Основні положення теорії інверсії. Рішення задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломна робота

Основні положення теорії інверсії. Рішення задач

Зміст

Введення

Розділ 1. Основні положення теорії інверсії

1.1 Загальні відомості про комплексну площину

1.2 Визначення інверсії - симетрії щодо окружності

1.3 Формула інверсії в комплексно сполучених координатах

1.4 Нерухливі крапки й окружність інверсії

1.5 Образи прямих і окружностей при узагальненій інверсії

1.6 Властивості узагальненої інверсії

Розділ 2. Застосування інверсії при рішенні задач і доказі теорем

2.1 Застосування інверсії при рішенні задач на побудову

2.2 Застосування інверсії при доказі

Висновок

Бібліографічний список

Введення

У наше століття сучасних технологій так і хочеться залучити комп'ютер для рішення задач, зокрема, геометричних. Було б чудово, якби від користувача було потрібно тільки занести в програму потрібні дані, а остання сама б усе розрахувала й видала, приміром, радіус і центр шуканої окружності. Але вся проблема в тім, що програма може працювати тільки з координатами. І є зміст перекладу найбільш ефективних з погляду рішення задач перетворень, у число яких входить і інверсія, на мову координат. Найбільше просто це виходить на комплексній площині. Вивченню перетворення інверсії комплексної площини й присвячена ця дипломна робота.

Ціль роботи полягає в наступному: узагальнити й систематизувати основні факти про інверсію комплексної площини й показати застосування цього перетворення при рішенні задач і доказі теорем.

Поставлена мета припускала рішення наступних задач:

висновок комплексної формули інверсії;

доказ основних властивостей інверсії на комплексній площині;

рішення декількох задач за допомогою інверсії комплексної площини;

доказ ряду теорем за допомогою інверсії комплексної площини.

Виявилося, що не так багато спеціальних робіт з теми. Інверсія комплексної площини виявилася вкрай слабко освітлена в літературі в порівнянні з інверсією евклідової площини. Надходили в такий спосіб: брали відомий факт із евклідової площини, а потім доводили його методом комплексно сполучених координат. Найчастіше такі докази були зрозуміліше й коротше, ніж вихідні.

Розділ 1. Основні положення теорії інверсії

1.1 Загальні відомості про комплексну площину

Задамо на площині прямокутну декартову систему координат 0xy. Тоді кожному комплексному числу z, представленому в алгебраїчній формі , можна однозначно поставити у відповідність крапку М площини з координатами . Комплексне число z називають комплексною координатою відповідної крапки М и пишуть: .

Отже, множина крапок евклідової площини перебуває у взаємно однозначній відповідності із множиною комплексних чисел. Цю площину називають площиною комплексних чисел.

Всі необхідні відомості про цю площину дуже добре дані в книзі Я. П. Понарина [3]. Тут приведемо лише деякі формули, узяті з того ж джерела, використані в роботі.

Відстань між двома крапками з координатами а й b дорівнює .

Рівняння прямої в канонічній формі: , .

Рівняння окружності із центром у крапці s і радіусом r: . Також часто використовують запис , , , де центр , радіус .

Скалярний добуток векторів: .

Колиніарність трьох крапок з координатами а, b і з: .

Критерій колиніарності векторів: .

Відстань від крапки з координатою z₀ до прямій , : .

Критерій паралельності двох прямих і , заданих у канонічній формі: .

Критерій перпендикулярності двох прямих і , заданих у канонічній формі: .

Подвійне відношення чотирьох крапок площини з координатами а, b, с и d: ; аргумент w дорівнює орієнтованому куту між окружностями abc і abd.

Критерій приналежності чотирьох крапок однієї окружності або прямій: .

Критерій ортогональності окружностей , і , : .

Паралельний перенос на вектор з координатою : .

Гомотетія із центром s і коефіцієнтом : , .

Осьова симетрія з віссю симетрії , де : .

Центральна симетрія із центром : .

1.2 Визначення інверсії - симетрії щодо окружності

Визначення 1. Кутом між двома окружностями називається кут між дотичними до окружностей у крапці їхнього перетинання.

Якщо окружності не мають загальних крапок, то кут між ними не визначений.

Визначення 2. Кутом між окружністю S і прямій l називається кут між прямій l і дотичній до окружності S у крапці перетинання цієї окружності з l.

Знову ж, якщо пряма й окружність не мають загальних крапок, то кут між ними не визначений.

З визначення 2 треба, що окружності, центри яких лежать на даній прямій l, і тільки ці окружності, перпендикулярні до прямій l.

Теорема 1. Всі окружності, перпендикулярні прямій l і минаючі через крапку А, проходять і через крапку В, симетричну крапці А відносно прямій l.

Размещено на http://www.allbest.ru/

? Розглянемо довільну окружність із центром на прямій l, що проходить через крапку А. Уведемо систему координат таким чином, що пряма l є дійсною віссю, а початок координат розташовується в центрі нашої окружності, і радіус її дорівнює 1.

Дійсна вісь має рівняння , і формула осьової симетрії відносно l буде . Окружність має рівняння .

Якщо крапка А має координату а, то симетрична їй крапка В буде мати координату . Доведемо, що вона теж лежить на окружності.

Дійсно, оскільки А їй належить, то , що й означає приналежність крапки В( ) цієї окружності. :

Якщо А не лежить на дійсній осі, то більше загальних крапок у пучка окружностей, що проходять через А и перпендикулярних l, немає. Якби була ще загальна крапка З, то розглянуті окружності проходили б через крапки А, У и С, тобто всі збігалися б.

Якщо А лежить на дійсній осі, то в окружностей також більше немає загальних крапок, оскільки центр їх лежить на цій осі, і якщо є ще одна загальна крапка В (не лежачої не дійсної осі, інакше окружності банально збіжаться), тобто ще одна загальна крапка - симетрична їй, і в окружностей є три загальні крапки, тобто вони всі збіжаться, що неможливо.

Виходить, якщо окружності перпендикулярні прямій l і проходять через крапку А, і крапка В симетрична крапці А відносно прямій l (крапки А и В можуть збігатися), те це єдині загальні крапки цих окружностей.

Тому можна дати таке визначення симетрії відносно прямій.

Визначення 3. Крапки А и В називаються симетричними відносно прямій l, якщо всі окружності, перпендикулярні прямій l і минаючі через крапку А, проходять і через крапку В.

Уведемо тепер поняття симетрії щодо окружності. Доведемо спочатку наступну теорему.

Теорема 2. Всі окружності, перпендикулярні даної окружності У і минаючі через дану крапку А, що не лежить на У, проходять одночасно й через деяку крапку В, відмінну від крапки А.

Размещено на http://www.allbest.ru/

інверсія координата окружність теорема

? Розглянемо деяку окружність w, що задовольняє нашим умовам.

Уведемо систему координат таким чином, що початок координат розташовується в центрі окружності У і радіус її дорівнює 1, а крапка А лежить на дійсній осі.

Тоді У задається рівнянням , w задається рівнянням , де s - координата центра, r - радіус. Перпендикулярність окружностей дає рівність . Раз А лежить на w, те вірно , а з урахуванням попередньої рівності .

Крапка А, за умовою, не лежить на окружності У, і А лежить на дійсній осі, тому й , тобто , звідки . Останнє число, мабуть, теж є дійсним. Тоді доведемо, що крапка з координатою лежить на w, тобто вірно . Але це рівносильне , або , що вірно. Виходить, крапка з координатою лежить на w. Тому що вона відмінна від крапки А, а окружність w бралася довільно, те ми знайшли іншу загальну крапку всіх наших окружностей, що й було потрібно.

Помітимо, що крапка А не може збігатися із центром окружності У, оскільки тоді дотична до w буде мати з останньої дві загальні крапки, що неможливо.

Природно, що інших загальних крапок в окружностей, перпендикулярні окружності У і минаючих через крапку А, що не лежить на У, не має, оскільки тоді пучок цих окружностей проходив би через три крапки, тобто всі окружності б збігалися.

Помітимо також, що крапки з координатами 0, а й колиніарні. Дві останні крапки лежать по одну сторону від центра У. Причому якщо А лежить усередині окружності У, те В - поза нею, і навпаки. Також добуток відстаней від цих крапок до центра окружності постійно й дорівнює дійсному числу - квадрату радіуса даної окружності.

Якщо А лежить на У, те інших загальних крапок у пучка таких окружностей немає. Дійсно, якби була ще одна крапка, що не лежить на У, те по теоремі була б до того ж загальної й не співпадаюча з нею крапка, що не лежить на окружності, тобто не співпадаюча з А. Тоді в окружностей три загальних крапки й вони всі збіжаться, що неможливо. Якщо ж ще одна загальна крапка окружностей лежить на У, те можна надійти так. Крапка А лежить на У, тому або . Але ми завжди можемо перенаправляти дійсну вісь у протилежну сторону, тому будемо вважати, що . Тоді з вірної рівності одержуємо, що . Тому що В лежить на w, те вірно , але В лежить і на У, тоді остання рівність запишеться як . Одержуємо систему

.

Тому що , те й ліва частина першої умови не повинна рівнятися нулю. Виходить, з першої умови можна сміло знаходити центр w. Але тоді всі окружності пучка збіжаться, тому що радіус окружностей перебуває як відстань , що неможливо.

Також помітимо, що й у цьому випадку квадрат відстані від крапки А до центра окружності дорівнює квадрату радіуса даної окружності.

Тепер стає природним наступне визначення:

Визначення 4. Крапка А називається симетричній крапці У відносно окружності У, якщо кожна окружність, що проходить через А и перпендикулярна У, проходить через крапку В.

Для кожної крапки А існує тільки одна їй симетрична. Причому, мабуть, що якщо А лежить на У, те в неї немає відмінних від її симетричних крапок, вона симетрична сама собі. Також очевидно, що якщо А збігається із центром окружності симетрії, то в неї немає симетричної їй крапки.

Ще ясно, що добуток відстаней від центра даної окружності до симетричних крапок дорівнює квадрату радіуса цієї окружності.

Якщо крапка А симетрична крапці У відносно окружності У, те й крапка В симетрична крапці А щодо окружності У. Це дозволяє говорити про крапки, симетричних щодо окружності. Сукупність всіх крапок, симетричних крапкам деякої фігури F щодо окружності У, утворить фігуру F', симетричну фігурі F щодо окружності У.

Симетрія відносно прямій є граничним випадком симетрії щодо окружності, тому що пряму можна розглядати як окружність нескінченного радіуса.

Симетрія щодо окружності називається також інверсією; у цьому випадку окружність, щодо якої виробляється симетрія, називається окружністю інверсії, центр цієї окружності - центром інверсії, а квадрат її радіуса - ступенем інверсії.

Інверсію можна ще визначити й так:

Визначення 5. Інверсією площини із центром у крапці S і ступенем інверсії k називається перетворення, що усяку крапку М площини, відмінну від S, відображає в таку крапку М', що крапка М' лежить на промені SM і добуток .

Доведемо рівносиль визначень 4 і 5.

45. Згадаємо, що при доказі теореми 2 і далі в міркуваннях ми прийшли до факту, що симетричні щодо окружності крапки лежать на одній прямій із центром окружності У і по одну сторону від нього, причому добуток їхніх відстаней до центра цієї окружності дорівнює постійному дійсному числу - квадрату радіуса окружності. Це було показано для кожної крапки, відмінної від центра окружності.

54. Проведемо окружність із центром у крапці S і радіусом . Нам дано, що . Але будь-яка окружність, перпендикулярна проведеної й минаюча через крапку М, що не лежить на проведеній окружності, проходить і через крапку М', ми це показали раніше. Виходить, дійсно, крапки М и М' симетричні в змісті визначення 4.

Щоб це було дійсно перетворення, допускають, що крапка S відображається в нескінченно вилучену крапку, і навпаки (у цьому випадку нам зручніше мислити нескінченно вилучену область як одну крапку).

Визначення 5 менш геометрично, чим попереднє, але має перевагу більшої простоти. Виходячи із цього визначення, інверсію іноді ще називають перетворенням зворотних радіусів. Із цим визначенням зв'язана також назва «інверсія» (від латинського слова inversio - обіг).

Очевидно, слова «крапка М' лежить на промені SM і добуток » можна з успіхом замінити словами «крапки S, M і М' колиніарні й скалярний добуток векторів ». Тут k завжди позитивно. Але іноді корисно розглянути перетворення, що переводить крапку M у М' так, що й крапки S, M і М' колиніарні, але M і М' лежать по різні сторони від крапки S. Тоді, мабуть, k буде негативним. Таке перетворення називають інверсією із центром у крапці S і негативним ступенем. Тут також допускають, що центр інверсії переходить у нескінченно вилучену область, і навпаки.

Взагалі, говорячи про інверсію, мають на увазі звичайно інверсію з позитивним ступенем. Якщо знак ступеня інверсії може бути кожним, то таке перетворення називають узагальненою інверсією. Його визначення буде таким.

Визначення 6. Узагальненою інверсією площини із центром у крапці S і ступенем інверсії k називається перетворення, що усяку крапку М площини, відмінну від S, відображає в таку крапку М', що крапки S, M і М' колиніарні й скалярний добуток векторів . При цьому вважають, що S переходить у нескінченно вилучену область, і навпаки.

Це перетворення інволютивне, оскільки крапки М и М' входять у формулу рівноправно, а для центра інверсії й нескінченно вилученої області все явне.

1.3 Формула інверсії в комплексно сполучених координатах

Знайдемо формулу узагальненої інверсії при завданні крапок комплексними числами. Нехай крапкам S, M і М' відповідають комплексні числа s, z і z'.

По формулі скалярного добутку векторів . Колиніарність крапок S, M і М' дає рівність . Звідси маємо , звідки й одержуємо шукану формулу .

Отже, узагальнена інверсія має формулу або, що те ж саме, . При k>0 одержуємо інверсію з позитивним ступенем, при k<0 - з негативної.

Але чи всяке перетворення площини, задане формулою , є узагальненою інверсією? Якщо прийняти , , то досить зажадати, щоб і для узагальненої й для звичайної інверсії (з позитивним ступенем).

Виходить, усяке перетворення площини, що задається формулою , є узагальнена інверсія.

1.4 Нерухливі крапки й окружність інверсії

Досліджуємо рівняння інверсії на нерухливі крапки: для них повинне виконуватися рівність . Ми не розглядаємо центр інверсії й нескінченно вилучену область, тому що ми визначили, що вони не залишаються нерухливими, а переходять друг у друга. Тоді буде виконуватися рівність .

Очевидно, що якщо , те всі шукані крапки утворять окружність із центром у крапці з координатою s і радіусом . Ця окружність при називається окружністю інверсії. Якщо позначити радіус окружності інверсії через R, то виконується . І формулу інверсії для k>0 можна переписати більш наочно: .

Якщо ступінь інверсії негативний, то перетворення не має нерухливих крапок (оскільки неможливо зобразити на площині, навіть комплексної, крапки, координати яких задовольняють рівності ). Але іноді цю мниму окружність також називають окружністю інверсії, її центр розташований у центрі інверсії, а радіус буде дорівнює = = .

Тому що , те, мабуть, інверсію негативного ступеня легко представити у вигляді комутативної композиції інверсії з позитивним ступенем і центральної симетрії із загальним центром в s.

1.5 Образи прямих і окружностей при узагальненій інверсії

Без обмеження спільності міркувань можна прийняти , і формула інверсії прийме вид , більше зручний для практики. Адже нам поки не важливі коефіцієнти у формулі, що виходить, важливо, яку фігуру вона описує.

Нехай задана пряма l з рівнянням , . При підстановці в це рівняння й одержуємо: . Помножимо на , це буде рівносильним перетворенням, оскільки ; одержимо, опускаючи в отриманому результаті штрихи: .

Якщо q = 0, то одержуємо рівняння . Тому що , те помножимо обидві частини рівняння на , одержимо . Це рівняння прямої, що збігає із заданій прямій l. Якщо , то одержуємо рівняння окружності , тому що . Вона містить центр інверсії, її центр розташований у крапці , а радіус дорівнює . Помітимо, що центр лежить на прямій , що проходить через центр інверсії перпендикулярно l.

Отже, пряма, що містить центр інверсії, відображається при цій інверсії в себе; пряма, що не містить центр інверсії, відображається в окружність, що проходить через нього. Оскільки інверсія інволютивна, те окружність, що містить центр інверсії, відображається в пряму, що не містить його.

Візьмемо тепер окружність , що не проходить через центр інверсії . Тоді виконується . Її образ має рівняння (штрихи опущені). При розкритті дужок одержимо . Помножимо на , це буде рівносильним перетворенням, оскільки ; одержимо . Тому що , те цим рівнянням задається окружність із центром і радіусом . Вона не проходить через центр інверсії. Цікаво, що центр інверсії 0, центр даної окружності s і центр її образа колиніарні, оскільки число дійсне. Але центр окружності при інверсії не переходить у центр окружності образа. Якщо центр даної окружності s перейде в , то тоді повинне виконуватися . Оскільки , помножимо на , одержимо рівносильну рівність . Звідси , тобто , що неможливо. Виходить, припущення було невірно, і центр даної окружності не переходить у центр окружності образа.

Отже, окружність, що не проходить через центр інверсії, переходить в окружність, що також не проходить через центр інверсії.

Зокрема, якщо центр інверсії збігається із центром окружності, те й окружність при інверсії переходить в окружність , центр якої також збігається із центром інверсії. Отже, окружність, центр якої збігається із центром інверсії, при цій інверсії переходить у концентричну окружність. Зокрема, окружність із рівнянням інваріантна.

Цікаво, що центр інверсії є одночасно й центром гомотетії, що переводить одну окружність в іншу. Для нашого випадку гомотетія буде мати рівняння . Переконатися в цьому можна простою підстановкою: ця гомотетія переводить окружність у фігуру . Поділивши обидві частини на , одержимо окружність із центром і радіусом , що й було потрібно довести.

Тепер стає ясно, що кожну окружність можна за допомогою підходить обраної інверсії перевести в іншу дану окружність або пряму. Доведемо це.

Нехай дані дві окружності дійсного радіуса. Розглянемо спочатку випадок, коли їхні радіуси не рівні.

Ми вже показали, що центри окружностей і центр інверсії повинні лежати на одній прямій. Зрозуміло, що центр інверсії не лежить на даних окружностях.

Крапки, що лежать на прямій центрів, переходять у крапки, що лежать на тій же прямій. Тому можуть бути два порядки крапок: і .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уведемо систему координат таким чином, що центри окружностей лежать на дійсній осі, причому центр однієї збігається з початком координат, а радіус її дорівнює 1.

Покажемо, що існує інверсія для першого випадку.

Нехай крапки перетинання другої окружності з дійсною віссю мають координати а₁ і а₂. Тоді при інверсії а₁ переходить в -1, а а₂ - в 1. Тоді можна записати, що , . Тобто одержуємо систему: , що рівносильне . Віднімемо: , звідки, у силу нерівності радіусів, . Може статися, що це не є рішенням. Рішенням це буде в точності тоді, якщо збіжаться значення k з обох рівнянь.

З першого рівняння = .

Із другої умови одержуємо =. Той же самий результат. Отже, одержуємо єдину інверсію із центром у крапці й ступенем .

Крапка з координатою а₂ лежить на дійсній осі правіше крапки з координатою а₁, тому для визначення знака ступеня потрібно знати знак добутку .

Ступінь інверсії буде позитивна у двох випадках: або , звідки , або , звідки , тобто коли одна окружність лежить цілком усередині іншої. В інших випадках ступінь інверсії буде негативна.

Розглянемо другий випадок. Тоді при інверсії а₁ переходить в 1, а а₂ - в -1. Можна записати, що , . Тобто одержуємо систему: , що рівносильне . Віднімемо: , звідки, у силу нерівності радіусів, .

Аналогічно, може виявитися, що це не є рішенням. Рішенням це буде в точності тоді, якщо збіжаться значення k з обох рівнянь.

З першого рівняння , звідки . Із другого рівняння = . Той же самий результат.

Знак ступеня визначається знаком добутку . Негативна вона буде тільки у випадку , тобто або у випадку , тобто . Це відбувається в точності коли одна окружність лежить усередині іншої. Позитивної ступінь буде в противному випадку.

Отже, коли радіуси окружностей не рівні, одну в іншу можна перевести рівно двома інверсіями, причому одна з них з позитивним ступенем, а інша - з негативної.

Якщо ж радіуси окружностей рівні, то всі викладення будуть мати місце, але набагато спростяться. Для першого випадку одержимо з рівності , що , тоді . Причому в нас не може бути случаючи, коли одна окружність лежить усередині іншої, виходить, ступінь позитивний.

Для другого ж випадку одержуємо вірну рівність , але , і одержимо, тобто окружності концентричні, але в силу рівності радіусів вони збігаються. Це неможливо по припущенню, виходить, такої інверсії не може бути.

Можна зробити висновок, що якщо радіуси окружностей рівні, те одну в іншу можна перевести рівно одною інверсією з позитивним ступенем. У принципі, цього випливало очікувати: у двох окружностей рівного радіуса тільки один центр гомотетії.

Покажемо тепер, що існує інверсія, що переводить пряму l в окружність дійсного радіуса, і обернено. Ясно, що ця окружність проходить через центр інверсії, а пряма немає. Ми вже показали, що центр інверсії лежить на прямій m, що проходить через центр нашої окружності перпендикулярно l. Виходить, він може бути тільки в одній із крапок перетинання окружності із прямій m.

Уведемо систему координат так, що початок координат розташовується в центрі окружності, а пряма m збігається з дійсною віссю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дана пряма l паралельна мнимої осі, тому буде мати рівняння , . Пряма перетинає дійсну вісь у крапці з координатою . Окружність, якщо позначити її радіус r, буде мати рівняння . Інверсії, якщо вони є, будуть мати формули й , де k₁ і k₂ нам поки не відомі. Перша переведе окружність у пряму з рівнянням . Щоб це була l, досить зажадати , звідки .

Друга інверсія переведе окружність у пряму з рівнянням . Щоб це була l, досить зажадати , звідки .

Можуть вийти наступні випадки:

1) , тоді , ;

2) , тоді , , тобто другої інверсії не існує - це відбувається при торканні прямій і окружності в крапці з координатою -r;

3) , тоді , ;

4) , тоді , тобто першої інверсії не існує - це відбувається при торканні прямій і окружності в крапці з координатою r, ;

5) , тоді , .

Можна зробити висновок, що якщо пряма не має загальних крапок з окружністю, те одну в іншу можна перевести рівно двома інверсіями, причому одна з них з позитивним ступенем, а інша з негативної. Якщо пряма стосується окружності, то одну в іншу можна перевести тільки одною інверсією з позитивним ступенем. Якщо пряма й окружність перетинаються, то одну в іншу можна перевести двома інверсіями з позитивними ступенями.

Дві ж різні прямі ніколи не можуть бути переведені друг у друга інверсією.

1.6 Властивості узагальненої інверсії

1є. При узагальненій інверсії із центром О и ступенем k внутрішні крапки окружності У(О, ) (окружність інверсії, якщо k позитивно) переходять у зовнішні й навпаки (тому говорять також про дзеркальне відображення щодо окружності).

? Для центра інверсії й нескінченно вилученої області це очевидно. Для інших крапок при інверсії з позитивним ступенем це було доведено вище, у теоремі 2. А тому що інверсію з негативним ступенем можна представити як комутативну композицію інверсії з позитивним ступенем і центральної симетрії із центром на початку інверсії, те й для неї все очевидно. :

2?. Перетворення площини, що представляє собою послідовно виконану двічі ту саму інверсію, є тотожне перетворення

Треба з інволютивності перетворення інверсії. :

3є. Дві фігури, інверсні третій фігурі щодо того самого центра ПРО, гомотетичні.

? Дійсно, нехай М - крапка фігури F, М₁ і М₂ - крапки, що відповідають їй у двох інверсіях із загальним центром О и коефіцієнтами k₁ і k₂. Без обмеження спільності міркувань можна розглянути інверсію із центром на початку координат. Тоді, якщо крапки М, М₁ і М₂ будуть мати координати m, m₁ і m₂ відповідно, те, . Зауважуємо, що друга крапка отримана з першої при гомотетії з рівнянням . :

Ми бачимо, що вибір ступеня інверсії не впливає на форму отриманих фігур. Ця форма змінюється тільки при зміні центра інверсії.

4є. Залежність відстані між образами A' і B' двох крапок А и В від відстані між цими крапками при інверсії із центром S і ступенем k виражається у формулі .

? Інверсія задається формулою . Тоді . Звідси = = = . А це й означає . :

Інверсія зберігає величину кута між окружностями, а також між окружністю й прямою, між двома прямими, але змінює його орієнтацію на протилежну.

Нехай задані дві окружності (пряма й окружність, дві прямі), одна й з яких проходить через крапки A, B, C, а інша - через крапки A, B, D. Беремо крапки «гарні», тобто серед них немає нескінченно вилученої й нульовий, тому що ми будемо брати інверсію із центром у нулі. Якщо задані дві прямі, уважаємо А = В. Якщо A', B', C', D' - образи цих крапок при інверсії , то їхнє подвійне відношення w' дорівнює числу, комплексно сполученому подвійному відношенню w крапок A, B, C, D:

.

Відповідно до геометричного змісту аргументу подвійного відношення, він дорівнює орієнтованому куту між окружностями (прямою й окружністю, двома прямими) ABC і ABD, але . :

Наслідок 1. Інверсія зберігає подвійне відношення відстаней між крапками, кожна з яких не збігається із центром інверсії й з нескінченно вилученою крапкою.

? Помітимо, що . Із цього треба, що інверсія зберігає подвійне відношення відстаней між крапками, кожна з яких не збігається із центром інверсії й з нескінченно вилученою крапкою.

Для інших наборів крапок це твердження, загалом кажучи, невірно. Наприклад, будемо припускати, що всі чотири крапки різні. Якщо центр інверсії збігається, скажемо, із крапкою А, те, при нерівності інших крапок нескінченно вилученої, одержуємо відношення , що не має змісту. Якщо ж А збігається з нескінченно вилученою крапкою, то одержимо - теж нема рації. :

Наслідок 2. Дві крапки і їхні образи при інверсії лежать на одній окружності або одній прямій.

? Не обмежуючи спільності міркувань, розглянемо інверсію . Нехай крапки А(a) і В(b) переходять при інверсії в крапки А'(a') і В'(b'). Тоді координати образів будуть і відповідно. Якщо подвійне відношення їх речовинне, то все доведено.

тобто вони дійсно лежать або на одній окружності, або на одній прямій.

Щоб вони лежали на прямій, потрібно зажадати, щоб крапки А и В були колиніарні із центром інверсії, причому кожна із крапок навіть може збігатися із центром інверсії або нескінченно вилученою крапкою. :

Наслідок 3. Дотичні окружності або дотичну окружність і пряма переходять при інверсії в дотичні окружності або дотичну окружність і пряму, якщо тільки крапка торкання не збігається із центром інверсії, інакше вони переходять у паралельні прямі.

Кут між дотичною окружністю й прямою або дотичними окружностями дорівнює 0?. Якщо крапка торкання не збігається із центром інверсії, то окружності переходять у дві окружності, якщо центр інверсії не на одній з окружностей, у противному випадку в окружність і пряму. Кут зберігається, виходить, все вірно.

Якщо ж крапка торкання збігається із центром інверсії, то окружність переходить у пряму, що не проходить через центр інверсії, а пряма переходить сама в себе. Кут між прямими зберігається й дорівнює 0?, тобто вони дійсно паралельні. :

Визначення 7. Пряма називається дотичній до кривої в крапці М₀, якщо для довільної крапки кривій М відстань від М до прямої прагне до нуля швидше, ніж від М до М₀, коли M М₀, тобто , де Р - це проекція крапки М на пряму.

Визначення 8. Окружність називається дотичній до кривої в крапці М₀, якщо дотична до окружності в цій крапці є й дотичній до кривої в цій крапці.

Визначення 9. Кутом між двома кривими в їхній загальній крапці називається кут між дотичними до цих кривих у розглянутій крапці.

Якщо криві не мають загальних крапок, або хоча б одна з них не має дотичній у загальній крапці, то кут між кривими не визначений.

Очевидно, що кут між двома кривими в їхній загальній крапці також можна визначити як кут між дотичними окружностями (дотичній окружністю й прямою) до цих кривих у розглянутій крапці.

Визначення 10. Усяке перетворення, при якому зберігаються кути між кривими, називається конформним перетворенням.

Наслідок 4. Інверсія є конформне перетворення.

? Лема. Нехай дана окружність із центром s і крапка m₀ на ній. Тоді пряма, що проходить через цю крапку й стосується даної окружності, буде мати рівняння .

_ Шукана дотична перпендикулярна прямій, що проходить через s і m₀, і сама проходить через m₀.

Перенесемо центр координат у крапку m₀, тобто застосуємо паралельний перенос, що буде мати рівняння . Пряма, що проходить через s-m₀ і 0, буде мати рівняння , або в канонічній формі . Будь-яка пряма, що проходить через 0, буде мати рівняння . Щоб вона була перпендикулярна прямій , потрібно, щоб . Тобто можна взяти . Виходить, шукана пряма буде мати рівняння . Переводимо у вихідні координати: . ?

Нехай нам дані криві і , що мають загальну крапку з координатою m₀, і нехай кожна з них має дотичну в цій крапці - l і p відповідно. Нехай при деякій інверсії криві і перейдуть у криві ' і ', прямі l і p - у прямі або окружності l' і p'. Всі фігури будуть проходити через крапку з координатою m'₀. Кут між останніми, по властивості 5, збережеться, так що залишається показати, що вони будуть дотичними до кривих ' і ' у крапці з координатою m'₀.

Отже, для доказу досить показати, що якщо дано криву і дотична l до неї в крапці з координатою m₀, то l' буде також дотичній до ' у крапці з координатою m'₀.

Пряма l буде дотичній до кривої в крапці М₀ при , де Р - це проекція крапки М на пряму l, М - крапка кривій .

Виконаємо інверсію I, нехай її ступінь дорівнює k, а центр s не в крапці М₀. Помістимо початок координат в s, і рівняння інверсії буде . Також направимо дійсну вісь через крапку М₀. Якщо рівняння l , , то рівняння l' буде , .

Помітимо, що за умовою виконується .

Якщо l' - окружність, то дотична до неї в крапці М₀' буде, по лемі, мати рівняння . У силу рівності одержуємо .

Покажемо, що вона буде дотичній і до ' у крапці М₀', тобто , де Q - це проекція крапки М' на цю пряму, М' - крапка кривій '.

Із властивості 4 маємо: . Звідси треба, що . Дійсно, = = 0. Також = = 0.

Тоді .

По відомих нерівностях , і одержуємо: + = + .

Розглянута межа обмежена ліворуч нулем, а праворуч межею = + = 0 + .

Але ми брали m₀ дійсним числом, тому . Виходить, доказуваний межа дорівнює нулю, якщо l' - окружність.

Якщо l' - пряма, то її рівняння збіжиться із прообразом: . Тоді нам уже дана рівність . Покажемо, що сама пряма буде дотичній до ' у крапці М₀'. Дійсно, , а ця межа нам даний.

Ми прийшли до висновку, що коли центр інверсії не лежить у розглянутій крапці, то кут між кривими зберігається.

Якщо ж взяти центр інверсії в крапці М₀, то остання відобразиться в нескінченно вилучену область. Дотичні l і p перейдуть самі в себе й за згодою про нескінченно вилучену область будуть стосуватися кривих ' і ' у невласній крапці М'₀. Можна визначити кут між ними в невласній крапці як наявний кут між ними. :

Наслідок 5. Парне число інверсій не міняє кута між кривими, непарне число міняє напрямок кута на протилежне.

6?. Кожні дві окружності або пряму й окружність можна за допомогою інверсії перевести у дві прямі (пересічні або паралельні) або у дві концентричні окружності.

? Якщо дані окружності або окружність і пряма стосуються, то при центрі інверсії в крапці торкання переходять у дві паралельні прямі (наслідок 4).

Нехай дані дві не дотичні окружності дійсного радіуса. Якщо вони перетинаються, то, взявши за центр інверсії одну із крапок перетинання, одержимо дві пересічні прямі (вони будуть перетинатися по образі другої крапки перетинання).

Нехай окружності не перетинаються. Якщо вони вже концентричні, то існує дві інверсії, що переводять їх одна в іншу. Якщо ж вони не концентричні, то у дві прямі вони перейти не можуть, тому що тоді центр інверсії повинен розташовуватися одночасно на обох, що неможливо. Спробуємо їх перевести у дві концентричні окружності.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уведемо систему координат таким чином, що центри окружностей лежать на дійсній осі, причому центр однієї з них збігається з початком координат, і радіус цієї окружності дорівнює 1.

Центр інверсії лежить також на дійсній осі. Дійсно, центр інверсії, центр образа першої окружності й центр її ж лежать на одній прямій. Але тоді центр другої окружності лежить там же. А центри обох окружностей належать дійсній осі.

Нехай координати перетинання другої окружності з дійсною віссю рівні а₁ і а₂, у першої окружності це будуть крапки з координатами -1 і 1. Нехай на осі дана крапка О с координатою s. Тоді при інверсії із центром у крапці О и ступенем k будуть виконуватися рівності: , , і . Але крапки лежать на дійсній осі, тому вірно , , .

Отримані окружності концентричні, якщо . Тобто , що рівносильне , звідки одержуємо рівносильне рівняння відносно s: , де s не збігається з розглянутими чотирма крапками.

= . Виходить, дискримінант позитивний у точності тоді, коли окружності не перетинаються. Це й доводить існування потрібної інверсії, причому їх буде дві. Також потрібно помітити, що ступінь інверсії погоди не робить.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нехай тепер дані не дотичну окружність і пряма. Якщо вони не перетинаються, то, взявши центр інверсії на прямій або окружності, одержимо при інверсії пряму й окружність. Не підходить. Якщо візьмемо центр інверсії поза прямій і окружності, то одержимо дві окружності. Спробуємо знайти інверсію, при якій вони концентричні.

Уведемо систему координат таким чином, що пряма буде мнимою віссю, а центр окружності лежить на дійсній осі й координата однієї із крапок перетинання окружності у віссю дорівнює 1, а друга крапка перетинання має позитивну координату а.

Візьмемо крапку на дійсній осі, не приналежній даній прямій і окружності, нехай її координата дорівнює s. Проведемо інверсію із центром у цій крапці й ступенем k. Якщо вона переведе фігури в концентричні окружності, то аналогічно це тільки тоді, коли виконується рівність , тобто , або , звідки, після приведення подібних, одержуємо . Тому що знаменник свідомо не дорівнює нулю, оскільки ми так брали s, те одержуємо , звідки, у силу позитивності а, . Отже, така інверсія існує.

Якщо ж пряма й окружність перетинаються, то, взявши за центр інверсії одну із крапок перетинання, одержимо дві прямі. Вони будуть перетинатися в образі другої крапки перетинання. :

7є. При інверсії із центром s_I і ступенем k окружність із центром s радіуса r, що не збігає з окружністю інверсії (якщо ступінь позитивний), відображається в себе тоді й тільки тоді, коли виконується рівність .

? Перенесемо початок координат у центр інверсії паралельним переносом , і інверсія тоді буде задана формулою . Координата центра окружності стане , для зручності надалі будемо опускати цей штрих. Тоді рівняння окружності буде . Зрозуміло, що центр інверсії не лежить на окружності, інакше вона взагалі перейде в пряму. Це міркування дає нам . Окружність інверсією переводиться в , або , тобто . Тому що центр інверсії не на окружності, те це рівносильне . Це буде та ж сама окружність за умови, що .

Нас цікавить тільки друга умова сукупності. До речі, воно при дає умову ортогональності окружності інверсії й нашої окружності. Так попутно ми довели, що якщо окружність перпендикулярна окружності інверсії позитивного ступеня, то вона при цій інверсії переходить сама в себе.

При переході до вихідних координат одержуємо . :

Розділ 2. Застосування інверсії при рішенні задач і доказі теорем

2.1 Застосування інверсії при рішенні задач на побудову

Метод інверсії дає можливість вирішити ряд найбільш важких конструктивних задач елементарної геометрії. При цьому його комбінація з методом координат, що фактично відбувається при спробі вирішувати задачу на комплексній площині, дає найбільш точні обчислення місцезнаходження потрібних фігур, що є явним плюсом методу в порівнянні з досить неточними побудовами від руки. Недоліком же цього методу є його громіздкість, пов'язана з необхідністю виконати велике число досить об'ємних обчислень. Але треба сказати, що для комп'ютера це не є труднощами, і перед користувачем встає лише проблема перекладу алгоритму рішення задачі на мову програмування.

Задачі на побудову, розв'язувані методом інверсії, Александров [2] ділив на три групи.

Перша група. У задачах цього роду протилежні криві відіграють роль геометричних місць. Центр і ступінь інверсії в цьому випадку відомі.

Задача 1. Дано крапку К и дві прямі АВ і ВР. Провести січну KXY так, щоб , де з - дана довжина.

_ Шукані крапки X і Y інверсні один одному при інверсії із центром у крапці К и ступенем з². Крапка Y є перетинання прямій ВА із кривій, зворотної ВР. Це буде окружність, що проходить через центр інверсії, тобто через крапку К. Знайдемо її рівняння.

Пересунемо систему координат таким чином, що крапка К є початком координат (це буде паралельний перенос на вектор ОК з формулою , де - координата крапки К), тоді рівняння прямих ВР і АВ можна записати як і , оскільки вони не проходять через крапку К. Рівняння інверсії прийме вид .

Образ прямій ВР при інверсії буде , або, після спрощень, . Тоді координата шуканої крапки Y перебуває із системи: перетворивши яку, одержуємо систему

Обчисливши корінь першого рівняння, підставляємо їх у друге. Якщо підійдуть, це рішення. Таким чином, може бути 2, 1 або 0 рішень.

Щоб перевести координату Y у вихідну систему координат, додаємо до отриманої координати справжню координату К.

Тепер по двох крапках - Y і К- пишемо рівняння шуканої прямої: . ?

Друга група. У задачах цієї групи інвертується деяка частина шуканої фігури (відрізок, крапка або окружність); при цьому теорія інверсії, іноді в з'єднанні з іншими методами, часто вкаже таку залежність початку інверсії від даних і шуканих, котра дозволяє вирішити задачу. Початок і ступінь інверсії дані або повинні бути доцільно обрані. У виборі початку, ступеня, числа інверсій іноді зустрічаються утруднення.

Кращим прикладом задач цього роду служить, на думку Александрова, окремий випадок задачі Кастильона (Castillon), розібраний нижче.

Задача 2. У дану окружність вписати трикутник так, щоб прямі, що містять його сторони, проходили б відповідно через дані три крапки.

0 Коли всі три крапки лежать на даній окружності, то рішення очевидно: досить просто з'єднати ці крапки й одержимо шуканий трикутник. Рішення єдине, тому що трикутник своїми вершинами визначається однозначно.

Якщо дві із трьох даних крапок лежать на окружності й не колиніарні із третьої, то рішення також очевидно. Якщо третя крапка лежить усередині окружності, то будь-яка пряма, що проходить через неї перетинає окружність у двох крапках. Було б чудово, якби вона перетинала окружність в одній з даних крапок. Це можна влаштувати двома способами, і рішень теж два.

Якщо третя крапка лежить поза окружністю, тобто рівно один випадок, при якому задача не має рішення - якщо обидві проведені прямі є дотичними. Тобто може бути два, одне або жодного рішення.

Якщо тільки одна крапка лежить на даній окружності, то рішень також у найкращому разі два. Проведемо пряму через крапку на окружності й крапку не на окружності. Одержимо одну сторону трикутника. Тепер проведемо пряму через другу крапку не на окружності й крапку перетинання отриманій прямій, що не збігається з даної, якщо вона є. Одержимо другу сторону трикутника. Третя сторона виходить автоматично.

Так можна проробити з кожної із двох крапок не на окружності, і рішень буде два, якщо в якімсь або в обох випадках не вийде, що перша або друга проведена пряма виявиться дотичній.

Розглянемо випадок, коли три дані крапки не лежать на даній окружності.

Нехай ABC - шуканий трикутник, сторони АВ, ВР і СА якого проходять через три задані крапки М₁, М₂ і М₃ з координатами m₁, m₂ і m₃ відповідно, і вписаний він в окружність w із центром S(s) і радіусом r.

Помістимо початок координат у центр окружності w за допомогою паралельного переносу . Тоді окружність буде мати рівняння , а нові координати даних крапок будемо для простоти позначати тими ж буквами, не забуваючи при цьому їхнього щирого змісту.

Помітимо, що положення крапки А визначає весь трикутник, оскільки пряма Am₁ у перетинанні з окружністю дає крапку В, потім пряма Bm₂ у перетинанні з окружністю дає крапку С.

Виконаємо інверсію I₁ із центром у крапці М₁ і ступенем , її формула буде . При цьому окружність w перейде сама в себе по властивості 7: . Виходить, крапка А перейде в крапку В, оскільки не може перейти в себе, а образ її лежить на окружності й прямій Am₁ одночасно.

Потім здійснимо інверсію I₂ із центром у крапці М₂ і ступенем . Знову окружність w перейде сама в себе, а крапка В перейде в крапку С. Потім застосуємо інверсію I₃ із центром у крапці М₃ і ступенем . І знову окружність w перейде сама в себе, а крапка З перейде в крапку А.

Нарешті, застосуємо інверсію I із центром у крапці S(0) і ступенем . Крапка А перейде сама в себе, тому що лежить на окружності інверсії, сама окружність w, як окружність інверсії, - теж.

Таким чином, композиція інверсій переводить окружність w і крапку А самих у себе.

1) Нехай У - окружність або пряма, що проходить через крапку А. Позначимо , причому, мабуть, . До речі, звідси - це нам знадобиться нижче.

Щоб У перейшла в пряму У', необхідно, щоб проходила через S, тобто У проходила через . Обернено, якщо У проходить через S', те У - пряма.

Висновок: У' - пряма .

2) Тепер аналогічно попрацюємо з У' - прямою або окружністю, мабуть, що проходить через А. Як ми вже з'ясували, , і У, по допущенню, проходить через А. Щоб У' перейшла при композиції інверсій у пряму У, необхідно, щоб проходила через М₁, тобто У' проходила через . Обернено, якщо У' проходить через М', те У - пряма.

Висновок: У - пряма .

Тепер розглянемо пряму AS'. По першому висновку, буде пряма. З іншого боку, раз AS' - пряма, те, по другому висновку, буде проходити через М'. Тоді маємо, що , де AS' і AM' - прямі.

Кут, утворений прямій AM' з окружністю w у результаті 4 послідовних інверсій не зміниться ні по величині, ні по напрямку (по наслідку 5). Звідси треба, що прямі AS' і AM' , що утворять у крапці А однаковий кут з даною окружністю, збіжаться. І крапка А може бути знайдена як перетинання прямій S'' з окружністю w. Залежно від взаємного положення цій прямій і окружності, задача може мати два, одне або жодного рішення.

Може вийти, що крапки S' і M' збіжаться. Це відбувається або при = , або при . Ми цей випадок розглядати не будемо, оскільки ціль глави - показати застосування інверсії при рішенні задачі, а це було зроблено.

Звідси алгоритм рішення:

1. Переносимо початок координат у крапку S(s). Це паралельний перенос. Відповідно, вираховуємо нові координати крапок m₁, m₂ і m₃ по формулі .

Знаходимо координати крапок і при інверсіях з формулами , , . Якщо координати збіглися, то вийшов випадок, що ми не розглядали, інакше вони задають пряму , для простоти позначимо , .

Три рази заходимо в процедуру рішення системи . У перший раз із , , і одержуємо крапки а₁ і а₂. Другий раз (якщо є й а₂, то з кожним із цих значень) - з , . Для кожного а_i можемо одержати одне-єдине рішення - координату b_i. Третій раз (якщо є й b₂, то з кожним із цих значень) - з , . Для кожного b_i можемо одержати одне-єдине рішення - координату c_i.

Переводимо отримані координати у вихідну систему координат: . Це й будуть вершини трикутника. ?

Третя група. Усяка задача на побудову дає деяку фігуру, причому деякі елементи цієї фігури невідомі. Інвертуємо цю фігуру. Тоді дані шукані відобразяться відомим образом, і часто може трапитися, що залежність даних і шуканих у відображеній фігурі набагато простіше, ніж в основній фігурі. Тоді треба побудувати відображену фігуру. Потім інвертувати її обернено з тим же центром і ступенем. У цьому й складається головна ідея методу інверсії. Розумний вибір початку інверсії відіграє істотну роль: обчислення можна сильно скоротити. Ступінь інверсії в цьому випадку звичайно буває довільної.

Класичним прикладом задач цього типу можна назвати задачу Аполлонія.

Задача Аполлонія. Побудувати окружність, що стосується трьох даних окружностей.

_ Нехай дані три окружності: , і .

Допустимо, що ми вже побудували потрібну окружність . Вона, у загальному випадку, може стосуватися даних окружностей вісьма способами: кожну внутрішнім або зовнішнім образом.

Таблиця 1. Характер торкання із шуканою окружністю w.

№	S1	S2	S3
1	зовнішнє	зовнішнє	зовнішнє
2	внутрішнє	зовнішнє	зовнішнє
3	зовнішнє	внутрішнє	зовнішнє
4	внутрішнє	внутрішнє	зовнішнє
5	зовнішнє	зовнішнє	внутрішнє
6	внутрішнє	зовнішнє	внутрішнє
7	зовнішнє	внутрішнє	внутрішнє
8	внутрішнє	внутрішнє	внутрішнє

Якщо в нас є дві дотичні окружності, то виконаємо інверсію із центром у крапці торкання, ці дві окружності перейдуть у паралельні прямі, і задача зведеться до більше простій: побудувати окружність або пряму, тридцятилітній з паралельними прямими, що виходять, і ще одною прямою або окружністю кут в 180(.

Якщо ж немає дотичних окружностей, то застосуємо так званий метод розширення. Ми можемо змінювати наші окружності так, щоб центри їх завжди залишалися постійними, а радіуси мінялися, аж до нульового, і торкання шуканої окружності з даними зберігалося (можливо, виродившись у крапки окружності). Причому зробимо так, щоб дві з окружностей стосувалися. Якщо в нас всі окружності одна в іншій, як мотрійки, то рішень, мабуть, немає. Розглянемо протилежний випадок, коли є хоча б дві окружності не одна в іншій. Для визначеності, нехай це перша й друга. Вони можуть бути тільки або пересічними, або поза один одного.

Зробимо їх дотичними в такий спосіб.

Таблиця 2. Нові радіуси для окружностей одна поза іншої

Змінений r1	Змінений r2	Змінений r3	Змінений rw	x	торкання
		,			1, 5
		,			2, 6
		,			3, 7
		,			4, 8

Таблиця 3. Нові радіуси для пересічних окружностей, щоб стосувалися.

Змінений r1	Змінений r2	Змінений r3	Змінений rw	x	торкання
		,			1, 5
		,			2, 6
		,			3, 7
		,			4, 8

Об'єднаємо все це в нову таблицю, не з огляду на вид торкання.

Таблиця 4. Підсумки.

Змінений r1	Змінений r2	Змінений r3	Змінений rw	x
		,	,
		,
		,

Отже, перша й друга окружності стали стосуватися. Подивимося, чи може одна з них виродитися в крапку.

У першому випадку х негативний, якщо окружності перетинаються, але виродження неможливо, тому що це означало б торкання споконвічних окружностей внутрішнім образом. А третя окружність може виродитися.

У другому випадку r₂ точно не нуль, тому що окружності не стосуються зовнішнім образом, і радіус першої явно позитивне число. Але третя може виродитися.

У третьому випадку все аналогічно. Третя ж окружність може виродитися.

Можна зробити висновок, що дотичні окружності не вироджуються.

Оборотний увага, що шукана окружність теж може виродитися в загальну крапку всіх трьох окружностей - крапку торкання перших двох. Але третя не буде стосуватися їх у цій крапці й не виродиться, інакше окружності б споконвічно були дотичними. Тобто, у випадку трьох прямих, що виходять, потрібно враховувати й загальну крапку.

Взагалі, задача звелася до наступній. Знайти окружність, що стосується трьох даних, якщо дві з них стосуються й не виродженні, а третя може бути виродженої.

Виконаємо інверсію в крапці торкання. Дотичні окружності перейдуть у дві паралельні прямі, а що залишилася - в окружність (крапку) або пряму. Потрібно знайти пряму або окружність, паралельну прямим, що виходить, або дотичній окружності, що виходить (минаючої через крапку). Причому шукана окружність або пряма не повинна проходити через крапку торкання, інакше вона при інверсії перейде в пряму, а не окружність.

Для початку шукаємо окружність, що стосується двох паралельних прямих і ще одній прямій або окружності. Шукана окружність не повинна проходити через А. Це допоміжна задача 1.

Потім шукаємо пряму, паралельним двом паралельним прямим і ще одній прямій або дотичній заданій окружності. Шукана пряма не повинна проходити через А. Але не забуваємо й про загальну крапку трьох прямих - нескінченно вилученої, котра при інверсії перейде в центр інверсії й потім, можливо, стане центром шуканої окружності. Це допоміжна задача 2.

Допоміжна задача 1. Дано дві паралельні прямі й окружність, можливо вироджена, або пряма. Знайти дотичну всіх трьох фігур окружність.

_ Нехай задані дві паралельні прямі й . Центр шуканої окружності, мабуть, буде перебувати на прямій .

Якщо задано ще одну пряму , то центр перебуває також на прямій . Одержуємо систему з рівнянь двох прямих, з яких легко знаходимо центр шуканої окружності, якщо це можливо (тобто вони все не паралельно).



.

Далі, якщо можливо, знаходимо із другої умови й перевіряємо виконання першого.

Якщо знайдено центр, то радіус окружності перебуває як відстань від прямої до прямої . Для цього помітимо, що крапка з координатою лежить на прямій . Тоді відстань від цієї крапки до прямій дорівнює

= = .

Пам'ятаємо, що якщо ми змінювали радіуси, то рішенням є й нескінченно вилучена крапка, тобто окружність із центром у нескінченно вилученій крапці й нульовому радіусі.

Якщо задано окружність або крапка , що для простоти будемо вважати окружністю нульового радіуса, то перенесемо в центр цієї окружності початок координат за допомогою паралельного переносу . У силу торкання одержуємо або систему , або систему , де R - радіус шуканої окружності - відстань між паралельними прямими й , - образ прямої при паралельному переносі. Обидві системи легко вирішуються. ?