;

y0=1,018; y1=1,004; y2=0,988.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,68; a1=0.00078; a2=-0.00000039.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=750 у поліном другого ступеню Cp=y=0,68+0.00078x+0.00000039x2=1,0289, Ср=1,0289кДж/(кгК)

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=0,8359; a1=0.00028 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=675К Ср=1,0249кДж/(кгК)

2.6 Метод Лагранжа

Використовуючи метод Лагранжа знайдемо , і Ср при заданій T.

1)При Т=475К знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2. При рішені цієї задачи можна використати пркладну програму LAGRANG.EXE (див. Додаток 3), що ми і зробимо.

Оберемо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=2795; y1=3012.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такі результати 108=y=2903,5, де =2,90310-5 Пас

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Оберемо три точки найближче розташовані коло заданого х=Т=530

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=2795; y1=3012; y2=3217.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такі результати 108=y=2905, де =2,90510-5 Пас

Тепер перевіримо похибку

Так як похибка <5, то візьмемо результати отримані за меншим рівнем порядку многочлену при Т=475К =2,90310-5 Пас, тобто многочлен n=1 добре описує експериментальні дані на деякому відрізку.

2) При Т=475К знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=370; y1=404.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат 104=y=387, де =3,8710-2Вт/(мК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=370; y1=404; y2=439

Введемо їх у програму , також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат 104=y=386,875 де =3,8687510-2Вт/(мК)

Так як похибка <5, то при Т=475К =3,8710-2Вт/(мК)

3) При Т=475К знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=0,957; y1=0,973;

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат Ср=y=0,965, де Ср=0,965 кДж/(кгК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=0?957; y1=0,973; y2=0,988.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат Ср=y=0,9651, де Ср=0,9651 кДж/(кгК)

Так як похибка <5, то при Т=475K Ср=0,965 кДж/(кгК)

4) При Т=315K знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350;

y0=2057; y1=2321.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=315 та отримаємо такий результат 108=y=2136,2, де =2,136210-5 Пас

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350; x2=400;

y0=2057; y1=2321; y2=2566

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=315 та отримаємо такий результат 108=y=2138,1951, =2,138210-5 Пас

Так як похибка <5, то при Т=315K =2136,210-5 Пас

5) При Т=75 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100;

y0=130.3; y1=227.9

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат 104=y=203,500, де =2,03510-2Вт/(мК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100; x2=200;

y0=130.3; y1=227.9; y2=352.4.

Введемо їх у програму та отримаємо такий результат 104=y=200,9781, де =2,009710-2Вт/(мК)

Так ак похибка <5, то при Т=75С =2,03510-2 Вт/(мК)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати 104VII=199,31, де =199,31 Вт/(мК)

6) При Т=75 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількістькрапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100;

y0=1.44; y1=1.842.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат Ср=y=1,7415, де Ср=1,7415 кДж/(кгК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100; x2=200;

y0=1.44; y1=1.842; y2=2.223.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат Ср=y=1,7435, де Ср=1,7435 кДж/(кгК).

Так ак похибка <5, то при Т=75С Ср=1,7415 кДж/(кгК).

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати СрVII=1,74, де Ср =1,74 кДж/(кгК)

7) При Т=750 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600;

y0=2370; y1=2120

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 108=y=2495, де =2,49510-5Пас

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600; x2=500;

y0=2370; y1=2120; y2=1880

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 108=y=2498,75, де =2,49810-5Пас

Так як похибка <5, то при Т=750С =2,49510-5 Пас

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати 108VII=2188,0105, де ?=2,1880 10-5Пас

8) При Т=750 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600;

y0=1330; y1=1081

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 104=y=1454,5, де =14,54510-2Вт/(мК)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600; x2=500;

y0=1330; y1=1081; y2=864.1.

Введемо їх у програму , також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 104=y=1466,5375, де =14,665310-2Вт/(мК)

Так як похибка <5, то при Т=750С =14,54510-2Вт/(мК)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати 104VII=1432,7455, де =14,327410-2Вт/(мК)

9) При Т=750 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600;

y0=3.956; y1=3.608

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат Ср=y=4,13, де Ср=4,13 кДж/(кгК).

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600; x2=500;

y0=3.956; y1=3.608; y2=3.273.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат Ср=y=4,1349, де Ср=4,1349 кДж/(кгК)

Так як похибка <5, то при Т=750С Ср=4,13 кДж/(кгК)

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати СрVII=4,0264, де Ср= 4,0264 кДж/(кгК)

Таблиця 2.12 Сводна таблиця значень отриманих по метадам Лагранжу та параболічної інтерполяції

При заданій температурі ми знаходимо такі фізичні властивості як теплоємність, вязкість та, використовуючи такі методи обробки експериментальних даних, як метод параболічної інтерполяції і метод Лагранжу. Використовуючи перший метод відповідно виявили, що поліном першого ступеню підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку, розрахувавши коефіцієнти поліному знайшли при відповідному Т відповідне значення фізичної властивості. При використанні методу Лагранжа усі розрахунки робили на ВМС, на спеціальної прикладної програми LAGRANG.EXE. Починали з використання многочлена n=1, де використовується 2 точки найбільш близько розташовані коло заданої незалежної змінної. Вводимо до програми 2 точки, задану температуру, тобто незалежну змінну, та отримуємо результат відповідної фізичної властивості при заданій температурі. Аналогічно пророблюємо усе для многочлена n=2, де кількість точок повинна бути 3. Отримані результати по 2 і 3 точкам при заданій незалежній змінній порівнюємо, розраховуємо похибку і якщо вона буде менше 5, то многочлен n=1 нам підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку. Якщо ні, то порядок многочлена підвищуємо на 1, тобто вже потрібно використовувати 3 точки, і аналогічно розраховуємо далі. Отримані результати порівнюємо з попереднім результатом отриманим при використанні многочлена n=2. Розраховуємо похибку і робимо це до тих пір доки похибка не буде менша 5 %, тоді многочлен меншого ступеню нам підійде. Уданому випадку многочлен n=1 добре підходить для всіх заданих незалежних змін (температур) для находження відповідних фізичних властивостей. Також до програми ми вводили 3 точок, тобто многочлен n=2, і ввели задану температуру, та отримали результати відповідних фізичних властивостей. Порівнявши отримані результати методом параболічної інтерполяції, де поліном 1 ступеню підходить для усіх заданих Т, і метод Лагранжу, де многочлен n=1 підходить для усіх заданих Т, також порівняли результати отримані методом Лагранжу, з використанням многочлена n=2, де кількість точок дорівнює 3 (дивись Табл. 2.12). Виявили, що результат в методі параболічної інтерполяції з використанням поліному першого ступеню і результати в методі Лагранжу з використанням многочлена n=1 практично однакові, (дивись Табл. 2.12), а в методі Лагранжу з використанням многочлена n=2 є вже деякі відхилення від метода параболічної інтерполяції.

2.7 Зворотна інтерполяція

1)Нам відомо залежна змінна Ср=0,980 , а незалежну змінну Т=х треба знайти. Цю задачу можемо розвязати методом зворотної інтерполяцї. Припустимо, що y - незалежна змінна, а х вважати функцією. Тоді можемо скористатися формулою Лагранжа, а саме прикладною програмою LAGRANG.EXE. Тоді X=Cp, Y=T. Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

X0 =0,973 X1=0,988

Y0 =500 Y1=550

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Ср=0,980 та отримаємо такий результат T=Y=523,3334, де Т=523,3334К.

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

X0 =0,973 X1=0,988 X2=1,004

Y0 =500 Y1=550 Y2=600

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Ср=0,980 та отримаємо такий результат T=Y=523,7098, де Т=523,7098К.

Так як похибка <5, то при Ср=0,980 кДж/(кгК) Т=523,3334, тобто многочлен n=1 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі. Якщо порівнювати результати отримані при використанні многочлена n=1 і многочлена n=2, то грунтуючись на минулому досвіді (дивись виводи попереднього прикладу) можна сказати, що многочлен n=1 краще нам підходить для знаходження залежної змінної ніж многочлен n=2.

2) Аналогічно розраховуємо для 108=3500, а T=x=? Припустимо, що y - незалежна змінна, а х вважати функцією. Тоді можемо скористатися формулою Лагранжа, а саме прикладною програмою LAGRANG.EXE. Тоді 108=X; T=Y. Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

X0=3414 X1=3603

Y0=600 Y1=650

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=108=3500 та отримаємо такий результат T=Y=622,75163, де Т=622,7513К.

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

X0=3414 X1=3603 X2=3217

Y0=600 Y1=650 Y2=550

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=108=3500 та отримаємо такий результат T=Y=622,5048, де Т=622,5048К.

Так ак похибка <5, то Т=622,7513К, тобто многочлен n=1 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі. Якщо порівнювати результати отримані при використанні многочлена n=1 і многочлена n=2, то грунтуючись на минулому досвіді (дивись виводи попереднього прикладу) можна сказати, що многочлен n=1 краще нам підходить для знаходження залежної змінної ніж многочлен n=2.

Висновок

При виконанні першої частини курсової роботи з заданих експериментальних даних, був проведений кореляційний аналіз і встановлена наявність лінійного звязку між експериментальними даними(1). Коефіцієнт кореляції rxy=-0.97 є значимим і гіпотеза про наявність лінійного звязку х та у прийнята з рівнем довірчості 0,99. Досліджена наявність лінійного звязку між випадковими фізичними величинами (експериментальні дані 2). Коефіцієнт кореляції r=0.8745 значущій, тому що Н=2,31, також провели додаткові розрахунки де враховували незалежну зміну та випадкові велечини, ці додаткові розрахунки підтверджують кореляційний звязок між двома випадковими фізичними властивостями вязкістю і теплоємністю, отже існує сильна лінійна залежність. Виконаний лінійно регресивний аналіз і визначені коефіцієнти регресії з оцінкою значимості коефіцієнтів і довірчих інтервалів. Визначені адекватності отриманих моделей. Були отримані дві адекватні і дві неадекватні. Підібрали емпіричну формулу за допомогою методу вирівнювання (3437.ХТ03125.ГЧ001) видно, що застосування залежності (1) доводить можливість опису експериментальних даних. Визначено параметри емпіричної формули за допомогою методу обраних точок і оцінена точність формули дорівнює 0,0678. За допомогою методу середніх отримана оцінка точності формули, сума квадратів відхилень дорівнює 0,05611. Сума квадратів відхилень знайдених за допомогою методу найменших квадратів дорівнює 0,05525. Порівнюючи результати, отримані при застосуванні трьох методів: обраних точок, середніх і найменших квадратів, найбільш точним, є метод найменших квадратів, тому що квадрат відхилень мінімальний.

При виконанні другої частини курсової роботи з експериментальними даними (2), використовуючи метод параболічної інтерполяції, визначимо необхідний ступінь полінома, його коефіцієнти і значеня параметрів у зазначених невузлових точках. Ступінь поліному дорівнює одиниці.

Аналогічні розрахунки виконали за допомогою методу Лагранжа.

Виявили, що результат в методі параболічної інтерполяції з використанням поліному першого ступеню і результати в методі Лагранжу з використанням многочлена n=1 практично однакові, (дивись Табл. 2.12), а в методі Лагранжу з використанням многочлена n=7 є вже деякі відхилення від метода параболічної інтерполяції. За заданим значенням функції визначила відповідне значення аргументу, використовуючи метод зворотної інтерполяції.

квадрат лагранж коефіцієнт кореляція

Література

Вычислительная математика в химии и химической технологии / С.В.Брановицкая, Р.Б.Медведев, Ю.Я.Фиалков. - Киев: Вища школа. Головне изд-во, 1986. - 216 с.

Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах / А.В.Крушевский, А.В.Беликов, В.Д.Тищенко - Киев: Вища школа. Головне изд-во, 1985. - 290 с.

Математическая обработка результатов эксперимента / Л.З.Румшинский М.: Наука, 1971. - 192 с.

Романенко В.Н., Орлов А.Г., Никитина Г.В. Книга для начинающего исследователя-химика. - Л.: Химия, 1987. - 280 с.

Додатки

Опис роботи прикладних програм.

1) Програма MNK.EXE (блок-схема представлена в 3437.ХТ03125.ГЧ005) являє собою програму, призначену для обчислення суми експериментальних X та Y, а також коефіцієнтів рівняння регресії a і b. У ході програми потрібно ввести n-кількість експериментальних крапок, потім умовно уводяться відповідно значення X і Y. У результаті програма обчислює суми: , , , , і коефіцієнти регресії a та b.

2) Програма GZ1.EXE служит для рішення системи лінійних рівнянь. У ході роботи програми потрібно задати кількість рівнянь у системі, значення перемінних n і вільний член цих рівнянь. Корень рівняння зберігаються у виді текстового файлу.

3) Програма LAGRANG.EXE (блок-схема представлена в 3436.ХТ03125.ГЧ006) призначена для обчислення величини В(Х) у невузлових точках. У ході програми потрібно попарно ввести n-кількість вузлових точок, потім попарно ввести значення X і Y у вузлових точок і X для якого необхідно обчислити величину Y. У результаті ЕОМ видає значення величини Y=B(X) у невузловій точці.