Исследование алгебр многоместных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Общие сведения о n-местных функциях

1.1 История становления понятия функции

1.2 Абстрактные характеристики некоторых алгебр многоместных функций

Глава 2. Алгебры многоместных функций

2.1 Упорядоченные алгебры многоместных функций

2.2 P -алгебры и D -алгебры n-местных функций

Заключение

Список использованных источников



Введение

Термином «логика» называется наука, изучающая формы и законы мышления, способы построения доказательств и опровержений различных утверждений. Логика берет начало от работ древнегреческого философа Аристотеля (4 век до нашей эры). Он первым обратил внимание на то, что при выводе одних утверждений из других исходят не из конкретного содержания рассуждений, а из взаимоотношения между их формами. Другой древнегреческий ученый Евклид систематизировал значительное к тому времени количество геометрических утверждений с позиции логики. Он создал аксиоматический метод и положил начало восприятию геометрии как аксиоматической теории, а всей математики как совокупности математических теорий.

Логика Аристотеля усовершенствовалась на протяжении многих веков. Значительный качественный прогресс в развитии логики наступил с применением в логике математических методов. Начало этому положил немецкий философ и математик Г. Лейбниц (17-18 век). Он пытался построить универсальный язык, на котором можно было бы формализовать различные рассуждения и все «споры заменить вычислениями».

Возникновение науки, которая называется математической логикой, связывают с работами английского математика и логика Д. Буля. Им была создана алгебра логики - результат применения к логике алгебраических методов.

Значительным толчком к новому периоду развития математической логики стало создание неевклидовых геометрий в трудах русского математика Н.И. Лобачевского и венгерского математика Я. Бойяи (19 век). Обнаруженные к концу 19 века парадоксы в теории множеств поставили перед математической логикой задачу обоснования математики.

Немецкий математик и логик Г. Фреге (19-20 век) решение этой задачи видел в сведении математики к логике. Он применил аппарат математической логики для обоснования арифметики. Ему же и американскому математику Ч. Пирсу мы обязаны введением в логику предикатов и кванторов. Сведение математики к логике продолжили в своем трехтомном труде «Основания математики» американские математики Б. Рассел и А. Уайтхед. Поставленная этими учеными цель в целом достигнута не была, но в результате их деятельности был создан богатый логический аппарат, и математическая логика стала восприниматься как полноценная математическая дисциплина.

Другой немецкий математик Д. Гильберт (20 век) видел путь решения проблем оснований математики в применении аксиоматического метода в более строгой его формулировке. Эта формулировка предполагает не только выделения базовых утверждений математической теории (аксиом), но и правил комбинирования утверждений (правил вывода). Открытие в тридцатых годах 20 века австрийским математиком К. Геделем непополнимости арифметики показало ограниченность этого пути.

В 20 веке на базе математической логики была разработана теория алгоритмов. В разработку этой теории внесли существенный вклад английский математик А. Тьюринг, американский математик Э. Пост и отечественный математик А.А. Марков.

Математическая логика в течение всего периода развития имела применение как в математике, так и вне ее. Из наиболее значительных применений в математике отметим два. Использование методов математической логики для анализа алгебраических структур привело к возникновению теории моделей ? области математики, лежащей на стыке алгебры и математической логики. Применение логики в математическом анализе привело к появлению новой научной дисциплины нестандартный анализ.

Курсовая работа посвящена исследованию алгебр многоместных функций. Данная тема рассматривалась в работах многих ученых, как отечественных, так и иностранных: К. Менгером, Л. М. Глускиным, Whitlock Н.A. и другими.

Целью курсовой работы является изучение алгебр многоместных функций.

Для выполнения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить основные сведения о многоместных функциях,

2. Изучить абстрактные характеристики некоторых алгебр многоместных функций,

3. Ознакомиться с упорядоченными алгебрами многоместных функций

4. Рассмотреть P -алгебры и D -алгебры n-местных функций.

В процессе написания курсовой работы использовались труды отечественных и зарубежных ученых.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.

В работе содержится 38 формул.



Глава 1. Общие сведения о n-местных функциях

1.1 История становления понятия функции

Функция является одним из основных понятий в математике и других науках. Ее значение в познании окружающего мира оценить довольно сложно.

Данное понятие прошло несколько периодов своего развития. С древнейших времен и до середины XVII века протекал пропедевтический период. Идея функциональной зависимости тянется с древнейших времен. Первые правила действий над числами, первые математические выражения соотношений между величинами отражают в себе ее содержание. 4-5 тыс. лет назад ученые из Вавилона установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². В качестве примера табличного задания функций, можно рассмотреть астрономические таблицы вавилонских, древнегреческих ученых. Примером словесного задания функций является теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре, а также античные определения конических сечений. Стоит отметить, что сами кривые представляли собой геометрические образы соответствующей зависимости.

В XVII веке в математику стали проникать идеи переменных. Это ознаменовало переход к новому периоду развития, который можно назвать введение понятие функции при помощи механического и геометрического представления.

Французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт заложили путь к появлению понятия функции. Единая буквенная математическая символика была разработана данными учеными. Позднее она была признана по всему миру. В качестве единых обозначений неизвестных стали использоваться конечные буквы латинского алфавита, известных - первые буквы. Таким образом, в математике появилась идея изменения. Благодаря этому появилась возможность записывать общие формулы.

В геометрических работах Декарта и Ферма (1601-1665) появилось четкое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В 1637 году Рене Декарт в своей работе «Геометрия» дал понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы. Постепенно понятие функции стало приравниваться с понятием аналитического выражения - формулы. Ньютон в 1671 году предложил следующее определение понятию функции: функция - величина, изменяющаяся с течением времени.

В работах ученых этого периода характер понятия функции можно описать как интуитивный. Оно было связано с геометрическим или механическим представлением: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x), путь и скорость - функция от времени (t) и т.д.

Третьим периодом можно считать промежуток между XVII - началом XIX вв. Его можно назвать периодом аналитического определения функции. Немецкий математик Лейбниц в своем письме к Гюйгенсу в 1673 году впервые использовал слово «функция» (лат. functio - совершение, выполнение). В его понимании функция представляла собой отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону. В печати данный термин был использован в 1694 году. Лейбниц также ввел понятия «переменная», «константа».

XVIII век ознаменован появлением нового взгляда на функцию. Теперь под данным понятием понималась формула, которая связывает одну переменную с другой. Это аналитическая точка зрения на понятие функции. Первым к ней обратился швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748). Он в 1718 году дал такое определение функции: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных».

В качестве обозначения произвольной функции от х ученый использовал знак j(x) и назвал его характеристикой функции. Лейбниц также использовал буквы x или e; x¹, x² вместо современных f₁(x) , f₂(x).

В 1748 году ученик Бернулли Эйлер в своей работе «Введение в анализ бесконечного» дал окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Данное определение считалось актуальным в течение всего XVIII века многими математиками. Однако сам Эйлер в некоторых своих работах приводил иные определения данного понятия. Например, в 1755 году в работе «Дифференциальное исчисление» приводится следующее определение: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».

Последующее обобщение понятия функции были обусловлены дальнейшим развитием естествознания и математики. Французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) в Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, которые были предоставлены в Парижскую АН в 1807-1811 гг., привел первые примеры функции, которые заданы на различных участках при помощи разнообразных аналитических выражений.

На определенном этапе развития физики и математики стало очевидным, что необходимо использовать и те функции, для определения которых крайне сложно или практически невозможно ограничиться только аналитическим аппаратом. Он начал тормозить необходимое математике и естествознанию расширение понятия функции.

Н.И. Лобачевский в работе «Об исчезании тригонометрических строк» в 1834 году, развивая эйлеровское определение функции, писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе».

Данный период можно назвать периодом идеи соответствия. Хронологически он относится к XIX веку. Немецкий математик П.Л. Дирихле привел следующее определение функции: «y есть функция переменной x (на отрезке a Ј x Ј b), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами». Примерно с середины века понятие функции стало свободно от границ аналитического выражения. Основной упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

После того, как была сформулирована теория множества в понятии функции, кроме идеи соответствия была включена и идея множества. Полностью определение понятия функции можно сформулировать следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y = f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы.

Общее определение функции может быть применено не только к математическим объектам, но и к другим, например, к геометрическим фигурам.

Последний период развития продолжается до сих пор с начала прошлого столетия. В самом начале XX века определение, данное Дирихле, подвергалось сомнению со стороны многих ученых.

Потребность последующего расширения понятия функции стала особо ощутимой после публикации в 1930 году книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака, видного английского физика, одного из основателей квантовой механики. Он ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н.М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40 годах XX века работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений. Французский ученый Лоран Шварц ввел понятие обобщенной функции. Частный случай обобщенной функции был впервые рассмотрен советским математиком и механиком С.Л. Соболевым. Он применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Значительный вклад в развитие теории обобщенной функции внесли ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др.

1.2 Абстрактные характеристики некоторых алгебр многоместных функций

В последнее время особое внимание в алгебраической теории суперпозиций функций обращено на изучение алгебраической структуры многоместных функций [1].

В работах Менгера и Глускина изучались многоместные функции от фиксированного числа аргументов. Оказалось, что для таких функций выполняется тождество типа ассоциативности. Позднее такие алгебраически е системы были названы алгебрами Менгера.

В работах Уитлока и Хиона рассматривались алгебраические системы многоместных функций, где число аргументов не фиксировалось, они были названы системами Менгера.

Интересную связь алгебр Менгера и полугрупп установил Б.М. Шайн [5]. Им было показано, что изучение всякой алгебры Менгера сводится к изучению полугрупп некоторого вида. Но такие полугруппы довольно сложно устроены, поэтому во многих вопросах выгоднее непосредственно изучать алгебры Менгера, не переходя к теории полугрупп. В Б.М. Шайном была найдена абстрактная характеристика полугрупп бинарных отношений с выделенными на них отношениями теоретико-множественного включения бинарных отношений и равенства первых проекций.

Для полугрупп преобразований подобная задача до сих пор оставалась нерешенной. В настоящей работе эта задача решается для алгебр многоместных функций, откуда, как следствие, получается результат для полугрупп преобразований.

Пусть n -- фиксированное натуральное число, М и А -- некоторые множества. Декартову п-ю степень множества А обозначим через Аⁿ. Частичное отображение г множеств а Аⁿ в А будем называть n-местным преобразованием множества А. Множеств о всех n -местных преобразований множества А обозначим через ? (Аⁿ, А).

Полное (n + 1)-местное преобразование п множества М будем называть {n +1)-операцией на М. Если g₀, g_u ..., g_n M, то образ о {g_u ..., g_n, g₀) будем записывать в виде g₀[g_u..., g_n]; (n +1) - операция о называется сверхассоциативной, если выполняется тождество

x[y₁,…, y_n] [z₁,…,z_n] = x[y₁[z₁,…,z_n],…,y_n[z₁,…,z_n]]. (1)

Упорядоченную пару (М, о), где о - сверхассоциативная (n+1)-операция на М, будем называть алгеброй Менгера ранга n или просто алгеброй Менгера.

Алгебра Менгера (М, о), называется простой алгеброй Менгера, если существуют элементы е₁, ..., е_n М, называемые селекторами, такие, что g [e₁,…,e_n] = g, e_i [g₁,…,g_n] = g_i для любых i = 1,..., n; g, g_k M. Легко показать, что если система селекторов (е₁, ..., е_n) существует, то она единственна.

Пусть (М, о) - алгебра Менгера, Х - множество равномощное М, е_i X для каждого i = 1, n. Над алфавитом Х* = Х {е₁,...,е_n} рассмотрим простую свободную алгебру Менгера F(X*) с селекторами e₁,…, e_n. Пусть - взаимно однозначное отображение Х на М. Рассмотрим определяющие соотношения вида x [y₁,…,y_n] = z, если и только если (х) [ (y₁),…, (y_n)] = (z) и x, y_i, z X. Соответствующее этим соотношениям отношение конгруэнтности на F(X*) обозначим через .

Фактор-алгебру F(X*)/ обозначим через (М*, о*) и будем называть простой алгеброй Менгера, получаемой из (М, о) присоединением полного набора селекторов.

Легко видеть, что (М, о) изоморфно вкладывается в (М*, о*), а подмножество М {e₁,…, e_n} порождает (М*, о*).

На множестве ? (Аⁿ, А), рассмотрим (n+1)-операцию О, которая определяется формулой

₁,…, _n] (a₁,…a_n) = (₁ (a₁,…a_n),…, _n`(a₁,…a_n)), (2)

где для любых a₁,…a_n А обе части равенства определены или не определены одновременно. Легко проверить, что [? (Аⁿ, А), O} является алгеброй Менгера. Гомоморфизм Р алгебры Менгера (М, о) с помощью n-местных преобразований множества А. если Р - изоморфизм, то представление называется собственным.

Пусть (М, о) - алгебра Менгера, Р - ее представление с помощью n-местных преобразований некоторого множества. Зададим на М бинарные отношения ж и формулами

(g₁, g₂) ж P (g₁) P (g₂),(3)

(g₁, g₂) pr_1…n P (g₁) = _1…n P(g₂),(4)

где pr_1…n P (g) - область определения P (g). Алгебраические системы, изоморфные алгебре Менгера будем называть проекционными алгебрами Менгера.

Пусть (М, о) - алгебра Менгера. Бинарное отношение на М называется стабильным, если

(x, y), (x₁, y₁),…, (x_n, y_n) (x[x₁,…,x_n], y[y₁,…, y_n]), (5)

-регулярными, если

(x₁, y₁),…, (x_n, y_n) ) (x[z₁,…, z_n], z[y₁,…, y_n] ) , (6)

l-регулярными, если

(x, y) ) (x[z₁,…, z_n], y[z₁,.., z_n] ) . (7)

Подмножество Н множества М называется i-идеалом, i принадлежит {1,…, n}, если

h H u[x|_i h] , (8)

где x = (x₁,…, x_n) и (x|_i h) есть обозначение вектора (x₁,…, x_i-1, h, x_i+1,…, x_n).

Через Т₀ обозначим множество полиномов алгебры Менгера (М, о) над некоторым бесконечным алфавитом Х, каждая часть которых не имеет вида x[y₁,…, y_n][z₁,…, z_n] и каждая переменная в которых имеет единственное вхождение.

Пусть t T₀, x X. Переменная х называется исходной переменной для полинома t, если за ней непосредственно не стоит левая квадратная скобка, в противном случае х называют неисходной переменной.

Пусть t (x₁,…, x_S, y₁,…, y_r) T₀, где x,…, x_S - полный перечень исходных переменных полинома t, y₁,…, y_r - полный перечень его неисходных переменных, Р (х) - предикат и g - некоторый элемент из М.

Тот факт, что для любых t T_0, i = 1,…, s, a_k, u_k M справедливо условие P (t(g, a₂,… a_s, u₁,…, u_r)), мы будем для краткости записывать просто (t T₀) (P(t(g))). Аналогичное замечание делаем и для квантора существования. Рассмотрим теперь на М бинарное отношение , определяемое формулой

T₀) (g₁ = t (g₂) g₁ = g₂). (9)

Легко убедиться в том, что является l-регулярным.

Определяющей парой алгебры Менгера (М, о) будем называть упорядоченную пару (е, W), где е - частичное отношение эквивалентности на М*, удовлетворяющее условиям:

а) М для каждого i = 1,…, n;

б) если (x₁,…,x_n) е, то g[x₁,…, x_n]=g (e) для всех g;

в) является ?-регулярным в (М*, о*)

(здесь ), а W - подмножество множества М* такое, что если W , то WМ есть i-идеал алгебры (М, о) для каждого i =1,…, n и W является -классом (в противном случае W ).

В случае полугрупп получаются определяющие пары в обычном смысле. С каждой определяющей парой ( будем ассоциировать так называемой простейшее представление Р ₍ алгебры (М, о) следующим образом. Пусть (Н_а)_аА - семейство -классов, отличных от W, заиндексированных взаимно однозначно с помощью элементов множества А, А₀ = {a A| H_a M , e_i H_bi для каждого i = 1,…, n = , B = Mⁿ. Каждому g из М поставим в соответствие n-местное преобразование Р ₍ (g) множества А, определяемое формулой

а = Р ₍ (g) (a₁,...,a_n) (a₁,...,a_n)H_a1,… H_an]H_a (10)

Покажем, что Р ₍ - гомоморфизм. В самом деле,

a = Р ₍(g[g₁,… g_n]) (a₁,…,a_n) (a₁,…,a_n) ??^ g[g₁,… g_n] [H_a1,…

H_an]H_a

(a₁,…,a_n) ??^ g[g₁[H_a1,… H_an],…, g_n [H_a1,… H_an]]H_a

(?c₁,…, c_n)(( a₁,…,a_n), (c₁,…, c_n) ??^ g[H_c1,… H_cn] H_a?))

^ g₁[H_a1,… H_an] ? H_c1^…^ g_n[H_a1,… H_an] ? H_cn)

(?c₁,…, c_n) (a = Р ₍ (g) (c₁,…, c_n)^c_i = Р ₍ (g_i) (a₁,…,a_n))

a = Р ₍ (g) [Р ₍ (g_i),…, Р ₍ (g_n)] (a₁,…,a_n).

Далее легко видеть, что

(g₁, g₂) ж _{(t, W)} (? x B) (g₁ W g₁ = g_2(е)),(11)

(g₁, g₂) _{(t, W)} (? x B) (g₁ W g₁ W).(12)

где ж _{(t, W)} = ж_{Р (t, W)} и _{(е, W)} = ж_{Р (t, W)}.

Необходимо сформулировать и доказать основную теорему: для того чтобы алгебра Менгера вида (М, о, ж, ) и ранга n была собственной проекционной алгеброй Менгера, необходимо и достаточно, чтобы ж было стабильным отношением порядка, а являлось l-регулярным отношением эквивалентности, и чтобы для всех натуральных m и для всех полиномов t_{i, j} T₀ выполнялись условия Г_m, E_m, где

Г_m: g₁ g^g₂ g^ (u_{1, j} [x_l, _j|_ki,j b_{1, j}] = g₁ ^ a_{1, j} =g₁) ^

^{a_{1, 2j-1} b_{1, 2j-1} ^ u_{i, 2j-1} [x_l, _j|_{ki, 2j-1}] v_{i, 2j-1} =

=t_{i, 2j-1} (a_{i+1, j}) ^ a_{1, 2j} b_{1, 2j} ^ u_{i, 2j} [x_l, _j|_{ki, 2j} a_{1, 2j}]

v_i,2j = t_{i, 2j} (u_{i+1, j}[x_i+l, _j|_ki+1,j b_{i+1, j}])}

a_{m, 1} b_{m, 1} ^ u_{m, 1} [x_m, _j|_{km, 1} a_{m, 1}] v_{m, 1} = t _{m, 1} (g₂) g₁ g₂.(12)

E_m: (u_{1, j} [x_l, _j|_{k1, j} b_{1, j}] = g₂^a_{1, j} = g₂^u_{-1, j} [x-_l, _j|_{k-1, j} b-_{1, j}] =

=g₁^a_-1,j = g₁) ^ {a_{i, 2j-1} b_{i, 2j-1}^u_{i, 2j-1} [x_l, _2j-1|_{ki, 2j-1} a_{i, j-1}]

vt_{i, 2j-1} = _{i, 2j-1}(a_{i+1, j}) ^ a_{i, 2j} b_{i, 2j}^u_{i, 2j} [x_l, _2j|_{ki, 2j} a_{i, 2j}] v_{i, 2j}=

= t_{i, 2j} (u_{1+1, j} [x_i+1, _j|_{k i+1, j} b_{i+1, j}])^ a_{-I, 2j-1}

b_{-i, 2j-1} ^ u_{-i, 2j-1} [x_{-I, 2j-1}|_k -_{i, 2j-1} a_{-i, 2j-1}]v_{-i, 2j-1} = t_{-i, 2j-1} (a_{-i-1, j}) ^

^ a_{-i, 2j} b_{-i, 2j} ^ u_{-i, 2j} [x_{-i, 2j}|_{k -i, 2j}] ]v_{-i, 2j} =

= t_{-i, 2j} (u_-i-1 [x_{-i-1, j} |_k -_{i-1, j}])} ^ a_{m, 1}

b_{m, 1} ^ u_m,1 [x_{m, 1}|_{k m,1} a_{m, 1}]v_m,1 = t_{m, 1} (g₁)^

^a_{-m, 1} b_{-m, 1}^ u_{-m, 1} [x_{-m, 1}| _{k -m, 1}a_{-m, 1}] v_{-m, 1} = t_{-m, 1} (g₂) g₁ = g₂,(13)

где g₁g₂ (g₁, g₂) ж, g₁ = g₂ (g₁, g₂) , a_{i, j}, b_{i, j}, v _{i, j}, g_i M, u_i,j

M {e_ki,j}, k_{i, j} {1,…, n}.

Из данной теоремы вытекает следствие: для того чтобы полугруппа (G, ж, ) с выделенными на ней бинарными отношениями ж и была собственной проекционной полугруппой преобразований, необходимо и достаточно, чтобы ж было стабильным отношением порядка, -регулярным слева отношением эквивалентности и чтобы для любого натурального т выполнялись условия D_m, Н_т, где

D_m : g₁ g^g₂g (b_{1, j}x_{1, j} =g₁^ a_1,j = g₁)^

{a_{i, 2j-1} b _{i, 2j-1} ^ a _{i, 2j-1} x _{i, 2j-1 i, 2j-1} = a_i+1 y _{i, 2j-1} ^

^a_{m, 1} b _{m, 1} ^ a _{m, 1} x _{m, 1} v _{m, 1} = g₂ y _{m, 1} g₁ g₂;(14)

H_m : (b_1, j x_{1, j} = g₂ ^ a_{1, j} = g₂ ^ b_{-1, j} x _-1,j = g₁ ^ a _{-1, j} +g₁) ^

{ a_{i, 2j-1} b _{i, 2j-1} ^ a _{i, 2j-1} x _{i, 2j-1 i, 2j-1} = a_i+1 y _{i, 2j-1} ^

^a_{i, 2j} b_{i, 2j} ^ a_{i, 2j} x_{i, 2j} v_{i, 2j} = b_i+1, _j x_i+1, y_{i, 2j}} ^

^ a_{m, 1} b_{m, 1} ^ a_{m, 1} x_{m, 1} v _{m, 1} = g₂ y_{m, 1} g₁ g₂;(15)

H_m: (b_{1, j} x₁, j = g₂ ^ b_{-1, j} x_{-1, j} =g₁^ a_{-1, j} = g₁) ^

{a_{i, 2j-1} b _{i, 2j-1} ^ a _{i, 2j-1} x _{i, 2j-1 i, 2j-1} = a_i+1 y _{i, 2j-1} ^

^a_{i, 2j} b _{i, 2j} ^a _{i, 2j} x _{i, 2j} v _{i, 2j} = b _{i+1, j} x _{i+1, j} y_{i, 2j} ^

^a_{-i, 2j-1} b_{-i, 2j-1} ^ a_{-i, 2j-1} x-_{i, 2j-1} v_{-i, 2j-1} = a_{-i-1, j} y_{-i, 2j-1}^

^ a-_{i, 2j} b_{-i, 2j} ^a_{-i, 2j} x_{-i, 2j} v_{-i, 2j} = b_{-i-1, j} x_{-i-1, j} y _{-1, 2j}}^

^a_{m, 1} b _{m, 1}^ a _{m, 1} x _{m, 1} v _{m, 1} = g₁ y _{m, 1} ^

^a _{-m, 1} b_{-m, 1} ^ x_{-m, 1} v _{-m, 1} = g₂ y_{-m, 1} g₁ = g₂(16)

где x_i,j у _i,j могут быть пустыми символами.

упорядоченный алгебраический многоместный функция



Глава 2. Алгебры многоместных функций

2.1 Упорядоченные алгебры многоместных функций

В последнее время К. Менгер предложил заняться изучением алгебраической теории суперпозиций функций от нескольких переменных, которые имеют ряд приложений в различных математических дисциплинах [1]. Оказалось, что любое множество функций от п переменных, где п -- фиксированное натуральное число, замкнутое относительно операции суперпозиции, образует алгебраическую структуру, в которой справедливо тождество типа ассоциативности. Эта алгебраическая структура была названа позднее алгеброй Менгера. Если же рассматривать множество функций от п переменных, где п принимает различные натуральные значения, замкнутое относительно операции суперпозиции, то получится алгебраическая структура, являющаяся обобщением алгебры Менгера. Подобные структуры, которые были названы системами Менгера, рассматривались в работах Уитлока, Хиона. Итак, становится ясно, что понятие алгебры Менгера является обобщением понятия полугруппы. Но, как было показано Б.М. Шайном, изучение всякой алгебры Менгера сводится к изучению полугруппы некоторого специального вида [5]. Казалось бы, нет никакой необходимости в изучении такого общего понятия, как алгебра Менгера. Но это совсем не так, ибо при рассмотрении некоторых вопросов, например, в теории представлений, изучение этих специальных полугрупп гораздо сложнее, чем непосредственное изучение алгебр Менгера. На множестве всех функций от п переменных можно естественным образом задать некоторые отношения. К ним относятся, в частности, теоретико-множественное отношение включения функций, включение их областей определения.

Пусть М -- некоторое множество, тогда под (n + 1)-операцией на М будем понимать отображение о декартовой (n + 1)-й степени множества М в М, т.е. о: Мⁿ⁺¹М. Результат применения (n + 1)-операции о к элементам х, у₁,..., у_n из М будем обозначать через х[у₁,,..., у_n]. Упорядоченную пару (М, о), где о -- некоторая (n + 1 ) - операция на М, будем называть алгеброй Менгера ранга п или просто алгеброй Менгера, если справедливо тождество сверхассоциативности:

x [y₁,…,y_n] [z₁,…,z_n] = x[y₁[z₁,…,z_n],…, v_n[z₁,…,z_n]] (17)

Будем говорить, что алгебра Менгера (M, о) содержит полный набор селекторов, если существуют элементы ех,..., е_nМ такие, что x[e₁,…,e_n] = x, ei[x1,..., х_n] = х, для каждого i = 1,..., л и любых x, x₁,…,x_n М. Алгебру Менгера, содержащую полный набор селекторов, будем называть простой алгеброй Менгера.

Пусть А -- некоторое множество. Частичное отображение г множества

Аⁿ в А будем называть п-местным преобразованием множества А. Множество всех n-местных преобразований множества А обозначим через ?(Aⁿ X А). Зададим на нем (п + 1)-операцию следующим образом:

г[ш₁,…ш_n](a₁,…,a_n) = г (ш₁(a₁,…,a_n),…, ш_n(a₁,…,a_n)), (18)

где г, ш₁,…,ш_n (Аⁿ X А), а₁,…,а_n A и левая часть равенства определена одновременно с правой.

Легко проверить, что (АⁿХA) является алгеброй Менгера. Пусть (М, о) -- алгебра Менгера. Гомоморфизм Р алгебры (М, о) в (АⁿХA)будем называть представлением (М, о) с помощью n-местных преобразований множества А. Если же Р -- изоморфизм, то P называется собственным представлением.

Предложение 1. Всякая алгебра Менгера (М, о) изоморфно вкладывается в некоторую простую алгебру Менгера (М*, о*) так, что М{e₁,..., е_n} является порождающим подмножеством последней, где e₁,..., е_n -- полный набор селекторов в (М*, о*).

Доказательство. Пусть (М, о) -- некоторая алгебра Менгера, X -- некоторое множество такое, что |X| = |М|. Пусть e_i X, i = 1,..., п, и X* = Х{ех,..., е_п}. Над алфавитом X* рассмотрим свободную простую алгебру Менгера F(X*) с селекторами e₁,…,e_n. Пусть ц-- взаимно однозначное отображение X на М. Рассмотрим определяющие соотношения вида x[y₁,…,y_n] = z, где х, y, zX и ц(x)[ц(y₁),…,ц(y_n)] = ц(z). Соответствующее отношение конгруэнтности обозначим через е. Фактор-алгебру F(X*)/е обозначим через (М*, о*). Легко видеть, что (М*, о*} удовлетворяет заключению предложения.

Алгебру (М*, о*), построенную в доказательстве предложения 1, будем называть простой алгеброй Менгера, получаемой из (М, о) присоединением полного набора селекторов. Пусть (М, о) -- алгебра Менгера, p MX М -- бинарное отношение. Будем говорить, что р l-регулярно, если

(x, y) p (x [z₁,…,z_n], y[z₁,…,z_n]) p, (19)

I - регулярно, i = 1,…, n, если

(x, y) p (z [ы|_i x], z[ы|_i y]) p (20)

где x, y, z M, ы = (u₁,…,u_n) M^u и (ы|_i x) есть сокращенная запись вектора (u₁,…, u_i-1, x, u_i+1,…, u_n); v-регулярно, если

(x₁, y₁),…, (x_n, y_n) p z [x₁,…,x_n], z [y ₁,…,y_n]) p. (21)

Далее, бинарное отношение p ? MXM назовем стабильным, если (x, y) (x₁, y₁),…, (x_n, y_n) p x [x₁,…,x_n], y [y ₁,…,y_n]) p, i-oтpицательным, где i {1, n}, если (х[y₁,…,y_n], y_i) р для любых x, v₁,..., у_n М, и v-отрицательным, если оно i-отрицательно для каждого i = 1,…, n. Заметим, что в случае, когда р есть отношение квазипорядка, то предложения „р v-регулярно" и „р i-регулярно для каждого i = 1,…n^u равносильны. Подмножество Н множества М называется i-идеалом (i = 1,…, n) если хНz|?|_i x]Н (6) для любых zM u ? Mn.

Рассмотрим теперь на (М, о) бинарные отношения д_i, i =1,…, п. которые определяются формулой (x, y) д_i () (? u M) (x=u[z|_i y] ? x=y). Можно проверить, что д_i l-регулярно для каждого i= l,…,n. Далее, если д_i ?p, то это эквивалентно тому, что р i-отрицательно.

Пусть теперь Р -- некоторое (собственное) представление алгебры Менгера (М, о). На множестве М зададим отношение (порядка) квазипорядка ж_p и отношение квазипорядка ч_р, называемые соответственно фундаментальным отношением (порядка) квазипорядка u проекционным отношением квазипорядка, которые определяются следующим образом:

(х, у) Р(х)?Р(у), (х, у) P(x)? P(y), (22)

где P(x)есть обозначение области определения Р(х). Алгебраические системы, изоморфные алгебрам (М, о, , ), (M, о, ), (М, о, ), будем называть соответственно фундаментально (упорядоченной) квазиупорядоченной проекционной алгеброй Менгера, фундаментально (упорядоченной) квазиупорядоченной алгеброй Менгера и (собственной) проекционно квазиупорядоченной алгеброй Менгера.

Пусть р ? А X А -- бинарное отношение, D, H -- подмножества множества А; тогда определим = рН X Н и D_H = DH. Пусть (М, о) -- алгебра Менгера, (М*, о*) -- простая алгебра Менгера, получающаяся из (М, о) присоединением полного набора селекторов. Определяющей парой алгебры Менгера (М, о) будем называть упорядоченную пару (е, W), где е---частичное отношение эквивалентности на (М*,о*) такое, что M U{e₁,…e_n}? е, W для каждого i=1,…, n, е _i(M) v регулярно в (М*. о*) (здесь е(М) - насыщение М по е) и g[е ,..., е ]?е для каждого gM, a W - подмножество множества М* такое, что если W Ш , то WM есть непустой i-идеал алгебры (М, о) для каждого i = 1,…,n , и W является е-классом, ибо в противном случае W= Ш. "С каждой определяющей парой (е, W) будем ассоциировать некоторое представление Р_(е,W) алгебры Менгера (М, о), к построению которого мы переходим.

Пусть (Н_а)_аА -- семейство классов эквивалентности по , отличных от W. Заметим, что семейство заиндексовано взаимно однозначно.

Пусть e₁, i = 1,…,n

A₀ = {a A| H_a M Ш}, ?? = {(b₁,…,b_n)}, B = Mⁿ{(e₁,…,e_n)}. (23)

Каждому gM поставим в соответствие n-местное преобразование P_{(е, W)} (g) множества А, определяемое формулой

A = P_{(е, W)} (g)(a₁,…,a_n) (a₁,…,a_n) ??^g[,…,]?H_a

Легко проверить, что Р_{(е, W)} действительно является гомоморфизмом и выполняются формулы

(g₁, g₂)(g₁ W g₁= g₂(е)) (24)

(g₁, g₂)(g₁ W g₂?W) (25)

где _{(е, W)} = , ч_{(е, W)} = ч_{p (е, W)}

Предложение 2. Пусть (М, о) -- алгебра Менгера, Р -- ее представление с помощью п-местных преобразований некоторого множества А. Тогда существует семейство определяющих пар ((е_i, W_i))i такое, что

_p = _{(еi, Wi)} и ч_p= ч_{(еi, Wi).}



Доказательство. Пусть (М*, о*) - простая алгебра Менгера, получающаяся из (М, о) присоединением полного набора селекторов. Пусть с?А; сопоставим каждому gM n-местное преобразование P*(g) множества А* = A{с} так: 1) если pr_1,…,n Р(g), то Р* (g)() = P(g)(); 2) если pr_1,…,n Р(g), то P*(g)() = c. Ясно, что Р* есть гомоморфизм (М, о), а отображение Р (g)Р* (g) есть изоморфизм Р(М) на Р*(М). Продолжим гомоморфизм Р* на (М*, о*) следующим образом: 1) P*(e₁) = pr₁, r = 1,…,n; 2) если Р*(х), P*.(y₁),..., Р*(у_n) определены, то пусть

P*(x[y₁,…,y_n]) = P* (x)[P*(y₁),…, P*(y_n)], x, y₁,…,y_n M* (26)

Совершенно очевидно, что Р* -- гомоморфизм (M*, о*). Для каждого аА^п рассмотрим следующее отношение эквивалентности: M* X М*, и подмножество M*: = {(x, y)| Р* (х) () = Р* (у) ()}, = {x|P* (x)( )+c}.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что (,) является определяющей парой (М, о) и = , ч_p =

Необходимо сформулировать и доказать основную теорему.

Теорема. Для того чтобы алгебраическая система (M, o, , ч) была фундаментально упорядоченной проекционной алгеброй Менгера, необходимо и достаточно, чтобы о было сверхассоциативной (п + 1)-операцией, -- стабильным отношением порядка, а ч было l-регулярным v-отрицательным отношением квазипорядка, для которых выполняются условия:

^-1 ч = , (27)

a u [|_ib] z (28)

для каждого i =1,…, n, где ab(a, b) .

Через T₀ обозначим множество таких термов (т. е. полиномов) алгебры Менгера над некоторым бесконечным алфавитом X, что каждый терм t Т₀ не имеет своей части вида x[y₁,...,y_n][z₁,…, z_n] и каждая переменная в терме имеет единственное вхождение. Далее, пусть t Т₀, хХ -- переменная, входящая в терм t. Мы будем говорить, что переменная х есть исходная переменная для терма t, если за ней непосредственно не стоит левая квадратная скобка, в противном случае х называется неисходной переменной.

2.2 P -алгебры и D -алгебры n-местных функций

Для того чтобы алгебра (М, о,), где о - (n+1)-операция на М, а - бинарная операция на М, являлась P -алгеброй n-местных функций, необходимо и достаточно, чтобы пара выполняла условие (М, о) была алгеброй Менгера ранга n, (М,) - полурешеткой и чтобы выполнялись условия

xy [z₁,…,z_n] = x[z₁,…,z_n]*y[z₁,…,z_n], (29)

t₁(xyz)*t₂(y) -= t₁(xy)*t₂(yz) (30)

для всех полиномов t₁, t₂

Если n 2, то для того чтобы алгебра (М, о,) была P -алгеброй реверсивных n-местных функций, необходимо и достаточно, чтобы система (М, о) была алгеброй Менгера ранга n, (М,) - полурешеткой, чтобы выполнялось тождество (29) и условия

u [|_ixy] = u[|_ix] * u[|_iy] (31)

для всех i = 1,…, n;



t₁(xy) * t₂(y) = t₁(xy) * t₂(x) (32)

для всех полиномов t₁, t_{2 .}

Пусть (М, о, е) есть алгебра с одной (n+1)-операцией о (n2) и одной 0-арной операцией е, т.е. е М. Введем на множестве М бинарную операцию следующим образом:

g₁*g₂ = e[g₁, g_2,… g₂] (33)

для любых g₁, g₂ М.

Для того чтобы алгебра (М, о, е) была D-алгеброй реверсивных n-местных функций при n, необходимо и достаточно, чтобы алгебра (М, о) была алгебра Менгера ранга n, (М,) - полурешеткой и чтобы выполнялись условия

e[g₁, g₂,…,g_n] = g₁g₂…,g_n,(34)

g[e,…,e] *g = g[e,…,e],(35)

g*t(e) = gg [e,…,e] = g(36)

для всех полиномов t₀,

t₁(g₁g₂)* t₂(g₂) = t₁(g₁g₂)* t₂(g₁)(37)

для всех полиномов ₀

Кроме данного условия должно выполняться еще одно.

u [|_ixy] = u[|_ix] * u[|_iy](38)

для всех i = 1,…, n;



Заключение

Математическая логика - наука, которая зародилась много столетий назад, претерпевала изменения, подвергалась влиянию других наук и совершенствовалась под их воздействием научного прогресса.

История развития и становления понятия функции насчитывает не одно столетие. Каждый период порождал всё новые подходы к определению понятия функции. Окончательная формулировка была предложена в начале XX века. Функция (отображение, оператор, преобразование) -- математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами другого множества.

Другими словами, функция -- это правило, по которому каждому элементу одного множества, называемого областью задания функции, ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, называемого областью значений функции. Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.

Функцией (отображением, операцией, оператором) на множестве , принимающей значения из , называется правило , по которому каждому элементу из множества ставится в соответствие элемент из множества При этом соответствие обозначают записью и говорят, что функция отображает в .

В курсовой работе были рассмотрены абстрактные характеристики некоторых алгебр многоместных функций. Вторая глава курсовой работы посвящена упорядоченным алгебрам многоместных функций, P -алгебрам и D -алгебрам n-местных функций.