Геометричні екстремуми

16. На площині дано три точки A, B, C, що не лежать на одній прямій. Для якої точки T площині сума відстаней AT + BT + CT найменша?

Ще до книги Вівіані цим завданням цікавився італійський математик Бенавентура Кавальєрі (1598-1647), автор знаменитого «принципу Кавальєрі» для обчислення площ і обсягів, що передбачив інтегральне числення, а також математик і фізик Еванджеліста Торрічеллі (1608-1647). Кажуть,що саме Торрічеллі отримав перше рішення цього завдання (швидше за все, засноване на фізичних міркуваннях). Торрічеллі,як і Вівіані, був учнем Галілея. Саме ним наприкінці свого життя вже осліпнув Галілей диктував глави зі своєї книги «Бесіди про механіку». Подібно багатьом вченим пізнього Відродження, Торрічеллі був різнобічною людиною. Будучи професором математики Флорентійського університету, він багато займався завданнями фізики (його закон розподілу тиску рідини відомий тепер кожному школяреві), а також механіки, балістики і оптики, і навіть написав кілька робіт з конструювання оптичних приладів та шліфовці лінз. Згідно з іншими джерелами, незалежно від Торрічеллі, це завдання вирішив і найбільший французький математик П'єр Ферма(1601-1665). А перше чисто геометричне рішення належить, мабуть, швейцарському геометру Якобу Штейнеру(1796-1863), про якого мова ще попереду.

Мал.13

Розв'язання. Знову скористаємося тим же прийомом: вибудуємо відрізки AT, BT і CT в ламану лінію. Тепер, однак, замість симетрії застосуємо поворот. Повернемо площину на 60? навколо точки A, при цьому точка C перейде в деяку точку D, а точка T - в точку N. Трикутник AND дорівнює трикутнику ATC, оскільки переходить у нього при повороті на 60?, значить TC=ND. Трикутник ANT - рівносторонній, так як AT=AN і TAN = 60?, тому TA=TN. Отже, сума AT+BT+CT дорівнює довжині ламаної BTND, а значить, вона не менше довжини відрізка BD (мал. 13). Рівність досягається, коли точки B, T, N, і D лежать на одній прямій (у зазначеній послідовності). Це означає, що BTA+ATN=180? і, отже, BTA=120?; а також AND + ANT = 180?, значить, AND = 120?, тому ATC=120?. Таким чином, промені TA, TB і TC утворюють два кута в 120?, тому і третій кут між ними також дорівнює 120 ? (мал. 13). Точка T, з якої всі сторони трикутника видно під кутами 120 ?, має кілька назв. Іноді її називають точкою Ферма, іноді - точкою Торрічеллі, іноді - точкою Штейнера. Доказ, яке ми привели, з поворотом площини на 60 ?, належить Якобу Штейнеру. З його чудовими результатами ми ще не раз зустрінемося в цій книзі. А першим за часом з цих трьох математиків був Торрічеллі. Тому ми будемо називати цю точку, по праву першості, точкою Торрічеллі (ми і позначили її буквою T). Це ще одна чудова точка трикутника, поряд з центром ваги (точкою перетину медіан), ортоцентром (точкою перетину висот), центрами вписаного і описаного кіл. Правда, на відміну від чотирьох чудових точок, точка Торрічеллі існує не у будь-якого трикутника. Однак ми вже довели, що

Якщо у трикутника є точка Торрічеллі, то вона є єдиною точкою мінімуму суми відстаней до вершин трикутника.

Коли ж точка Торрічеллі існує? Нехай з трьох кутів трикутника кут при вершині A є найбільшим. Побудуємо на сторонах AC і AB всередину трикутника ABC дуги кіл, що містять по 120 ?. Ці дуги перетинаються в точці A. Якщо ж кут A менше 120 ?, то ці дуги мають ще і другу точку перетину (доведіть це!), Яку ми позначимо через T. Це і є точка Торрічеллі. Справді, так як кути ATC і ATB з побудови рівні 120 ?, то й третій кут BTC також виходить дорівнює 360?-120?·2=120?. І навпаки, якщо точка Торрічеллі існує, то вона будується саме таким чином, оскільки повинна лежати на перетині дуг кіл величиною в 120 ?, побудованих на сторонах трикутника. Отже,

Трикутник має точку Торрічеллі тоді і тільки тоді, коли всі його кути менше 120 ?.

А якщо один з кутів трикутника більше або дорівнює 120? (наприклад, кут A), то в якій точці сума відстаней до вершин буде мінімальна? Відповідь: в вершині цього кута. Довести це просто. Нехай A ? 120 ?, а M - довільна точка площини. Якщо M не лежить всередині кута A, то один з кутів MAC або MAB - тупий (нехай це кут MAC), а значить, MC> AC, з іншого боку, за нерівністю трикутника, MA + MB> AB, тому MA + MB + MC> AB + AC.

Якщо ж M лежить всередині кута A, то знову повернемо площину на 60 ? (мал. 14), і отримаємо, що трикутник BAD лежить всередині чотирикутника BMND, тому периметр трикутника менше периметра чотирикутника. Отже,

AB + AC = AB + AD <BM + MN + ND = BM + AM + CM.

Мал. 14

Теорема Торрічеллі-Ферма-Штейнера. Якщо всі кути трикутника менше 120 ?, то точкою мінімуму суми відстаней до його вершин є точка Торрічеллі. Якщо ж один з кутів більше або дорівнює 120 ?, то такою точкою є вершина цього кута.

28. Всі кути трикутника ABC менше 120?. На його сторонах у зовнішню сторону побудовані рівносторонні трикутники ABC', BCA' і CAB'. Тоді описані окружності цих трикутників і відрізки AA', BB' і CC' перетинаються в одній точці - точці Торрічеллі. Крім того, AA '= BB' = CC '.

29 (теорема Наполеона). Центри описаних кіл трикутників ABC', BCA' і CAB' є вершинами рівностороннього трикутника (трикутника Наполеона). Чому дорівнює сторона трикутника Наполеона, якщо AA'= c?

Це твердження приписують Наполеону, хоча невідомо, чи має він до нього якесь відношення. Наполеон трохи захоплювався геометрією і цілком шанобливо ставився до математики і математикам. Його оточувало багато видатних математиків того часу - Лаплас, Монж, Фур'є. Однак багато історики вважають, що його авторство твердження про рівносторонньому трикутнику - не більше ніж міф, створений придворними підлесниками.

30. Якщо на сторонах даного трикутника побудувати у внутрішню сторону рівносторонні трикутники, то їх центри також є вершинами рівностороннього трикутника (внутрішнього трикутника Наполеона). Різниця площ зовнішнього і внутрішнього трикутників Наполеона дорівнює площі вихідного трикутника.

31 (теорема Помпею). Навколо рівностороннього трикутника ABC описана окружність. Якщо точка M лежить на меншій дузі AB цієї окружності, то MC=MA+MB. Для всіх інших точок M площині виконано нерівність MC<MA + MB.

32. Доведіть, що сума відстаней від довільної точки всередині рівностороннього трикутника до його сторін - величина постійна. За допомогою цього твердження отримаєте інший доказ теореми Ферма-Торрічеллі-Штейнера.

Підказка. Через кожну вершину трикутника проведіть пряму,перпендикулярну відрізку, що з'єднує цю вершину з точкою Торрічеллі.Ці прямі утворюють рівносторонній трикутник.

33. На площині дано дві точки і пряма. Знайдіть точку,сума відстаней від якої до даних точок і до прямої мінімальна.

34. Дано опуклий чотирикутник ABCD. Для якої точки площини сума відстаней до його вершин буде найменшою? Відповідь ясна: для точки перетину діагоналей. Нехай трикутник ABC - гострокутний. Уявімо, що вершина D наближається до вершини C. Тоді чотирикутник ABCD прагне до трикутника ABC, а точка мінімуму суми відстаней - точка перетину діагоналей - прагне до вершини C. У межі отримаємо, що вершина C - точка мінімуму суми відстаней для трикутника ABC. Але ж насправді, як ми знаємо,мінімум суми відстаней до вершин трикутника ABC досягається в його точці Торрічеллі, а не у вершині C. Протиріччя?

35. Для трьох точок A, B і C на площині знайдіть таку точку M, для якої значення виразу а) AM +BM+ 2CM; б) AM+ BM-CM досягає найменшого значення.

Задача Штейнера

У просторі дано k точок. З'єднати їх системою кривих найменшою сумарної довжини. Це завдання було вперше поставлено великим геометром Якобом Штейнером (1796-1863). Народжений у Швейцарії в селянській родині Штейнер був в математиці самоучкою. У віці двадцяти років він переїхав до Німеччини, де і працював до кінця життя, спочатку в університеті Гейдельберга, а потім - Берліна. Вклад Штейнера в геометрію величезний. Йому належить безліч нових ідей і красивих, іноді дуже важких теорем. Він вперше довів, що трикутник з двома рівними бісектрисами - рівнобедрений, що всі геометричні побудови, здійснимі за допомогою циркуля і лінійки, можуть бути здійснені за допомогою однієї лінійки, якщо тільки нам дана хоча бодна окружність і її центр. Так званий поризм Штейнера, або «намисто Штейнера», теорема про ланцюжок стосуються кіл, по праву вважається одним з найкрасивіших тверджень геометрії. Як представник «чистої геометрії», він був переконаний, що геометрію треба вивчати умоглядно, без залучення обчислень. Він говорив, що «розрахунок замінює мислення, а геометрія, навпаки, це мислення зміцнює». На його переконання,кожна геометрична задача повинна мати чисто геометричне рішення. Якщо Штейнеру не вдавалося знайти геометричне рішення, він вважав задачу не вирішеною зовсім і не публікував рішення. З цієї причини багато теореми Штейнера дійшли до нас без доказів.

Розв'язання. Ми вирішимо завдання Штейнера для k точок на площині. З незначними змінами цей же доказ годиться і для k точок у просторі, і навіть у просторі R3 довільної розмірності. У цьому сенсі рішення задачі Штейнера універсально!

Рішення розіб'ємо на кілька етапів. Отже, нехай на площині дано k точок

A1, A2, ..., Ak. Подивимося, якими властивостями повинна володіти найкоротша система доріг, що з'єднує ці точки. Перше властивість досить очевидно, і випливає з того, що найкоротшим шляхом з однієї точки в іншу є відрізок прямої:

а) найкоротша система складається з відрізків.

Таким чином, найкоротша система доріг є плоским графом - об'єднанням кінцевого числа відрізків. Кінці цих відрізків - вершини графа, а самі відрізки - його ребра. Дані точки A1,. . ., Ak ми будемо називати справжніми вершинами цього графа, всі інші його вершини (перехрестя доріг) - додатковими. За умовою цей граф зв'язний, тобто з будь-якої його вершини можна дістатися по ребрах в будь-яку іншу. Більше того,цей граф однозв'язний, тобто для будь-якої пари вершин існує єдиний шлях по ребрах, їх зв'язує (при цьому завжди вважаємо, що ніякий шлях не проходить двічі по одному ребру). Зв'язний граф є однозв'язний тоді і тільки тоді, коли він не містить замкнутих шляхів (доказ цього факту - проста вправа). Якби найкоротша система доріг не була однозв'язною, то існував би замкнутий шлях. Прибравши будь-яке ребро з цього шляху, ми отримали б зв'язний граф меншої довжини.

Отже, найкоротшу систему доріг треба шукати серед однозв'язних графів, які містять дані крапки як вершин(Але можуть мати і додаткові вершини).

б) будь-які два ребра, виходячи з одної вершини, утворюють кут не менше 120о.

Справді, якщо з вершини A виходять ребра AB і AC,і кут між ними менше 120?, то ми можемо замінити цю пару ребер іншими, також зв'язують точки A, B і C, але мають меншу сумарну довжину. Якщо в трикутнику ABC всі кути менше 120 ?, то поставимо одну додаткову вершину T - точку Торрічеллі цього трикутника, з'єднаємо її з вершинами A, B і C, а ребра AB і AC приберемо. Отримаємо зв'язний граф меншою довжини. А якщо у трикутнику ABC, скажімо, кут при вершині B більше або дорівнює 120 ?, то прибираємо ребро AC, а замість нього ставимо BC. Знову отримаємо зв'язний граф меншої довжини (мал. 15).

Мал.15

З цієї властивості безпосередньо випливає, що

в) із справжньої вершини може виходити одне, два або три ребра; якщо виходить два ребра, то кут між ними більший або рівний 120о; якщо три, то вони утворюють між собою кути в 120о.

Більше трьох ребер виходити не може, інакше один з кутів буде менше 120 ?.

Таким чином, справжні вершини бувають трьох типів. З додатковими вершинами справа йде простіше - всі вони одного типу:

г) із кожної додаткової вершини виходять три ребра під кутами 120о.

Дійсно, перший тип для додаткової вершини неможливий (якщо з додатковою вершини виходить тільки одне ребро, то ця вершина не потрібна, тому що її можна прибрати разом з ребром), другий - також неможливий (якщо додаткова вершина M з'єднана ребрами тільки з двома вершинами B і C,то приберемо ці ребра разом із самою вершиною M, а точки B і C з'єднаємо ребром; отримаємо зв'язний граф меншої довжини).

Варіаційні методи розв'язання екстремальних задач

Отже, ми розібрали безліч завдань, і кожна з них мала своє елегантне геометричне рішення. На практиці, на жаль,так виходить далеко не завжди. Багато геометричні задачі на мінімум і максимум або зовсім не мають геометричного рішення, або їх геометричні рішення істотно складніше аналітичних. Таким є стан речей, і ставитися до нього можна по-різному. З одного боку, це погано. З іншого боку, ця обставина завжди змушувало математиків шукати нові шляхи вирішення. У таких пошуках до кінця XVII століття народилося і оформилося новий напрямок математики, вставши в рівень з алгеброю і геометрією - математичний аналіз. Саме задачах на максимум і мінімум, поряд із завданнями механіки і оптики, математичний аналіз зобов'язаний своєю появою. Принцип рішення багатьох екстремальних задач зводиться до простого і разом з тим універсальному фактом:

У точці максимуму або мінімуму функції її похідна дорівнює нулю.

Це твердження часто називають теоремою Ферма (не плутати з великої теоремою Ферма і з малою теоремою Ферма в теорії чисел!), оскільки саме П'єр Ферма вперше сформулював його в 1629 році в роботі «Метод відшукання найбільших і найменших значень». Свій метод Ферма назвав «De maximis et minimis» (нагадаємо, що наукові роботи в той час писалися на латині) і продемонстрував, як з його допомогою можна вирішити завдання Евкліда: з усіх прямокутників з даними периметром знайти той, який має найбільшу площу. Треба сказати, що ідея варіаційного методу в той час, що називається, витала в повітрі. Багато вчених розвивали цей метод. Наприклад, Йоганн Кеплер, слова якого з трактату «Стереометрія винних бочок» ми винесли в епіграф, або Ісаак Ньютон, що говорив що «коли величина є максимальною або мінімальною, в цей момент вона не тече ні вперед, ні назад». Нагадаємо, що похідної функції f(x) в точці x називається число a таке, що Мал..16

f(x+h)=f(x)+a·h+?(h) | h |,

де величина ?(h) прагне до нуля при h > 0. Похідну позначають символом f', таким чином, f'(x)=a.

Для досить малих збільшень h функція f(x+h) наближено дорівнює лінійної функції f(x)+ah, причому чим менше h, тим це наближення точніше.

54. Через дану точку всередині кута провести відрізок з кінцями на сторонах кута, що має найменшу довжину.

Дивно, що ця чисто геометрична задача не має на стільки ж ясного геометричного рішення. Все більш-менш короткі її рішення використовують похідну. Цікаво й те,що багато схожі на неї завдання-близнюки, які, на перший погляд, навіть складніше її, мають прості геометричні рішення. Наприклад, провести відрізок через дану точку всередині кута,відтинаючий від кута трикутник мінімальної площі або мінімального периметра.

Розв'язання. Позначимо найкоротший відрізок через AB, а дану фіксовану точку всередині кута - через M. Проведемо через M інший відрізок A'B' з вершинами на сторонах кута. Нехай ? - кут між A'B' і AB. Функція f(?)=A'B' досягає свого мінімуму в точці ? = 0, тому f '(0) = 0. Застосувавши теорему синусів до трикутниками MBB 'і MAA', отримаємо

;

отже,

Отже

.

Оскільки при ? > 0, і при цьому

,

отримуємо остаточно f '(0) =-MB ctg ? +MA ctg ?.

Але так як f'(0) = 0, для найкоротшого відрізка AB отримуємо таку умову:

MB ctg ? = MA ctg ?.

Що це означає геометрично? Нехай K - вершина кута. Опустимо перпендикуляр KH на AB. Неважко перевірити, що

. З боку, , тому MA=HB і MB=HA. Отже, мал.. 17

Мал.. 18

Найкоротший відрізок AB характеризується наступним властивістю: проекція вершини кута на AB симетрична точці M відносно середини відрізка AB.

Чому ми лише охарактеризували положення відрізка AB, а не дали способу його побудови? Справа в тому, що для довільного кута цей відрізок не може бути побудований за допомогою циркуля і лінійки. Саме тому ця «проста» геометрична задача має настільки громіздке рішення. Якби існувала така побудова, яке знаходило б найкоротший відрізок для будь-якого кута, то воно годилося б і для прямого кута (мал. 28). Якщо кут K - прямий, то

.

З іншого боку

де ? - кут між KM і KA (ми скористалися подібністю трикутників APM і AKB). Отже, . Побудувати відрізок AB означає знайти кубічний корінь з числа tg ?. Останнє, як відомо, не здійснимо за допомогою циркуля і лінійки.

У екстремальних задачах досить частою є ситуація,коли можливо тільки охарактеризувати положення точки мінімуму (максимуму), але не знайти її конструктивно.

Варіаційний метод можна застосовувати і до завдань з декількома змінними, коли функція f(x) задана не так на прямий, а, скажімо,на площині. При цьому x - точка на площині з координатами (х1, x2). Похідна визначається за тим же принципом: похідної в даній точці x називається вектор a = f '(x) такий, що

f (x + h) = f (x) + a · h + ? (h) | h |,

де h = (h1, h2) - довільний вектор, званий приростом аргументу x, число |h|= - його довжина, а величина ?(h) прагне до нуля при |h| > 0. Різниця тільки в тому, що замість звичайного твори чисел тепер береться скалярний добуток векторів a·h, рівне добутку їх довжин на косинус кута між ними. У координатах скалярний твір виражається як a·h=a1h1+a2h2. У точці мінімуму або максимуму функції f її похідна (якщо вона існує) дорівнює нулю .

Доведення. Справді, нехай f'(x)=a?0. Тоді розглянемо прирощення h=ta, де t - позитивне число. Враховуючи, що a·ta =t|a|2, отримуємо

f(x+ta) = f(x)+t|a|2 + t|a|? (ta) = f(x)+t|a|(|a|+?(ta)).

При t > 0 величина ?(ta) прагне до нуля, тому при малих t величина |a|+?(ta) - позитивна, значить f(x+ta)>f(x). Таким чином, точка x не є точкою максимуму. Точно так само,взявши прирощення h =-ta, доводимо, що x не є і точкою мінімуму.

Як приклад знайдемо похідну функції довжини вектора f(x)=|x|. Ця похідна знадобиться нам у багатьох завданнях. Користуючись тим, що |x|2= x·x, отримуємо

.

Звідси

Якщо x?0, то при h > 0 величина |x+h|+|x| прагне до 2|x|,а величина прагне до нуля. Тому

.

Де ?(h) > 0 при h > 0. Звідси випливає, що . Отже, функція f(x)=|x| має похідну в будь-якій точці x, крім точки x=0. Ця похідна є вектором одиничної довжини, співаправленнимі з вектором x.

55. Задача про найменшою сумою відстаней до k точок. На площині дано k точок. Знайти точку, сума відстаней від якої до цих точок мінімальна.

Розв'язання. Позначимо через x1,. . ., хk дані точки, а через x - довільну точку площини. Нехай також fi(x) =|x-xi| для i = 1,. . ., k. Потрібно знайти точку x, для якої сума f1(x)+. . . + Fk(x) буде найменшою. Похідна функції fi(x) є одиничним вектором, співнаправленимі вектору x-xi. Якщо x - точка мінімуму, то або сума таких векторів дорівнює нулю, або одна з функцій fi не має похідної в точці x, а це означає, що x збігається з точкою xi. Таким чином,

Точка мінімуму суми відстаней або збігається з одного з даних точок, або характеризується наступним властивістю:сума k векторів одиничної довжини, направлених з цієї точки до даних k точкам, дорівнює нулю.

При k = 3 отримуємо точку Торрічеллі або одну з вершин трикутника (як ми знаємо, вершину з кутом ? 120?), при k = 4 - точку перетину діагоналей чотирикутника, якщо чотирикутник опуклий, а якщо не опуклий - то його вершину,лежачу всередині трикутника з вершинами в трьох, що залишилися точках. При k ? 5 ця точка, взагалі кажучи, не будується за допомогою циркуля і лінійки.

Виходить досить дивна ситуація. Якщо на площині дано, скажімо, 10 точок, то існує спосіб побудови найкоротшою системи доріг, їх зв'язує (мережа Штейнера). Причому це побудова - точний, його можна зробити за допомогою циркуля і лінійки і знайти точну довжину. Якщо ж нам потрібно вирішити більше,здавалося б, просте завдання - знайти точку, сума відстаней від якої до даних 10 точок мінімальна (тобто знайти найкоротшу не з усіх систем доріг, а тільки з тих, які сходяться в одному перехресті), то ця задача в загальному випадку вирішується лише наближено, а не точно. Про точку мінімуму ми нічого не знаємо, крім того, що вона існує, і того, що сума 10 одиничних векторів з неї в дані точки дорівнює нулю. За допомогою циркуля і лінійки ми рішення побудувати не можемо.

Висновок

Головним засобом розвитку творчого мислення учнів є розв'язування нестандартних задач або задач стандартного вигляду, які розв'язуються

Нестандартними методами.

Розв'язування будь-якої задачі - це дуже складний комплекс дій. Учень повинен мати глибокі математичні знання, вміти оперувати математичними поняттями володіти сукупністю сформованих властивостей мислення.

Завжди під час розв'язування задач перед учнями постає проблема перетворення умови задачі з метою пошуку її розв'язання .

Активний пошук способів розв'язування задач - це процес творчого мислення, що є необхідною умовою творчої діяльності.

Екстремальні задачі розв'язують в два етапи:

1. Розглядається невизначена задача, текст якої зводиться до рівняння ( або функції).

2. За даними ознаками чи властивостями наявної функції визначають, який з розв'язків задачі є найбільш корисним.

Слід звернути увагу на те, що під час розв'язування нестандартних задач учні оволодівають новими методами та прийомами, мають можливість засвоювати нові математичні факти, які вони можуть уже застосовувати під час розв'язування інших задач.

Існують багато методів розв'язку задач на максимум і мінімум, та серед них можна виділити три основні:

1) метод оцінки;

2) метод перетворення площини;

3) метод опорної функції;

4) метод перебору.

В моїй роботі використані деякі теореми, на основі яких розв'язуються складні геометричні задачі :

Теорема 1: Добуто двох додатніх множників, сума яких стала, має найбільше значення при рівності множників ( якщо множники можуть приймати однакові значення).

Теорема 2: Сума двох додатніх чисел, добуток яких сталий, має найменше значення при рівності доданків.

Теорема 3: Середнє геометричне декількох величин не більше їх середнього арифметичного.

Нестандартні задачі корисні й тим, що не містять алгоритмічних підходів, завжди потребують пошуків нових підходів, що стимулюють пізнавальні інтереси учнів, формують навички проведення аналізу систематизації висування гіпотез, допомагають оволодіти дедуктивним методом, активізують самостійну пошукову діяльність.

архімед максимум мінімум штейнер

Список використаної літератури

1. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. -- М.: Наука, 1986.

2.Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. -- М.: Наука, 1978.

3. Бляшке В. Круг и Шар. -- М.: Наука, 1967.

4. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Геометрические задачи на максимум и минимум. // Энциклопедия элементарной математики: кн. 5. -- М.: Наука, 1966. -- с. 270--348.

5. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. -- М.: Наука, 1970.

6. Рудин У. Основы математического анализа. -- М.: Мир, 1976.

Размещено на Allbest.ur