Совершенствование методики обучения решению геометрических задач на построение

2. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек.

Искомая точка должна удовлетворять двум условиям: 1) равноудаленную от точек А и В, т.е. лежит на серединном перпендикуляре m к отрезку АВ; 2) лежит на данной прямой а. значит искомая точка Х есть точка пересечения прямых а и m (рис. 27). (Задача может не иметь решения, иметь бесконечное множество решений.)



3. Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них - в данной точке.

Предположим, что задача решена.

Пусть точка О - центр искомой окружности (рис. 28). Проведем ОА и ОС - радиусы окружности. прямоугольные треугольники АВО и СВО равны по катету и гипотенузе (АО=СО=R, ВО - общая). Из равенства треугольников следует, что АВО=СВО, т.е. ВО - биссектриса угла АВС.

Построение. Проведем биссектрису АВС и перпендикуляр к стороне ВА, проходящий через точку А. Точка О пересечения биссектрисы и перпендикуляра является центром искомой окружности



угол отрезок треугольник геометрический

4. Построить треугольник АВС по периметру р, углу В, равному , и высоте h, опущенной из вершины А.

Пусть задача решена и АВС построен (рис. 29). Отложив на прямой ВС отрезки DВ=АВ и СЕ=АС, получим равнобедренные треугольники АВD и АСЕ.

Исходя из приведенных выше рассуждений построение можно осуществить в следующей последовательности:

1) Проводим прямую и на ней откладываем отрезок DE=р.

2) На расстоянии h от прямой DE проводим прямую , параллельную DE.

3) С вершиной в точке D строим угол АDЕ, равный . Точка А - одна из вершин искомого треугольника.

4) Проводим серединные перпендикуляры к отрезкам AD и АЕ. Точки В и С пересечения этих серединных перпендикуляров с прямой DE - две другие вершины искомого треугольника.

Решение задач на построение с использованием свойств движений

Тема «Движение», представленная в учебниках по геометрии для основной школы, содержит немного задач на применение преобразований фигур. Однако по данной теме можно найти интересные геометрические задачи. Они могут быть разнообразны и по уровню сложности, и по учебному материалу, необходимому для решения. Это разнообразие можно с успехом использовать в ходе повторения темы «Движение». Опишем один урок повторения. Он начинается с того, что учащиеся повторяют определения и построения, относящиеся к центральной симметрии, осевой симметрии, повороту, параллельному переносу. Для этого предлагаются следующие задания; которые выполняются у доски:

1) Построить отрезок, симметричный относительно прямой; точки.

2) Выполнить параллельный перенос треугольника на заданный вектор.

3) Построить прямую, которая получается из заданной прямой поворотом вокруг точки О на угол 80? по часовой стрелке.

После повторения теоретической части предлагаются задачи на построение, которые предлагается решать учащимися у доски.

Задача1. Построить параллелограмм по двум противоположным вершинам, лежащим на сторонах данного четырехугольника, причем остальные вершины параллелограмма также должны принадлежать сторонам данного четырехугольника.

Решение. 1. Анализ. Пусть искомый параллелограмм построен. На рис. 30а, это параллелограмм АВСD, который вписан в данный четырехугольник LMNK, точки В и D - данные.

Проанализируем, что можно предпринять, чтобы стала видна возможность построения. Пока видно только одно: можно провести диагонали. Проводим диагонали BD и СА ( рис. 30б) и тут же замечаем, что точка О их пересечения является центром симметрии параллелограмма. А это значит, что она лежит на пересечении отрезка ML с образом отрезка KN при симметрии относительно точки О. Таким образом, мы нашли способ построения третьей вершины искомого параллелограмма. А четвертую его вершину можно найти, исходя из свойств этой фигуры.

2. Построение. Проведем отрезок BD и разделим его пополам точкой О.

Строим точки K и N, симметричные относительно О точкам K и N соответственно.

Обозначим через А точку пересечения отрезков ML и KN. Строим точку С, симметричную относительно О точке А. Искомая фигура - АВСD (рис. 31).

3. Доказательство. Точки А и С, В и D - симметричны относительно точки О по построению. А это значит, что диагонали BD и АС четырехугольника АВСD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует (по определению), что построенный четырехугольник - параллелограмм.

4. Исследование. Успех построения зависит от возможности найти точку А.

Если прямые KN и LM пересекаются, то пересекаются и прямые KN, LM. Тогда задача имеет единственное решение. Это значит, что данный четырехугольник не должен быть ни параллелограммом, ни трапецией с основаниями KN и ML.

Есть и еще одно ограничение. Стороны KN и ML должны быть такими, чтобы пересекались отрезки KN и ML. Иначе пересечение прямых ML и KN вне отрезка ML привело бы к видоизменению задачи.

Если KNLM, то задача имеет либо множество решений (когда прямые MN и KN оказываются параллельными).

Задача 2. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой d. Постройте на ней такую точку Х, чтобы биссектриса угла АХВ лежала на прямой d.

Решение. 1. Анализ. Предположим, что точка Х найдена (рис. 32). Тогда АХЕ=ЕХВ. А это значит, что лучи АХ и ВХ симметричны относительно луча ХЕ. Проведем перпендикуляры к прямой d из точек А и В. они пересекут лучи угла АХВ в точках А и В соответственно. Причем точки А и А, В и В симметричны друг другу относительно прямой d.

2. Построение. Строим точку А, симметричную точке А относительно прямой d.

Строим точку В, симметричную точке В относительно прямой d.

Точки А и В (А, В) оказались в одной полуплоскости, а прямые ВА и ВА пересекаются в искомой точке Х.

3. Доказательство. Углы АХЕ и ВХЕ равны по построению, следовательно, ХЕ - биссектриса, но луч ХЕ принадлежит прямой d. Значит, точка Х искомая.

4. Исследование. Если точка А совпадает с точкой В, то возможно только одно решение.

Если точка А совпадает с точкой В, то задача имеет бесконечно много решений, так как любая точка прямой d удовлетворяет условию.

Если отрезок АВ оказывается параллельным прямой d, то решений нет.

Задача 3. Постройте такой равносторонний треугольник, чтобы одна его вершина совпадала с данной точкой О, а две другие принадлежали двум данным окружностям.

Решение. 1. Анализ. Предположим, что требуемый треугольник построен. Угол при данной вершине О равен 60, причем ОА=ОВ. Это значит, что при повороте на 60 вокруг точки О против часовой стрелки вершина А перейдет в вершину В. значит, вторая искомая вершина треугольника является точкой пересечения образа окружности с центром О (при повороте на 60 вокруг точки О) с данной окружностью, имеющей центр О.

2. Построение. Построим образ одной из окружностей при повороте на угол 60 с центром в данной точке О. Точка пересечения полученной окружности и второй из данных окружностей является второй вершиной треугольника. На рис. 33 это точка В.

Доказательство и исследование учащиеся должны провести дома самостоятельно.

Задача 4. Построить трапецию по диагоналям d, d и двум параллельным сторонам а и b.

Решение. 1. Анализ. Предположим, что искомая трапеция построена и в ней проведены диагонали d и d. Попробуем построить фигуру, в которой диагонали присутствовали бы в «целом» виде, т.е. без пересечения друг с другом. Оставим одну диагональ на месте, а другую (допустим, АС) перенесем параллельно на расстояние АD (рис. 34а). Получим треугольник ВЕD в котором известны три стороны:

ВЕ=а+b, BD= d, DE= d.

Точки В, Е, D позволяют построить параллелограмм АСЕD, в котором диагональ СD служит стороной искомой трапеции.

Для того чтобы найти другую сторону трапеции (рис. 34б), построим сначала треугольник АСЕ, у которого сторона АЕ является образом при параллельном переносе диагонали ВD на расстояние АD.

При таком анализе построение оказывается совершенно очевидным. Поэтому все последующие этапы решения целесообразно оставить учащимся для домашней работы.

Метод подобия

При решении многих задач на построение применяется метод подобия. Суть которого заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи.

Процесс обучения применению подобия к решению задач на построение целесообразно разбить на четыре этапа: подготовительный, ознакомительный, формирующий умение, совершенствующий умение. Каждый этап имеет свою дидактическую цель, которая достигается, когда учащиеся выполняют специально составленные задания.

Дидактическая цель подготовительного этапа - сформировать у учащихся умения: выделять данные, определяющие форму фигуры, множество пар подобных между собой фигур; строить фигуру по данным, определяющим форму; переходить от построенной фигуры к искомой.



После изучения первого признака подобия треугольников можно предложить следующий набор заданий:

Постройте треугольник по двум углам. Сколько решений имеет задача? Какие элементы определяют форму построенных треугольников?

Назовите подобные треугольники на рис.35.

Известны следующие элементы треугольника: а) углы в 75и 25; б) высота 1,5 см; в) углы в 75 и 25, высота 1,5 см. какие из этих данных определяют единственную фигуру на рис.35?

Подобны ли треугольники АВС и АВС на рис.36, если АСАС? если они подобны, то каков их коэффициент подобия?

Какие углы определяют форму треугольников на рис.36?

Можно ли будет определить размеры одного из треугольников на рис.36, если станут известны следующие данные: а) углы при основании треугольника; б) высоты треугольника; в) сторона и углы при основании?

На рис.31 равные углы помечены одинаково. Кроме того, NР=NP, МР=МР. Как расположены прямые NP и NP?

Каким отношением связаны треугольники MNP и MNP и их биссектрисы?



Набор заданий, предъявляемых учащимся после изучения 2 и 3 признаков подобия треугольников, составляются аналогично. Однако при переходе от данного признака к следующему вопросы несколько усложняются, а именно: расположение треугольников на рисунках меняется, удаляясь от стандартного, варьируется набор элемента, определяющего единственную фигуру. Задания, например, могут быть такими:

1. Подобны ли треугольники АВС и АВС, если: а) АВ=5см, ВС=7см,

В=30?, АВ=10см, ВС=14см, В=60?; б) АВ=5см, ВС=7см, В=30?, АВ=10см, ВС=14см, В=30?; в) АВ=3см, ВС=5см, СА=7см, АВ=4,5см, ВС=7,5см, СА=10,5см; г) АВ=1,7см, ВС=3см, СА=4,2см, АВ=34дм, ВС=60дм, СА=84дм?

2. В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВD (рис. 35). Докажите, что АВС подобен ЕDC.

3. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Дидактическая цель ознакомительного этапа в том, чтобы разъяснить учащимся структуру процесса построения методом подобия.

Объяснение начинается с задачи.

Задача 1. Построить треугольник по двум данным углам и и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла.

Анализируя задачу с учащимися, учитель предлагает задания - вопросы, ответы на которые кратко фиксируются на доске. Вопросы могут быть такими:

1. Какие данные определяют форму искомого треугольника?

2. Какие данные определяют размеры искомого треугольника?

3. Сколько треугольников можно построить построение двум углам? Какими будут построение форме все построенные треугольники?

4. Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?

5. Как построить искомый треугольник?

Ответы на вопросы сопровождаются выполнением на доске чертежа от руки (рис. 38).

Далее составляется план построения и выполняется само построение. Запись построения у учащихся в тетрадях может быть такой:

а) АВС: А=, В=;

б) построить биссектрису угла С в треугольнике АВС,

в) построить СN=d, NCD;

г) через точку N провести прямую , АВ;

д) АC=А, ВС=В;

е) АВС - искомый: А=, В=(так как АВС АВС по 1 признаку) и СN=d по построению.

Дидактическая цель этапа, формирующего умение решать задачи рассматриваемого вида, ясна уже из его названия. Основная форма деятельности на этом этапе - индивидуально-поисковая. Она завершается обобщающей беседой.

Приведем несколько примеров задач, которые можно предложить на данном этапе.

Задача. Внутри угла АОВ задана точка F. Построить на стороне ОА точку М, одинаково удаленную от F и от стороны ОВ

Решение. 1. Анализ. Обратимся к рисунку 39. Пусть точка М построена, тогда MF=MP. Это означает, что искомая точка М - есть центр окружности радиуса МF с центром М, касающуюся стороны ОВ в точке Р.

Если мы возьмем на ОА произвольную точку М и опустим МР на СВ и найдем F пересечения окружности с центром М радиуса МР с прямой ОF, то МFP будет подобен МFР. Отсюда вытекает требуемое построение.

2. Построение. Проводим ОF, берем на СА произвольную точку М и опускаем МР на СВ. Проводим окружность радиуса МР с центром в точке М. Пусть F - точка пересечения этой окружности с ОF. Проводим FM и затем проводим прямую через точку FFM. Точка М пересечения этой прямой с ОА - искомая.

3. Доказательство. Очевидно из проведенного анализа.

4. Исследование. Задача имеет 2 решения. Это следует из того, что окружность пересекается с ОF в 2-х точках.

Задача. Построить треугольник по 2 углам и периметру.

Решение. 1. Анализ. Пусть и - данные углы и Р - периметр искомого треугольника (рис.40). Допустим, что искомый треугольник построен,

тогда, если мы рассмотрим какой-либо АВС, подобный искомому, отношение периметра Р АВС к периметру Р АВС равно отношению сторон

АС и АС.

2. Построение. Построим АВС подобный искомому. На луче АВ, отложим отрезки АD=Р и АD=Р, затем соединим точку D и С, и через точку D проведем прямую DC.

Пусть С - точка пересечения прямой с лучом АС. Через точку С проведем прямую СВ и обозначим В точку пересечения этой прямой с AD, тогда АВС - искомый.

3. Доказательство. Очевидно, что AСD подобен АСD, поэтому . По соотношению сторон равно отношению периметров подобных АВС и АВС, поэтому периметр АВС=Р, следовательно, АВС - искомый.

4. Исследование. Так как сумма любых двух углов треугольника <180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Задача. Дан АОВ и точка М, расположенная во внутренней области этого угла. Построить окружность , проходящую через точку А касающуюся сторон угла АОВ.

Решение. 1. Анализ. Пусть АОВ - данный и точка М, расположена во внутренней области угла (рис. 41). Проведем еще одну окружность , касающуюся сторон АОВ. Обозначим, М - точку пересечения окружности с прямой ОМ и рассмотрим ОМN и ОМN (N и Nцентры окружности и ). Эти треугольники подобны по двум углам, поэтому построение искомой окружность можно провести следующим образом:

2. Построение. Так как центр искомой окружности лежит на биссектрисе АОВ, то проводим биссектрису угла. Далее, возьмем здесь же точку N и построим окружность с центром N, касающуюся



АОВ. Затем проводим прямую СМ и обозначим через М- точку пересечения прямой с окружностью (таких точек две - М и М - берем одну из них). Проводим прямую МN и ей прямую через точку М. Тогда N -пересечение прямой с биссектрисой угла и есть центр искомой окружности, а ее радиус равен МN. Проведем ее.

3. Доказательство. По построению окружность подобна , О - центр подобия. Это следует из подобия треугольников ОМN и ОМN,поэтому раз окружность касается сторон угла, то и окружность будет касаться сторон угла .

4. Исследование. Задача имеет два решения, т.к. ОМ пересекается с окружностью в двух точках М и М, каждой из которых будет соответствовать своя окружность, проходящая через точку М и

касающаяся сторон АОВ.

Дидактической целью этапа, совершенствующего умение решать задачи типа рассмотренных, является перенос сформированного умения на более сложные задачи, в частности на следующие ситуации: искомая фигура занимает определенное положение по отношению к данным точкам или линиям, при этом устранение одного из условий задачи приводит к системе подобных или гомотетичных фигур. Приведем пример такой задачи.

Задача. В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне треугольника, а две другие - на двух других сторонах.

Задачи, соответствующие целям этого этапа, исключены из числа задач обязательного уровня. Поэтому они предлагаются только хорошо успевающим школьникам. Главное внимание на этом этапе уделяется индивидуально-поисковой деятельности учащихся.

Заключение

Овладение практически любой современной профессией требует определенных математических знаний. Представление о роли математики в современном мире, математические знания стали необходимым компонентом общей культуры. Для жизненной самореализации, возможность продуктивной деятельности в информационном мире требуется достаточно прочная математическая подготовка.

В процессе математической деятельности учащихся в арсенал приемов и методов мышления включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование, аналогия. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умения действовать по заданному алгоритму и конструировать новые в ходе решения задач, основа учебной деятельности на уроках математики. Развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Данная работа имеет практическую направленность. Учитель может использовать предложенную методику в своей практической деятельности. Разнообразие рассматриваемых задач позволит учителю применить их как для обязательного курса изучения геометрии, так и для индивидуальной, факультативной работы и для работы в классах с углубленным изучением математики.

Таким образом, цель поставленная в данной дипломной работе выполнена, задачи реализованы.

Литература

1. Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плоскости, второе издание - М.: «Просвещение», 1975.

2. Базылев В. Т., Дуничев К. И. Геометрия (часть 2) - М.: «Просвещение», 1975.

3. Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности (История и современная теория) - издательство Ростовского университета, 1975.

4. Мельникова Н. Б., Мищенко Т. М. Геометрия в 6 классе - М.: «Просвещение», 1986.

5. Карнацевич Л. С., Грузин А. И., Изучение геометрии в 6 классе - М.: «Просвещение», 1983.

6. Аргунов Б. И. Преобразования плоскости-М.: «Просвещение», 1976.

7. Кожарин А. Ф., Лебедев В. К., Алгебра и геометрия. Методика преподавания в 9-11 классах - Ростов-на-Дону, «Феникс», 2002.

8. Мухина В. С. Возрастная психология - М.: «Академия», 1999.

9. Абрамова Г. С. Возрастная психология - М.: «Академия», 1999.

10. Алферов А. Д. Психология развития школьника - Ростов-на-Дону, «Феникс», 2000.

11. Рыбалко Е. Ф. Возрастная и дифференциальная психология - СПб.: «Питер», 2001.

12. Белошистая А. В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии

//Математика в школе. - 2002. - 9.

13. Чистякова Л. С. Приемы формирования практических умений и навыков при обучении геометрии //Математика в школе. - 1987. - 4.

14. Корнеева В. Е. Решение задач на построение методом спрямления //Математика в школе. - 1995. - 5.

15. Фукс Д. Б. Построения одним циркулем //Квант. - 1987. - 6.

16. Нильме Д. В. Циркулем и линейкой //Квант. - 1975. - 6.

17. Погорелов А. В. Геометрия 6-10 - М.: «Просвещение», 1982.

18. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия 7-9 - М.: «Просвещение», 1994.

19. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Геометрия 7-11 - М.: «Просвещение», 1992.

Размещено на Allbest.ru