Методика розв’язання рівнянь і нерівностей у середній школі

7(2 - х) ? 3х + 44. (2.1.3)

Розв'язок. Розкриваємо дужки в лівій частині:

14 - 7х ? 3х + 44,

1. Переносимо однородні члени нерівності зі змінною до лівої частини нерівності із зміною знака, а числа - вправу частину нерівності із зміною знака.

При такому перенесені знак нерівності не міняється:

-7х - 3х ? -14 + 44,

Провівши групування, отримуємо: -10x ? 30,

Ділимо ліву та праву частину нерівності на -10, відповідно змінюючи знак нерівності на протилежний, отримуємо відповідь: х ? -3.

Відповідь. х ? -3.

Приклад 2.1.2 Розв'яжіть нерівність

(2.1.4)

Розв'язок.

1. Помножимо обидві частини нерівності на число 6 (НСК)

2. Розкриваючи дужки у лівій частині та групуючи змінні та вільні члени в різних частинах нерівності без зміни знаку отримуємо

3. Ділимо ліву та праву частину нерівності на -12, відповідно змінюючи знак нерівності на протилежний, отримуємо відповідь:

Відповідь:

Приклад 2.1.3. Розв'яжіть нерівність з модулем

(2.1.5)

Розв'язок.

1. Нерівність з модулем рівносильна сукупності (не системі !) нерівностей. Сукупність нерівностей відрізняється від системи нерівностей тим, що кожна нерівність сукупності виконується окремо одна від одної (можливо на різних проміжках числової осі).

або звідси

Відповідь: Нерівність має 2 проміжка, на яких виконуються умови нерівності модуля та . На проміжку числової осі розв'язок відсутнє.

2.2 Системи лінійних нерівностей з однією змінною (9 клас)

Розв'язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке задовольняє кожну з нерівностей даної системи.

Система двох нерівностей зводиться до одного з наступних випадків [22].

1. 2. 3. 4. .

Якщо , то розв'язком системи нерівностей будуть:

1. 2. 3. 4.

Множиною розв'язків системи нерівностей буде переріз множин розв'язків нерівностей, що входять до неї.

Приклад 2.2.1. Розв'яжемо систему нерівностей

(2.2.1)

Розв'язок.

1. Після перетворень кожної з нерівності системи (2.2.1), система нерівностей приймає вигляд

2. Відповідно розв'язком буде подвійна нерівність , яка задовольняє обидві нерівності.

Відповідь: Перерізок множин розв'язків

Приклад 2.2.2 Розв'яжемо систему нерівностей

(2.2.2)

Розв'язок.

1. Після перетворень кожної з нерівності системи (2.2.2), система нерівностей приймає вигляд

2. Як показує аналіз нерівностей областю множин рішень для першої нерівності є проміжок зліва по числовій осі від точки , а областю множин рішень для другої нерівності є проміжок справа по числовій осі від точки . Таким чином області множин рішень для обох нерівностей мають єдину точку перетинання .

Відповідь:

Приклад 2.2.3. Знайти цілі розв'язок системи нерівностей

(2.2.3)

Розв'язок.

1. Після перетворень кожної з нерівності системи (2.2.3), система нерівностей приймає вигляд

2. Як показує аналіз нерівностей областю множин рішень для першої нерівності є проміжок справа по числовій осі від точки , а областю множин рішень для другої нерівності є проміжок зліва по числовій осі від точки . Таким чином області множин рішень для обох нерівностей мають проміжок перетинання у вигляді подвійної нерівності

.

Відповідь: , тобто ряд цілих чисел (-4,-3,-2,-1,0,1).

Приклад 2.2.4. Знайти цілі розв'язок системи нерівностей

(2.2.4)

Розв'язок

1. Після перетворень кожної з нерівності системи (2.2.3), система нерівностей приймає вигляд

2. Як показує аналіз нерівностей:

- областю множин рішень для першої нерівності є проміжок справа по числовій осі від точки ;

- областю множин рішень для другої нерівності є проміжок справа по числовій осі від точки ;

- областю множин рішень для третьої нерівності є проміжок зліва по числовій осі від точки ;

Таким чином області множин рішень для трьох нерівностей (перша та треття нерівності не має жодної точки перетинання) не мають загальних проміжків перетинання, тобто система не має рішень

Відповідь: Система не має рішень.

2.3 Квадратні нерівності (9 клас)

Розглянемо квадратні нерівності [22]

. (2.3.1)

Якщо , то нерівність (2.3.1) виконується при всіх при і нерівність (2.3.1) не виконується ні в одній точці при .

Якщо , то нерівність (2.3.1) завжди виконується в точці . Нерівність (2.3.1) виконується при при і не виконується при при .

При знаходимо корні рівняння

, . (2.3.2)

При нерівність виконується при .

При нерівність виконується при .

Можна сформувати просте правило.

Якщо квадратна нерівність (2.3.1) виконана при великих значеннях , то воно виконується поза відрізка, обмеженого коренями рівняння . Якщо нерівність (2.3.1) не виконано при великих значеннях , то воно виконується на відрізку, обмеженими коренями рівняння (2.3.2).

Приклад 2.3.1 Розв'яжемо нерівність .

Оскільки нерівність не виконується при великих значеннях , то вона виконується між коренями рівняння

, ,

Таким чином, нерівність виконується в проміжку між коренями при .

Приклад 2.3.2 Розв'яжемо нерівність

Нерівність виконується при великих значеннях модуля то воно буде виконуватись поза інтервалом, обмеженим коренями рівняння

,

Тобто в проміжку поза коренями (зліва та справа) при

.

Метод інтервалів застосовується при розв'язанні любих нерівностей, але простіше всього застосовується при розв'язанні раціональних нерівностях вигляду

. (2.3.3)

-- натуральні показники степені. Для Розв'язок нерівностей знаходять корні лівої частини нерівностей і наносять на числову вісь. Потім приводять криву так, що крива вище найбільшого кореня лівої частини нерівності. При переході через корінь лівої частини нерівності (2.3.3) крива залишається з тієї ж сторони від вісі х, якщо показник -парний і переходить на другу від вісі х, якщо показник - непарний.

Приклад 2.3.3 Розв'яжемо нерівність

Наносимо корені на вісь х і малюємо криву, визначаючу знаки лівої частини нерівності.

Рис. 2.3.1

Нерівності мають розв'язок .

Приклад 2.3.4 Розв'яжемо нерівність

.

Розкладемо ліву частину нерівності на множники

.

Можна поділити ліву частину на множники , які завжди позитивні

Відкладаємо на числовій осі точки

Рис. 2.3.2

Розв'язком нерівності є тільки значення .

Приклад 2.3.5 Розв'яжемо більш складніші раціональні нерівності

.

Відкладемо на числовій вісі точки , , в яких ліва частина нерівності може змінити свій знак.

Рис. 2.3.3

Точки , в яких нерівність не виконується відмічаємо пустим кружечком. Утворюється розв'язок нерівності

.

2.4 Ірраціональні нерівності (10 клас)

Як правило, ірраціональні нерівності зводяться до однієї з наступних нерівностей [52]

(2.4.1)

Нерівність (2.4.1) виконується в одному з двох випадків

.

Нерівність

(2.4.2)

виконується, якщо виконані нерівності

Приклад 2.4.1 Розв'яжемо рівняння

. (2.4.3)

Маємо нерівність вигляду (2.4.1). Складемо та розв'яжемо 2 системи нерівностей:

1. Перша система 2-х нерівностей передбачає, що ліва частина нерівності (2.4.3) більше/дорівнює нулю, а права частина менше/дорівнює нулю

2. Друга система 3-х нерівностей передбачає, що ліва і права частини нерівності (2.4.3) більше/дорівнює нулю та одночасно ліва частина більше/дорівнює правій частині.

Остаточно знаходимо розв'язок нерівності (2.4.3) у вигляді сукупності проміжків.

Приклад 2.4.2 Розв'яжемо ірраціональну нерівність

. (2.4.4)

Маємо нерівність вигляду (2.4.2).

.

Приклад 2.4.3 Розв'яжемо нерівність

. (2.4.5)

1. Потрібно окремо розв'язати рівняння

а) , коренем якого є значення , яке не задовольняє друге

рівняння (не має дійсних коренів)

б) , коренем якого є два значення

та нерівність

Остаточно отримаємо розв'язок у вигляді однієї точки та проміжку

Кожну ірраціональну нерівність можна розв'язати методом інтервалів. Для цього заміняють нерівність рівністю, розв'язують рівняння і знаходять ОДЗ. Точки, відповідні розв'язкам розбивають ОДЗ на частини. Якщо в одній точці частини ОДЗ виконана нерівність, то вона виконана в усіх точках частини. Якщо в одній точці частини ОДЗ нерівності не виконані, то вони не виконується в усіх точках цієї частини ОДЗ [52].

Приклад 2.4.4.Розв'яжемо нерівність методом інтервалів

.(2.4.6)

Знаходимо ОДЗ з нерівності

ОДЗ: . Замість нерівності розв'яжемо рівняння

Наносимо точки на числову вісь

Рис. 2.4.1

1. Підставляємо точку із інтервалу в нерівність. Отримаємо нерівність , які не виконуються. Тому нерівність (2.4.6) не виконується в усіх точках інтервалу .

2. Підставимо точку із інтервалу . Отримаємо здійсненну нерівність . Отже, нерівність (2.4.6) виконано на інтервалі .

3. Візьмемо точку із інтервалу . Отримаємо невиконану нерів-ність . Отже, нерівність (2.4.6) не виконано ні в одній точці інтервалу . Отже, розв'язок нерівності (2.4.6) - інтервал .

2.5 Показникові нерівності (10 клас)

Показникові нерівності приводять до нерівності вигляду [52]

(2.5.1)

Якщо , то .

Якщо , то .

Приклад 2.5.1. Розв'яжемо показникові нерівності

. (2.5.2)

1. Перейдемо до основи 3 та зробимо перетворення

.

2. Відповідно, отримаємо нерівність

3. Розв'яжемо отриману нерівність методом інтервалів

- при , тобто вихідні умови не виконуються;

- при , тобто вихідні умови виконуються;

- при х=0 - розв'язок відсутнє;

- при , тобто вихідні умови не виконуються;

- при , тобто вихідні умови виконуються;

і находимо розв'язок у вигляді двох проміжків

Приклад 2.5.2 Розв'яжемо показникові нерівності

. (2.5.3)

1. Запишемо нерівність у вигляді

.

2. Поділимо нерівність на і отримаємо

3. Позначимо , отримаємо нерівність

,

Звідки маємо два проміжки для

.

4. Враховуючи введене позначення - , знаходимо проміжки для змінної , вирішуючи нерівності:

1) . (розв'язок відсутнє)

2) .

Відповідь: нерівність (2.5.3) виконується в проміжку .

2.6 Логарифмічні нерівності (10 клас)

Логарифмічні нерівності зводяться до нерівності вигляду [52]

(2.6.1)

1. Якщо , то .

2. Якщо , то .

Приклад 2.6.1. Розв'яжемо нерівність

. (2.6.2)

1. Запишемо нерівність у вигляді (2.6.1)

2. і знаходимо розв'язок

.

Приклад 2.6.2 Розв'яжемо нерівність

. (2.6.3)

1. Запишемо нерівність у вигляді подвійної нерівності

.

2. Звідси знаходимо

,

,

Найбільш складними являються логарифмічні нерівності, коли основи логарифмів залежать від х.

(2.6.4)

Приходимо до двох систем нерівностей

1. ,

2.

Загальний розв'язок яких утворить розв'язок нерівності (2.6.4)

Приклад 2.6.3 Розв'яжемо нерівність

. (2.6.5)

1. Розв'яжемо систему нерівностей

1. 2. .

2. Остаточна відповідь:

Приклад 2.6.4 Розв'яжемо логарифмічну нерівність

. (2.6.6)

1. Запишемо нерівність у вигляді (2.6.4)

і розглянемо можливі випадки

1. 2. .

2. Проаналізуємо інтервали функції

При отримаємо нерівність

, .

При отримаємо нерівність

, , .

При отримаємо нерівність

, ;

Розв'язок нерівності у вигляді 3-х проміжків:

.

2.7 Тригонометричні нерівності (10 клас)

Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, у яких змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції 14. Резуненко В.О. Ярмак В.О. Тригонометричні рівняння і нерівності для старшокласників і абітурієнтів. // Резуненко В.О. Ярмак В.О. - Х.: Вид.група "Основа" 2011.- 94 с..

При розв'язанні нерівностей з тригонометричними функціями використовується періодичність цих функцій і їх монотонність на відповідних інтервалах. При цьому корисно звертатися до графіків.

Оскільки розв'язок тригонометричних нерівностей в остаточному підсумку зводиться до розв'язку найпростіших, то розглянемо спочатку приклади розв'язку найпростійших тригонометричних нерівностей, тобто нерівностей виду (або де - одна з тригонометричних функцій.

Оскільки функції мають основний період , то нерівності виду

і

досить розв'язати спочатку на якому-небудь відрізку довжиною . Множину усіх розв'язків дістанемо, додавши до кожного зі знайдених на цьому відрізку розв'язків числа виду . Для розв'язків нерівностей виду і досить розв'я-зати їх спочатку на інтервалі длини Оскільки функції і мають період , то, додаючи до звичайних на відповідних інтервалах розв'яз-ків числа виду , дістанемо всі розв'язки початкової нерівності.

Приклад 2.7.1 Розв'язати нерівність .

Розв'язок. Побудуємо графік функцій і виберемо на осі значення аргументу , яким відповідають точки графіка, що лежать на осі або вище її. Одним з проміжків, у яких є такі точки осі , є замкнений інтер-вал , а всього таких інтервалів буде дуже багато, кожний з яких отримано зрушенням з інтервалу по осі на (рис. 2.7.1.)

Рис. 2.7.1 Графіки до прикладу 2.7.1 [27]

Таким чином, розв'язком початкової нерівності є об єднання замкнених інтервалів виду , тобто Відповідь можна записати так: (або або

Відповідь:

Зауваження 1. При розв'язуванні тригонометричних нерівностей можна замість графіків користуватися одиничним колом (тригонометричним колом).

Приклад 2.7.2 Розв'язати нерівність

Розв'язок.

Будуємо графіки функцій і прямої яка перетинає синусоїду в точках (рис. 2.7.2)



Рис. 2.7.2 Графіки до прикладу 2.7.2 [27]

Виділимо один з інтервалів значень аргументу, де графік синуса розташований нижче графіка прямої таким інтервалом є наприклад, інтервал Використовуючи періодичність функції , дістаємо відповідь:

Відповідь:

Зауваження 2. Можна було б відповідь записати в такий спосіб:

Цікаво відзначити,що якщо то

Приклад 2.7.3 Розв'язати нерівність

Розв'язок. На тому самому креслені побудуємо графіки функцій

і (рис. 2.7.3)

З рисунка видно,що один з інтервалів, в якому виконується дана нерівність, уміщений між найменшими за модулем коренями рівняння тобто між точками і (включаючи ці точки). Всі інші інтервали, у яких виконується дана нерівність, дістаються шляхом зсуву відрізка ліворуч або праворуч на відстані, кратні .

Рис. 2.7.3 Графіки до прикладу 2.7.3 [27]

Тому нерівність виконується при

Відповідь:

Приклад 2.7.4 Розв'язати нерівність .

Розв'язок

На тому самому кресленні будуємо графіки функцій і (рис. 2.7.4)

Рис. 2.7.4 Графіки до прикладу 2.7.4 [27]

Виділимо один з інтервалів значень аргументу, де графік тангенсоїди нижче графіка прямої ; таким інтервалом є, наприклад, інтервал

Використовуючи періодичність функцій , робимо висновок,що розв'язками початкової нерівності на всій числовій прямій є ті й тільки ті значення , які задовольняють подвійній нерівності

Відповідь:

Розглянемо Розв'язок більш складних нерівностей.

Приклад 2.7.5 Розв'язати нерівність

Розв'язок

Перенесемо в ліву частину нерівності й використаємо формулу введення допоміжного аргументу:

Таким чином,

.

Позначимо Тоді нерівність буде мати вигляд Множина розв'язків цієї нерівності Оскільки то дістанемо

Відповідь: .

Приклад 2.7.6 Розв'язати нерівність

Розв'язок

Позначивши через , приходимо до нерівності Ця нерівність виконується при і Тоді всі розв'язки початкової нерів-ності повинні задовольняти або нерівності або нерівності Нерівність не виконується ні при яких значеннях нерівність виконується при

Відповідь:

Приклад 2.7.7 Розв'язати нерівність

Розв'язок

Оскільки то можемо піднести обидві частини початко-вої нерівності до квадрата, отримавши при цьому нерівність, рівносильну початковій:

Відповідь: .

Приклад 2.7.8 Розв'язати нерівність

Помноживши обидві частини початкової нерівності на 2 використовуючи формулу дістаємо:

Відповідь: .

Приклад 2.7.9 Розв'язати нерівність

Розв'язок

Позначивши дістаємо



Рис. 2.7.9 Графіки до прикладу 2.7.9 [27]

Застосовуючи метод інтервалів (рис. 2.7.9), дістаємо:

Розглянемо розв'язок нерівностей (а) і (б).

(а): Із графіків (рис. 2.7.10) видно, що

Рис. 2.7.10 Графіки до прикладу 2.7.9

(б): Із графіків (рис. 2.7.11) видно,що



Рис. 2.7.11 Графіки до прикладу 2.7.9 [27]

Розв'язком початкової нерівності є об єднання розв'язків нерівностей (а) і (б). Відповідь:

рівняння нерівність інноваційний програмний

РОЗДІЛ 3. ІННОВАЦІЙНІ МЕТОДОЛОГІЇ РОЗВ'ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ У 10 КЛАСІ СЕРЕДНЬОЇ ШКОЛИ

3.1 Інноваційна методологія розв'язання рівнянь і нерівностей з аналізом нетотожних перетворень в стандартних методах розв'язків (10 клас)

Програми з математики в загальноосвітній середній школі та й у педагогічному ВНЗ побудовані так, що при розв'язуванні рівнянь і нерівностей основна увага звертається на конкретні прийоми, способи, алгоритми розв'язування. Тоді всі рівняння й нерівності розбиваються на певні класи, для яких відомі методи розв'язування, з наступним вивченням цих класів у лінійній послідовності. По суті здійснюється класифікація всіх рівнянь і нерівностей згідно типів, які визначаються певними конкретними методами, прийомами, алгоритмами розв'язування. Окрім того розглядаються рівняння й нерівності підвищеної складності, для кожного з яких потрібно відшукувати власний спосіб розв'язування. Такий підхід успішно формує в учнів операційні уміння й навички, деякі аналітичні здібності.

Так, порівняльні алгоритми розв'язання числових алгебраїчних рівностей і нерівностей мають певні аналогії, але й істотні відмінності (табл. 3.1.1) [52].

Означення, властивості числових алгебраїчних рівностей і нерівностей використовують під час доведення тотожностей і нерівностей трьома основними способами доведення тотожностей [47]:

1) скласти різницю лівої і правої частини тотожності і перетворенням здобутого виразу показати, що вона дорівнює 0;

2) тотожно перетворюючи ліву частину, показати, що ліва частина тотожності дорівнює правій, або, навпаки, тотожно перетворюючи праву частину, показати, що вона дорівнює лівій;

3) ліву і праву частини тотожності окремо перетворити у той самий вираз.

В прикладах 3.1.1 - 3.1.4 наведене застосування основних алгоритмів табл.. 3.1.1 при практичному доведенні характерних типів алгебраїчних тотожностей.

Таблиця 3.1.1

Порівняння основних властивостей числових алгебраїчних рівностей та нерівностей, які використовуються в основних методах доведення [52]

Основні властивості числових алгебраїчних рівностей	Основні властивості числових алгебраїчних нерівностей
1. Число називається рівним числу , якщо різниця дорівнює 0. Позначається	1. Число називається більшим від числа , якщо різниця додатна. Позначається: Число називається меншим від числа , якщо різниця відємна. Позначається:
2. Для будь-якого співвідношення правильне.	2. Число називається більшим від числа , якщо різниця додатна. Позначається: Число називається меншим від числа , якщо різниця відємна. Позначається: Для будь-якого співвідношення і хибні
3. Для будь-яких і , якщо то	3. Для будь-яких і , якщо , то . Навпаки, якщо , то .
4. Для будь-яких і , якщо і , то (властивість транзитивності рівності)	3. Для будь -яких і , якщо і , то ; якщо і , то (властивість транзитивності нерівності)
5. Якщо і -будь-яке число, то	4. Якщо і -будь-яке число, то ; якщо і -будь-яке число,то
6. Якщо і -будь-яке число, то	6. Якщо і ,то ; якщо і ,то ; якщо і ,то ; якщо і ,то .
7. Якщо і ,	7. Якщо і , то ; якщо і .
8. Якщо і , то . Наслідок: якщо то	8. Якщо , ,-додатні числа то ; якщо , ,-додатні числа то . Наслідок: якщо і -додатні числа, то ; якщо і -додатні числа, то
9. Якщо і , , то	9.Якщо числа і - одного знаку і , то , якщо числа і - одного знаку і , то .

Приклад 3.1.1 Довести тотожність

(3.1.1)

Доведення:

Використовуємо 1 метод доведення - різниця лівої та правої частини рівняння (3.1.1) = 0.

Приклад 3.1.2. Довести тотожність

(3.1.2)

Використовуємо 2 метод доведення - перетворюємо праву частину рівняння (3.1.2) до повної тотожності виразу з лівою частиною.

Приклад 3.1.3 Довести тотожність

(3.1.3)

Доведення:

Використовуємо 3 метод доведення, окремо перетворюючи ліву та праву частину тотожності до одного виразу:

1. Виконуємо тотожні перетворення лівої частини тотожності (3.1.3)

2. Виконуємо тотожні перетворення правої частини тотожності (3.1.3)

Оскільки вираз перетвореної лівої частини тотожності (3.1.3) повністю повторює вираз перетвореної правої частини тотожності (3.1.3), то тотожність (3.1.3) є доведеною.

Нерівності, складені за допомогою знаків або , називають строгими нерівностями, а складені за допомогою знаків або , називають нестрогими нерівностями. Один із способів доведення строгих і нестрогих нерівностей ґрунтується на означенні числових нерівностей.

Приклад 3.1.4 Довести нерівність

(3.1.4)

Доведення

Аналогічно доведенню тотожностей (рівнянь) в прикладі 3.1.1 використовуємо метод 1 - складемо різницю лівої і правої частин даної нерівності, перетворимо та проаналізуємо її.

Знаменник дробу для будь-якого додатний, а вираз невід'ємний. З врахуванням знаку „-„ в чисельнику, чисельник дробу - недодатний, а отже і дріб для будь-якого недодатний. Оскільки доведено, що різниця лівої і правої частин нерівності (3.1.4) - недодатна, то нерівність виконується для будь-якого .

В табл. 3.1.2 наведені порівняльні алгоритми та основні властивості рівнянь та нерівностей з однією змінною, які використовуються в основних методах знаходження значень змінної в класичних підручниках курсу алгебри в середній школі [47].

Таблиця 3.1.2

Порівняння основних властивостей рівнянь та нерівностей з однією змінною, які використовуються в основних методах знаходження значень змінної [52]

Основні властивості рівнянь з однією змінною	Основні властивості нерівностей з однією змінною
1. Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду , де -змінна, - числа. Якщо , то , відповідно рівняння має 1 корінь. Якщо - то множиною коренів рівняння є множина всіх чисел Якщо - то рівняння коренів не має (порожня множина).	1. Лінійною нерівністю з однією змінною називається нерівність виду або (чи з умовою - відповідно нерівності виду або ), де - змінна, - числа. Якщо , то множиною розв'язків нерівності є або множина , або множина . Якщо , то множиною розв'язків нерівності є або множина всіх чисел (для , або порожня множина (для . Якщо , то множиною розв'язків нерівності є або множина , або множина . Якщо , то множиною розв'язків нерівності є або порожня множина (для , або множина всіх чисел (для .
2. Квадратним рівнянням називається рівняння виду , де змінна, - числа, при чому .	2. Квадратною нерівністю з однією змінною називається нерівність виду або , де змінна, - числа, при чому .
3. В повному квадратному рівнянні вираз - називається дискримінантом квадратного рівняння. Якщо , то квадратне рівняння має 2 корені, які знаходять за формулою . Якщо , то квадратне рівняння має 1 корінь . Якщо , то квадратне рівняння не має дійсних коренів.	3. В повній квадратній нерівності, спочатку вирішують рівняння (в залежності від знака буде змінюватись напрямок нерівності) , а потім за теоремою Вієтта рівняння (тричлен) розкладають на множники дві нерівності та , які вирішують складанням відповідних за знаками систем нерівностей: або
4. Якщо в квадратному рівнянні чи , чи , то воно називається неповним. Якщо , то неповне квадратне рівняння виду , яке має два корені . Якщо , то неповне квадратне рівняння виду , має два корені , При цьому, якщо , то рівняння не має дійсних коренів.	4. Якщо в квадратній нерівності чи , чи , то вона називається неповною квадратною нерівністю. Якщо , то неповна квадратна нерівність має вид або . Нерівність розв'язують розкладанням лівої частини нерівності на множники або . Далі використовють твердження:добуток двох співмножників може бути додатним якщо вони обидва мають однакові знаки. Таким чином складають для першої нерівності дві системи нерівностей: та які вирішують складанням двійних нерівностей за інтервалами (система нерівностей справедлива, якщо та мають різні знаки) та (система нерівностейь справедлива, якщо та мають однакові знаки). Відповідно, складають для другої нерівності дві системи нерівностей: та які вирішують складанням двійних нерівностей за інтервалами (нерівність справедлива, якщо та мають різні знаки) та (справедливо, якщо та мають однакові знаки). Якщо , маємо неповну квадратну нерівність вигляду або , які приводять до вигляду рішень: - при та , що мають дійсні корені тільки при , розв'язок - побудовою інтервалів; - при (зміна напрямку нерівності при перетворенні) та , що мають корені тільки при .

Алгоритм процесу розв'язку тотожностей, рівнянь та нерівностей, наведений в табл. 3.1.1 - 3.1.2 є, безумовно, правильним, але занадто формалізований.

Проблема в тому, що, незважаючи на численні публікації з питань розв'язування рівнянь та нерівностей в різних підручниках і посібниках [1; 2; 3; 26; 27; 47], в новітніх працях [19; 20] пропонується доповнити учбовий процес комплексом дослідження процесу розв'язування рівнянь і нерівностей як процесу послідовних перетворень, кінцевим результатом яких є розв'язок. Отже всі рівняння й нерівності розглядатимуться з єдиної точки зору, єдиної позиції - процесу розв'язування рівнянь і нерівностей як процесу їх послідовних перетворень. Такий підхід інтегрує всі типи рівнянь і нерівностей в єдину сукупність, формує в учнів загальні (інтегровані) уявлення про проблему розв'язування рівнянь і нерівностей з єдиної позиції, відкриває ще один аспект розв'язок названої проблеми, а в методичному плані спонукає вчителя до вироблення нових підходів, методик в організації вивчення відповідного матеріалу шкільного курсу математики [43].

На жаль в школах (та й у вищих педагогічних навчальних закладах) мало звертається уваги саме на процес розв'язування, що спрямовує мислення учнів (чи студентів) більше в алгоритмічний (репродуктивний), ніж у творчий аспект мислення, що, в свою чергу, сприяє формальному засвоєнню матеріалу, знижується сутнісне розуміння процесу розв'язування. Часто учні виконують певні перетворення над рівнянням чи нерівністю, не розуміючи суті та змісту цього перетворення, а, значить, і не розуміючи сутності всього процесу розв'язування.

В дипломному дослідженні запропонований метод аналізу саме процесу розв'язування рівнянь і нерівностей, як послідовного процесу тотожних перетворень. При цьому головна увага приділяється аналізу виконання умов тотожності перетворень рівнянь та нерівностей при застосуванні стандартних алгоритмів Розв'язок. Тоді розв'язування буде мати два аспекти: зміст (і відповідні знання) конкретних методів, прийомів, алгоритмів розв'язування та власне процес розв'язування як процес послідовних перетворень. Вдала методична взаємна доповнюваність цих аспектів поглибить знання учнів, розширить їх кругозір, спонукатиме до творчості навіть при розв'язуванні стандартних (типових) прикладів.

З процесуального погляду головною проблемою при певному перетворенні рівняння (нерівності) є проблема отримання рівносильної умови вихідному рівнянню (нерівності). Як відомо, два рівняння (нерівності) будуть рівносильними, якщо множини їх розв'язків співпадають.

Виконуючи послідовність перетворень над рівнянням (нерівністю) далеко не завжди очевидним є момент втрати кореня чи, навпаки, виникнення зайвого. Тому учні в 10-11 класах загальноосвітньої школи, при вивченні зведених тем розв'язання рівнянь та нерівностей, в яких застосовані різні комплекси алгебраїчних функцій, часто «гублять» чи «придбають» зайві корені при розв'язуванні рівнянь (нерівностей), особливо зі складними перетвореннями. Щоб запобігти цьому в дипломному дослідженні пропонується удосконалення процесу аналізу основних (типових) перетворень рівнянь (нерівностей) з погляду їх еквівалентності.

Так, до основних типів перетворень рівняння [19]:

f(x)= g(x) (3.1.5)

або нерівності:

f(x)? g(x) (3.1.6)

можна віднести такі:

- додавання (віднімання) виразу y(x) до лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6);

- множення лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6) на вираз y(x);

- ділення лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6) на вираз y(x);

- піднесення до степеня з натуральним показником лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6);

- добування кореня з лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6);

- логарифмування лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6);

- потенціювання виразів (3.1.5) чи (3.1.6);

- тригонометричні перетворення над (3.1.5) чи (3.1.6);

- функціональні перетворення з (3.1.5) чи (3.1.6).

Крім типу перетворення має ще і зміст вираз y(x). Важливо зауважити, що:

1. Перетворення одного і того ж типу в одному прикладі може змінити множину розв'язків, а в іншому ? ні.

2. В одному й тому ж прикладі два перетворення y₁(x) та y₂(x) одного і того ж типу в залежності від змісту по-різному можуть впливати на множину розв'язків.

Потрібно підкреслити, що не можна класифікувати якимось чином всі можливі перетворення над (3.1.5) чи (3.1.6), наша мета - при розв'язуванні конкретного прикладу за певним алгоритмом аналізувати кожне перетворення з тим, щоб виявити, чи може воно змінити множину розв'язків і, якщо може, то вжити певних дій, щоб не втратити розв'язків (3.1.5) чи (3.1.6) і не отримати зайвих.

Конкретних ситуацій і причин, коли перетворення може призвести в момент його застосування до зміни множини розв'язків, безліч. Основними серед таких ситуацій-причин можна назвати:

- звуження чи розширення області допустимих значень змінної рівняння (нерівності);

- встановлення «вірних» висновків з хибних умов (наприклад, 2 ? - 2, однак 2²=(-2)²), тобто з рівності функцій f(x₁)=g(x₂) ще не слідує, що x₁=x_2.

Дослідження перетворень є творчою, а не репродуктивною задачею [19]. Відомо, що саме проблема використання та оцінки перетворень на предмет зміни ними множини розв'язків рівнянь, нерівностей та їх систем є однією з найскладніших і важко засвоюваних учнями (та й студентами). На вказану проблему мало звертається уваги в шкільних й університетських програмах і, відповідно, вчителями та викладачами [43].

В аналізі нижченаведених конкретних перетворень ми будемо вказувати на можливість виникнення сторонніх розв'язків чи втрати розв'язків.

а) Приклади додавання до обох частин рівняння чи нерівності виразу h(х), при якому рівняння (3.1.5) чи нерівність (3.1.6) повинні перетворюватись до рівносильних:

(3.1.7)

Приклад 3.1.5 Дано рівняння

(3.1.8)

1. При його розв'язанні можна додати до лівої та правої частини функцію , та отримати рівняння і його розв'язок:

(3.1.9)

2. Однак підстановка отриманого розв'язок в вихідне рівняння (3.1.8) показує, що знайдений після перетворень корінь не є коренем рівняння (3.1.8), тобто корінь „зайвий”. Причиною цього є нерівносильне розширення ОДЗ вихідного рівняння (3.1.8) з до ОДЗ перетвореного рівняння (3.1.9) .

3. При новаційному підході потрібно при перетворенні скласти систему рівнянь з додаванням умов ОДЗ на вихідне рівняння (3.1.8):

(3.1.10)

Після перетворення 1 рівняння системи (3.1.10) стає явним протиріччя його кореню з другим рівнянням системи, тобто виявляється, що вихідне рівняння (3.1.8) не має дійсних коренів.

Приклад 3.1.6 Розглянемо перетворення над рівнянням

(3.1.11)

яке полягає у додаванні до обох його частин виразу , що еквівалентне перенесенню цього виразу з правої частини (3.1.11) до лівої із зміною знаку.

1. Отримуємо перетворене рівняння:

(3.1.12)

яке має корені

2. ОДЗ рівняння (3.1.11) є два інтервали при , а ОДЗ перетвореного рівняння має розширену ОДЗ , яка включає значення .

3. Одначе, підстановка коренів рівняння (3.1.12) в вихідне рівняння (3.1.11) показує, що значення є також коренями рівняння (3.1.11), тобто при перетворенні з розширенням ОДЗ не відбулась поява „зайвих” коренів, оскільки вони не належать до точки розширення ОДЗ .

Таким чином, підстановка отриманих коренів в вихідне рівняння може забез-печити ідентифікацію появи „зайвих” коренів.

Приклад 3.1.7 Маємо нерівність

(3.1.13)

1. Застосовуємо перетворення, яке полягає у додаванні до обох його частин виразу , що еквівалентне перенесенню цього виразу з правої частини (3.1.13) до лівої із зміною знаку.

2. Отримуємо перетворену нерівність:

(3.1.14)

коренями якої є проміжок між коренями рівняння (включаючи ці корені)

, тобто проміжок .

3. Але значення не задовольняє вихідну нерівність (3.1.13), тому значення - це „зайвий” корінь.

4. Для правильного перетворення вихідної нерівності (3.1.8) потрібно скласти систему нерівностей з врахуванням особливої точки ОДЗ ():

,

відповідно розв'язком буде проміжок , який виключає значення „зайвого” кореню .

б) Приклади множення обох частин рівняння чи нерівності на вираз h(х), при якому рівняння (3.1.5) чи нерівність (3.1.6) повинні перетворюватись до рівносильних:

(3.1.15)

Приклад 3.1.8 Маємо систему рівнянь

(3.1.16)

1. Перетворимо 1 рівняння системи множенням лівої та правої частини на вираз , а 2 рівняння системи перетворимо множенням ліної та правої частини на вираз .

Отримуємо систему рівнянь та її корені:

(3.1.17)

2. Підстановка коренів в вихідну систему рівнянь (3.1.16) показує, що корінь задовольняє обидва рівняння системи, а корінь є „зайвим” для 1 рівняння системи (3.1.6), але задовольняє 2-е рівняння системи.

3. Аналіз ОДЗ першого та другого рівняння системи (3.1.16) показує, що для першого рівняння ОДЗ має особливу точку , а для другого рівняння ОДЗ має особливу точку .

Оскільки особлива точка для першого рівняння є коренем для рівнянь системи (3.1.16), то неврахування цього привело до нерівносильного перетворення першого рівняння системи та не вплинуло на перетворення другого рівняння системи.

4.Правильним перетворенням вихідної системи (3.1.16) будо складення перетвореної системи з додаванням нерівностей ОДЗ, тобто:

, а єдиним розв'язком системи був би корінь

Приклад 3.1.9 Розв'язати нерівність:

(3.1.18)

1. При перетворенні нерівності (3.1.18) можемо домножити ліву та праву його частину на вираз , що враховуючи додатність множника не змінить знак нерівності:

(3.1.19)

розв'язком ціє нерівності є проміжок .

Але проміжок не входить до дійсних значень ОДЗ множника , тобто домноження (3.1.18) на вираз є нерівносильним перетворенням вихідної нерівності.

2. Правильним алгоритмом Розв'язок нерівності (3.1.8) буде не домноження на вираз , що приводить до нерівносильних перетворень, а перенесення правої частини нерівності в ліву із зміною знаку та группуваня як:

(3.1.20)

Рівносильним нерівності (3.1.20) буде система нерівностей:

а розв'язком цієї системи буде проміжок

Приклад 3.1.10 Розв'яжемо рівняння:

(3.1.21)

1. При піднесенні обох частин рівняння (3.1.21) до квадрату матимемо рівняння - наслідок:

(3.1.22)

Або (3.1.22а)

Піднесемо до квадрату обидві частини отриманого рівняння. Маємо наступне (третє) рівняння

(3.1.23)

або

2. Підставляючи отримані корені в вихідне рівняння (3.1.21) отримуємо результати перевірки - перший корінь задовольняє рівнянню (3.1.21), а другий корінь - є „зайвий” корінь, який не задовольняє рівняння (3.1.21).

Підставляємо отримані корені в рівняння (3.1.22а), яке отримане післі піднесення в квадрат вихідного рівняння (3.1.21).

Таким чином, другий корінь задовольняє рівнянню (3.1.22а), а корінь не задовольняє рівнянню (3.1.22а). Таким чином, „зайвий” корінь з'явився після першого нерівносильного піднесення вихідного рівняння(3.1.21) в квадрат.

Приклад 3.1.11 Розв'язати нерівність:

(3.1.24)

1. Виконаємо перетворення наступним способом:

- внесемо в лівій частині нерівності значення під загальний корінь

 (3.1.25)

- піднесемо ліву та праву частини в квадрат:

(3.1.26)

- розв'язком цієї нерівності буде проміжок між коренями:

але підставляючи ці розв'язок в вихідну нерівність (3.1.24) приходимо до висновку про хибність відповіді.

2. Виконаємо перетворення з внесенням проміжків ОДЗ вихідної нерівності (3.1.24), тоді замість нерівності (3.1.25) маємо систему нерівностей:

(3.1.27)

Відповідно нерівність (3.1.26) перетворюється в систему нерівностей:

(3.1.28)

А вірним проміжком рішень для системи (3.1.28) з урахуванням нерівностей ОДЗ буде проміжок: .

Таким чином, наведені приклади доводять про доцільність використання методу дослідження та порівняння ОДЗ функцій вихідних та перетворених рівнянь та нерівностей в процесі пошуку рішень по методологіям рівносильних перетворень для виявлення „загублених” чи „зайвих” коренів та проміжків рішень.

3.2 Інноваційна методологія інтерактивно-графічного розв'язання рівнянь та нерівностей вищих рівнів складності з використанням комп'ютерно-графічного калькулятора Microsoft Mathematics 4.0 (10 клас)

Система навчання, що побудована на інноваційних засадах, є синергетичною системою, тобто передбачає порушення стійкості навчального процесу з метою виникнення його нових дисипативних (більш відкритих для нововведень) структур. Так, розвиток інформаційно-комп'ютерних технологій призвів до їх проникнення (як активаторів) у педагогічний процес, що викликало його збурення, порушення традиційних структур і створенні нових дисипативних структур навчання з використанням інформаційно-комп'ютерних технологій, що кардинально змінило педагогічний процес [12].

Інтерактивність учнів - це активність учнів як суб'єктів діяльності, як реалізація власних інтуїцій, а не тільки активність “зовнішня”, що виникає в учня завдяки створенню певної педагогічної ситуації вчителем [11]. Відчутним знаряддям інтерактивного навчання стали інформаційні технології зі своїми можливостями, зокрема - графічними. Саме в системі «учень-комп'ютер» при розв'язуванні навчальних задач виникає внутрішній діалог учня, що формує його самостійність, самовизначення, самореалізацію [12].

На мій погляд, інноваційність навчання математики повинна відображати найбільш складні й не повністю визначені навчальними програмами проблеми, до яких можна віднести:

- задачі з математики, що важко формалізуються;

- застосування знань з одного розділу математики в іншому як інтеграція знань;

- декомпозицію (розбиття на певні етапи) розв'язування складних задач;

- поєднання аналітичних і графічних методів розв'язування задач;

- створення моделей при розв'язуванні рівнянь та нерівностей;

- використання можливостей інформаційно-комп'ютерних технологій для

розв'язування різних математичних задач.

Розв'язування наведених проблем вимагає від учнів творчості, активності, елементів наукового дослідження, знань, що не завжди явним чином входять в програму з математики й відображені в шкільних підручниках, додаткового оволодіння такими засобами як інформаційно-комп'ютерні технології та їхніми можливостями щодо Розв'язок математичних задач.

На сьогодні розроблено значну кількість програмних засобів, що дозволяють розв'язувати за допомогою комп'ютера досить широке коло математичних задач різних рівнів складності. Це такі програми як «Системи лінійних рівнянь», GRAN1, GRAN2, GRAN3, Advanced Grapher, DG (динамічна геометрія), MathCad, Maple, тощо [19]. Причому одні з цих програм розраховані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші - на учнів середніх навчальних закладів чи студентів вузів, які лише почали вивчати шкільний курс математики чи основи вищої математики.

Дипломне дослідження показало, що при доцільності для підтримки вивчення курсу математики програм GRAN2, GRAN3, Advanced Grapher, DG (динамічна геометрія) на сьогодні найбільшою функціональністю з математичної точки зору володіє програмно-графічний російськомовний пакет Microsoft Mathematics 4.0 [54], який поєднав багатофункціональність професійних пакетів MathCad та Maple з простотою управління на базі управління формалізованою шкалою калькулятора, що дозволяє будувати програми розв'язання рівнянь та нерівностей без професійного освоєння мов програмування.

Від користувача не вимагається значного обсягу спеціальних знань з інформатики, основ обчислювальної техніки, програмування тощо, за винятком найпростіших понять, які цілком доступні для учнів загальноосвітніх шкіл. Це дозволяє зосередити увагу учнів не на основах програмування, а на методологіях математичних підходів до Розв'язок рівнянь та нерівностей.

Використання подібних програм дає наочні уявлення про поняття, що вивчаються, розвиває образне мислення, просторову уяву, дозволяє досить глибоко проникнути в сутність досліджуваного явища, неформально розв'язувати задачу. При цьому на передній план виступає з'ясування проблеми, постановка задачі, розробка відповідної математичної моделі, матеріальна інтерпретація отриманих за допомогою комп'ютера результатів. Усі технічні операції щодо опрацювання побудованої математичної моделі, реалізації методу відшукання розв'язку, оформлення та подання результатів опрацювання вхідної інформації покладаються на комп'ютер.

Розглянемо можливість використання програмно-графічного калькулятора програми "Microsoft Mathematics" (російськомовна версія 4.0) [54] для побудови процесу інтерактивного розв'язок рівнянь та нерівностей підвищеного рівня складності в 10 класі загальноосвітньої школи.

В Додатках А - В наведені основні інтерфейси управління програмно-графічним калькулятором програми "Microsoft Mathematics", що дозволяє [54]:

- вирішувати рівняння та нерівності з однією змінною при будь-якій комбінації алгебраїчних функцій в рівняннях та нерівностях;

- системи рівнянь та нерівностей з двома змінними при будь-якій комбінації алгебраїчних функцій в рівняннях та нерівностях;

- будувати графіки функцій лівої та правої частини рівнянь та нерівностей, що дозволяє проводи оцінку ОДЗ та характерних інтервалів для побудови розв'язок;

- динамічно змінювати масштаб графіків, досліджуючи загальний вигляд чи деталізацію в оцифрованому масштабі точок перетинання графіків складних функцій, включаючи функції з модулями та комбінаціями модулей змінних.

Головне в пропонуємих в дипломному дослідженні інноваційних методах викладання тем по розв'язанню рівнянь та нерівностей в загальній школі - це перехід від надто приблизного „художнього” стилю графічних способів пояснення рішень до професійних комп'ютерно-масштабованих графіків на інтерактивній класній дошці та комп'ютерах учнів.

Приклад 3.2.1 Розв'язати рівняння

(3.2.1)

Розв'язок.

1. Побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 графік функції для визначення ОДЗ та проаналізуємо її перетинання з 0 та характерні інтервали (рис. 3.2.1).

Рис. 3.2.1 Графік функції

Рис. 3.2.1a Графік функції

Рис. 3.2.1б Графік функцій та

Приклад 3.2.2 Розв'язати рівняння

(3.2.2)

Розв'язок. Виконуємо розв'язок в Microsoft Mathematics 4.0 побудовою графіків лівої та правої частини, отриманням чисельного розв'язок та його перевірки підстановкою (рис. 3.2.2, 3.2.2а). Алгебраїчні перетворення вихідного рівняння до обчислювального виду пошуку розв'язок практично неможливі.

Рис. 3.2.2 Графіки рівнянь та (один корінь)

Рис. 3.2.2а Графіки рівнянь та (корінь ) та перевірка розв'язок в Microsoft Mathematics 4.0

Приклад 3.2.3 Розв'язати рівняння

(3.2.3)

Розв'язок. Виконуємо розв'язок в Microsoft Mathematics 4.0 побудовою графіків лівої та правої частини, отриманням чисельного розв'язок та його перевірки підстановкою (рис. 3.2.3, 3.2.3а).

Рис. 3.2.3 Графіки функцій та лівої та правої частин рівняння (3.2.3)

Рис. 3.2.3а Розв'язок рівняння

Приклад 3.2.4 Розв'язати рівняння

(3.2.4)

Розв'язок.

1) 1 спосіб (традиційний спосіб інтервальної ідентифікації підручників з математики)

Розв'язування цього рівняння складатиметься з декількох етапів у залежності від знаків виразів, що знаходяться під знаком модуля. Тому, знайшовши значення змінної, при яких відбувається зміна знаків виразів під знаком модуля, розв'яжемо рівняння (3.2.4) на кожному іх сукупності проміжків (відкритих та закритих):

а) На першому проміжку . Після розкриття модуля у рівнянні (3.2.4) на цьому проміжку маємо:

Таким чином, на проміжку маємо розв'язок .

б) На другому проміжку . Після розкриття модуля у рівнянні (3.2.4) на цьому проміжку маємо:



Таким чином, на проміжку рішень немає.

в) На третьому проміжку . Після розкриття модуля у рівнянні (3.2.4) на цьому проміжку маємо:

Таким чином, на проміжку маємо розв'язок .

г) На четвертому проміжку . Після розкриття модуля у рівнянні (3.2.4) на цьому проміжку маємо:

Оскільки розв'язок не входить в ОДЗ вихідного рівняння (3.2.4), то це розв'язок відкидаємо.

Таким чином на проміжку при () - рішень немає.

Таким чином, загальні розв'язок вихідного рівняння (3.2.4) на проміжку є .

2) Розв'язок рівняння (3.2.4) з допомогою наочності пакету Microsoft Mathematics 4.0. Будуємо графіки функцій лівої та правої частини рівняння (3.2.4).



Рис. 3.2.4 Графіки функцій та

Рис. 3.2.4а Графіки функцій та

Як показує аналіз точок перетинання функцій лівої та правої частини рівняння (3.2.4) розв'язками є точки , а точка є особовою точкою розриву графіка функції та не входить в ОДЗ рівняння (3.2.4).

Приклад 3.2.5 Розв'язати нерівність

(3.2.5)

Розв'язок.

а) Спосіб 1. Традиційне розбиття ОДЗ на окремі характерні інтервали та побудова загального розв'язок як комплексу рішень на інтервалах.

1. Проаналізуємо графік функції чисельника в чисельнику нерівності (3.2.5) на проміжку ОДЗ параметра та функції чисельника в знаменнику нерівності (3.2.5) при .

Рис. 3.2.5 Графіки функції та

Рис. 3.2.5а Корені рівнянь та

Таким чином, нерівність (3.2.5) має наступні характерні інтервали:

1)

2)

3)

4)

5)

Розв'язком нерівності згідно рис. 3.2.5б є 2 інтервали:

Рис. 3.2.5б Графік функції



Приклад 3.2.6 Розв'язати нерівність

Розв'язок

а) Спосіб 1. Традиційне розбиття ОДЗ на окремі характерні інтервали та побудова загального розв'язок як комплексу рішень на інтервалах.

1. Проаналізуємо графік функції чисельника в лівій частині нерівності (3.2.6) на проміжку ОДЗ параметра

Рис. 3.2.6 Графік функції на проміжку ОДЗ параметра

Функція на проміжках .

Функція на проміжку .

2. Проаналізуємо графік функції знаменника в нерівності (3.2.6) на проміжку ОДЗ параметра при умові .

Рис. 3.2.6а Графік функції на проміжку ОДЗ параметра

Функція на проміжках .

Функція на проміжку .

Функція при коренях

3. Проаналізуємо графіки функцій та лівої та правої частини в нерівності (3.2.6) на проміжку ОДЗ параметра при умові



Рис. 3.2.6б Графік функцій та на проміжку ОДЗ параметра при умові

Рис. 3.2.6в Пошук кореня рівняння на проміжку ОДЗ параметра при умові (розрив функції лівої частини при коренях )



Таким чином, вихідна нерівність (3.2.6) виконується на інтервалах (рис.3.2.6в):

Приклад 3.2.7 Розв'язати нерівність

(3.2.7)

Розв'язок

а) Спосіб 1. Традиційне розбиття ОДЗ на окремі характерні інтервали та побудова загального розв'язок як комплексу рішень на інтервалах (по підручникам).

1. Проаналізуємо графік функції знаменника в нерівності (3.2.7) на проміжку ОДЗ параметра



Рис. 3.2.7 Графік функції

Оскільки функція знаменника всюди додатна, то при розв'язанні нерівності (3.2.7) проводимо аналіз тільки чисельника, тобто нерівності:

(3.2.7а)

2. Враховуючи наявність модуля, розбиваємо ОДЗ на два характерні інтервали:

3. На 1 інтервалі маємо із нерівності (3.2.7а):

Для такого типу нерівності розв'язок знаходиться між коренями рівняння

, тобто .

Враховуючи ОДЗ проміжка весь знайдений проміжок є розв'язком на першому проміжку .

4. На 2 інтервалі маємо із нерівності (3.2.7а):

Для такого типу нерівності розв'язок знаходиться між коренями рівняння

, тобто

Враховуючи ОДЗ проміжка весь знайдений проміжок є розв'язком на першому проміжку

Таким чином, зведеним розв'язком нерівності (3.2.7) на області ОДЗ є два проміжка .

б) Спосіб 2. Розв'язок нерівності в пакеті Microsoft Mathematics

Рис. 3.2.7а Розв'язок нерівності в пакеті Microsoft Mathematics

Приклад 3.2.8 Розв'язати нерівність

(3.2.8)

Розв'язок.

а) Спосіб 1. Традиційне розбиття ОДЗ на окремі характерні інтервали та побудова загального розв'язок як комплексу рішень на інтервалах (по підручникам).

Прирівняємо праву та ліву частину нерівності (3.2.8) до нуля згідно наявності знаку рівності, як окремого випадку, що дозволяє не враховувати знак модуля.

Розв'язок рівності ;

Розв'язок рівності .

Отже, можемо розв'язати нерівність (3.2.8) на характерних проміжках:

1а. Розв'язок на першому інтервалі

Розв'язками нерівності є зовнішні проміжки від коренів рівняння - проміжки: . Але, враховуючи ОДЗ першого інтервалу , розв'язком на першому інтервалі буде .

2а. Розв'язок на другому інтервалі

.

Розв'язками нерівності є проміжки: . Але, враховуючи ОДЗ другого інтервалу, розв'язок нерівності на другому інтервалі буде розташовуватись між коренями рівняння .

3а. Розв'язок на третьому інтервалі

Враховуючи ОДЗ третього інтервалу - маємо проміжок рішень .

4а. Розв'язок на четвертому інтервалі .

Корені рівняння .

Відповідно області значень параметрів для нерівності це інтервали . Але враховуючи ОДЗ четвертого інтервалу , розв'язком буде весь 4-й інтервал .

Таким чином загальне ршення вихідної нерівності на чотирьох інтервалах зводиться до наступних трьох інтервалів:

б) Спосіб 2. Використання наочних можливостей пакету пакеті Microsoft Mathematics 4.0.

1. Враховуючи, що нерівність (3.2.8) має, як частковий розв'язок, рівність лівої та правої частини, побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 дві функції та проаналізуємо їх точки рівності (спільного перетинання) та інтервали нерівностей (рис. 3.2.8)

Рис. 3.2.8 Взаємне розташування функцій та

Як показує аналіз графіків, наведених на рис.3.8.8, нерівність (3.2.8) має точки перетинання (4 розв'язки в точках рівності), коли , та 3 інтервали, коли

2. Обрахуємо точки перетинання функцій в пакеті Microsoft Mathematics 4.0, вирішуючи 2 рівняння, які відповідають рівнянню модулів

:

(рис.3.2.9) та (рис.3.2.10)



Рис. 3.2.9 Графічний розв'язок рівняння , корені (алгоритм порядку розв'язок в додатку 8)

Рис. 3.2.10 Графічний розв'язок рівняння , корені (алгоритм порядок розв'язок в додатку 8)

Спільний аналіз графіків на рис.3.2.8 - 3.2.10 та знайдених 4-х коренів дозволяє побудувати інтервали рішень вихідної нерівності

(3.2.8) у вигляд 3-х інтервалів:

1) (=); 2) ;

3) .

Приклад 3.2.9 Розв'язати нерівність

(3.2.9)

Розв'язок

1. Враховуючи, що нерівність (3.2.9) має, як часткове розв'язок, рівність лівої та правої частини, побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 дві функції

, та проаналізуємо їх точки рівності (спільного перетинання) та інтервали нерівностей (рис. 3.2.11)

Рис. 3.2.11 Взаємне розташування функцій та

Як показує аналіз графіків, наведених на рис.3.2.11, вихідна нерівність має розв'язок у вигляді:

- 2 коренів рівняння ;

- та 2-х інтервалів виконання нерівності .

На рис. 3.2.12 наведене графічне розв'язок нерівності (3.2.9) у вигляді 2-х інтервалів:

а) б)

Рис. 3.2.12 Графічно-масштабований розв'язок нерівності в Microsoft Mathematics 4.0, корені рівності ()

Приклад 3.2.10 Розв'язати нерівність

Розв'язок

1. Враховуючи, що нерівність (3.2.9) має, як частковий розв'язок, рівність лівої та правої частини, побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 дві функції

та проаналізуємо їх точки рівності (спільного перетинання) та інтервали нерівностей (рис. 3.2.13).

Рис. 3.2.13 Взаємне розташування функцій та

Рис. 3.2.13а Взаємне розташування функцій та (збільшений масштаб)

Як показує аналіз графіків на рис.3.2.13-3.2.13а:

а) нерівність виконується на всій осі за можливим виключенням періодичних 2 точок, де є рівність (в рамках масштабу графіка) . Доведення наявності цих точок (торкання чи перетинання) потребує додаткового дослідження.

б) для знаходження цих точок необхідно провести перетворення тригонометричних функцій в рівнянні з приведенням їх до 1-го аргументу.

2. Проводимо перетворення вихідної системи нерівності

:

На графіках рис. 3.14 графічно доведена відсутність коренів рівняння (графіки не мають точок перетинання при всіх значеннях ) та виконання нерівності для всіх значень .