Неоднорідні задачі параболічного типу для прямокутника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ Г.С. СКОВОРОДИ

МАГІСТЕРСЬКА РОБОТА

«Неоднорідні задачі параболічного типу для прямокутника»

Виконала:

Студентка фізико-математичного факультету

5 курсу спеціальності 8010103

«Педагогіка та методика середньої освіти.

Математика» за освітньо-кваліфікаційним

рівнем «Магістр»

Колій Юлія Анатоліївна

Науковий керівник:

канд. фіз-мат. наук, доцент

Пуди Анатолій Юхимович

Харків-2010



ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І. Ряди Фур'є за ортогональними системами тригонометричних функцій

1.1 Ортогональна система функцій. Тригонометрична система - основна та загального вигляду

1.2 Ряд Фур'є за довільною ортогональною системою

1.3 Тригонометричні ряди Фур'є. Ряди тільки за косинусами і тільки за синусами

1.4 Ознака збіжності тригонометричного ряду Фур'є до функції, для якої він складений

1.5 Комплексна форма запису тригонометричного ряду Фур'є

1.6 Тригонометричні ряди Фур'є загального вигляду

1.7 Інтеграл Фур'є.

1.8 Комплексна форма запису інтеграла Фур'є

1.9 Перетворення Фур'є.

РОЗДІЛ ІІ. Постановка крайових задач

2.1 Вивід рівняння теплопровідності

2.2 Постановка крайових задач. Початкові і граничні умови

2.3 Коректність постановки крайових задач

2.4 Принцип максимуму і теорема єдиності

РОЗДІЛ ІІІ. Розв'язування неоднорідних задач параболічного типу для прямокутника

3.1 Перша гранична задача для полоси

3.2 Друга гранична задача для полоси

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ



ВСТУП

Фізика з плином часу перетворилася з науки описової на науку точну, що зумовлене використанням математичного апарату, або окремих математичних методів: задля характеристики тих чи інших фізичних явищ, процесів. Таким чином, математична фізика є одним з найголовніших досягнень людства. Ця теорія знаходиться на стику математики і фізики, оскільки такі моделі описують конкретні фізичні процеси, а методи побудови і дослідження цих моделей є математичними.

Під час вивчення навчальної, методичної, науково-популярної літератури з математичної фізики, ми дійшли до такого висновку, що багато уваги приділяється розв'язуванню одномірних однорідних задач параболічного типу, ця тема досить повно розроблена як в теоретичному, так і практичному планах. Але однорідні задач - це частинний випадок неоднорідних, тому нас зацікавило питання розв'язання саме неоднорідних задач параболічного типу. Тут ми стикаємося з проблемою, що висвітлення цього питання здійснюється досить фрагментарно та відповідний матеріал не систематизовано до вигляду, придатного для використання на практиці.

Дану проблему вивчали в своїх працях Г.І. Арамович, В.І. Левін (крайові задачі), В.І. Смірнов (диференціальні рівняння в частинних похідних), А.М. Тіханов, О.А. Самарський (коректність постановки задач математичної фізики) тощо.

Отже, оскільки курс методів математичної фізики не сповна розкриває матеріал щодо вивчення неоднорідних задач параболічного типу, то постає потреба розглянути знаходження їх розв'язків, зокрема, для полоси. Тобто відновити той ланцюг умовиводів, який схований за записом умови і отриманого результату. Це дасть змогу узагальнити та систематизувати знання студентів з даної теми, спонукати їх виходити за рамки курсу, вести дослідницьку роботу.

Це і обумовило вибір теми магістерської роботи - Неоднорідні задачі параболічного типу для прямокутника.

Об'єкт дослідження:

Теоретичне дослідження методів математичної фізики; розв'язання першої та другої неоднорідних задач теплопровідності для прямокутника.

Предмет:

Застосування методів математичної фізики до розв'язування неоднорідних задач параболічного типу для прямокутника.

Мета дослідження:

Розв'язати першу та другу задачі теплопровідності для прямокутника.

Завдання:

1. Проаналізувати навчальної, методичної, науково-популярної літератури з математичної фізики.

2. Проаналізувати теоретичний та практичний матеріал з теми: «Неоднорідні задачі параболічного типу для прямокутника».

3. Вивчити методи розв'язування граничних задач теплопровідності для обмеженої області.

4. Розглянути методичні особливості розв'язування цих задач.

5. Проаналізувати фізичний зміст отриманих розв'язків.



РОЗДІЛ І. РЯДИ ФУР'Є ЗА ОРТОГОНАЛЬНИМИ СИСТЕМАМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

1.1 Ортогональна система функцій. Тригонометрична система - основна та загального вигляду

Кажуть, що функції та ортогональні на відрізку , якщо

.

Система функцій

(1.1)

(скінченна чи нескінченна) називається ортогональною на відрізку , якщо функції цієї системи (1.1) попарно ортогональні на , тобто

. (1.2)

При цьому будемо вважати, що

(1.3)

Функції системи (1.1) будемо вважати неперервними.

Приклад 1. Основна тригонометрична система



(ОТС)

ортогональна на відрізку (як й на будь-якому відрізку довжиною ). Й справді,

(1.4)

що доводить ортогональність функцій та ;

(1.5)

що доводить ортогональність функцій та ;

- ортогональність та при (при цьому ми скористувалися властивістю (1.4)).

- ортогональність та при ;



(1.6)

- ортогональність та при (при цьому ми скористувалися властивістю (1.5)).

Отож, функції з ОТС попарно ортогональні. Умова (1.3) також виконується:

(1.7)

Приклад 2. Тригонометрична система загального вигляду:

, (ТС)

де , ортогональна на відрізку (як й на будь-якому відрізку довжиною ). В цьому досить легко переконатися безпосереднім підрахунком (як і у випадку ОТС):

.

При цьому замість (1.7) будемо мати:

(1.8)

Корисно помітити, що ТС переходить в ОТС при підстановці

або (1.9)

Покладемо

(1.10)



й назвемо це число нормою функції на відрізку (підкреслимо: норма - це число, а не функція).

Умову (1.3) тепер можна переписати так: або

, (1.3)

тобто норми функцій (1.1) передбачаються відмінними від нуля.

У випадку, коли

(1.11)

система (1.1) називається нормованою. Рівності (1.7) та (1.8) показують, що ТС та ОТС не є нормованими системами.

Якщо система (1.1) не нормована, то її завжди можна нормувати. Це означає наступне: завжди існують такі постійні , що система функцій

(1.1)

(яка є, очевидно, ортогональна) буде вже нормована.

Щоб переконатися в цьому, достатньо покласти

,

і тоді



1.2 Ряд Фур'є за довільною ортогональною системою

Розглянемо нескінченну, ортогональну на відрізку систему функцій

(2.1)

Нехай

(2.2)

(скінченна сума!!!), де - деякі постійні.

Функцію виду (2.2) називають многочленом за системою (2.1).

Виникає питання: чи можна коефіцієнти виразити через ? Відповідь позитивна. Помножимо обидві частини рівності (2.2) на функцію й результат про інтегруємо по відрізку . Отож, отримаємо:

, (2.3)

так як при , в силу ортогональності системи (2.1),

Таким чином,

звідки

(2.4)

Коефіцієнти , які обчислюються за формулою (2.4), називаються коефіцієнтами Фур'є для функції за системою (2.1).

Зауваження. У випадку, коли є многочленом виду (2.2), формули (2.4) дають при ; це добре видно з першої частини рівності (2.3). Якщо ж - довільна функція, то коефіцієнти (2.4) можуть бути відмінними від нуля при будь-яких значеннях .

Нехай довільна - неперервна чи розривна, - задана на функція (не обов'язково виду (2.2)), для якої інтеграли, що використовуються в (2.4), мають зміст. В цьому випадку формули (2.4) дозволяють обчислити для коефіцієнти Фур'є з будь-якими номерами. Ряд з такими коефіцієнтами

(2.5)

називається рядом Фур'є для функції за системою (2.1). При цьому застосовується запис

(2.6)

Замінити знак знаком можна лише тоді, коли доведено, що ряд (2.5) збігається й має своєю сумою (останнє буває не завжди).

1.3 Тригонометричні ряди Фур'є. Ряди тільки за косинусами і тільки за синусами

Звернемося до основної тригонометричної системи

, (ОТС)



яка, як ми вже знаємо, ортогональна на відрізку .

Нехай - довільна, задана на функція (лише щоб існували використані нижче інтеграли). Коефіцієнти Фур'є такої функції за ОТС домовимося позначати наступним чином: коефіцієнт Фур'є, що відповідає функції , через (саме , а не просто : це зручно для майбутнього); коефіцієнт Фур'є, що відповідає функції - через ; коефіцієнт Фур'є, що відповідає функції - через . Тоді формули (2.4) дадуть:

Іншими словами,

(3.1)

- формули для тригонометричних коефіцієнтів Фур'є (формули для та об'єднані). Таким чином (дивись (2.6)),

(3.2)



- так виглядає тригонометричний ряд Фур'є (за основною тригонометричною системою).

Ряд (3.2) стає простішим у випадку, коли функція є парною чи непарною . Й, насправді, відомо, що для інтеграла в симетричних границях:

у випадку парної , у випадку непарної .

Разом із тим відмітимо:

1) добуток двох непарних або двох парних функцій завжди є парна функція. Дійсно, нехай та - парні. Тоді , тобто - парна функція.

Нехай та - непарні. Тоді , тобто знову - парна.

2) добуток парної функції на непарну завжди є функція непарна. Насправді, нехай - парна, - непарна. Тоді , тобто - непарна функція.

3) - парна функція, - непарна функція (при будь-якому ).

В силу всіх цих причин формули (3.1) дають:

- для парної

(3.3)

й, як бачимо, ряд Фур'є парної функції містить тільки косинуси, тобто



(3.4)

- для непарної

(3.5)

й, як бачимо, ряд Фур'є непарної функції містить лише синуси, тобто

(3.6)

1.4 Ознака збіжності тригонометричного ряду Фур'є до функції, для якої він складений

Попередньо зазначимо наступне.

1) Тригонометричний ряд Фур'є для функції , яка задана на відрізку , тотожній з рядом Фур'є для функції, що є періодичним продовженням з цього відрізку на всю вісь . Справа в тому, що в формулах (3.1) для коефіцієнтів Фур'є фігурує лише відрізок й тому значення поза цим відрізком на величини коефіцієнтів та ніякого впливу не мають.

Разом з тим, якщо ряд Фур'є для функції збігається з нею, то його сума, що є функцією періоду , дає як раз те періодичне продовження функції на всю вісь , про яке йшла мова вище.

Таким чином, говорити про ряд Фур'є для , який заданий на , - це все рівно, що говорити про ряд Фур'є для функції, що отримана з її періодичним продовженням на всю вісь . Звідси витікає, що ознаку збіжності ряду Фур'є, яка нас цікавить, достатньо сформулювати для функції періоду .

Якщо неперервна а відрізку , причому , то при періодичному продовженню ми отримуємо функцію, яка є неперервною для всіх значень . В інших випадках періодичне продовження приводить до розривної функції.

Зауваження. Вище ми говорили про функції, які задані на відрізку . Одначе можна було б говорити й про функції, що задані на інтервалі , оскільки значення функції в точках і на величину інтегралів, що використовуються в формулах для коефіцієнтів Фур'є, впливу не мають.

2) Функцію називають гладкою в кінцевому проміжку (наприклад, на відрізку або на інтервалі ), якщо вона має на цьому проміжку неперервну похідну. На геометричній мові це означає, що при переміщенні вздовж кривої напрямок дотичної до неї змінюється безперервно, без стрибків. Таким чином, графік гладкої функції представляє собою плавну криву, що не має кутових точок.

Функцію називають кусочно-гладкою в кінцевому проміжку, якщо вона сама і її перша похідна або неперервні на цьому проміжку, або припускають всередині нього розриви першого роду, і притому в кінцевому числі.

Легко зрозуміти, що графік кусочно-гладкої функції представляє собою неперервну або розривну криву, яка може мати кінцеве число кутових точок (в них здійснюється стрибок похідної); з наближенням до такого кута або до місця розриву (з тієї чи іншої сторони) напрямок дотичної прямує до певного положення (бо похідна має лише розриви першого роду).

Неперервна або розривна функція називається кусочно-гладкою в нескінченному проміжку, якщо вона така в кожній кінцевій його частині. Зокрема, це відноситься до періодичних функцій.

Будь-яка кусочно-гладка періодична функція (неперервна або розривна) обмежена та має обмежену похідну скрізь, за винятком кутових точок і точок розриву (у всіх цих точках не існує).

Тепер ми можемо сформулювати ознаку збіжності ряду Фур'є:

Теорема. Ряд Фур'є кусочно-гладкої, неперервної або розривної функції періоду збігається для всіх значень , причому його сума дорівнює в кожній точці неперервності функції і дорівнює числу

(середньому арифметичному граничних значень функції в точці зліва та справа) в кожній точці розриву.

Якщо скрізь неперервна, то ряд збігається абсолютно і рівномірно.

Ще раз підкреслимо, що ознаку сформульовано для періодичної функції. Тому, якщо мова йде про функції, що задані лише на проміжку довжиною , то її попередньо слід періодично продовжити на всю вісь та застосувати ознаку до цієї продовженої функції.

На практиці досить часто виникає задача про розклад в тригонометричний ряд тільки за косинусами чи тільки за синусами функції, що задана на відрізку .

Ця задача зводиться до розглянутих раніше випадкам за допомогою парного чи відповідно непарного продовження функції з відрізка на відрізок (з наступним періодичним продовженням отриманої функції з відрізка на всю вісь ).

Замість відрізка в цьому випадку можна, звичайно, говорити й про інтервал чи півінтервали , .



1.5 Комплексна форма запису тригонометричного ряду Фур'є

Нехай

(5.1)

В силу формул Ейлера

Підстановка цих значень в (5.1) дає

(5.2)

Покладемо тепер

(5.3)

Тоді -а частинна сума ряду (5.2), а тому і ряду (5.1), може бути записана так:

(5.4)

Тому звичайний запис



(5.5)

це - комплексна форма запису ряду Фур'є. Збіжність ряду (5.5) потрібно розуміти як існування границі при симетричних сум (5.4).

Коефіцієнти , що обчислюються за формулами (5.3), називаються комплексними коефіцієнтами Фур'є функції .

В силу (5.3)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(ми скористувалися формулою Ейлера). Формули (5.6), (5.7), (5.8), очевидно, можна об'єднати в одну формулу:

(5.9)



1.6 Тригонометричні ряди Фур'є загального вигляду

На практиці досить часто слід мати справу не тільки з основною тригонометричною системою, але й з трибометричною системою загального вигляду

(ТС)

Як нам уже відомо, ця система ортогональна на відрізку (як, до речі, й на кожному відрізку довжиною ).

Теорія рядів Фур'є за тригонометричною системою загального вигляду розкладається точно так же, як і у випадку рядів за основною тригонометричною системою. При цьому, якщо задана на , то

(6.1)

(6.2)

Для парної функції - ряд тільки за косинусами:

(6.3)

(6.4)



Для непарної функції - ряд тільки за синусами:

(6.5)

(7.6)

Всі функції з ТС, як легко перевірити, мають спільний період . Дійсно,

Тому сума ряду (6.2) - якщо він збігається - представляє собою функцію періоду . При ряд (6.2) переходить в ряд виду

Якщо замість відрізку розглядати відрізок , то формули (6.1) переходять в такі:

(6.7)



Якщо - періодична функція з періодом , то формули (6.1) та (6.7) дають одне й теж саме.

Комплексний запис ряду (7.2) має вид

(6.8)

де

(6.9)

або ж

.

Зауваження. Всі формули цього пункту можна отримати також наступним чином. Нехай задана на відрізку . Зробимо підстановку

або (6.10)

Це дає нам

(6.11)

де задана вже на відрізку . Розкладемо в ряд Фур'є за основною тригонометричною системою:

(6.2)



де (6.1)

Якщо в формулах (6.1) та (6.2) повернутися від до (за допомогою (6.10)), то прийдемо до формул (6.2) та (6.1). Подібним чином можуть бути отримані й всі останні формули (6.3) - (6.9).

Відмітимо: якщо має період , то відповідна функція має період .

Й насправді,

1.7 Інтеграл Фур'є

Нехай - кусково-гладка та абсолютно інтегрована на всій осі функція (неперервна або розривна). Зафіксуємо деяке значення та візьмемо число таке велике, щоб відрізок містив це . Розкладемо на відрізку в тригонометричний ряд Фур'є загального вигляду. При цьому, якщо взяте нами значення є точкою неперервності функції, то в силу ознаки збіжності

(7.1)

Якщо є точкою розриву, то зліва замість потрібно писати Це будемо мати на увазі й далі. В (8.1):



(7.2)

(змінну інтегрування ми позначили через , щоб не плутати її з ; нагадаємо: у нас - фіксоване число!).

Підставимо (7.2) в (7.1):

або, так як та постійні,

Перейдемо тепер до границі при . Тоді отримаємо

(7.3)

Але так як - число.

Тому в силу (7.3)

(7.4)



Спробуємо встановити, у що перейде в границі сума справа. З цією метою покладемо

Тоді сума, яка нас цікавить, прийме вигляд

фур'є ряд ортогональний тригонометричний прямокутник

(7.5)

Це нагадує інтегральну суму для функції змінної :

(7.6)

складену для проміжку осі . Тому природно очікувати, що при сума (7.5) перейде в інтеграл від функції (7.6) по в межах від до . Іншими словами, природно очікувати, що

(7.7)

Формулу (7.7) називають інтегральною формулою Фур'є, а інтеграл справа - інтегралом Фур'є.

В силу (7.7)



і, тому, інтегральній формулі Фур'є можна надати такий вид:

(7.8)

де покладено

(7.9)

1.8 Комплексна форма запису інтеграла Фур'є

Звернемося до формули (7.7) й розглянемо внутрішній інтеграл

(8.1)

Він представляє собою функцію змінної , причому парну функцію. За цією причиною формулу (8.7) можна переписати так:

(8.2)

Розглянемо тепер інтеграл

(8.3)



(збіжний з (8.1)). Він представляє собою непарну функцію від , й по цій причині

(8.4)

Зауваження. Роздуми по відношенню до інтеграла (8.1), що привели нас до формули (8.2), істинні, оскільки цей інтеграл існує і є інтегрованою по функцією (за самим змістом формули Фур'є).

Зовсім по іншому з інтегралом (8.3) - він не фігурує в формулі Фур'є. Тим паче його існування при будь-якому витікає із нерівності

і з припущення про абсолютну інтегрованість . Що стосується інтегрованості функції (8.3) по в межах від до , то це не завжди має місце, і тому формула (8.4) - при звичайному розумінні інтеграла, - не вірна. Але, якщо інтеграл, що використовується в (8.4), розуміти як границю:

(що називається головним значенням інтегралу Коші), то рівність (8.4) буде мати місце, оскільки для інтеграла в скінчених границях (в силу парності функції (8.3) за ) при будь-якому



а тому й границя цього інтеграла буде рівна нулеві.

Якщо рівність (8.4) помножити на і додати до рівності (8.2), то отримаємо

(8.5)

або

(8.6)

- комплексний запис інтегральної формули Фур'є.

1.9 Перетворення Фур'є. Спектральна функція

Перепишемо формулу (8.6) так:

(9.1)

й покладемо

(9.2)

Тоді замість (9.1) отримаємо

(9.3)



Операція, яка проводиться над функцією в формулі (9.2), називається перетворенням Фур'є. Операція, яка проводиться над функцією в формулі (9.3), називається оберненим перетворенням Фур'є. Послідовне застосування цих двох операцій, як бачимо, повертає нас до даної функції

Неважко перевірити, що в формулі (8.6) в показнику можна поміняти місцями та . Після цього отримаємо

(9.4)

Ведемо тепер позначення:

(9.5)

Ця функція від (в загальному випадку комплексна) відіграє досить важливу роль в електротехніці та носить найменування спектральна функція для .

В силу (9.4) та (9.5)

(9.6)

Формула (9.5) є аналогом формули (5.9), яка дає значення комплексних коефіцієнтів Фур'є. Формула (9.6) нагадує комплексний запис ряду Фур'є.



РОЗДІЛ ІІ. ПОСТАНОВКА КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

2.1 Вивід рівняння теплопровідності

Розглянемо деяке тверде тіло, яке є нерівномірно нагрітим, внаслідок чого всередині цього тіла відбувається тепловий рух від більш нагрітої частини до менш нагрітої і температура в кожній точці тіла змінюється з часом за деяким законом:

Щоб зрозуміти цей закон, виділимо всередині тіла деякий об'єм , який обмежений замкненою по верхньою , і підрахуємо кількість тепла, що протікає через цю поверхню. Через елементарну поверхню проходить кількість тепла , яка визначається за законом Фур'є формулою

,

де - коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом внутрішньої теплопровідності тіла; - зовнішня нормаль до елементарної площадки . Так як тепловий потік виходить з тіла через площадку в напрямку зовнішньої нормалі , то очевидно, температура в цьому напрямку спадає, тобто , звідси випливає, що

Інтегруючи за поверхнею , знаходимо, що через всю цю поверхню на одиницю часу виходить кількість тепла



Підрахуємо тепер зменшення кількості тепла всередині елементарного об'єму за проміжок часу . Воно пропорційне різниці температур і масі, тобто

де - щільність речовини, - питома теплоємність.

Якщо об'єм достатньо малий, то можна вважати, що зміна температури в ньому залежить лише від часу і не залежить від координат точки, тому

Крім того, температура в тілі з часом спадає і, значить

Повна зміна кількості тепла в об'ємі за одиницю часу дорівнює



Якщо в тілі є джерела (або стоки) тепла, які виділяють (або поглинають) за одиницю часу в одиниці об'єму кількість тепла, що дорівнює , або, як кажуть, мають щільність , то у всьому об'ємі виділиться (або поглинеться) кількість тепла

Очевидно, що при наявності в тілі джерел , а при наявності стоків .

Складемо тепер для об'єму рівняння теплового балансу. Воно має вигляд:

Або

(1.1)

Передбачаючи, що функція в області, що розглядається, має неперервну похідну по і неперервні похідні по змінним , перетворимо поверхневий інтеграл (1.1) за формулою Гаусса-Остроградського:

Тепер формула (1.1) може бути записана у вигляді:



Внаслідок довільності області і неперервності підінтегральної функції маємо:

(1.2)

Рівняння (1.2) називається рівнянням теплопровідності. В координатній формі воно записується наступним чином:

(1.3)

Величини можуть, взагалі кажучи, залежати не тільки від координат і часу , але і від температури .

Якщо величина стала, то рівняння (1.3) прийме вигляд:

(1.4)

Де - коефіцієнт температуропровідності,

- оператор Лапласа, .



Якщо тепло не поширюється у напрямку осі , то і ми отримаємо двомірне рівняння теплопровідності

В одновимірному випадку воно має вид:

Оператор Лапласа в рівнянні (1.4) записаний в Декартовій системі координат. В залежності від геометрії області, що розглядається його інколи буває зручно виразити в інших системах координат.

Наприклад, в сферичній системі координат

оператор Лапласа має вигляд:

(1.5)

в циліндричній системі координат

(1.6)

2.1. Постановка крайових задач. Початкові і граничні умови

При математичному описі фізичного процесу треба, перш за все, правильно поставити задачу. Тобто сформулювати умови, достатні для однозначного визначення процесу. Диференціальні рівняння з частинними похідними, мають, взагалі кажучи, безліч розв'язків. Тому, в тому випадку, коли задача зводиться до рівняння з частинними похідними, для однозначної характеристики процесу необхідно до рівняння приєднати деякі додаткові умови. Для рівняння теплопровідності можуть бути задані наступні додаткові умови:

1) початкові умови;

2) граничні умови або умови на поверхні;

3) умови спряження.

Сукупність початкових і граничних умов називають крайовими умовами.

1. Початкові умови. Нехай в початковий момент часу температура у всьому тілі є заданою функцією координат:

(2.1)

Іншими словами, розв'язок рівняння (1.4) має бути таким, щоб для всіх точок тіла виконувалася умова

.

2. Граничні умови або умови на поверхні.

Якщо розв'язок рівняння (1.4) шукається в області обмеженої поверхнею , то на цій поверхні задається одна з наступних трьох умов.



1) гранична умова першого роду - на поверхні задана певна температура:

, (2.2)

2) гранична умова другого роду - на поверхні заданий потік тепла по напрямку зовнішньої нормалі до цієї поверхні:

, (2.3)

3) гранична умова третього роду - на поверхні відбувається теплообмін тіла з зовнішнім середовищем, яке має температуру . Тут можливі два випадки.

а) Теплообмін з середовищем носить конвективний характер, тобто він відбувається за законом Ньютона, при якому тепловий потік є пропорційним різниці температур між поверхнею тіла і зовнішнім середовищем:

(2.4)

де - константа, яка називається коефіцієнтом теплообміну.

б) Теплообмін з середовищем відбувається шляхом випромінювання за законом Стефана-Больцмана. При цьому

(2.5)



Задача, в якій потрібно знайти розв'язок рівняння (1.4) з початковою умовою (2.1) і однією з граничних умов першого, другого або третього роду називається відповідно першою, другою або третьою крайовою задачею.

Сформульовані вище граничні умови задавалися на всій поверхні . Інколи на різних частинах поверхні можуть бути задані граничні умови різного роду. Такі граничні задачі називаються змішаними.

Зазначимо, що граничні умови (2.3) - (2.5) містять похідні шуканої функції не вище першого порядку. На практиці часто зустрічаються задачі, в яких граничні умови містять похідні шуканих функцій більш високого порядку. Такі задачі називаються загальними крайовими задачами.

Розглянуті задачі можна узагальнити на той випадок, коли поверхня тіла є функцією часу. Вони називаються задачами з рухомою границею.

3. Умови спряження.

Розглянемо складене тіло, дві частини якого складаються з різних матеріалів з коефіцієнтами теплопровідності і та дотикаються один з одним по деякій поверхні . Для такого тіла окрім початкової і граничної умови необхідно задати додаткові умови на поверхні дотикання , які мають вигляд

(2.6)

(2.7)

і називаються умовами спряження. В формулах (2.6), (2.7) через і позначена температура відповідних складових частин.

Фізичні умови спряження означають, що складові частини тіла знаходяться в ідеальному контакті один до одного , тобто температура і тепловий потік змінюються неперервно при переході через поверхню дотикання . 

Якщо на поверхні є джерела тепла, що створюють тепловий потік , то замість (1.13) необхідно записати наступну умову:

(2.8)

Досить часто виявляється, що контакт між складовими частинами не ідеальний, на поверхні є тонка плівка погано проводимих матеріалів. У такому випадку замість умови (1.12) необхідно записати співвідношення

(2.9)

Зауваження: Якщо розподілення температури, що задовольняє рівнянню теплопровідності (1.4) знаходиться по всій поверхні, то задається лише початкова умова (2.1), цю задачу називають задачею Коші. Так як область, в якій знаходиться розв'язок необмежена, то замість граничних умов задається поведінка шуканої функції на нескінченності. Зазвичай вимагають, щоб вона була там обмеженою.

2.2 Коректність постановки крайових задач

У відношенні кожної з поставлених вище задач виникають питання, пов'язані з існування розв'язку задачі, та його єдиності, а також з неперервною залежністю розв'язків від крайових задач. Ці питання є фундаментальними при дослідженні будь-якої задачі для рівнянь з частинними похідними. Доведення існування розв'язків важливо не тільки для якісного дослідження задачі, але й для фактичної побудови розв'язання, бо сам спосіб доведення теореми існування дає схему знаходження розв'язку. Доведення теореми єдності розв'язку також має принципово важливе значення, бо якщо задача має декілька розв'язків, то сам вираз «розв'язок задачі» не має певного змісту.

В подальшому, при постановці різноманітних практичних задач завжди неминуча деяка похибка в початкових або граничних умовах, бо вони визначаються, як правило, експериментально. Тому звичайно виникає питання, чи буде знайдений розв'язок мало відрізнятися від істинного, якщо похибка при визначенні початкових і граничних даних мала, або, говорячи математичною мовою, чи буде розв'язок задачі неперервно залежати від крайових умов. Якщо існує єдиний розв'язок задачі, що неперервно залежить від крайових умов, то кажуть, що задача поставлено коректно.

Єдність розв'язку і неперервна залежність його від крайових умов для рівнянь теплопровідності випливає з так званого принципу максимуму, який проілюструємо на прикладі першої крайової задачі.

2.3 Принцип максимуму і теорема єдиності

Розглянемо рівняння теплопровідності

(4.1)

всередині області , обмеженої поверхнею , з початковою умовою

(4.2)

і першою граничною умовою



(4.3)

Має місце принцип максимуму, який сформулюємо у вигляді наступної теореми.

Теорема. Найбільше значення функції досягається або при або на границі області . Іншими словами, для будь-якого моменту часу , , і будь-якої точки , що лежить всередині , справедлива нерівність

.

Доведемо теорему методом від супротивного. Нехай функція приймає своє максимальне значення , яке дорівнює , в деякій точці , причому . Позначимо через область чотирьохвимірного простору , . Точки цієї області, які лежать або на , або в площині позначимо через Г. Нехай ,. За припущенням .

Побудуємо функцію

(4.4)

де - діаметр області . Очевидно,

.



З іншого боку

,

Отже, не може досягати свого максимуму на межі Г і досягає його в деякій точці . За теоремою про екстремум в цій точці

(якщо , то , якщо ж , то ). Звідси випливає, що в точці

(4.5)

Але з іншого боку

(4.6)

що суперечить попередній нерівності і доводить тим самим теорему. ¦

З теореми про максимум змінної знака у випливає аналогічна теорема про мінімум: Найменше значення функції досягається в області Г, тобто або при , або на межі .

Наслідком теорем про максимум і мінімум є теореми єдності і неперервної залежності від крайових умов.

1. Розв'язання першої граничної задачі (4.1) - (4.3) єдине в області .

Дійсно, якщо і - два розв'язки задачі (4.1) - (4.3), то їх різниця задовольняє рівнянню (4.1) і обертається у нуль на межі і при , тобто в області Г. Але тоді в силу теорем про максимум і мінімум по всій області , тобто .

2. Розв'язання першої граничної задачі (4.1) - (4.3) неперервно залежить від початкової і граничної умов (4.2) і (4.3).

Справді, нехай дві функції і задовольняють рівнянню (4.1), а різниця між їх початковими і граничними значеннями за абсолютною величиною не перевищує деякого . Це означає, що на межі Г .

Але тоді на основі принципу максимуму і мінімуму робимо висновок, що по всій області , .

Доведені нами єдиність і коректність розв'язання зберігаються, очевидно, і для неоднорідного рівняння.

(4.7)

Так як різниця двох розв'язків цього рівняння задовольняє однорідному рівнянню (4.1).

Доведемо тепер, що розв'язок рівняння (4.7) неперервно залежить не тільки від початкових але і від граничних умов (4.2) і (4.3), але і від вільного члена .

Справді, нехай функції і задовольняють неоднорідному рівнянню (1.22) з вільними членами і відповідно, початковим даним і та граничним даним і . Тоді їх різниця задовольняє рівнянню (4.7), де , початковій умові (4.2), де і граничній умові (4.3), де . Доведемо, що при малих і різниця також буде малою. Точніше, для будь-якого знайдеться таке , що якщо

(4.8)

то (4.9)

по всій області .

Дійсно, нехай , . Нехай нерівність (4.9) не має місця, яким би малим не було .

Виберемо . Очевидно, . Побудуємо функцію. Повторюючи попередні судження, прийдемо до нерівності (4.5), а замість нерівності (4.6) будемо мати:

(4.6?)

Якщо обрати так, щоб

.

Нерівності (4.5) і (4.6?) суперечливі, що і доводить твердження.

Таким чином, коректність постановки першої крайової задачі для рівняння теплопровідності доведено повністю.

Можна показати, що друга і третя крайові задачі для різнорідних тіл з умовами спряження, також є коректними.



РОЗДІЛ ІІІ. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ НЕОДНОРІДНИХ ЗАДАЧ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ ДЛЯ ПРЯМОКУТНИКА

3.1 Перша гранична задача для прямокутника

Постановка задачі:

Знайти в області розв'язок рівняння

(3.1)

з початковими умовами

(3.2)

і граничними умовами

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Розв'язання:

Розв'язок поставленої задачі шукаємо у вигляді ряду за власними функціями першої граничної задачі за однією з координатних змінних.

, (3.7)

де коефіцієнт визначаємо за формулою

(3.8)

Виразимо через задані функції , , . З цією метою помножимо обидві частини рівняння (3.1) на і інтегруємо за змінною х в межах від 0 до . Інтегруючи за частинами двічі член, що містить , і враховуючи граничні умови (3.3), (3.4), отримаємо рівняння виду

(3.9)

де

(3.10)

Початкові і граничні умови для рівняння (3.9) визначаються з (3.2), (3.5) і (3.6) та мають вигляд

(3.11)

де

(3.12)

(3.13)

(3.14)

тут

(3.15)

Розв'язок задачі (3.9), з початковою умовою (3.11) та граничними умовами (3.13) і (3.14) шукаємо у вигляді

, (3.16)

де коефіцієнт визначаємо за формулою

(3.17)

Помноживши рівняння (3.9) і (3.11) на і інтегруючи за змінною у у проміжку від 0 до h і враховуючи граничні умови (3.13) та (3.14) одержимо звичайне неоднорідне рівняння

(3.18)

з початковою умовою

, (3.19)

де (3.20)

(3.21)

Позначаючи через вираз

(3.22)

Рівняння (3.16) запишемо у вигляді:

(3.23)

Застосовуючи метод варіації довільної сталої для розв'язування неоднорідного рівняння (3.23) і застосовуючи початкову умову (3.19):

, (3.24)

де та

Підставляємо цей вираз в розв'язок (3.9), а потім (3.7), використовуючи позначення (3.23), (3.21), (3.20), (3.10) та (3.8), і, змінюючи формально порядок сумування, будемо мати:

(3.25)

Використаємо тотожності:



, та

;

і вводячи позначення:

,

запишемо попередній вираз у вигляді:

(3.26)



Для покращення збіжності рядів, перетворимо функції та .

Розглянемо ряди:

Очевидно, та - парні функції з періодом, який дорівнює 1, таким чином, в інтервалі [0,1] вони розкладаються в ряд Фур'є за косинусами:

(1) та (2), де

(3)

(4)

При , ряд в правій частині формул (3) і (4) збігаються рівномірно та відповідно. Проінтегруємо його за членами

(5)

(інтеграл Пуассона)

Знайдемо . Застосуємо початкову умову :

. Підставимо цей вираз у (5):

.

Аналогічно знаходиться

.

Таким чином,



Покладаючи тут , будемо мати

звідси (6)

Аналогічно, покладаючи , будемо мати

звідси (7)

Знайдемо і

(8)

(9)



І відповідно

(10)

(11)

Враховуючи (6)-(11) розв'язок поставленої задачі (3.26) прийме наступний вид:

(3.27)

Якщо функції , продовжити непарним чином на відрізки [-l,0] і [-h,0], а після чого продовжити періодично на всю площину з періодами 2l та 2h відповідно, а функції продовжити відповідно на відрізки [-l,0] і [-h,0] і періодично на всю площину. Отже, після відповідної заміни, суми перетворюються інтеграли, що дає можливість легко довести, що одержаний розв'язок задовольняє рівнянню (3.1) початковій умові (3.2), а також граничним умовам (3.3)-(3.6), при умові, що задані функції неперервні, і крім того, функція неперервна за першими двома змінними у розумінні Гьольдера.

3.2 Друга гранична задача для прямокутника

Постановка задачі:

Знайти в області розв'язок рівняння

(4.1)

з початковими умовами



(4.2)

і граничними умовами

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Розв'язання:

Представимо шуканий розв'язок у вигляді ряду Фур'є за власними функціями другої однорідної задачі (за косинусами):

(4.7)

з невідомими коефіцієнтами Фур'є

(4.8)

Для їх означення помножимо рівняння (4.1) на () і інтегруємо за змінною y в межах від 0 до . Інтегруючи двічі за частинами член, що містить , одержимо

(4.9)

де



(4.10)

Початкові і граничні умови для рівняння (4.9) в силу (4.2), (4.3) і (4.4) мають вид:

(4.11)

де

(4.11)

(4.13)

(4.14)

де

(4.15)

Для розв'язку задачі (4.9) з початковими умовами (4.11) та граничними умовами (4.13) і (4.14) застосуємо як і в першому випадку метод Фур'є, тобто будемо шукати розв'язок задачі у вигляді ряду Фур'є за косинусами:

(4.16)

з невідомими коефіцієнтами Фур'є

(4.17)



Для їх означення помножимо рівняння (4.9) на () і інтегруємо за змінною y в межах від 0 до . Інтегруючи двічі за частинами член, що містить , одержимо:

(4.18)

де

(4.19)

(4.20)

Отже, одержали звичайне неоднорідне рівняння (4.18) з початковою умовою (4.20). застосовуючи метод варіації довільної змінної і задовольняючи початковій умові (4.20)

(4.21)

Підставляючи послідовно (4.21) у (4.16) і (4.7) одержимо рівняння (4.22):

Враховуючи, що

,

та

отримаємо:

де

та

Використовуючи ці формули, а також тотожності, подані нижче

Розв'язок поставленої задачі можна записати у вигляді:

(3.22)

Якщо функції , продовжити парним чином на відрізки [-l,0] і [-h,0], а після чого продовжити періодично на всю площину, а функції продовжити відповідно на відрізки [-l,0] і [-h,0] і періодично на всю площину. Отже, після відповідної заміни суми перетворюються інтеграли, що дає можливість легко довести, що одержаний розв'язок задовольняє рівнянню (4.1) початковій умові (4.2), а також граничним умовам (4.3)-(4.6), при умові, що задані функції неперервні, і крім того, функція неперервна за першими двома змінними у розумінні Гьольдера.



ВИСНОВКИ

Теоретична вагомість нашої роботи полягає в тому, що обрана тема і зміст матеріалу, що викладався, відповідають вимогам сучасного курсу математичної фізики. Дана проблема розглядається в світі нових технологій навчання студентів у ВНЗі.

У відповідності до поставлених завдань було проаналізовано літературу з даної теми. На основі зробленого аналізу у роботі обґрунтовано теорію рядів Фур'є, методи розв'язування граничних задач теплопровідності для обмеженої області, а також розглянуто методичні особливості розв'язування цих задач.

Крім того, з оглядом на мету та завдання даної роботи, було розв'язано неоднорідну задачу розповсюдження температури у прямокутнику із заданими початковою умовою і граничними умовами. Також ми проаналізували фізичний зміст отриманих розв'язків.

Робота над даною темою дозволила нам долучитися до ведення самостійного наукового пошуку, навички в проведенні якого знадобляться в подальшій роботі викладача математичних дисциплін. Магістерська робота успішно пройшла апробацію [7].

Дана робота рекомендована для самостійного вивчення обдарованими студентами.



СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике: Учеб. пособие.-- М.: Изд-во МГУ, 1998. -- 350с.

2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. 1956.

3. Владимиров B.C., Михайлов В.П., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1974.

4. Владимроов В.С. Сборник задач по уравнениям математической физики / В.С. Владимиров. - М.: 1974. - 272 с.

5. Годунов С. К., Уравнения математической физики. М.: Наука, 1973

6. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.2, М.: 1974.

7. Колій Ю.А. Задачі теплопровідності для прямокутника. // Пошук молодих. Випуск 9. Збірник матеріалів Всеукрвїнської студентської науково-практичної конференції «Формування компетентностей у учнів основної і старшої школи під час вивчення пиродничо-математичних дисциплін». Укладач: Шарко В.Д. - Херсон: ПП Вишемирський В.С., 2010.-144 с.

8. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики: / Н.С. Кошляков и др. Учеб. пособие для мех-мат. фак. Ун-тов - М.: Высш.школа, 1970. - 712 с.

9. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Физматгиз, 1962.

10. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. М.:Наука, 1989.

11. Мантуров О.В.та ін. Математика в поняттях, означеннях, термінах. К.:1986.

12. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.

13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: 1972.

14. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / М.М.Смирнов. - М.:1964. - 208 с.

15. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

16. Толстов Г.П. Ряды Фурье. Госуд. изд-во технико-теоретической литературы. - М.: 1951, 244 с.

17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3. М.: Наука, 1966, 634 с

Размещено на Allbest.ru