Высшая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

1. Найти уравнение гиперболы, если вещественная полуось равна 5, и вершины делят расстояния между центром и фокусами пополам.

Будем считать, что центр гиперболы совпадает с началом координат, а фокусы лежат на оси Ох; тогда ее уравнение имеет канонический вид: , где a - вещественная полуось, а b - мнимая полуось. По условию, , т.е. . Из последнего уравнения нетрудно найти мнимую полуось:

Искомое уравнение гиперболы:

, т.е.

2. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.

Квадратичную форму, стоящую в левой части данного уравнения, приводим к главным осям. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные числа и собственные векторы.

.

Так как собственные числа имеют разные знаки, то данное уравнение определяет гиперболу. Найдем собственные векторы матрицы А.

Пусть собственному числу соответствует собственный вектор

Тогда

Если то

Нормируя вектор получаем единичный собственный вектор По свойству собственных векторов симметрического линейного оператора, второй собственный вектор ортогонален вектору Выберем вектор таким образом, чтобы базис был правым. От старого базиса перейдем к новому базису .

Матрица перехода имеет вид

Старые координаты связаны с новыми соотношениями

т.е.

В новом базисе матрица данной квадратичной формы имеет вид:

В новой системе координат уравнение данной кривой имеет следующий вид:



или

или .

Преобразуем последнее уравнение следующим образом:

.

Ясно, что вещественная полуось гиперболы , а мнимая полуось . Произведем преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало по формулам

В системе координат гипербола имеет уравнение . Ось направлена по прямой , т.е. , а ось направлена по прямой , т.е. . Координаты точки , являющейся центром симметрии гиперболы, находим, решая систему уравнений

Получаем: , т.е. .

Асимптотами гиперболы являются прямые

Построим гиперболу.



Вычислить предел числовой последовательности.

3. Вычислить предел функции

4. Вычислить предел функции.

(Были использованы соотношения эквивалентности ~ , ~ t, ~ t при ).

5. Вычислить предел функции.

.

6. Вычислить предел функции.

7. Исходя из определения производной, найти .

.

(Мы воспользовались тем, что произведение бесконечно малой величины на ограниченную есть величина бесконечно малая ).

8. Составить уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой

Последний результат означает, что касательная, проведенная к данной кривой в точке с абсциссой , горизонтальна. Следовательно, нормаль, проведенная к данной кривой в этой точке, вертикальна; отсюда - ее уравнение: .

9. Найти производную.

.

10. Найти производную.

.

.

11. Найти производную.

12. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .

, .

,

.

Теперь можно составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке, соответствующей значению параметра , по общему правилу. Уравнение касательной:

, или .

Уравнение нормали:

, или .

13. Найти производную n- го порядка функции

.

Нетрудно заметить, что . Докажем это методом математической индукции.

Пусть это уже доказано при , т.е. . Тогда

.

Таким образом, доказываемое равенство оказалось верным и при , значит, оно верно при любом натуральном .

14. Найти производную второго порядка от функции:

.

15. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Функция определена и непрерывна во всех точках числовой оси, кроме . В точке функция имеет бесконечный разрыв с обеих сторон. Прямая является двусторонней вертикальной асимптотой графика. Функция не является ни четной, ни нечетной.

отсюда уже следует, что прямая является асимптотой графика при

при - в этом промежутке функция возрастает;

при и при - в этих промежутках функция убывает;

при ( точка минимума );

при и при - в этих промежутках график обращен выпуклостью вниз;

при - в этом промежутке график обращен выпуклостью вверх.

при - точка перегиба графика;

Построим график функции.

16. Исследовать функцию и построить ее график.



Функция определена и непрерывна во всех точках числовой оси, кроме . В точке функция имеет бесконечный разрыв с обеих сторон. Прямая является вертикальной асимптотой графика. Функция не является ни четной, ни нечетной.

Из этих соотношений следует, что при график не имеет асимптоты, а при график имеет асимптоту

при - в этом промежутке функция возрастает;

при и при - в этих промежутках функция убывает;

при ( точка минимума );

при - в этом промежутке график обращен выпуклостью вниз;

при - в этом промежутке график обращен выпуклостью вверх;

Построим график функции.

17. Дана система линейных уравнений. Требуется: 1) найти ее решение, используя правило Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы; 3) решить систему методом Гаусса.

Решим данную систему по правилу Крамера.

Запишем теперь систему в матричной форме и решим ее с помощью обратной матрицы.

где алгебраическое дополнение элемента матрицы А

т.е.

Решим систему методом Гаусса.

18. Найти общее решение системы линейных алгебраических уравнений и ранг матрицы коэффициентов.

Произведем эквивалентные преобразования расширенной матрицы системы:

.

На 1-м этапе к 1-й и ко 2-й строке была прибавлена 5-я строка, умноженная на (), к 3-й строке была прибавлена 5-я строка, умноженная на (), а к 4-й строке была прибавлена 5-я строка, умноженная на (). На 2-м этапе ко 2-й строке была прибавлена 4-я строка, умноженная на (), а к 3-й строке была прибавлена 4-я строка, умноженная на().

Ранг последней расширенной матрицы равен рангу соответствующей основной матрицы и равен 3, так как обе они содержат минор 3-го порядка, не равный нулю:

а все миноры 4-го порядка равны нулю, поскольку содержат нулевую строку. Следовательно, данная система совместна и имеет бесконечное множество решений, причем два неизвестных являются свободными.

Система, соответствующая последней матрице, имеет вид:

Считая и свободными неизвестными, выразим через них остальные неизвестные, т.е. найдем общее решение системы:

Общее решение можно записать в виде:

 где - произвольные постоянные.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

1. Вычислить интеграл.

Интегрирование по частям:

2. Вычислить интеграл

Выделим рациональную часть данного интеграла, пользуясь формулой Остроградского.

.

;

.

Решим полученную систему уравнений методом Гаусса.

.

Таким образом,

Для вычисления последнего интеграла представим подынтегральную дробь в виде суммы простых дробей методом неопределенных коэффициентов.

.

Решим эту систему уравнений методом Гаусса.

Итак,

.

3. Вычислить интеграл

Представим подынтегральную дробь в виде суммы простых дробей методом неопределенных коэффициентов.

Решим полученную систему уравнений методом Гаусса.

.

Таким образом,

.

4. Вычислить интеграл



Выделим рациональную часть данного интеграла, пользуясь формулой Остроградского.

.

.

.

Решим полученную систему уравнений методом Гаусса.

.

Таким образом,

.

5. Вычислить интеграл

.

.

Подстановка:

6. Вычислить интеграл



Подынтегральное выражение имеет вид т.е. является биномиальным дифференциалом. Здесь

- целое число, т.е. это третий случай интегрируемости. Выполняем подстановку:

Тогда

7. Вычислить интеграл

.

8. Вычислить интеграл

.

Подстановка:

.

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и

Сделаем чертеж.

Как видно из чертежа, площадь данной фигуры является разностью площадей криволинейных трапеций, поэтому ее можно найти с помощью интеграла:

( кв. ед.).

10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями:

Первая линия - эллипс с полуосями и , оси которого совпадают с осями координат. Вторая линия - горизонтальная прямая; следовательно, фигура, ограниченная данными линиями, является эллиптическим сегментом. Значения параметра, соответствующие точкам пересечения данных линий, найдем из уравнения . Отсюда ; . Найдем абсциссы точек пересечения:

.

Очевидно, что при ; при этом

(кв. ед.).

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

Найдем полярные углы точек пересечения данных линий.

.

Данная фигура состоит из трех одинаковых частей ( лепестков ), соответствующих следующим промежуткам изменения ц:

Площадь данной фигуры выражается формулой:

(кв. ед.).

12. Вычислить длину дуги кривой

Искомая длина дуги выражается интегралом

13. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Данное тело ограничено снизу плоскостью сверху и с одного бока - плоскостью а с других боков - поверхностью эллиптического цилиндра . Проекцией тела на плоскость Oxy является фигура . Фигуру D можно также определить неравенствами

.

Сделаем чертеж.

Объем тела выражается интегралом:

(куб. ед. ).

14.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Данное дифференциальное уравнение можно записать в виде или и решать его как однородное. Произведем замену где u - некоторая функция от аргумента х. Тогда Дифференциальное уравнение принимает вид: Разделяем переменные и интегрируем.

Мы получили общее решение данного дифференциального уравнения.

15. Найти решение задачи Коши:

Найдем сначала общее решение данного дифференциального уравнения. Это линейное уравнение. Произведем замену: где Тогда Дифференциальное уравнение принимает вид:

 или .

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль.

При таком выборе функции имеем:

- общее решение.

Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.

- искомое частное решение (решение задачи Коши ).

16. Найти решение задачи Коши:

Найдем сначала общее решение данного дифференциального уравнения. Это уравнение

Бернулли. Произведем замену: где Тогда

Дифференциальное уравнение принимает вид:

или

или

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль.

При таком выборе функции имеем:

- общее решение.

Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.

- искомое частное решение ( решение задачи Коши ).

17. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как

Найдем общий интеграл этого уравнения с помощью криволинейного интеграла, взятого по ломаной АВC, где

- общий интеграл.

18. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Данное дифференциальное уравнение - линейное неоднородное. Как известно, его общее решение можно записать в виде: y = , где - какое-либо частное решение, а Y - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Легко заметить, что характеристическое уравнение имеет корень .

Понизим при помощи этого корня степень уравнения и найдем два остальных корня.

; .

Следовательно

Частное решение будем искать в виде:

Тогда

Подставим эти выражения в данное дифференциальное уравнение:

.

Отсюда

Таким образом, общее решение имеет вид: .

19. Найти общее решение дифференциального уравнения

В обозначениях предыдущей задачи: y =

Характеристическое уравнение k² + 16 = 0 имеет корни: следовательно,

Частное решение будем искать в виде: Тогда

Подставим эти выражения в данное дифференциальное уравнение:



.

Таким образом, общее решение имеет вид:

.

20. Найти сумму ряда

Представим общий член ряда в виде суммы простых дробей методом неопределенных коэффициентов.

.

21. Исследовать на сходимость ряд

т.е. члены данного ряда меньше соответствующих членов обобщенного гармонического ряда с показателем который, как известно, сходится. По признаку сравнения и данный ряд сходится.

22. Исследовать на сходимость ряд

Докажем расходимость ряда , применяя интегральный признак Коши.

По признаку сравнения данный ряд тем более расходится.

23. Найти область сходимости функционального ряда



Применим признак Даламбера.

Данный ряд сходится, если ( т.е. при ) и расходится, если .

При ряд принимает вид:

.

Этот ряд знакочередующийся; его общий член, монотонно убывая по абсолютной величине, стремится к нулю; по признаку Лейбница ряд сходится. При ряд принимает вид:

Этот ряд расходится вместе с гармоническим рядом, так как

.

Итак, областью сходимости данного ряда является полуоткрытый промежуток .

24. Найти область сходимости функционального ряда

Применим признак Даламбера.

Данный ряд сходится, если ( т.е. при ) и расходится, если .

При ряд принимает вид: Этот ряд сходится по признаку Лейбница. При получаем ряд который расходится вместе с гармоническим рядом.

Итак, областью сходимости данного ряда является полуоткрытый промежуток .

25. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке . При каких n абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0,1

Рассмотрим остаток ряда после m-го члена: . Этот ряд знакочередующийся; на отрезке его общий член, монотонно убывая по абсолютной величине, стремится к нулю; по признаку Лейбница ряд сходится. Известно также, что абсолютная величина суммы этого ряда не превосходит абсолютной величины первого члена ряда, т.е.

Зададимся произвольным . Решая неравенство , находим: . Следовательно при всех неравенство будет выполняться , это и означает равномерную сходимость данного функционального ряда на отрезке .

Абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0,1 при всех значениях n, удовлетворяющих неравенству , т.е. при .

26. Найти сумму ряда

.

Найдем сначала область сходимости данного ряда, примения признак Даламбера.



Данный ряд сходится, если ( т.е. при ) и расходится, если .

При получаем ряд , который сходится, так как его члены меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда Обозначим сумму ряда через Как известно, внутри промежутка сходимости степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать почленно. При имеем:

.

( Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии ).

Очевидно, что Следовательно

;

.

Мы нашли выражение для в предположении . Но, поскольку данный ряд сходится и при , то ( по теореме Абеля ) его сумма сохраняет непрерывность ( разумеется одностороннюю ) и в этих точках. Следовательно

.

27. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х.

.

(Была использована формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

28. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Последний ряд является знакочередующимся с монотонно убывающими по абсолютной величине членами, поэтому погрешность отбрасывания остатка имеет знак первого из oтброшенных членов и не превосходит его по абсолютной величине, т.е. не превосходит Следовательно с точностью до 0,001 данный интеграл равен 0,498.

29. Функция изображается ломаной линией, проходящей через точки Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Изобразить на одном графике данную функцию и ее частичные суммы ряда Фурье, содержащие гармоники первого, второго и третьего порядков.

Составим уравнения прямых АВ и АС по двум точкам.

Требуется разложить в ряд Фурье функцию

Как известно, это разложение имеет вид

 где

;

.

- искомое разложение.

Изобразим на графике данную функцию и ее частичные суммы ряда Фурье, содержащие гармоники первого, второго и третьего порядков, пользуясь программой Mathcad ( а как еще можно построить графики функций, у которых очень затруднительно найти точки экстремумов и точки перегибов ?! ).

гипербола функция гаусс крамер

Размещено на Allbest.ru