2-й семестр

(Основы математического анализа)

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

– систематизировать и расширить их теоретические знания;

– закрепить практические навыки;

– научить работать с учебной и научной литературой, проводить её анализ и делать выводы;

– стимулировать профессиональный рост студентов, воспитывать творческую активность и инициативу.

Домашняя самостоятельная работа студентов организуется преподавателем в соответствии с календарным планом изучения дисциплины и предполагает:

– изучение лекционного материала, чтение рекомендуемых литературных источников, решение задач, ответы на контрольные вопросы или тесты и т.д.;

– самостоятельное изучение материала по заданным преподавателем темам.

По курсу «Математика I» (линейная алгебра с элементами аналитической геометрии и основы математического анализа) проводятся 5 контрольных работ.

Контрольные работы за 1 семестр

Выдается по задачникам [2] и [10].

Содержит 6 заданий.

Тема: «Вычисление определителей. Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений».

Вариант контрольной работы 1.

1. Вычислить определитель.

2. Найти матрицу обратную к матрице

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

6. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Домашняя контрольная работа 2.

Тема: «Векторная алгебра. Прямая и плоскость в пространстве».

Вариант контрольной работы 2.

1. Даны векторы .

Найти:

1) ,

2) ,

3) найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

2. Даны векторы . Найти векторное произведение, синус угла между ними, площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

3. Вычислить произведение если

4. Найти точку пересечения прямой и плоскости 2x-y+z+1=0.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2;3;-1) и М2(1;5;3), перпендикулярно плоскости 3х - у +3z + 15 = 0.

6. При каких значениях C и D прямая лежит в плоскости 2x - y + Cz + D = 0?

Контрольные работы за 2 семестр

Контрольная работа 3

Тема: «Пределы и непрерывность»

Вариант контрольной работы 3

Найти пределы:

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти точку разрыва функции (указать характер):

Контрольная работа 4

Тема: «Производная и дифференциал функции»

Вариант контрольной работы 4

1. Найти производную функции:

2. Найти предел, используя правило Лопиталя:

3. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции:

4. Найти dy и функции: y = Sin x ln x

5. Найти у и dy функции: при х = 2, х = 0,001

6. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

Sin ( + 0,01)

Контрольная работа 5

Тема: «Вычисление неопределенных и определенных интегралов»

Вариант контрольной работы №5

Вычислить интегралы:

1.

2.

3.

4.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = ln x, , x = 2, x = 0, y = 0

6. Вычислить по формуле трапеций для n = 10 интеграл . Найти значение погрешности полученного результата.

Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

Методические указания

На первом курсе обучения по разделу «Математика I» выполняются две контрольные работы: №1 - по аналитической геометрии и линейной алгебре и №2 по основам математического анализа. К выполнению каждой контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса по учебникам, предложенным в списке литературы, и решения задач, указанных к каждой теме данного УМК. При выполнении работ следует руководствоваться следующими указаниями.

1. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов, полный шифр, номер контрольной работы и дата ее отправки в институт.

Условия задач следует переписывать полностью, без сокращений. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены (желательно на миллиметровой бумаге) аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. В конце работы следует указать, какие учебники и учебные пособия (включая методические указания) были использованы при выполнении работы.

Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3 - 4 см.

2. После получения работы (как зачтенной, так и не зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторную рецензию, приложив при этом первоначально выполненную работу.

3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Если будет установлено, что та или иная контрольная работа выполнена несамостоятельно, то она не будет зачтена, даже если в этой работе все задачи решены верно.

4. При необходимости (по требованию преподавателя) студент должен давать на экзамене устные пояснения ко всем или некоторым задачам, содержащимся в этих работах.

5. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номер студенческого билета). При этом последняя цифра ноль (0) соответствует варианту №10.

Варианты контрольной работы 1 для студентов заочной формы обучения

(Аналитическая геометрия и линейная алгебра)

Вариант №1

1. В треугольнике с вершинами А(3;2), В(5;2), С(1;4) найдите длины всех сторон, длину медианы BD и точку М пересечения медиан.

2. Составьте уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах эллипса а фокусы в вершинах эллипса.

3. Из точки Р(2;3;5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

4. Решить матричное уравнение:

5. Определить при каких значениях m и n система

а) имеет единственное решение; б) не имеет решений.

6. Методом Гаусса решить систему уравнений

Вариант 2.

1. Треугольник задан вершинами: А(5;2), В(7;6) и С(5;4). Найдите: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение медианы, проведенной из вершины А; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины С; 4) центр тяжести этого треугольника.

2. Эллипс проходит через точку М(1;1) и имеет эксцентриситет = 3/5. Составить уравнение эллипса.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;1;5) и перпендикулярной плоскостям 3x 2y + 2z + 7 = 0 и 5х 4у + 3z + 1= 0.

4. Решить уравнение .

5. По формулам Крамера решить систему

6. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Вариант 3

1. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(2;0) и В(0;1).

2. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если сумма полуосей равна 25, а фокусы имеют координаты (5;0) и (5;0).

3. Написать канонические уравнения прямой L , заданной уравнениями,

4. Вычислить произведения и , при заданной матрице А:

.

5. Определить при каких значениях m и n система

а) имеет единственное решение; б) не имеет решений.

6. Методом Гаусса решить систему уравнений:

.

Вариант 4

1. Даны три стороны треугольника: х + у - 6 = 0, 3х - 5у + 14 = 0 и 5х - 3у - 14 = 0. Составить уравнения его высот.

2. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если сумма полуосей равна 25, а фокусы имеют координаты (-5;0) и (5;0).

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую,

параллельно прямой .

4. Представить вектор как линейную комбинацию векторов ,

5. Вычислить определитель:

6. Решить систему методом обратной матрицы:

.

Вариант 5

1. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 4х + 3у - 12 = 0, концы которого лежат на осях координат.

2. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе I и III координатных углов хорду длиной 8

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;1;5) и перпендикулярной плоскостям 3х - 2у + 2z + 7 = 0 и 5х - 4у + 3z +1 = 0.

4. Найти значение матричного многочлена

5. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Вариант 6

1. Даны три стороны треугольника: х + у - 6 = 0, 3х - 5у + 14 = 0 и 5х - 3у -14 = 0. Составить уравнения его высот.

2. Дана гипербола Найти софокусный эллипс, проходящий через точку М(4;6).

3. Написать канонические уравнения прямой L , заданной уравнениями:

4. Представить вектор как линейную комбинацию векторов и

5. Определить при каких значениях m и n система

а) имеет единственное решение; б) не имеет решений.

6. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы

.

Вариант 7

1. Треугольник задан вершинами: А(-5;-2), В(7;6) и С(5;-4).

Найдите: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение медианы, проведенной из вершины А; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины С; 4) центр тяжести этого треугольника.

2. Дан эллипс Написать уравнение софокусной равнобочной гиперболы.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую,

параллельно прямой .

4. Доказать, что векторы и компланарны.

5. Определить при каких значениях m система уравнений

а) имеет единственное решение; б) не имеет решений.

6. Решить систему методом Гаусса:

.

Вариант 8

1. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(2;0) и В(0;1).

2. Центр окружности находится в точке О(-3:1). Составить уравнение окружности, если она касается прямой 4х + 3у - 16 = 0.

3. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью Р: 2х - 3у + 6z- 12 = 0 и координатными плоскостями.

4. Даны векторы:

Найти {(

5. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

.

6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Вариант 9

1. В треугольнике с вершинами А(3;2), В(5;2), С(1;4) найдите длины всех сторон, длину медианы BD и точку М пересечения медиан.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через центры окружностей, и .

3. В уравнениях прямой определить параметр n так, чтобы эта прямая пересекалась с прямой , и найти точку их пересечения.

4. Даны векторы и

Вычислить .

5. Вычислить определитель .

6. Методом Гаусса решить систему уравнений:

.

Вариант 10.

1. Даны три стороны треугольника: х + у - 6 = 0, 3х - 5у + 14 = 0 и 5х - 3у -14 = 0. Составить уравнения его высот.

2. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе I и III координатных углов хорду длиной 8

3. Найти уравнение проекции прямой на плоскость 2х + 3у - z - 5 = 0.

4. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2;2;2), В(4;3;3), С(4;5;4) и D(5;5;6).

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

.

Варианты контрольной работы 2 для студентов заочной формы обучения (Основы математического анализа)

Вариант 1

1. Найти область определения функции:

2. Вычислить предел

3. Найти

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

и

Вариант 2

1. Найти область определения функции

2. Вычислить предел

3. Найти

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

Вариант 3

1. Найти область определения функции

2. Вычислить предел

3. Найдите

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

Вариант 4

1. Найти область определения функции

2. Вычислить предел

3. Найдите

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

Вариант 5

1. Найти множество значений функции

2. Вычислить предел

3. Найдите

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

Вариант 6

1. Найти область определения функции

2. Вычислить предел по правилу Лопиталя

3. Найдите

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

;

Вариант 7

1. Установить четность или нечетность функции

2. Вычислить предел по правилу Лопиталя

3. Найдите

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

Вариант 8

1. Установить четность или нечетность функции

2. Вычислить предел по правилу Лопиталя

3. Найдите

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

Вариант 9

1. Найти область определения функции

2. Вычислить предел по правилу Лопиталя

3. Найдите

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Вариант 10

1. Найти множество значений функции

2. Вычислить предел по правилу Лопиталя

3. Найдите

4. Вычислить интеграл

5. Вычислить интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

;

КОНТРОЛЬ

Тестовые задания для промежуточного контроля студентов

«Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии»

Вопрос 1. Найти C=2A - 3BТ, если

Ответы: а) ; б) ; в) ; г)

Варианты ответов

1. а

2. б

3. в

4. г

Вопрос 2. Найти AB, если

Ответы:

а) ; б) ; в) ; г)

Варианты ответов

1. а

2. б

3. в

4. г

Вопрос 3. Чему равно данное выражение (AB)Т?

Ответы:

а) АТВТ; б) (ВА)Т; в) ВТАТ

Варианты ответов

1. а

2. б

3. в

Вопрос 4. Вычислить определитель

Варианты ответов

1. 18

2. 68

3. - 68

4. - 18

Вопрос 5. Дана матрица . Найти алгебраическое дополнение для элемента a23 ее определителя.

Варианты ответов

1. 9

2. -21

3. -6

4. другой ответ

Вопрос 6. Вычислить определитель данной матрицы:

Варианты ответов 1. 41; 2. 52; 3. другой ответ

Вопрос 7. Вычислить определитель данной матрицы

дифференциал функция вектор множество

Варианты ответов

1. -24

2. 24

3. другой ответ

Вопрос 8. Даны матрицы А и В.

и

Выяснить, какие из следующих операций можно выполнить:

а) А+В; b) АТ+В; c) A+ BT; d) AB; e) BA; f) ATB; g) BTAT

Варианты ответов

1. a)

2. b)

3. c)

4. d)

5. e)

6. f)

7. g)

Вопрос 9. Как возвести матрицу в третью степень?

Варианты ответов

1. Умножить матрицу на матрицу, а затем полученную матрицу умножить на исходную матрицу

2. возвести в третью степень каждый элемент матрицы

3. Умножить матрицу на матрицу, а затем исходную матрицу умножить на полученную матрицу

Вопрос 10. Для матрицы найти обратную матрицу . Соответствующие числа a, b, c, d найдите в вариантах ответов.

Варианты ответов

1. 4, 5, 2, 2

2. 4, 2, 5, 2

3. -4, -5, -2, -2

4. -4, -2, -5, -2

Вопрос 11. Матрица-строка размером:

Варианты ответов

1.

2.

3.

Вопрос 12. Каким свойством не обладает произведение матриц?

Варианты ответов

1. АВ=ВА

2. (АВ)С=А(ВС)

3. л(А+В)= лА+ лВ

Вопрос 13. При умножении матрицы на обратную ей получаем:

Варианты ответов

1. нулевую

2. транспонированную

3. единичную

Вопрос 14. Какая система называется однородной?

Варианты ответов

1. содержащая одинаковые уравнения

2. у которой свободные члены равны 0

3. у которой количество уравнений совпадает с числом переменных

Вопрос 15. Метод исключения переменных это:

Варианты ответов

1. метод Гаусса

2. метод Крамера

3. матричный метод.

Вопрос 16. По формулам Крамера решить систему уравнений

В ответе указать значение суммы переменных x1, x2 и определителя

Варианты ответов

1. 7

2. 9

3. 5

Вопрос 17. Каким методом можно решить система уравнений, если определитель системы=0?

Варианты ответов

1. методом Гаусса

2. методом Крамера

3. матричным методом.

Вопрос 18. Назовите вид системы векторов, если третий вектор равен сумме двух других векторов.

Варианты ответов

1. линейно зависимая

2. линейно независимая

3. линейно независимая при условии

4. может быть любого вида

Вопрос 19. Установить соответствие между рисунками и векторным равенством

Варианты ответов

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

Вопрос 20. Определить длину вектора , если

Варианты ответов

1. 12

2.

3. 24

Вопрос 21. Даны векторы

Найти с точностью до 0,1 проекцию вектора на направление вектора

Варианты ответов

1. 4,7

2. 2,5

3. другой ответ

Вопрос 22. Выяснить, какие из приведенных троек векторов образуют базис в трехмерном пространстве

1. (0; 0; 1), (0; 1; 0), (0; 1; 1),

2. (0; 0; 1), (1; 0; 0), (0; 1; 0),

3. (1; 1; 1), (0; 1; 0), (2; 2; 2),

Варианты ответов

1. 1

2. 2

3. 3

Вопрос 23. Установить соответствие между рисунками и векторным равенством

Варианты ответов

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

Вопрос 24. Два вектора коллинеарны, если:

Варианты ответов

1. Их векторное произведение равно 0

2. Их скалярное произведение равно 0

Вопрос 25. Найти координаты точки (x0; y0) пересечения медиан треугольника АВС, где

А(2; 4), В(-3; 0), С(7; -1)

Варианты ответов

1. (2; 1)

2. (3; 4)

1. (1; 2)

Вопрос 26. Найти в градусах острый угол между прямыми 4x-2y-7=0 и

Варианты ответов

1. 45

2. 60

3. 30

Вопрос 27. Какие из данных прямых перпендикулярны прямой 2x - y+3=0

1) 4x+8y+17=0; 2) 4x-8y-11=0, 3) ; 4) y=-2x - 7; 5)

Варианты ответов

1. 1), 3), 5)

2. 2), 4)

3. 1), 3)

Вопрос 28. А(-4; 3), В(2; 5), С(6; -2). - вершины треугольника АВС. Составить уравнение высоты 4x+by+c=0, проведенной из вершины А

Варианты ответов

1. b= -7, c=37

2. b= 7, c=37

3. b= -7, c=-5

Вопрос 29. Найти расстояние между параллельными прямыми

y = - 0,75x - 6 и 3x + 4y - 12 =0

Варианты ответов

1. 7,2

2. 2,4

3. другой ответ

Вопрос 30. Выяснить, в каком случае плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0 параллельны.

Варианты ответов

1.

2.

Вопрос 31. Выяснить, в каком случае плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0 перпендикулярны.

Варианты ответов

1.

2.

Вопрос 32. Выяснить, в каком случае плоскость Ax+By+Cz+D=0 и прямая параллельны?

Варианты ответов

1.

2.

Вопрос 33. Выяснить, в каком случае плоскость Ax+By+Cz+D=0 и прямая перпендикулярны?

Варианты ответов

1.

2.

Вопрос 34. Найдите длину АВ, если А(2; 0) и В(5; 4)

Варианты ответов

1. 5

2. 33

3.

Вопрос 35. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(5; 3) и В(-1; 5)

Варианты ответов

1. (2; 4)

2. (3; -1)

3. (-3; 1)

Вопрос 36. Лежит ли точка А(2; -4) на линии х2-y = 0

Варианты ответов

1. Да

2. Нет

Вопрос 37. Найдите координаты точки делящей отрезок, заданный точками А(-1; -3) и В(5; 3) в отношении 2 : 1

Варианты ответов

1. (3; 1)

2. (1; 3)

3. (2; 0)

Вопрос 38. Условие параллельности прямых:

Варианты ответов

1.

2.

3.

Вопрос 39. Написать уравнение окружности, касающейся оси Ox в начале координат и проходящей через точку А(0; -8)

Варианты ответов

1. x2+ (y+4)2=16

2. x2+y2=64

3. (x+4)2+ y2=16

Вопрос 40. Какую кривую второго определяет уравнение

x2 - 10x + y2 - 8y + 32 = 40

Варианты ответов

1. окружность

2. гиперболу

3 параболу

4. эллипс

Вопрос 41. Указать каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси a = 3, b = 4

Варианты ответов

1.

2.

3.

Вопрос 42. Какую кривую второго определяет уравнение

x2 - 10x + y2 - 8y + 32 = 0

Варианты ответов

1. окружность

2. гиперболу

3 параболу

4. эллипс

Вопрос 43. Найти расстояние между фокусами эллипса

Варианты ответов

1.

2.

3.

4.

Вопрос 44. Найти расстояние между фокусами гиперболы

Варианты ответов

1. 20

2. 10

3.

4.

Вопрос 45. Множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами, есть:

1) прямая линия, 2) окружность, 3) гипербола. 4) парабола, 5) эллипс.

Варианты ответов

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

5. 5)

Вопрос 46. Множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус, есть:

1) прямая линия, 2) окружность, 3) гипербола. 4) парабола, 5) эллипс.

Варианты ответов

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

5. 5)

Вопрос 47. Множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами, есть:

1) прямая линия, 2) окружность, 3) гипербола. 4) парабола, 5) эллипс.

Варианты ответов

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

5. 5)

Вопрос 48. Какое уравнение не определяет эллипс?

Варианты ответов

1.

2.

3.

Вопрос 49. Парабола симметрична относительно:

Варианты ответов

1. оси ординат

2. оси абсцисс

3. начала координат

Вопрос 50. Найти радиус окружности

Варианты ответов

1. 3

2.

3.

Тестовые задания для промежуточного контроля студентов

«Основы математического анализа»

Вопрос 1. Выяснить, какие из данных функций являются сложными:

1) , 2) , 3) y = arcsin x, 4) y = arcsin (3x)

Варианты ответов

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

Вопрос 2. График нечетной функции симметричен относительно:

Варианты ответов

1. начала координат

2. оси абсцисс

3. оси ординат

Вопрос 3. Область определения функции :

Варианты ответов

1. (5; +?)

2. (-?; 5) U (5; +?)

3. [5; +?)

Вопрос 4. Выяснить, какие из функций являются монотонным при

Варианты ответов

1.

2.

3.

Вопрос 5. Выяснить какая из функций является четной:

Варианты ответов

1.

2.

3.

Вопрос 6. Укажите верное утверждение для функции :

Варианты ответов

1. монотонная

2. четная

3. нечетная

4. общего вида

Вопрос 7. График четной функции симметричен относительно:

Варианты ответов

1. начала координат

2. оси абсцисс

3. оси ординат

Вопрос 8. Выяснить, чему равен

Варианты ответов

1. -1

2. не существует

3. 1

4. бесконечность

Вопрос 9. Выяснить, какие из перечисленных функций бесконечно малые при

1) , 2) y=x10, 3) , 4) y=cos2x, 5) .

Варианты ответов

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

5. 5)

Вопрос 10. Выяснить, какая из перечисленных функций не является бесконечно большой при

1) ; 2) y=tgx; 3) y=log0,5 x; 4) ;

Варианты ответов

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

Вопрос 11. Произведение двух бесконечно малых и бесконечно большой величин являются

Варианты ответов

1. Бесконечно малой величиной

2. Бесконечно большой величиной

3. Неопределенностью.

Вопрос 12. Выяснить, какие из перечисленных функций непрерывны в точке х = 0

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) y=tg x

Варианты ответов

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

5. 5)

Вопрос 13. Какого рода точка разрыва функции

1. второго рода

2. первого рода

Вопрос 14. Найти

Варианты ответов

1. 1,5

2. ?

3. 0

Вопрос 15. Найти

Варианты ответов

1 e2

2. e-2

3. ?

4. 0

Вопрос 16. Найти

Варианты ответов

1. + ?

2. - ?

3. 0

Вопрос 17. Найти б, если

Варианты ответов

1. 1

2. 10

3. 25

Вопрос 18. Найти б, если

Варианты ответов

1. 16

2. 4

3. 2

Вопрос 19. Вычислить предел:

Варианты ответов

1. 6

2. 0

3. ?

Вопрос 20. Вычислить

Варианты ответов

1. 2

2. 0

3. -2

Вопрос 21. Чему равен

Варианты ответов

1.

2. 1

3.

Вопрос 22. Какая формула не является вторым замечательным пределом?

1. ,2. , 3.

Вопрос 23. найти f(0), f(1), f(-1)

Варианты ответов

1. 0, 0, 0

2. 1, 4, 0

3. 1, 0, 4

4. 4, 1, 0

Вопрос 24. Найти производную функции в точке х0 = 0

Варианты ответов

1. 0

2. 1

3. -1

4.

Вопрос 25. Найти уравнение касательной к кривой в точке х0 = 0

Варианты ответов

1. у = х

2. у = х - 1

3. у = х + 1

4. у = х + 1

Вопрос 26. Найти уравнение нормали к кривой в точке х0 = 0

Варианты ответов

1. у = х

2. у = х - 1

3. у = х + 1

4. у = х + 1

Вопрос 27. найти у

Варианты ответов

1.

2.

3.

4.

Вопрос 28. Найти у в точке

Варианты ответов

1. 1

2. 1

3. 0

4.

Вопрос 29. Дифференциал функции равен

Варианты ответов

1.

2.

3.

Вопрос 30. Найти приращение и дифференциал функции в точке х0=1, если известно х = 0,01.

Варианты ответов

1. у = 0,050301 dy = 0,05

2. y = 0,05 dy = 0,05

3. у = 0,055 dy = 0,04

4. y = 0,06 dy = 0,04

Вопрос 31. Вычислить приближенно tg 44

Варианты ответов

1. 0,995

2. 0,985

3. 0,975

4. 0,965

Вопрос 32. найти

Варианты ответов

1.

2.

3.

Вопрос 33. Вычислить предел по правилу Лопиталя

Варианты ответов

1. 1

2.

3. 2

4. 1,6

Вопрос 34. Вычислить предел по правилу Лопиталя

Варианты ответов

1. 1

2. 0

3. -1

4.

Вопрос 35. Вычислить предел по правилу Лопиталя

Варианты ответов

1. 1

2. 0

3. -1

4.

Вопрос 36. Выяснить какое из приведенных утверждений является неверным:

1) в точке экстремума производная функции равна нулю или не существует;

2) в точке экстремума функция меняет знак;

3) в точке экстремума производная меняет знак;

4) в точке, в которой производная равна нулю или не существует, может не быть экстремума.

Варианты ответов

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

Вопрос 37. Среди перечисленных функций горизонтальную асимптоту имеет функция: 1) 2)

Варианты ответов

1. 1

2. обе функции имеют

3. 2

4. обе функции не имеют

Вопрос 38. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 1;2.

Варианты ответов

1. fнаиб.(2) = 12; fнаим.(-1) = fнаим.(0) = 0

2. fнаиб.(1) = 4; fнаим.(0) = 0

3. fнаиб.(0) = 5; fнаим.(-1) = -5

Вопрос 39. Найти интервалы возрастания и убывания функции

Варианты ответов

1. возрастает при х>0, убывает при х<0

2. функция только возрастает

3. функция только убывает

4. возрастает при х < 0, убывает при х > 0

Вопрос 40. Следующее утверждение из перечисленных является всегда верным:

1) в точке перегиба всегда существует конечная 1-я производная;

2) в точке перегиба всегда существует конечная 2-я производная;

3) точка перегиба является точкой экстремума 1-й производной дважды дифференцируемой функции;

4) точка перегиба является точкой экстремума 2-й производной функции.

Варианты ответов

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

Вопрос 41. При каких а и в функция является первообразной для ?

Варианты ответов

1. а = 3 в = 4

2. а = 4 в = 3

3. а = 3 в = 3

4. а = 4 в = 4

Вопрос 42. Найти интеграл

Варианты ответов

1.

2.

3.

4.

Вопрос 43. Найти интеграл

Варианты ответов

1.

2.

3.

4.

Вопрос 44. При каких значениях параметров а и в справедливо равенство

Варианты ответов

1. а = 0 в = 0

2. а = 1 в = 1

3. а = 2 в = 2

4. а = 0 в = 1

Вопрос 45. Вычислить определенный интеграл

Варианты ответов

1.

2.

3.

4.

Вопрос 46. Вычислить определенный интеграл

Варианты ответов

1. 2ln2 - 1

2. 1 - 2ln2

3. 2

4. ln2 + 1

Вопрос 47. Площадь фигуры, ограниченная линиями (фигура расположена в 1-ой четверти)

Варианты ответов

1. 1; 2. 0,5 ; 37/12; 4.5/8

Вопрос 48. При каком минимальном значении n формула трапеций обеспечивает вычисление интеграла с точностью до 0,001?

Варианты ответов: 1.74; 2.65; 3. 86; 4.48

Вопрос 49. Вычислить несобственный интеграл 1-го рода

Варианты ответов

1. 1

2. 2

3. 0,25

4. 0,5

Вопрос 50. Вычислить несобственный интеграл 2-го рода

Варианты ответов

1. /4

2. /2

3. ; 4.3/2

КОНТРОЛЬ

Вопросы для подготовки к экзамену за первый семестр

«Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии»

1. Метод координат на плоскости. Основные задачи, решаемые методом координат.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой.

3. Уравнение прямой в отрезках. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку; через две данные точки.

5. Расстояние от точки до прямой.

6. Окружность. Уравнение окружности.

7. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.

8. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы.

9. Парабола. Каноническое уравнение параболы.

10. Линейные операции над векторами и их свойства.

11. Линейная зависимость векторов на плоскости.

12. Проекция вектора на ось и ее свойства.

13. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Разложение вектора по ортам координатных осей.

14. Действия над векторами, заданными проекциями. Координаты точки. Координаты вектора.

15. Скалярное произведение векторов и его свойства.

16. Векторное произведение векторов и его свойства.

17. Смешанное произведение векторов и его свойства.

18. Действия над матрицами.

19. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы.

20. Ранг матрицы.

21. Матричные уравнения.

22. Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей.

23. Понятие минора и алгебраического дополнения. Разложение определителя по элементам ряда.

24. Выражение векторного и смешанного произведений векторов через координаты сомножителей.

25. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Алгоритм ее нахождения.

26. Система линейных уравнений (СЛУ). Основные понятия. Решение СЛУ матричным способом.

27. Формулы Крамера.

28. Метод Гаусса решения СЛУ.

29. Теорема Кронекера - Капели.

30. Понятие n - мерного векторного пространства.

31. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

32. Квадратичные формы. Приведение канонической формы к каноническому виду.

33. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

34. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

35. Уравнение плоскости в отрезках.

36. Общее уравнение плоскости и его частные случаи.

37. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

38. Расстояние от точки до плоскости.

39. Векторное и параметрическое уравнение прямой в пространстве.

40. Канонические уравнения прямой.

41. Общее уравнение прямой. Переход к каноническим уравнениям.

42. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямой в пространстве.

43. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.

44. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

45. Пересечение прямой с плоскостью.

46. Условие принадлежности прямой плоскости.

47. Цилиндрические поверхности.

48. Поверхности вращения. Конические поверхности.

Вопросы для подготовки к экзамену за второй семестр.

«Основы математического анализа»

1. Понятие множества. Множества конечные и бесконечные. Действия с множествами.

2. Выпуклые множества и их свойства.

3. Абсолютная величина действительного числа. Свойства абсолютных величин.

4. Числовая ось. Числовые промежутки. Окрестность точки.

5. Определение функции. Область существования функции. Способы задания функции. Классификация функций.

6. Числовая последовательность. Ограниченные, неограниченные, монотонные последовательности. Предел последовательности.

7. Предел функции. Бесконечно малые функции, их свойства.

8. Теорема о единственности предела функции.

9. Признак существования предела функции.

10. Вывод 1-го замечательного предела.

11. Второй замечательный предел, разные формы второго замечательного предела.

12. Определение непрерывности функции в точке на языке . Определение непрерывности функции в точке на языке приращений.

13. Точки разрыва функции. Их классификация.

14. Сравнение бесконечно малых функций.

15. Производная. Геометрический смысл производной.

16. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции.

17. Правила дифференцирования функции.

18. Производная сложной и обратной функций.

19. Производные основных элементарных функций.

20. Дифференцирование неявных функций.

21. Производные высших порядков.

22. Уравнение касательной и нормали к кривой

23. Понятие дифференциала функции.

24. Геометрический смысл дифференциала функции.

25. Основные теоремы о дифференциалах.

26. Дифференциалы высших порядков.

27. Применения дифференциалов к приближенным вычислениям.

28. Теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы Роля, Лагранжа и их геометрический смысл)

29. Правила Лопиталя.

30. Возрастание и убывание функций.

31. Максимум и минимум функций.

32. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

33. Выпуклость и вогнутость кривой; точки перегиба.

34. Асимптоты графика функции.

35. Правила построения графика функции.

36. Формула Тейлора.

37. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенных интегралов.

38. Основные методы интегрирования (неопределенный интеграл).

39. Интегрирование рациональных дробей.

40. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

41. Геометрический смысл определенного интеграла.

42. Формула Ньютона - Лейбница.

43. Основные свойства определенных интегралов.

44. Методы вычисления определенных интегралов.

45. Приложение определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

46. Приближенное вычисление определенного интеграла.

47. Несобственные интегралы 1-го рода.

48. Несобственные интегралы 2-го рода.

49. Числовые ряды. Основные понятия.

50. Определение и свойства степенного ряда.

51. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

52. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

53. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

54. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

55. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

56. Дифференцируемость и полный дифференциал функции нескольких переменных.

57. Частные производные.

58. Экстремум функции нескольких переменных.

59. Определение комплексных чисел, их геометрическое изображение и формы записи.

ЛИТЕРАТУРА