Заметим, что в канонической системе ось OX является осью симметрии параболы. Следовательно, мы можем ограничиться исследованием функции

(2)

при 0 ? x< + ? , т.е. рассматривать часть параболы, лежащую в первой четверти, а затем полученную кривую отразить симметрично относительно оси OX .

Область определения функции (2): 0 ? x< + ? , область значений функции(2): 0 ? y< + ? . Вычислив y' и y'' , легко убедиться в том, что функция (2) в интервале x (0, + ?) возрастает от нуля до + ? и ее график является выпуклым вверх. Асимптот у параболы нет. Начало координат (0, 0) --вершина параболы (рис. 1).

Отражая график функции (2) относительно оси OX, получаем искомую параболу (рис. 2).

Прямая x = ?p/2 называется директрисой параболы, а точка (p/2, 0) -- ее фокусом.

Уравнения y2 = ?2px , x2 = 2py и x2 = ?2py (p>0) также описывают параболы, ветви которых направлены влево, вверх и вниз, соответственно (рис. 3).

ТЕМА 13. Плоскость

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Сформулируем следующую задачу:

Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку M(x0, y0, z0) перпендикулярно данному вектору = {A, B, C} .

Решение. Пусть P(x, y, z) -- произвольная точка пространства. Точка P принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор MP = {x ? x0, y ? y0, z ? z0} ортогонален вектору = {A, B, C} (рис.1).

Написав условие ортогональности этих векторов (, MP) = 0 в координатной форме, получим:

A(x ? x0) + B(y ? y0) + C(z ? z0) = 0 (1)

Это и есть искомое уравнение. Вектор = {A, B, C} называется нормальным вектором плоскости.

Таким образом, чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать нормальный вектор плоскости и какую-нибудь точку, принадлежащую плоскости.

Общее уравнение плоскости

Если теперь в уравнении (1) раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости:

где D = ?Ax0 ? By0 ? Cz-

В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается уравнением 1-ой степени (линейным уравнением). И обратно, любое линейное уравнение определяет плоскость.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

Ах+Ву+Сz=0 (D=0) - плоскость проходит через начало координат;

Ах+Ву+D=0 (C=0) - плоскость параллельна оси Oz (аналогичный смысл имеют уравнения Ах+Сz+D=0, By+Cz+D=0);

Ах+Ву=0 (D=C=0) - плоскость проходит чрез ось Oz (Ax+Cz=0, By+Cz=0 - через оси Oy и Ox, соответственно);

Ax+D=0 (B=D=0) -плоскость параллельна плоскости Oyz (Cz+D=0, By+D=0- параллельно плоскости Oxy и Oxz, соответственно);

Ax=0, т.е. х=0 (В=С=D =0) - плоскость совпадает с плоскостью Oyz (y=0, z=0 - уравнения плоскостей Oxz и Oxy, соответственно).

Уравнение плоскости в отрезках: xa+yb+zc=1,

где а, b,c - абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения с плоскостью координатных осей Ox, Oy, Oz, соответственно.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3):

Расстояние от точки до плоскости

Поставим следующую задачу:

Найти расстояние d от точки P(x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .

Решение: фиксируем некоторую точку M(x1, y1, z1), , принадлежащую плоскости, и построим вектор MP (рис. 1).

Искомое расстояние d равно абсолютной величине проекции вектора MP на нормальный вектор плоскости. Получаем:

В нашем случае:

= {A, B, C} и = {x0 ? x1, y0 ? y1, z0 ? z1} .

По формуле (1) имеем:

ТЕМА 14. Прямая линия в пространстве

Общие уравнения прямой в пространстве

Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается системой двух уравнений.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

A1x+B1y+C1z+D2=0 (1)

A2x+B2y+C2z+D2=0,

при условии, что эти плоскости непараллельны, т.е. их нормальные векторы = {A1, B1, C1} и = {A2, B2, C2} неколлинеарны. Эта система уравнений (1) называется общими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические и параметрические уравнения прямой

Поставим следующую задачу:

Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку M(x0, y0, z0) параллельно данному вектору = {l, m, n} (вектор называется направляющим вектором прямой).

Решение. Пусть N(x, y, z) -- произвольная точка пространства. Построим вектор MN = {x ? x0, y ? y0, z ? z0} (рис.1).

Очевидно, что точка N принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору = {l, m, n} , т.е. когда их координаты пропорциональны:

(2)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Если в (2) ввести параметр t

,

то уравнения прямой можно записать в виде:

x = x0+lt

y = y0+mt (3)

z = z0+nt.

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой.

ТЕМА 15. Прямая и плоскость в аффинном пространстве

Угол между прямой (L) и плоскостью (Q)Ax + By + Cz +D = 0 определяется по формуле:

Условие параллельности прямой (L) и плоскости (Q) имеет вид:

Am +Bn + Cp =0;

условие их перпендикулярности:

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой:

x = x0+mt

y = y0+nt

z = z0+pt

Координаты точки пересечения находятся из системы уравнений:

Условие, при котором прямая (L) лежит в плоскости (Q):

Если Am +Bn +Cp 0, то прямая пересекает плоскость; если Am +Bn + Cp = 0 и Ax0 +By0 +Cz0 +D 0 прямая параллельна плоскости.

ТЕМА 16. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения

Системы координат в пространстве: декартовы, цилиндрические и сферические координаты

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус-вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

Поверхностью 2-го порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0

где A2 + B2 + C2 ? 0 .

Цилиндрические и сферические координаты определяются точкой O, исходящим из нее лучом l и единичным вектором , перпендикулярным l (рис. 2).

Проведем через точку O перпендикулярно вектору плоскость P и обозначим проекцию точки M на эту плоскость M' .

В цилиндрических координатах положение точки M определяется числами с, и z , где с и -- полярные координаты точки M' , а z -- проекция вектора OM на вектор . Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l -- с положительной частью оси абсцисс, а вектор -- с положительной частью оси аппликат (рис. 3).

Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее цилиндрические координаты с , и z по формулам

x = сcos, y = сsin, z = z.

В сферических координатах положение точки M определяется числами с, и и, где с = |OM| , -- полярный угол точки M' , а и -- угол между векторами и OM. Мы будем отсчитывать угол и от вектора по направлению к вектору OM . Угол и принимает значения от 0 до р .

Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l -- с положительной частью оси абсцисс, а вектор -- с положительной частью оси аппликат (рис. 4), то

Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее сферические координаты с , и и по формулам

x = сcossinи, y = сsinsinи, z = сcosи

Эллипсоид, сфера

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

где a, b, c>0 -- параметры эллипсоида. Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида, а система координат, в которой эллипсоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.

Из уравнения эллипсоида следует, что поверхность симметрична относительно координатных плоскостей, начало координат является центром эллипсоида (рис.1).



В частном случае a = b = c = R имеем уравнение сферы:

x2 + y2 + z2 = R2 .

Однополостный гиперболоид.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

,

где a, b, c>0 -- параметры гиперболоида (его полуоси см. рис.1). Это уравнение называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида, а система координат, в которой гиперболоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.



Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z=h являются эллипсами:

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями x=h или y=h являются гиперболами:

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением, в котором не фигурирует одна из переменных:

F(x, y) = 0, F(x, z) = 0 или F(y, z) = 0.

Свойство цилиндрических поверхностей

Если некоторая точка M0(x0, y0, z0) принадлежит цилиндрической поверхности, описываемой уравнением F(x, y) = 0 , то все точки прямой, проходящей через эту точку параллельно оси OZ , также принадлежат цилиндрической поверхности. Такие прямые называются образующими цилиндрической поверхности, а кривая, описываемая уравнением F(x, y) = 0 и получающаяся в сечении любой плоскостью z = h , называется направляющей.

Примеры цилиндрических поверхностей 2-го порядка

Эллиптический цилиндр (рис.1).

Если то уравнение x2 + y2 = R2 в трехмерном пространстве определяет круглый цилиндр.

Гиперболический цилиндр.

Уравнение

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ . Направляющей является гипербола с полуосями a и b (рис. 2).

Параболический цилиндр.

Уравнение

y2 = 2px ( p>0 )

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ . Направляющей является парабола (рис. 3).



ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Второй семестр

ТЕМА 1. Множества. Действительные числа. Множества, подмножества. Основные понятия

Под множеством понимается совокупность некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы - строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а А. Если в не является элементом множества А, то пишут в А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается В А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С = А В.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т. е. D = A B.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т. е. Е =А \ B.

Очевидно, что А = А, А =, А \ = A.

Элементы логической символики

Для сокращения записей используются некоторые простейшие логические символы:

означает «из предложения следует предложение »;

«предложения и равносильны», т.е. из следует и из следует ;

означает « для любого», «для всякого»;

«существует», «найдется»;

«имеет место», «такое что»;

«соответствие».

Например, запись х А. означает: «для всякого элемента х из множества А имеет место предложение ».

Числовые множества. Множества действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N = 1; 2; 3;…; n;… множество натуральных чисел;

Z0 = 0; 1; 2;…;n;… множество целых неотрицательных чисел;

Z = 0; 1; 2; …;n;… множество целых чисел;

Q = множество рациональных чисел;

R множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение:

N Z0 Z Q R.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и в действительные числа, причем а в.

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

а;в =х : а х в отрезок (сегмент, замкнутый прмежуток);

( а; в ) =х : а х в интервал (открытый промежуток);

а; в) = х : а х в ;

(а;в =х : а х в полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);

(;в = х : х в; а;+) = х : х а;

(;в) = х : х в; (а;+) = х : х а;

(; ) = х : х + = R бесконечные интервалы (промежутки).

Пусть х0 любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки х0 называется любой интервал (а;в), содержащий точку х0. В частности, интервал (х0 , х0 + ), где 0, называется окрестностью точки х0. Число х0 называется центром, а число радиусом.

Если х (х0 ; х0 +), то выполняется неравенство х0 х х0 + .

Абсолютная величина (модуль) действительного числа

Абсолютной величиной действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число х, если х отрицательно:

х = .

Очевидно, по определению, что х 0.

Свойства абсолютных величин:

1. 3.

2. 4.

Абсолютная величина разности двух чисел х а означает расстояние между точками х и а числовой прямой как для случая х <a, так и для х > a.

Поэтому, например, решениями неравенства х а (где 0) будут точки х интервала (а , а + ), удовлетворяющие неравенству а <x <a + .

ТЕМА 2. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Понятие о числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число xn, то говорят, что задана числовая последовательность :

x1,x2, …,xn,…. .

Иными словами, числовая последовательность это функция натурального аргумента: xn=f(n).

Числа x1, x2,…,xn в последовательности называются членами последовательности. При этом число xn называется n-м (энным) или общим членом последовательности. Формулы, позволяющие выразить n-член последовательности через предыдущие члены, называются рекуррентными.

Свойства последовательностей

Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной.

Последовательность xn называется неубывающей (невозрастающей), если n: xn xn+1 (соответственно, n: xn xn+1). Невозрастающие и неубывающие последовательности объединяют общим термином монотонные последовательности.

Последовательность xn называется возрастающей (убывающей), если n: xnxn+1, (соответственно, n: xnxn+1). Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим названием строго монотонные последовательности.

Последовательность xn называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М, что все члены последовательности меньше (соответственно, больше), чем М. Последовательность, ограниченная сверху и снизу одновременно, называется ограниченной.

Последовательность xn называется неограниченной, если для любого М0 найдется такой ее член xn, что xnМ.

Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности xn, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех nN), будет выполнено неравенство

xn a .

В случае, если последовательность имеет пределом число а, говорят также, что последовательность xn сходится к числу а, и обозначается этот факт так:

или xn a при (n).

Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она расходится.

Геометрический смысл предела последовательности состоит в следующем: число а называется пределом последовательности xn, если в любом интервале с центром в точке а находятся почти все (т.е. все, кроме конечного числа) члены этой последовательности.

Операции над пределами последовательностей

Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов:

Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

В частности:

постоянный множитель можно выносить за знак предела:

сR

предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела:

к = 1,2,3,…

Предел корня к-ой степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:

к = 2,3,4,…

Пределы и неравенства

Пусть все члены данной сходящейся последовательности неотрицательны. Тогда ее предел также неотрицателен:

xn 0 n a 0.

Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последовательности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пределу второй последовательности:

, xn yn n a b.

Пусть соответствующие члены трех данных последовательностей xn, yn и zn удовлетворяют условию xn yn zn.

Тогда если последовательности xn и zn сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность yn также сходится к этому пределу:

xn yn zn, n,

Число е

Последовательность возрастает и ограничена сверху, а поэтому сходится. Ее пределом является замечательное иррациональное число е=2,71828182845…, служащее основанием натуральных логарифмов.

Таким образом,

ТЕМА 3. Функция одной переменной. Графики элементарных функций

Понятие функции

Если каждому элементу (значению) х множества Х поставить в соответствие определенный элемент (значение) у множества У, то говорят, что на множестве Х задана функция y=f(x); при этом множество Х называется областью определения функции y, а множество У областью значений функции у.

Основные характеристики функции

Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения функции f(x) = f(x), и нечетной, если f(x) = f(x). В противном случае f(x) - функция общего вида.

Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции f(x). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Функция f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое число М0, что f(x)М, для всех хХ. В противном случае функция называется неограниченной.

Функция f(x), определенная на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т0, что при любом хХ значение (х+Т)Х и f(x+T) = f(x).

При этом число Т называется периодом функции.

Обратная функция

Пусть задана функция y=f(x) с областью определения Х и множеством значений У. Если каждому значению уУ соответствует единственное значение хХ, то определена функция х=(у) с областью определения У и множеством значений Х. Такая функция (у) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде:

x=(у)=

Про функции y=f(x) и x=(y) говорят, что они являются взаимно обратными.

Сложная функция

Если функция y = f(u) есть функция переменной u (определенной на множестве U с областью значений У), а переменная u, в свою очередь, также является функцией u = (x) (определенной на множестве Х с областью значений U), то заданная на множестве Х функция y=f((x)) называется сложной функцией.

Основные элементарные функции

1) степенная функция

2) показательная функция 0, (Х=(;+); У=(0;+));

3) логарифмическая функция 0, (Х=(0;+); У=(;+));

4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x;

5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y= arctg x, y= arcctg x.

Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Преобразование графиков

1) y=f(x+a) сдвигает график y=f(x) параллельно оси Ох на а единиц, (а0влево, а0вправо);

2) у=f(x)+b cдвигает график y=f(x) параллельно оси Оу на b единиц, (b0 вверх, b0 вниз);

3) y=cf(x) (c0) растягивает в с раз (с1) или сжимает (0с1) график y=f(x) относительно оси Оу; при с0 симметрично отображает график относительно оси Ох;

4) y=f(kx) (k0) сжимает в к раз (к1) или растягивает (0к1) график y=f(x) относительно оси Ох; при к0 симметрично отображает график относительно оси Оу.

ТЕМА 4. Предел функции одой переменной

Определение предела

Окрестностью точки x0 называется любой интервал с центром в точке x0. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 кроме самой точки x0.

Число А называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого сколь угодно малого числа 0 найдется такое число 0 (вообще говоря, зависящее от ), что для всех x таких, что , xx0, выполняется неравенство .

Обозначается это так: или f(x)A (при хх0).

Операции над пределами

Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и, кроме того, . Тогда:

1. ( )

2.

3.

4. (В0).

Предел функции на бесконечности

Число А называется пределом функции f(x) при x, если при любом значении 0 найдется такое число М0, что для всех значений хМ выполняется неравенство .

Обозначение:

Аналогично определяется предел функции f(x) при х- .

Обозначение:

Односторонние пределы

Число А называется пределом функции f(x) слева в точке х0, если для любого числа 0 существует число 0 такое, что при х(х0;х0), выполняется неравенство . Предел слева записывается так: или коротко: f(x00)=A.

Аналогично определяется предел функции справа, обозначаемый или f(x0+0). Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Часто используются следующие следствия из обоих замечательных пределов:

R;

, ,

Бесконечно малые функции

Функция (x) называется бесконечно малой при хх0, если

Если функция f(x) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции (х), т.е. если то

f(x) = A+(x).

Пусть (х) и (х) бесконечно малые функции при хх0. Тогда, если то (х) и (х) называются эквивалентными бесконечно малыми, что обозначается так: (х) (х), хх0.

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х0:

Sinx x, 1Cosx , tgx x, arcsinx x, ln(1+x) x, x.

Бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно большой при хх0, если для любого числа М0 существует число = (М) 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0, выполняется неравенство М. Записывают или f(x) при хх0.

ТЕМА 5. Непрерывность функции одной переменной

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

Если обозначить хх0=х (приращение аргумента), f(x)f(x0)=y (приращение функции, соответствующее приращению аргумента х), то это определение можно записать в эквивалентной форме.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

Таким образом, если функция f(x) непрерывна в точке х0, то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Непрерывность функции на промежутке

Функция f(x) называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Односторонняя непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале (а;х0 и

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале х0;в) и

Функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т.е. когда

Точки разрыва функции

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не является непрерывной в этой точке, причем:

а) если оба односторонних предела и конечны, но не равны между собой, то х0 точка разрыва первого рода;

б) если оба односторонних предела и конечны, равны между собой, но не равны f(x0), то х0 точка устранимого разрыва первого рода;

в) если хотя бы один из односторонних пределов или бесконечен, или не существует то х0 точка разрыва второго рода.

Свойства функций, непрерывных в точке

1. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то функции f(x)g(x); f(x)g(x); и f(x)/g(x) (если g(x)0) также непрерывны в точке х0.

2. Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в точке u0=u(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своих областей определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема (Больцано - Коши). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке а;в и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(в) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие. Если функция y =f(x) непрерывна на отрезке а;в и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка а;в найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция f(x) обращается в ноль: f(c)= 0.

ТЕМА 6. Производная и дифференциал функции одной переменной

Определение производной

Производной функции y=f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Таблица производных

1. (с)=0, c=const;

2. (где R);

3. 0, в частности

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Основные правила дифференцирования

спостоянная, u(x) и v(x)дифференцируемые функции:

с=0; х=1; (uvw)=uvw+uvw+uvw;

(u v)=uv;

(uv)=uv + uv; ;

(cu)=cu;

Пусть функция u = (x) имеет производную в точке х0, а функция y=f(u) в точке u0=(x0). Тогда сложная функция y=f((x)) также имеет производную в точке х0, причем

y(x0)=y(u0)u(x0).

Если y=f(x) дифференцируемая и строго монотонная функция на промежутке Х, то функция обратная к данной х=(у), также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

yx 0.

Геометрический смысл производной

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х0. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М0(х0;у0), уравнение которой имеет вид

уу0=f(x0)(xx0).

При этом f(x0)=tg, где угол наклона этой касательной к оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение

Производная неявной функции

Пусть функция y=y(x), обладающая производной в точке х, задана неявно уравнением

F(x,y)=0.

Тогда производную y(x) этой функции можно найти, продифференцировав это уравнение (при этом у считается функцией от х), и разрешая затем полученное уравнение относительно у.

Производные высших порядков

Производная от функции f(x) называется производной второго порядка от функции f(x) (или второй производной) и обозначается

Аналогично определяются производная третьего порядка (или производная), обозначаемая и т.д.

Производная n-го порядка обозначается

Дифференциал функции

Приращение у дифференцируемой функции y=f(x) можно представить в виде где f(x) производная функции f(x); xприращение независимой переменной; (х)бесконечно малая величина.

Дифференциалом (первого порядка) функции y=f(x) называется главная, линейная относительно х часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

dx=x.

Поэтому дифференциал функции:

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически приращение у функции f(x) в точке х есть приращение ординаты точки на кривой, а дифференциал dy функции в этой точке приращение ординаты соответствующей на касательной.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

При достаточно малых значениях х приращение функции уdy, т.е.

Чем меньше значение х, тем точнее эта формула.

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции y=f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции. Т.е.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n1)-го порядка этой функции, т.е

ТЕМА 7. Свойства дифференцируемых функций

Теоремы о среднем

Теорема (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке а;в, дифференцируема на интервале (а;в) и принимает на концах отрезка равные значения (т.е. f(a)=f(b)). Тогда существует по крайней мере одна точка с на интервале (а;в), для которой f(c)=0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке а;в и дифференцируема на интервале (а;в). Тогда на интервале (а;в) найдется такая точка с, что

f(b)f(a)=f(c)(ba).

Теорема (Коши). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке а;в и дифференцируемы на интервале (а;в), причем g(x)0 для всех х(а;в). Тогда найдется такая точка с на этом интервале, что

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:

Таким образом, правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида или .

Правило Лопиталя можно применять также и для раскрытия неопределенностей вида 0. Для этого произведение f(x)g(x) следует записать в виде (или ), получить неопределенность вида или .

Если имеется неопределенность вида или , при вычислении предела функции , то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида 0. При этом используется соотношение:

.

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки х0 производные Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место равенство

при хх0.

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Последнее слагаемое (т.е. остаточный член) в формуле Тейлора иногда записывают в виде:

.

Соответствующая формула тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

В случае х0=0 формула Тейлора принимает вид:

,

при х0 и называется формулой Маклорена.

Полезно помнить разложения по формуле Маклорена некоторых важнейших элементарных функций:

ТЕМА 8. Исследование функций

Условия монотонности функции

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f(x) 0 (f(x) 0) x (a;b), то f(x) возрастает (соответственно убывает) на этом интервале.

Если же f(x) 0 (f(x) 0) x (a;b), то функция f(x) не убывает (соответственно, не возрастает) на интервале (a;b), т.е. x1, x2 (a;b) из х1х2 следует f(x1) f(x2) (соответственно, f(x1) f(x2)).

Экстремум функции

Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если существует интервал, содержащий точку х0, такой, что для всех х из этого интервала имеет место неравенство f(x0) f(x), (f(x0) f(x)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума: в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f(x)=0), либо не существует.

Первое достаточное условие экстремума: если в точке х0 функция y=f(x) непрерывна, а производная f(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «», и минимума, если с «» на «+».

Если при переходе через точку х0 производная не меняет знак, то в точке х0 экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума: если в точке х0 f(x0) = 0, а f(x0)0, то х0 является точкой максимума функции. Если f(x0) = 0, а f(x0)0 , то х0 является точкой минимума функции.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Функция y = f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если для любых двух значений х1, х2 из этого промежутка выполняется неравенство:

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

Если вторая производная f(x) функции y = f(x) положительна (отрицательна) на промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.

Если х0 точка перегиба функции y = f(x) и f(x0) существует, то f(x0) = 0.

Если 2-ая производная f(x) меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 является точкой перегиба функции y = f(x).

Асимптоты

1. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от точки (x,f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

2. Прямая х =х0 является вертикальной асимптотой графика функции y=(x), если хотя бы один из пределов (правосторонний или левосторонний) равен .

3. Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если

4. Если и то прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x).

Общая схема исследования функций и построения графиков

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность нечетность;

3) найти вертикальные асимптоты;

4) исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6) найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба;

7) найти точки пересечения графика функции с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

ТЕМА 9. Комплексные числа

Основные понятия

Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где х и у действительные числа, iмнимая единица (). Число x=Re(z) называется действительной частью числа z, а число y=Im(z) мнимой частью числа z.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2, равны, если х1=х2; у1=у2.

z=0, если х=0, у=0.

Числа z=x+iy и называются сопряженными.

Арифметические операции над комплексными числами

1. Сложение (вычитание):

z1z2=(x1x2)+i(y1y2).

2. Умножение:

z1z2= (x1x2y1y2) + i(x1y2+x2y1).

В частности,

3. Деление:

Все арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами х1+iy1 и x2+iy2, считая

Тригонометрическая форма комплексного числа



где

модуль комплексного числа; аргумент комплексного числа (Arg z)

Из значений =Arg z выделяется главное значение arg z, удовлетворяющее условию

Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме

1. Умножение:

Cos(1+2) + iSin(1+2).

2. Деление:

3. Возведение в степень. Формула Муавра:

nцелое число.

4. Извлечение корня:

где к=0,1, 2,…,n1.

Показательная форма комплексного числа

Воспользуемся формулой Эйлера:

Тогда показательная форма комплексного числа.

ТЕМА 10. Неопределенный интеграл

Понятие неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка справедливо равенство F(x) = f(x).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

где С произвольная постоянная.

В записи f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dxподынтегральным выражением.

Нахождение неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны.

Основные свойства неопределенного интеграла

где некоторое число;

Табличные интегралы

,

где n1

где a0, a1;

где аха, а0;

а0;

а0;

, а0;

Основные методы интегрирования

а) метод непосредственного интегрирования:

данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

б) метод замены переменной:

пусть x=(t) функция дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Тогда

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

в) метод интегрирования по частям:

пусть u=u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида где Р(х) и Q(x)многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду:

где

многочлен (целая часть при делении), а правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому

Так как интеграл вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.

ТЕМА 11. Определенный интеграл

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция y = f(x) задана на отрезке а,в. Разобьем отрезок а,в на n элементарных отрезков точками х0 = ах1х2…хn=b. В каждом из отрезков разбиения выберем произвольную точку i и положим xi = xi xi1, где i=1,2,…,n. Тогда сумма вида:

(1) называется интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке а,в.

Пусть существует и конечен предел S интегральной суммы (1) при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка xi, не зависящий от способа разбиения отрезка а,в на части и способа выбора точек i на отрезках разбиения. Тогда функция y=f(x) называется интегрируемой на а,в, а число S определенным интегралом от f(x) на а,в и обозначается

(2)

Достаточным условием интегрируемости функции является ее непрерывность на рассматриваемом отрезке.

Свойства определенного интеграла

1) где некоторое число.

2)

3)

4)

5)

6) Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке а,в, то найдется такое значение а,в, что

7) Если функция y=f(x) четная, то

Если функция y=f(x) нечетная, то



Формула НьютонаЛейбница

Определенный интеграл от непрерывной на отрезке а,в функции f(x) равен приращению любой ее первообразной F(x) на этом отрезке:

или (в иной записи)

.

Замена переменной в определенном интеграле

Если функция (t) имеет непрерывную производную на отрезке ;, и функция f(x) непрерывна в каждой точке х=(t), где t;, то

Интегрирование по частям определенного интеграла

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке а,в, то

Геометрическое приложение определенного интеграла

Площади плоских фигур

1. Если функция f(x) неотрицательна на отрезке а,в, то площадь S под кривой y=f(x) на а,в (площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0) численно равна определенному интегралу от f(x) на данном отрезке:

(3) (геометрический смысл определенного интеграла).

2. Если функция y=f(x) неположительна на отрезке а,в, то площадь S над кривой y=f(x) на а,в равна определенному интегралу от f(x) на а,в, взятому со знаком «минус»:

(4)

Формулы (3) и (4) можно объединить в одну

3. Если на отрезке а,в, то площадь S фигуры, заключенной между кривыми y=f2(x) и y=f1(x) на этом отрезке, определяется формулой

Объемы тел вращения

Если функция y=y(x) знакопостоянна на отрезке а,в, то объем Vx тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y=y(x), x=a, x=b, y=0, вычисляется по формуле

Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть функция y=f(x) задана на отрезке а,в и этот отрезок разбит на n равных частей точками а=х0х1…хn=в,

xi=xi-1+ih,

где h= , i=1,2,…,n.

Тогда приближенное значение определенного интеграла от функции y=f(x) на а,в может быть найдена по формуле трапеций:

Погрешность от применения формулы трапеций оценивается по формуле:

где М2максимальное значение модуля второй производной функции y=f(x) на отрезке а,в, т.е.

ТЕМА 12. Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (I рода)

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются следующим образом:

(1)

где спроизвольное число (обычно с=0).

Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях равенств (1). Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходящимися.

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов I-го рода

1. Если на промежутке а;+) непрерывные функции f(x) и (x) удовлетворяют условию 0 f(x) (x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла («признак сравнения»).

2. Если при х а; +), f(x) 0, (x) 0 и существует конечный предел то интегралы и сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если сходится интеграл то сходится и интеграл который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Несобственные интегралы от неограниченных функций (II рода)

Пусть функция y = f(x) непрерывна, но не ограничена на полуинтервале а,в). В этом случае интеграл называется несобственным интегралом второго рода и, по определению,

Если предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует и конечен, то этот интеграл называется сходящимся; в противном случае расходящимся.

Аналогично, если функция y=f(x) непрерывная, но неограниченная на полуинтервале (а;в, то , по определению,

Если функция y=f(x) терпит разрыв II-го рода во внутренней точке са;в, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов II-го рода:

1. Если на промежутке а;в) функции f(x) и (x) непрерывны, при х=в терпят разрыв II-го рода и удовлетворяют условию 0 f(x) (x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла («признак сравнения»).

2. Пусть функции f(x) и (x) непрерывны на промежутке а;в) и в точке х=в терпят разрыв II-го рода. Если существует предел 0 к ,то интегралы и сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если функция f(x), знакопеременная на отрезке а;в, имеет разрыв в точке х=в и несобственный интеграл сходится, то сходится и интеграл

ТЕМА 13. Дифференциальные уравнения

Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию некоторой переменной, эту переменную и производные различных порядков данной функции:

G(x, y, y,…,

Порядок n старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.

Любая функция y=y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество, называется решением этого дифференциального уравнения. Решение, заданное в неявном виде f(x,y) = 0, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Решение (интеграл) дифференциального уравнения n-го порядка, зависящее от n произвольных независимых постоянных, называется общим решением (интегралом) этого уравнения. Решение (интеграл), полученное при конкретных числовых значениях этих постоянных, называется частным решением (частным интегралом) дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

 (1) или в виде

M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0,

где f(x), M(x), P(x) некоторые функции переменной х, g(y), N(y), Q(y) функции переменной у.

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например, из (1) следует, что

и

Выполняя интегрирование, приходим к решению уравнения (1).

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде:

y =g(y/x),

где g некоторая функция (одной переменной).

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция y=f(x,y) называется однородной степени к (по переменным х и у), если для произвольного числа выполняется равенство:

f(x,y) =

Если функция f(x,y) однородная степени 0, то уравнение y = f(x,y) может быть сведено к однородному.

Замена переменной z = y/x, где z = z(x), сводит однородные дифференциальные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:

y + f(x)y = g(x), (2)

где f(x) и g(x) некоторые непрерывные функции переменной х. В случае, когда функция g(x) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным.

Будем искать решение в виде:

y = u(x)v(x).

Так как y = uv + uv, то из (2) следует uv + uv + f(x)uv = g(x) или vu + u(v + f(x)v) = g(x). (3)

Найдем сначала какое-либо частное решение v = v(x) уравнения:

v + f(x)v = 0.

Тогда (см. (3)) функция u = u(x) решение уравнения vu = g(x).

Тем самым решение исходного уравнения (2) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

y + py +qy = r(x), (4)

где p и q некоторые действительные числа, r(x) некоторая функция.

Если функция r(x) тождественно равна нулю, то соответствующее уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным.

Рассмотрим решение однородного дифференциального уравнения:

y + py +qy = 0. (5)

Дифференциальному уравнению (5) ставится в соответствие характеристическое уравнение:

где переменная.

1. Если характеристическое уравнение имеет действительные корни 1 и 2, причем 12, то общее решение уравнения (4) имеет вид:

2. Если характеристическое уравнение имеет один корень (кратности), то общее решение уравнения (4) имеет вид:

3. Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни , где = - p/2, = то общее решение уравнения (4) имеет вид:

Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике

Рассмотрим примеры применения дифференциальных уравнений для описания процессов микроэкономической динамики.

Пусть y = y(t) объем производства некоторого производителя, реализованный к моменту времени t. Предположим, что цена на данный товар остается постоянной (в пределах рассматриваемого промежутка времени). Тогда функция y = y(t) удовлетворяет уравнению:

y =ky, (6)

где k = mpl, m - норма инвестиций, p - продажная цена, l - коэффициент пропорциональности между величиной инвестиций и скоростью выпуска продукции.

Уравнение (6) является уравнением с разделяющимися переменными. Его решение имеет вид:

где у0 = y(t0).

Уравнение (6) описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции и т.д.

ТЕМА 14. Ряды

Понятие числового ряда

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения:

Числа u1, u2,… называются членами ряда, член un общим или n-м членом ряда, сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм:

Число S называется суммой ряда. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то предел его общего члена при n равен нулю (необходимое условие сходимости ряда).

При нарушении необходимого условия сходимости ряда, т.е. если предел общего члена ряда при n не существует или если он не равен нулю, ряд расходится. Заметим, что если предел общего члена ряда равен нулю, то вывод о сходимости или расходимости ряда можно сделать только после дополнительного исследования.

Признаки сходимости рядов с положительными членами

1. Признак сравнения. Пусть и два ряда с положительными членами, и члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. un vn при любом n. Тогда

а) если сходится ряд то сходится и ряд

в) если расходится ряд , то расходится и ряд

2. Предельный признак сравнения. Если и ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов:

то ряды либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

3. Признак Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-ому:

Тогда при l1 ряд сходится, при l1 и при l ряд расходится. При l = 1 для ответа на вопрос о сходимости ряда требуется дополнительное исследование.

4. Интегральный признак сходимости. Пусть дан положительный ряд и пусть функция f(x) такая, что f(1)=u1, f(2) = u2,…, f(n) =un,… непрерывна и не возрастает при х1. Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл при некотором а 1.

Сходимость рядов с членами произвольного знака

1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

2. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

3. Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно то положительны, то отрицательны.

4. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине т.е. u1u2…un…0, и предел модуля его общего члена равен нулю, т.е. то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S u1.

Определение и свойства степенного ряда

1. Степенным рядом называется ряд

(1)

где с0, с1,…,сn коэффициенты степенного ряда.

2. Областью сходимости степенного ряда называется совокупность тех значений х, при которых степенной ряд (1) сходится.

3. Число R такое, что при х R ряд (1) сходится, а при хR расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда. При х=-R, x=R ряд может как сходится, так и расходится.