Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык украинский
Дата добавления 16.07.2010
Размер файла 115,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

2

Контрольна робота

З дисциплiни: Вища математика

За темою (роздiлом навчального плану)

Прізвище,ім'я, по батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прiзвище та інiцiали викладача

Дюженкова Ольга Юріївна

Київ 2008 рiк.

Завдання 1

Систему рівнянь записати в матричній формі та розв'язати методом оберненої матриці та методом Гауса.

(*)

Розв'язання.

Запишемо дану систему рівнянь (*) в матричній формі:

= . (1)

Введемо позначення:

А? - матриця системи,

Х ? - вектор-стовпець з невідомих членів,

В ? - вектор-стовпець з вільних членів.

1) Розв'яжемо систему рівнянь (*) методом оберненої матриці.

Домноживши рівність (1) зліва на обернену матрицю A-1 одержимо:

Знайдемо обернену матрицю до даної:

A-1 = ,

де А11= (-1) 2·=10-24=-14,А12= (-1) 3·=- (-6+6) =0,А13= (-

1) 4·=-12+5=-7,А21= (-1) 3·=- (-2+4) =-2,А22= (-1) 4

·=-6-1=-7,А23= (-1) 5·=- (-12-1) =13,А31= (-1) 4·=-

6+5=-1,А32= (-1) 5·=- (-18-3) =21,А33= (-1) 6·=-15-3=-18.

det A = = 30-6-12+5+6-72=-49.

Тому

A-1 = = - .

Отже, розв'язок даної системи в матричній формі запишеться так:

X = - ·=-=

=-=.

Тобто х1=1,х2=1,х3=1.

2) Розв'яжемо систему рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень.

Спочатку виключимо х1 з другого та третього рівнянь системи (*).

Помножимо друге рівняння системи (*) на - 1 і додамо його до першого - запишемо замість другого рівняння,

Помножимо третє рівняння на - 3 і додамо його до першого - запишемо замість третього рівняння:

(2)

Тепер виключимо х3 з третього рівняння отриманої системи (2). Для цього помножимо третє рівняння системи (2) на - 1 і додамо до другого - запишемо замість третього рівняння системи:

(3)

З рівняння (3) маємо:

х2= 1,х2 = = 1,х3 = 5-3·1-1=1.

Відповідь. дана система в матричній формі:

= ,

її розв'язок (1; 1;1).

Завдання 2

Показати, що перші три вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору, і розкласти вектор за цим базисом (при розв'язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера):

= (1,2,3), = (2,2,3), = (1,1,1), = (5,7,10)

Розв'язання.

Для того, щоб вектори , , утворювали базис, необхідно щоб вони були лінійно незалежними. Тобто має виконуватись рівність:

б +в +г = 0,за умови, що б = в = г = 0.

Тобто

б +в +г = 0,

або

= .

Тоді, система:

повинна мати тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Визначник системи:

А = , det A = 1*2*1+2*1*3+2*3*1-3*2*1-2*2*1-3*1*1=10.

Отже, вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору.

Тоді вектор є їх лінійною комбінацією:

= b1 + b2 + b3 .

Числа b1, b2, b3 будуть координатами вектора у базисі , , . Знайдемо їх, розв'язавши відповідну систему:

Систему лінійних рівнянь розв'яжемо, використовуючи формули Крамера:

b1 = ,

b2 =

b3 = .

= det = 5*2*1+2*1*10+7*3*1-10*2*1-7*2*1-3*1*5 = 2,= det = 1*7*1+5*1*3+2*10*1-3*7*1-5*2*1-10*1*1 = 1,= det =1*2*10+2*7*3+2*3*5-3*2*5-2*2*10-3*7*1 = 1.

Тоді b1 = 2,b2 = 1,b3 = 1.

Отримали вектор у базисі , , : = 2 + + .

Відповідь. вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору, = 2 + + .

Завдання 3

Задано: координати трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти АК, знайти кут А і координати точки К.

A (0;

2), B (2;

3), С (1;

3).

Розв'язання.

рівняння АВ:

,

звідси рівняння прямої АВ: х - 2у + 4=0;

рівняння АС:

,

звідси рівняння прямої АС: х - у +2=0;

рівняння ВС:

,

звідси рівняння прямої ВС: у = 3.

2) З урахуванням перпендикулярності прямої ВС і висоти АK нормальний вектор прямої ВС є напрямним прямої АК: (0;

1) - нормальний вектор прямої ВС, (0;

1) - напрямний вектор прямої АК. Напишемо рівняння цієї прямої, враховуючи, що їй належить т. А (0;

2) -

=0

х = 0 - рівняння прямої АК.

3) кут А - гострий кут між прямими АВ і АС:

LA = LBAK - LCAK,

де LBAK = arctg (BK / AK) = arсtg (2/1) = arсtg 2,LCAK=arctg (CK / AK) = arctg (1/1) = ,

тому L A = arctg 2 - .

4) Знайдемо точку К - точку перетину висоти АК і прямої ВС, тобто координати т. К є розв'язком системи рівнянь даних прямих:

Маємо: К (0;

3).

Відповідь. (АВ): х - 2у + 4=0, (АС): х - у +2=0;

(ВС): у = 3;

(АК): х=0;

L A = arctg 2 - ;

К (0;3).

Завдання 4

Знайти границі функцій (не використовуючи правило Лопіталя):

а) ;

б) ;

в)

Розв'язання:

а) Коли x прямує до нескінченності, молодшими степенями x можна нехтувати:

= ==-3;

б) Здійснимо заміну змінних y = x - 2:

== - ,

розпишемо синус за допомогою формули Тейлора:

sin у = y - +…

Тоді:

= - = - = - 1 - (-) +…=-1+0+…=-1;

в) Скористаємося визначенням числа e:

е =

і здійснимо заміну змінних y = - 2x - 1:

= = = =

= = е2.

Відповідь. - 3; - 1; е2.

Завдання 5

Знайти похідну функції:

у = еsin x ln x

Розв'язання.

Скористаємося формулою диференціювання добутку і складної функції:

.

Відповідь. .

Завдання 5

Дослідити функцію методами диференціального числення і побудувати її графік. Досліджувати функцію рекомендується за такою схемою:

1) знайти область визначення й область зміни функції;

2) дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву функції (якщо вони існують) і точки перетину її графіка з осями координат;

3) знайти інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму;

4) знайти інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину;

5) знайти асимптоти графіка функції.

у = .

Розв'язання.

1) Область визначення - вся числова вісь за винятком x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль:

х є (-?; - 3) U (-3; +3) U (+3; +?),

область значень функції - вся числова вісь за виключенням y = 0: у є (-?; 0) U (0; +?).

2) Точки розриву x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль;

функція перетинає вісь y при х = 0, у = - .

3) Інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму:

знайдемо похідну функції:

,

похідна додатна при x < 0, тому функція при x <0 зростає,

похідна від'ємна при x > 0, тому функція при x > 0 спадає,

похідна дорівнює 0 при x = 0, тому функція при x = 0 досягає локального екстремуму;

знайдемо другу похідну функції:

,

друга похідна дорівнює - при x = 0, тобто від'ємна, тому даний локальний екстремум - це локальний максимум.

4) Знайдемо інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину:

друга похідна додатна в інтервалах (-?; - 3), (+3; +?), тому в них функція випукла вниз;

друга похідна від'ємна в інтервалі (-3; +3), тому в ньому функція випукла вгору;

відповідно, точки x = - 3 и x = +3 - точки перегину

5) Знайдемо асимптоти графіка функції:

при х>-? і х>+? функція прямує до нуля, тому пряма y = 0 - горизонтальна асимптота;

точки x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль, визначає дві вертикальні асимптоти.

6) Побудуємо графік функції:

Відповідь.1) х є (-?; - 3) U (-3; +3) U (+3; +?), у є (-?; 0) U (0; +?);

2) точки розриву x = - 3 и x = +3;

функція перетинає вісь в т. (0; - );

3) функція при x <0 зростає,

функція при x > 0 спадає,

функція при x = 0 досягає локального екстремуму;

у=- при x = 0 - локальний максимум;

4) в інтервалах (-?; - 3), (+3; +?) функція випукла вниз;

в інтервалі (-3; +3) функція випукла вгору;

точки x = - 3 и x = +3 - точки перегину;

5) y = 0 - горизонтальна асимптота;

x = - 3 и x = +3 - вертикальні асимптоти.

Завдання 6

Знайти невизначені інтеграли:

а) , б) .

Розв'язання.

а) Здійснимо заміну змінних y = cos x - 4, dy = - sin x dx:

;

б) Скористаємося формулою інтегрування за частинами:

=

=-

Відповідь. ; .

Завдання 7

Знайти частинні похідні за обома змінними функції двох змінних:

z (x,y) =x ln y + y

Розв'язання.

Скористаємося формулою диференціювання і складної функції:

,

Відповідь. ; .


Подобные документы

  • Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.

    курсовая работа [879,9 K], добавлен 02.10.2010

  • Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.

    задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011

  • Основні поняття чисельних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосуванням елементарних перетворень. Зворотній хід методу Жордана-Гаусса. Метод оберненої матриці.

    курсовая работа [165,1 K], добавлен 18.06.2015

  • Розв’язання системи рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса. Розрахунок довжини ребра, кута між ребрами, рівняння висоти, рівняння площини грані і кута між ребром та гранню. Дослідження функції та побудува її графіку.

    контрольная работа [397,0 K], добавлен 30.10.2011

  • Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.

    контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010

  • Розв'язання системи рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера. Знаходження власних значень і векторів матриці, косинуса кута між векторами. Визначення з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у магазині. Диференціювання функцій.

    контрольная работа [104,7 K], добавлен 06.03.2013

  • Вироджена (особлива) або не вироджена (не особлива) квадратна матриця та вироджене або не вироджене лінійне перетворення невідомих. Добуток матриці, асоціативності множення матриць. Опис програми Matrtest, містить початкову матрицю та її розмірність.

    курсовая работа [95,0 K], добавлен 16.03.2009

  • Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.

    курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008

  • Розв'язання завдання графічним способом. Зображення розв'язку системи нерівностей, визначення досягнення максимуму та мінімуму функції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів та симплекс-методом, формування оціночної матриці з елементів.

    задача [134,9 K], добавлен 31.05.2010

  • Огляд складання програми на мові програмування С++ для обчислення чотирьох лінійної системи рівнянь матричним методом. Обчислення алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Аналіз ітераційних методів, заснованих на використанні повторюваного процесу.

    практическая работа [422,7 K], добавлен 28.05.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.