Решение дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа №2

Вариант 4

Анастасия Рафальская

24.02.11

Задача 1

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Разделяем переменные:

Теперь интегрируем обе части полученного равенства:

Это и есть искомое общее решение уравнения.

Задача 2

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее указанному начальному условию.



Решение. Перепишем исходное уравнение в виде

а искомую функцию представим в виде произведения двух других: . Тогда

Или

В этом случае исходное уравнение сводится к виду

Интегрируя, получаем

А решение исходного уравнения примет вид:

. (*)

Выберем константу в (*) так, чтобы выполнялось дополнительное условие .

Следовательно, .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид:

Задача 3

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение. В разложении функции в степенной ряд

заменим x на . Тогда получим

Умножая этот ряд почленно на , будем иметь

Следовательно,

Полученный числовой знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Восьмой член этого ряда по абсолютной величине меньше , поэтому для обеспечения требуемой точности нужно просуммировать первые семь членов ряда и результат округлить до 0,001. Итак,

Задача 4

Студент знает ответы на 15 из 20 вопросов программы. Какова вероятность того, что он знает ответы на все три вопроса, предложенные экзаменатором.

Решение. Рассмотрим события:

{студент знает ответ на первый вопрос};

{студент знает ответ на второй вопрос};

{студент знает ответ на третий вопрос}.

Тогда

Вероятность того, что второй вопрос окажется для студента известным, при условии, что он смог правильно ответить на первый вопрос, т. е. условная вероятность события , равна

Вероятность того, что третьим будет отобран знакомый вопрос, при условии, что уже отобраны два знакомых вопроса, т. е. условная вероятность события , равна

Искомая вероятность того, что все три вопроса окажутся ответными, равна

Задача 5

В группе из 18 студентов имеется 5 отличников. Выбираются наудачу три студента. Какова вероятность того, что все они отличники?

Решение. Рассмотрим события:

{первый студент является отличником};

{второй студент является отличником};

{третий студент является отличником}.

Тогда

Вероятность того, что второй студент окажется отличником, при условии, что первый студент оказался отличником, т. е. условная вероятность события , равна

Вероятность того, что третьим будет отобран отличник, при условии, что уже отобраны два отличника, т. е. условная вероятность события , равна

Искомая вероятность того, что все три отобранных студента окажутся отличниками, равна

Задача 6

Дана вероятность того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что

а) из семян прорастет ровно ;

б) из семян прорастет ровно ;

в) из семян прорастет не менее , но не более .

Решение.

А) Пусть событие { из семян прорастет ровно }; Вероятность можно определить по формуле Бернулли

где - число сочетаний из элементов по .

В нашем примере искомая вероятность события A

Б) Вычислить искомую вероятность по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

где .

Из условия задачи

.

Тогда .

Далее находим .

Искомая вероятность равна

В) Вероятность того, что событие в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

где .

- функция Лапласа.

По условию задачи . Из приведенных выше формул находим и :

Тогда

Задача 7

Задан закон распределения двух независимых случайных величин и . Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

	- 6	8	9	10		- 8	2
	0,1	0,1	0,6	0,2		0,4	0,6

Решение. Найдем сначала математические ожидания и дисперсии случайных величин и (для вычисления дисперсий воспользуемся универсальной формулой):

Теперь, воспользовавшись свойствами математического ожидания и дисперсии, а также условием независимости случайных величин и , получаем математическое ожидание

и дисперсию

Задача 8

Непрерывная случайная величиназадана интегральной функцией распределения

.

Найти:

1) дифференциальную функцию распределения (плотность вероятностей);

2) математическое ожидание ;

3) дисперсию и с.к.о. .

Построить графики и .

Решение.

1) Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины называется производная от интегральной функции распределения , то есть .

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:



2) Если непрерывная случайная величина задана плотностью вероятностей , то ее математическое ожидание определяется формулой

Так как в нашем случае функция при и при равна нулю, то из последней формулы имеем

3) Дисперсию определим, например, по формуле

Тогда

Отсюда имеем:

Строим графики

и

Задача 9

Контролируемый размер деталей, выпускаемых цехом, распределен по нормальному закону. Стандартная величина размера детали (математическое ожидание) равна 30 мм, среднее квадратичное отклонение размера составляет 3 мм.

Требуется найти:

1) вероятность того, что размер наудачу взятой детали будет больше 24 мм, но меньше 33 мм;

2) вероятность того, что размер детали отклонится от стандартной величины не более чем на 1,5 мм;

3) диапазон изменения размера детали.

Решение.

1) Пусть длина детали. Если случайная величина задана дифференциальной функцией , то вероятность того, что примет значения, принадлежащие промежутку , определяется по формуле

Если , то

где - функция Лапласа, .

У нас , то есть

2) Если , то

По условию задачи , поэтому из последней формулы получаем

3) Для нахождения диапазона изменения длины детали воспользуемся правилом "3":

если , то .

В рассматриваемом примере имеем

.

Задача 10

Признак представлен таблицей, которая является выборкой его значений, полученных в результате 100 независимых наблюдений. Требуется:

1. Составить интервальное выборочное распределение.

2. Построить гистограмму относительных частот.

3. Перейти от составленного интервального к точечному выборочному распределению, взяв при этом за значения признака середины частичных интервалов.

4. Построить полигон относительных частот.

5. Вычислить все точечные выборочные оценки числовых характеристик признака: выборочное среднее ; выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию ; выборочное среднее квадратичное отклонение и исправленное выборочное с.к.o. .

6. Считая первый столбец таблицы выборкой значений нормально распределенного признака , построить доверительные интервалы, покрывающие неизвестные математическое ожидание и дисперсию этого признака с надежностью .



54.2	58.0	45.0	46.0	62.2	63.3	88.8	46.0	80.5	62.3
14.0	25.0	49.0	25.5	50.0	48.0	46.5	59.0	53.0	52.7
79.0	67.0	19.3	59.0	50.5	57.0	66.8	82.5	71.0	38.5
53.9	52.8	53.7	73.0	34.0	36.0	26.4	56.0	74.4	61.2
27.8	54.0	75.2	27.0	51.8	51.4	54.8	82.3	31.0	60.6
55.3	62.6	32.4	46.4	58.4	55.7	52.8	53.4	61.5	51.4
37.5	54.0	31.0	43.7	61.5	51.8	22.4	39.6	32.4	41.6
53.5	30.7	58.0	72.6	33.3	66.7	35.2	47.8	48.0	73.1
50.3	80.7	41.1	73.2	43.3	34.0	47.0	50.1	94.0	67.0
34.0	47.8	68.8	26.0	42.8	46.3	68.8	45.0	21.8	34.7

Решение.

1) Построим интервальное выборочное распределение значений признака. Для этого сначала отметим, что у нас , , поэтому размах выборочных значений

.

Теперь определим длину каждого частичного интервала (их также называют классовыми интервалами), воспользовавшись формулой Стерджеса

,

где объем выборки. В рассматриваемом примере

Далее устанавливаем границы частичных интервалов: левую границу первого интервала принимаем равной , далее полагаем , ,…, . На этом указанная процедура заканчивается, т.к. последующие частичные интервалы не будут содержать выборочных значений признака.

Приступаем к распределению по частичным интервалам выборочных значений признака, ставя в соответствие интервалу с номером частоту как число выборочных значений признака, попавших в интервал. При этом договоримся, что если некоторое из выборочных значений совпадет с границей двух соседних интервалов, то будем относить его к предыдущему из них.

В итоге реализации данных рекомендаций получим таблицу 2, в первых двух столбцах которой разместим искомое интервальное распределение выборки, в третьем относительные частоты , а в последнем четвертом плотности распределения относительных частот на частичных интервалах: (величины и нам потребуются в дальнейшем).

Таблица 1

(9; 19)	1	0.01	0.001
(19; 29)	9	0.09	0.009
(29; 39)	14	0.14	0.014
(39; 49)	19	0.19	0.019
(49; 59)	29	0.29	0.029
(59; 69)	14	0.14	0.014
(69; 79)	8	0.08	0.008
(79; 89)	5	0.05	0.005
(89; 99)	1	0.01	0.001
	100	1.00

2) Строим гистограмму относительных частот в нашем примере, используя при этом первый и последний столбцы таблицы 1.



Гистограмма относительных частот

3) Перейдем от интервального распределения выборки к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемом примере такое распределение, очевидно, имеет вид следующей таблицы 2.

Таблица 2

	14	24	34	44	54	64	74	84	94
	1	9	14	19	29	14	8	5	1

4) По полученной таблице 2 может быть построен полигон относительных частот, который является, как и гистограмма относительных частот, статистической оценкой кривой распределения признака. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках . В рассматриваемом случае в соответствии с первой строкой таблицы 2 и третьим столбцом таблицы 1 полигон относительных частот имеет следующий вид.



Полигон относительных частот

5) Определим теперь основные числовые характеристиками признака , такие как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (с.к.o.). Точечными выборочными оценками этих параметров служат соответственно выборочное среднее , выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия , выборочное с.к.o. и исправленное выборочное с.к.o. , которые вычисляются по формулам

;

, где ;

;

; ,

где выборочные значения признака , частоты этих значений, объем выборки.

Воспользовавшись перечисленными формулами, найдем точечные выборочные оценки генеральных параметров распределения признака , используя при этом данные из таблицы 3.

1.

2. Выборочная дисперсия:

4.

5. ;

6) Для нормально распределенного признака (первый столбец исходной таблицы), представленного выборкой объема , доверительные интервалы, покрывающие с надежностью его неизвестные математическое ожидание и дисперсию , имеют соответственно вид

, ; (1)

. (2)

Здесь значения являются критическими точками распределения . Они ищутся в зависимости от заданного уровня значимости и числа степеней свободы .

Величины и являются критическими точками распределения. Их находят в зависимости от числа степеней свободы , а также уровней значимости и соответственно. При заданных условиях имеем

;

Погрешность математического ожидания при заданной надежности

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания при заданной надежности

Доверительный интервал неизвестной дисперсии , имеют соответственно вид

Задача 11

Даны таблицы с выборками пар значений признаков и .

1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и сделать выводы о тесноте и направлении линейной корреляционной зависимости между признаками X и Y.

2. При уровне значимости проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

3. Составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на X, построить полученную прямую в системе координат вместе с исходными данными и дать оценку качества регрессии, основываясь на визуальных соображениях.

4. Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество регрессии.

5. При уровне значимости оценить значимость регрессии с помощью критерия Фишера.

6. При уровне значимости получить доверительные интервалы для оценки генеральных параметров регрессии и сделать выводы об их значимости, а также о значимости регрессии.

	2	5	8	4	3	13	9	5
	4	9	12	6	8	16	16	6

Решение.

1. Проводим вычисление выборочного коэффициента корреляции:

Таким образом, линейная корреляционная зависимость сильная, прямая (положительная).

2. Проверяем значимость коэффициента корреляции.

Вычисляем ошибку репрезентативности:

.

Находим и (по таблицам приложения 6):

.

Так как , то при уровне значимости можно утверждать достоверность коэффициента корреляции (значимость отличия от нуля), т.е. линейная корреляционная зависимость между рассматриваемыми признаками существует не только в выборочной, но и в генеральной совокупности.

3. Подставляем полученные результаты в выборочное уравнение прямой регрессии

и получаем

или после простых преобразований

.

Построим и проанализировать график прямой и исходных данных.



Прямая регрессии, построенная в системе координат вместе с исходными данными в виде точек той же плоскости, хорошо «притягивает» эти точки, что свидетельствует о достаточно сильной корреляционной зависимости исходных данных.

4. Находим модельные значения () отклика Y, присоединив их к таблице исходных данных:

	2	5	8	4	3	13	9	5
	4	9	12	6	8	16	16	6
	4,86	8,32	11,79	7,17	6,01	17,57	12,95	8,32

Теперь вычисляем

.

.

Полученное значение коэффициента детерминации близко к 1, поэтому полученное выборочное уравнение прямой регрессии хорошо (адекватно) объясняет отклик Y.

5. Исследуем зависимость с помощью критерия Фишера:

;

.

Находим по таблицам приложения 7

.

Так как , гипотеза отвергается и регрессия признается значимой с 95% уровнем надежности.

6. Теперь построим доверительные интервалы, покрывающие генеральные параметры регрессии и оценим значимость этих параметров.

Вычисляем



.

Подставляем полученные результаты в формулы для интервалов

,

В результате получаем доверительные интервалы, покрывающие генеральные параметры регрессии с надежностью

Тот факт, что доверительный интервал для генерального коэффициента регрессии не содержит нулевое значение, еще раз подтверждает гипотезу о значимости регрессии.

Задача 12

На предприятии имеется сырье видов I, II, III. Из него можно изготавливать изделия типов А и В. Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют , , ед. соответственно, изделие типа А дает прибыль ден. ед., а изделие типа В - ден. ед. Расход сырья на изготовление одного изделия задан в условных единицах таблицей.

Составить план выпуска изделий, при котором предприятие имеет наибольшую прибыль. Решить задачу графически и симплексным методом.

Изделие	Сырье
	I	II	III	40	34	46	1	2
А	2	1	3
В	2	2	1

Решение.

1. Составим математическую модель задачи. Обозначим: - количество выпускаемых изделий типа , количество выпускаемых изделий типа . Тогда с учетом расходов сырья на изготовление изделия каждого типа получим следующие ограничения на и , учитывающие запасы сырья каждого вида:

(1)

По смыслу задачи

(2)

Прибыль предприятия при плане , равна

. (3)

Итак, математическая модель задачи получена: необходимо найти значения , , удовлетворяющие неравенствам (1), (2), для которых функция (3) достигает max. Полученная задача - стандартная задача линейного программирования.

2. Решим полученную задачу графически. Для этого введем систему координат и изобразим в ней множество решений систем неравенств (1), (2) (область допустимых решений ОДР) в виде множества точек плоскости.

Условию (2) удовлетворяют точки первой четверти. Для получения полуплоскостей, соответствующих неравенствам системы (1), построим их границы, т.е. прямые линии:

Имя прямой	Уравнение Прямой	Таблица для построения прямой
(а)		0 20 20 0
(б)		0 34 17 0
(в)		0 15,333 46 0

Пересечение построенных полуплоскостей с первой четвертью - искомая ОДР (многоугольник OABCD).



Ищем координаты вершин ОДР и значения целевой функции F в этих вершинах:

;

;

;

;

.

Отсюда

Вывод: предприятию выгодно выпустить 17 изделий типа B () и не выпускать изделия типа A (). При этом его прибыль будет наибольшая и составит 34 ден. ед. Такая же прибыль будет получена при выпуске 6 изделий типа A и 14 изделий типа B. Такая же прибыль получается при любых реализациях , расположенных на отрезке AB:

3. Решим задачу симплексным методом. Для этого приведем стандартную задачу к каноническому виду, добавив в левые части неравенств (1) дополнительные неотрицательные переменные , равные разностям правых и левых частей этих неравенств и представляющие собой остатки сырья каждого вида после реализации намеченного плана выпуска изделий. Получим задачу:

; (4)

(5)

(6)

Выбираем в качестве базисных добавленные переменные . Тогда оставшиеся переменные будут свободными. Положим и . Тогда , т.е. получаем первое базисное решение . При этом .

АНАЛИЗ 1. Структура целевой функции из условия (4) позволяет утверждать, что ее значения могут быть увеличены за счет увеличения значений как свободной переменной , так и свободной переменной (коэффициенты при этих переменных в положительные). Отсюда следует, что найденное базисное решение оптимальным не является.

Назначим другой набор базисных переменных, который обеспечит увеличение значений целевой функции. С этой целью будем увеличивать значения свободной переменной , оставляя , и определим из системы (5), какая из базисных переменных первой станет отрицательной (чего нельзя допустить!), и назовем ее проблемной.

Переписав систему (5) в более удобном для анализа виде

заключаем, что проблемной является базисная переменная из второго равенства системы. Выводим ее из состава базисных и обмениваем ее на свободную переменную : . В результате новыми базисными переменными стали , а новыми свободными ? . Выражаем в системе (5) новые базисные переменные через новые свободные, начиная с ее проблемного второго равенства. Через эти же свободные переменные выражаем целевую функцию из условия (4):

В результате математическая модель решаемой задачи принимает следующий вид:

; (4')

(5')

(6)

Полагаем свободные переменные . Тогда базисные переменные согласно системе (5') принимают значения , т.е. получаем второе базисное решение. При этом из (4') .

АНАЛИЗ 2. Структура целевой функции из условия (4') позволяет утверждать, что ее значения не могут быть увеличены за счет увеличения значений как свободной переменной , так и свободной переменной (коэффициенты при этих переменных в не положительные). Отсюда следует, что найденное базисное решение является оптимальным: . При этом .

Поскольку F не зависит от свободной переменной , то ее увеличение не влияет на размер прибыли, так что найденное решение не является единственным.

Ответ. Для получения максимальной прибыли в количестве 34 ден. ед. предприятие должно выпустить 17 изделий типа B и не выпускать изделия типа A, либо выпустить 2, 4 или 6 изделий типа А и 16, 15 или 14 изделий типа B соответственно. При этом соответствующие остатки сырья приведены в следующей таблице:

Выпущено изделий	Остатки сырья
A	B	I	II	III
0	17	6	0	29
2	16	4	0	24
4	15	2	0	19
6	14	0	0	14

Задача 13

уравнение интеграл вероятность дисперсия

Методом потенциалов решить следующую транспортную задачу.

На трех базах имеется однородный груз в количествах условных единиц соответственно. Этот груз требуется перевезти в четыре пункта потребления в количествах условных единиц соответственно. Стоимости перевозок единицы груза от поставщиков потребителям указаны в матрице стоимостей С.

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

244.	а1 = 90, а2 = 40, а3 = 70; b1 = 85, b2 = 37, b3 = 40, b4 = 38.

Решение. Эта задача является закрытой транспортной задачей, так как . Для ее решения воспользуемся таблицей, в которой будем составлять последовательно планы перевозок.

Составим первый план перевозок. В этом плане отличными от нуля перевозками могут быть лишь значений (базисные переменные), где m число поставщиков, n число потребителей. Остальные значения заведомо равны нулю (свободные переменные). Будем их в таблице помечать прочерком.

Для составления плана последовательно заполняют клетки таблицы так, чтобы на каждом шаге исчерпывалась или потребность какого-либо потребителя, или возможность какого-либо поставщика. В соответствующем столбце или строке ставят в остальных пустых клетках прочерки. Если при этом одновременно исчерпывается и потребность и возможность, то вычеркивается что-то одно (столбец или строка). При таком построении плана перевозок заполненными окажутся ровно клетки, а остальные прочеркнутся.

При построении первого плана (таблица 2) начнем с клетки с наименьшими затратами и на каждом шаге будем выбирать такого типа клетку (метод наименьших затрат). Значения будем записывать в левом верхнем углу клетки. В ее центре будем проставлять значения .

Заполняем клетку (14), так как наименьшее, значением . При этом вычеркивается четвертый столбец.

На втором шаге заполняем клетку (31), т.к. наименьшее, значением . При этом вычеркивается третья строка.

В оставшихся клетках наименьшее , поэтому заполняем клетку (13) значением . При этом вычеркивается третий столбец.

На четвертом шаге заполняем клетку (21), т.к. наименьшее, значением . При этом вычеркивается первый столбец.

На следующем шаге заполняем клетку (12), т.к. наименьшее, значением . При этом вычеркивается первая строка.

Оставшуюся клетку (22) с , заполняем оставшимся значением . При этом таблица становится полностью заполненной.

Число заполненных клеток при этом составляет . Стоимость перевозок F при данном плане

F=2·12+1·40+0·38+2·15+4·25+1·70=24+40+30+100+70=264 (ден. ед.)

Для проверки оптимальности полученного плана воспользуемся методом потенциалов. Введём строку потенциалов и столбец потенциалов . Полагаем , а остальные и найдём так, чтобы для заполненных клеток выполнялись равенства

.

Вычисляем оценки прочеркнутых клеток по формулам

.

Таблица 3

	85	37	40	38
90	5	5	2	0	1	0	0	0	0
	-	12	40	38
40	2	0	4	0	3	0	6	4	- 2
	15	25	-	-
70	1	0	3	0	4	2	2	1	- 1
	70	-	-	-
	0	-2	-1	0

Оценки клеток будем записывать в правых верхних углах клеток. Для оптимального плана должно выполняться условие для всех клеток.

Таким образом, построенный нами план перевозок является оптимальным.

По этому плану поставщик перевозит 12 ед. потребителю , 40 ед. потребителю , 38 ед. потребителю ; поставщик 15 ед. потребителю , 25 ед. потребителю ; поставщик А₃ 70 ед. потребителю .

Так как среди оценок в прочеркнутых клетках есть нули, это говорит о том, что оптимальный план не единственный.

Задача 14

Двум предприятиям выделено единиц средств на 4 года. Как распределить эти средства между ними для получения максимального дохода, если в первый год средства распределяются между предприятиями в полном объеме, во второй год распределяется неосвоенная за первый год часть средств (остаток) и т.д., а также известно, что

- доход от единиц средств, вложенных на год в первое предприятие, равен ;

- доход от единиц средств, вложенных на год во второе предприятие, равен ;

- остаток средств к концу года на первом предприятии составляет ;

- остаток средств к концу года на втором предприятии составляет .

Номер задачи
13.	1000	3x	0,1x	2y	0,5y

Решение. Решим эту задачу методом динамического программирования.

Пусть в начале года (произвольного) мы должны распределить единиц средств. Обозначим через средства, выделяемые второму предприятию. Тогда первое получит ед. средств. Обозначим суммарный доход за этот год при таком распределении через . Очевидно,

.

Остаток средств через год обозначим через . Очевидно,

.

Здесь состояние системы в начале года определяется имеющимися средствами, т.е. числом , а управление способом распределения средств, т.е. числом . Для состояния при управлении система к концу года перейдет в состояние, определяемое остатком средств, т.е. значением .

Обозначим характеристику состояния в начале года через , а условное оптимальное управление для этого состояния через . Тогда для

.

Так как функция убывает по переменной на отрезке , то ее наибольшее значение достигается при , т.е.

,

где условное оптимальное управление на четвертом этапе.

Для справедливо рекуррентное соотношение

,

поэтому для имеем

.

Функция возрастает по на отрезке , поэтому

.

Для

Функция возрастает по поэтому ее максимальное значение на отрезке достигается при , т.е.

.

Для

.

Функция возрастает по, поэтому

.

Теперь вычисляем

(ед.).

Получили наибольший суммарный доход, который может быть получен при заданных условиях за 4 года. При этом средства следует распределять следующим образом: в первые три года все отдавать второму предприятию , а в последний год первому предприятию .

Размещено на Allbest.ru