Основні положення теорії інверсії. Рішення задач

Допоміжна задача 2. Дано дві паралельні прямі й окружність, можливо вироджена, або пряма. Знайти дотичну всіх трьох фігур пряму.

_ Нехай задані дві паралельні прямі й . Шукана пряма буде мати рівняння .

Якщо дано ще окружність або крапка, що для простоти будемо вважати окружністю нульового радіуса, то перенесемо в центр цієї окружності початок координат за допомогою паралельного переносу . Відстань від центра окружності до шуканої прямої повинне рівнятися радіусу окружності, тобто в координатах. Звідси два значення q, але потрібно стежити, щоб прямі не збіглися.

Якщо дано пряму, то якщо вона не паралельна двом іншим, то рішень немає. Інакше рішень нескінченно багато, тільки потрібно стежити, щоб прямі не збіглися. ?

Алгоритм рішення задачі Аполлонія може бути таким:

Якщо всі окружності розташовані одна в іншій, як мотрійки (при одночасному виконанні умов , і ), то рішень ні, інакше:

Визначаємо дві окружності не одна в іншій (для них не виконується нерівність ); якщо вони дотичні (при або ), те приймаємо й виконуємо наступний крок один раз, інакше робимо їх дотичними, повторюючи для кожного х наступний крок три рази.

Змінюємо радіуси, роблячи торкання; визначаємо крапку торкання (її координата буде дорівнює для дотичних окружностей S_i і S_j); виконуємо інверсію із центром у цій крапці; вирішуємо задачі 1 і 2, знову робимо інверсію; виводимо й запам'ятовуємо результат, якщо такого ще немає.

Перевіряємо результати на торкання.

2.2 Застосування інверсії при доказі

Тут знову використовується той факт, що залежність даних і шуканих у відображеній фігурі часто набагато простіше, ніж в основній фігурі. Чудово, якщо в задачі фігурує окружність: метод дає можливість заміняти фігури, що містять окружності, більше простими фігурами.

Теорема Птоломея. Для всякого чотирикутника ABCD, уписаного в окружність, вірно .

? Нехай крапки A, B, C, D мають координати a, b, c, d відповідно.

Приймемо А за центр інверсії, і нехай ступінь інверсії дорівнює 1. При цьому окружність переходить у пряму. На цій прямій лежать образи крапок B, C, D - крапки B', C', D', причому порядок крапок зберігається, оскільки по слід 5 зберігається подвійне відношення крапок В, В, З, D, а це є просте відношення трьох крапок В, З, D. По властивості 3 можна записати: , і .

Через збереження порядку крапок вірно , тобто . Приведемо до загального знаменника: . Це й означає, що . :

Зворотна теорема. Якщо для чотирьох неколиніарніх крапок A, B, C, D вірно , то вони лежать на одній окружності.

? Рівність можна записати як . Жодна із крапок B, C, D не збігається з А, тому що інакше буде колиніарність. Тоді це рівносильне рівності . Одержимо при інверсії із центром А и ступенем 1. Це значить, що B', C', D' повинні лежати на однієї прямої й центр інверсії - крапка А. При цій інверсії пряма могла бути переведена або із прямої, або з окружності. Ніяка інша крива не могла бути прообразом цієї прямої, тому що, по інволютивності, ця пряма є також прообраз цієї кривої при тій же самій інверсії, тобто ця крива - окружність або пряма, третього не дано.

Якщо це пряма, то вона той же сама, і центр інверсії на ній. Тобто всі крапки лежать на одній прямій. Протиріччя умові теореми. Виходить, це була не пряма, а окружність. На ній лежать крапки B, C, D. Але раз пряма переводиться в окружність, то центр інверсії, тобто крапка А, розташований на цій окружності. :

Із цієї теореми треба теорема Піфагора, якщо чотирикутник є прямокутником.

Висновок

Необхідно відразу обмовитися, що робота не може претендувати на абсолютну повноту викладу даної теми. Однак цілі, поставлені на початку роботи, досягнуті. Виявлено й систематизовані основні визначення й факти, розглянуті основні види задач, розв'язуваних за допомогою перетворення інверсії.

Цікаво було б розглянути симетрію щодо взагалі будь-якій плоскій кривій, але це вже тема для окремого дослідження.

Дипломна робота може бути корисна студентам і вчителям, що ведуть факультативні заняття по даній темі. Робота легко може бути перетворена у відповідну курсову або дипломну роботу з інформатики, оскільки необхідні алгоритми рішення задач уже дані, залишається тільки реалізувати їх потрібною мовою програмування.

Бібліографічний список

1. Адамар Ж. Елементарна геометрія. - К., 2006

2. Олександров І.І. Збірник геометричних задач на побудову. - К., 2004

3. Понарін Я.П. Алгебра комплексних чисел у геометричних задачах. - К., 2006

4. Прасолов В.В. Задачі по планіметрії. - К., 2005

5. Яглом І.М. Геометричні перетворення. Лінійні й кругові перетворення. - К., 2007

Размещено на Allbest.ru