Системы линейных и дифференциальных уравнений

Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 10.02.2011
Размер файла 287,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

к/р № 1

1. Решить матричные уравнения и сделать проверку.

Решение:

Найдём обратную матрицу .

Обратной для матрицы А есть матрица , где - определитель матрицы А, а элементы матрицы A* являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.

Тогда:

.

Найдем элементы матрицы А*:

Тогда:

и для Х получим следующее выражение:

Выполним проверку:

- верное равенство.

Ответ: .

2. Даны координаты точек А, В, С. Найти уравнения сторон треугольника АВС. Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС. Найти уравнение одной из высот треугольника АВС. Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС. Найти площадь треугольника АВС.

Вариант

А

В

С

19

(-3;1)

(-1;-3)

(1;3)

Решение:
Уравнение прямой, проходящей через две точки можно записать как .
Тогда:
- уравнение стороны АВ:
- уравнение стороны АС:
- уравнение стороны ВС:
Найдем уравнение медианы ВМ, проведенной к стороне АС. Точка М - середина отрезка АС, следовательно координаты или
- уравнение медианы ВМ:
Найдём уравнение высоты АH, проведенной к стороне ВС. Уравнение стороны ВС с коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности перпендикулярной прямой будет и тогда уравнение высоты принимает вид , где К - некая константа, значение которой найдем исходя из условия принадлежности точки А(-3; 1) уравнению высоты AH:
- уравнение высоты АН:
Будем искать уравнение биссектрисы угла С.
Прямые АС: и ВС: наклонены под острым углом к оси абсцисс (коэффициенты пропорциональности положительны), тогда угол между прямыми АС и ВС будет равен , где угол между прямыми ВС и АС и осью ОХ соответственно.
По формуле тангенса разности получаем, что
Половина угла С будет
Тангенс угла наклона биссектрисы к оси ОХ тогда составит:
Уравнение биссектрисы примет вид: , где К некая константа, значение которой определим из условия принадлежности точки С(1; 3) биссектрисе, т.е.
Уравнение биссектрисы CL принимает вид
Для нахождения площади треугольника АВС воспользуемся формулой:
.
Тогда:
кв.ед.
Выполним чертеж:
Ответ: АВ: АС: ВС: - стороны треугольника
ВМ: - медиана треугольника; АН: - высота треугольника;
СL: - биссектриса треугольника; S = 10 кв.ед.
3. Даны координаты точек А1 ,A2 3 ,A4
Найти длину ребра А1А2. Составить уравнение ребра А1А4 и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3 . Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4

N

Координаты точек

Вар

A1

A2

A3

A4

2.19

(8;6;4)

(10;5;5)

(5;6;8)

(8;10;7)

Решение:

Воспользуемся формулой для вычисления расстояние между двумя точками:

Наши точки А1(8; 6; 4) и A2(10; 5; 5):

ед.

Длина ребра А1А2 равна ед.

Составим уравнение прямой проходящей через точки А1(8; 6; 4) и A4(8; 10; 7).

Для этого воспользуемся уравнением:

, т.е. А1А4: .

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А1(8; 6; 4), A2(10; 5; 5), А3(5; 6; 8).

Воспользуемся формулой:

Подставим данные:

или

Т.е. уравнение грани А1А2А3: или

Искомая высота проходит через точку A4(8; 10; 7) и перпендикулярна плоскости , имеющей вектор нормали .

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали плоскости, к которой проведена высота, следовательно, т.к. каноническое уравнение прямой , то уравнение искомой высоты.

Площадь треугольника А1А2А3 можно найти по формуле: , где - векторное произведение двух векторов

и .

кв.ед.

Объем пирамиды можно найти по формуле: , где - смешанное произведение трех векторов , и

Тогда куб.ед.

Ответ:

ед.; А1А4: ; А1А2А3:

h: ; кв.ед.; куб.ед.

4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

;

Решение:

Найдем характеристическое уравнение матрицы А - определитель матрицы А -Е, где Е - единичная матрица, - независимая переменная.

А -Е = - = .

Найдем теперь собственные числа матрицы А - корни характеристического уравнения . Получаем:

Получаем:

, , .

Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть Х = - искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А -Е) = 0 выглядит так:

или

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При система принимает вид:

Общее решение этой системы , где любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение.

Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид: .

При система принимает вид:

Общее решение этой системы , где любое число.

Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид: .

Аналогично при получаем систему

общее решение которой , где любое число.

Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид: .

Ответ: , , .

5. Решить систему методом Жорданa - Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Решение:

Преобразуем расширенную матрицу системы к диагональному виду:

откуда получаем следующую систему

и

- общее решение исходной системы уравнений.

Частные решения получим присвоив конкретные значения переменной х4:

тогда: , т.е. решением будет вектор (0; -4; 0; -1)

тогда: , т.е. решением будет вектор (0; 3; -1; 2).

Выполним проверку общего решения:

- верные равенства.

Ответ: ; (0; -4; 0; -1); (0; 3; -1; 2).

к/р № 2

1. Найти следующие пределы.

а) б)

Решение:

а) - неопределенность с бесконечностью. Раскроем скобки, приведем подобные и разделим числитель и знаменатель дроби на максимальную степень х. Получим:

б) - неопределенность . Избавимся от обнуляющего множителя, для этого числитель разложим на множители, а к знаменателю применим эквивалентную бесконечно малую: при . Получим:

Ответ: а) 3; б) -2,5.

2. Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде.

а) б)

Решение:

а) Перепишем функцию в виде экспоненты:

б) - продифференцируем обе части равенства по х.

Ответ: решение выше.

3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение:

1) Область определения функции: .

2) Четность, периодичность: , т.е. функция нечетная (симметричная относительно начала координат), не периодическая.

3) Пересечение с осями:

с осью ОY: х = 0 - не принадлежит области определения.

с осью OX: y = 0 - решения нет, точек пересечения с осью ОХ нет.

4) Асимптоты и поведение на бесконечности:

Наклонные асимптоты: y = kx + b, где b =

т.е. существует наклонная асимптота y = 3х.

5) Поведение возле точки разрыва:

Наша точка разрыва x = 0.

6) Критические точки:

Найдем производную функции y и решим уравнение yґ = 0.

т.е. точка: (-1; -4) - точка максимума и (1; 4) - точка минимума.

7) Точки перегиба:

Найдем вторую производную функции y и решим уравнение yґґ = 0.

, значит - нет решений.

При x > 0 функция выпуклая, при x < 0 вогнутая.

8) Построим график функции:

4. Найти градиент функции Z в точке М.

уравнение матрица функция вектор дифференциальный

Решение:

Градиентом функции z в точке М является вектор grad (z) =

Т.е. grad(z) = .

Ответ: grad (z) = .

5. Вычислить неопределенные интегралы.

а) б) с) .

Решение:

а)

Рассмотрим интеграл :

Тогда

б) Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

с) Разложим подинтегральное выражение на простые дроби:

, т.е.

Тогда:

Ответ: решения выше.

6. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси OY

Решение:

Построим в координатной плоскости заданную фигуру.

Объем тела, полученного вращением плоской фигуры около оси ОХ найдем по формуле:

В нашем случае получаем:

куб.ед.

Ответ: куб.ед.

7.

А) Найти общее решение дифференциального уравнения.

Б) Найти решение задачи Коши

В) Найти общее решение дифференциального уравнения.

а) ; б) ; ; в) .

Решение:

а) - уравнение с разделяющимися переменными.

Возьмем интегралы:

Таким образом

- общее решение уравнения, где С - произвольная константа.

б) - уравнение Бернулли.

Решим его, выполнив замену . Тогда и исходное уравнение примет вид: - линейное неоднородное уравнение первого порядка. Будем искать его решение в виде , тогда и

Функцию u будем искать такую, что , т.е.

Тогда:

В итоге и подставляя получаем - общее решение уравнения.

Найдём решение задачи Коши для :

Искомое решение .

в) - неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его решение представляет собой сумму , где - общее решение однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения, зависящее от и вида правой части неоднородного уравнения.

Решением уравнения вида будет , где - корни характеристического уравнения .

Запишем характеристическое уравнение для :

и найдем его корни:

Тогда решение уравнения имеет вид: , где С1 и С2 - произвольные константы.

будем искать в виде

Тогда:

и подставляя в уравнение получаем:

откуда, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получаем:

,

т.е.

Общее решение неоднородного уравнения есть

Ответ: а) ;

б) ;

с) .

8.

а) Исследовать сходимость ряда.

б) Определить область сходимости ряда.

а) б) .

Решение:

а) - рассмотрим ряд из абсолютных величин .

Поскольку , то .

Ряд сходится как обобщенный гармонический ряд степени р = 2 >1, следовательно и меньший ряд также сходится.

Исходный ряд сходится абсолютно.

б) Для степенного ряда вида интервалом сходимости будет интервал (x0 - R; x0 + R), где - радиус сходимости степенного ряда.

Для нашего ряда получим: x0 = 2 и общий член .

Тогда:

Получили интервал сходимости (2 - 2; 2 + 2) или (0; 4).

Рассмотрим концы интервала.

х = 4: - расходящийся гармонический ряд.

х = 0: - условно сходящийся ряд Лейбница.

Ответ: а) сходится абсолютно; б) [0; 4).

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.

    контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010

  • Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.

    контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015

  • Проверка совместности системы уравнений, ее решение матричным методом. Координаты вектора в четырехмерном пространстве. Решение линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника. Определение пределов, производных; исследование функции.

    контрольная работа [567,1 K], добавлен 21.05.2013

  • Решение системы уравнений методом Гаусса и с помощью встроенной функции; матричным методом и с помощью вычислительного блока Given/Find. Нахождение производных. Исследование функции и построение её графика. Критические точки и интервалы монотонности.

    контрольная работа [325,8 K], добавлен 16.12.2013

  • Определение длины стороны треугольника, нахождение координаты вектора в заданном трехмерном базисе, решение системы уравнений с помощью обратной матрицы, вычисление предельных значений, исследование функции методами дифференциального исчисления.

    контрольная работа [1,1 M], добавлен 04.05.2010

  • Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.

    задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012

  • Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

    контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010

  • Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции.

    контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014

  • Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.

    контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009

  • Нахождение уравнения гиперболы при заданном значении вещественной полуоси. Вычисление предела функции и ее производных. Составление уравнения нормали к кривой. Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса и при помощи формулы Крамера.

    контрольная работа [871,9 K], добавлен 12.10.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.