Трисекция угла

Задача о трисекции угла состоит в том, чтобы разделить данный угол на три равные части.

Вместе с еще двумя классическими задачами на построение - удвоении куба и квадратуры круга - задача о трисекции угла пришла из Древней Греции и на протяжении многих столетий занимала умы людей. Неоднократно пытались решить эти три задачи с помощью освященных евклидовой геометрией инструментов - циркуля и линейки. Между тем, уже в древности математики догадались, что при использовании только циркуля и линейки эти задачи неразрешимы, а позднее это было и доказано. Попытки расширить инструментарий оказали большое влияние на древнегреческую математику, привели и к первым исследованиям конических сечений, и к исследованию сложных кривых, и к построению интересных инструментов.

Почему возникла задача о делении угла на три равные части? Вероятно потому, что на такое число частей приходилось делить произвольный прямоугольный отрезок. Это деление выполняется достаточно просто, как просто выполняется деление не только на три, но и на произвольное число частей. Снова математические ассоциации естественным путем приводят к мысли о возможности перенесения операции деления с отрезка прямой на иные геометрические образы. В данном случае, рассматривая угол как центральный, мы можем представить задачу о делении угла на три равные части как задачу о делении на такие части дуги окружности, на которую угол опирается (рис. 1).

Рис. 1

Итак, можно или нельзя с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части дугу окружности? Циркулем и линейкой задача не решена. Однако если не ограничиваться указанными инструментами, то ее можно решить, т.е. разделить на три равные части произвольный угол. Это не будут, конечно, решения, соответствующие тем требованиям, которые были поставлены, но это будет, очевидно, определенным приобретением в математике. В частности, в процессе отыскания таких решений был открыт целый ряд в высшей степени важных и интересных кривых. Одной из них является спираль Архимеда.

Представим себе равномерно вращающийся патефонный диск, по радиусу которого равномерно ползет муха, причем движение свое она начинает с центра диска. Какую кривую будет описывать муха? Дадим название для такой кривой - спираль Архимеда. Для того, кто знаком с методом координат, не составит труда написать уравнение спирали (рис. 2).

Рис.2

С этой целью воспользуемся полярной системой координат, которая строится так. На плоскости берется произвольная направленная полупрямая (полярная ось). Тогда, если M - произвольная точка плоскости, то сопоставим с нею два числа - отрезок OM=0, называемый полярным радиусом - вектором, и угол, называемый полярным углом и отсчитываемый против движения часовой стрелки от полярной оси до полярного радиуса - вектора.

Числа, называются полярными координатами точки M, а соответствие между точками плоскости и их полярными координатами - полярной системой координат. Точка O называется полюсом системы.

Примем то положение вращающегося радиуса, которое соответствует пребыванию мухи в центре диска, за полярную ось, тогда центр диска совпадает с полюсом, а расстояние, которое муха проползет по радиусу (полярный радиус вектор), будет пропорционально углу, на который повернется этот радиус (полярный угол). Спираль имеет вид, представленный на (рис. 2).

Трисекция угла