Различные подходы к определению тригонометрических функций

Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.

Свойство 1. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (-t) = - sin t

cos (-t) = cos t

Свойство 2. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (t+ 2 рk) = sin t

cos (t+ 2 рk) = cos t

Свойство 3. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (t+ р) = - sin t

cos (t+ р) = - cos t

2. Тангенс и котангенс.

Определение. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg t:

Говоря о tg t, подразумевают, что cos t ? 0, т.е. что t ? + рk , а говоря о ctg t, подразумевают, что sin t ?0, т.е. что t ? рk. Поэтому обычно определения tg t и ctg t записывают так:

Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в табл. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:

Четверть	1-я	2-я	3-я	4-я
tg t	+	-	+	-
ctg t	+	-	+	-

Зная значения синуса и косинуса числа t, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:

t	0
tg t	0				-
ctg t	-				0

Свойство 1. Для любого значения t справедливы равенства:

tg (-t) = - tg t

ctg (-t) = - ctg t

Свойство 2. Для любого значения t справедливы равенства:

tg (t+ р) = tg t tg (t+ рk) = tg t

ctg (t+ р) = ctg t, и как следствие: ctg (t+ рk) = ctg t

2.1.3 Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Формулы приведения.

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:

1) расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);

2) на окружности найти точку, соответствующую числу t;

3) найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть sin t.

Фактически речь идет о функции u = sin t, где t -- любое действительное число.

Точно так же можно считать, что в предыдущем параграфе получили некоторые представления еще о трех функциях: u = cos t, u = tg t, u = ctg t.

Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.

Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотношений мы уже получили:

sin ² t+cos ² t = 1

Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и ctg t:

Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.

Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были знакомы, правда, использовали их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс у г л а (а не

числа, как это было в предыдущих параграфах).

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла -- это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла -- это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны.

Возьмем угол с градусной мерой б^o и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 14

вершину угла совместим с центром

окружности (с началом системы координат),

а одну сторону угла совместим с

положительным лучом оси абсцисс. Точку

пересечения второй стороны угла с

окружностью обозначим буквой М. Ордина-

ту точки М естественно считать синусом угла

рис 14 б^o, а абсциссу этой точки -- косинусом угла б^o.

Для отыскания синуса или косинуса угла б^o совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения.

Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол б^o составляет от утла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:

Таким образом,

Например,

Считают, что 30° -- это градусная мера угла, а -- радианная мера того же угла: 30° = рад. Вообще:

В частности, рад, откуда, в свою очередь, получаем .

Так что же такое 1 радиан? Есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° -- это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан -- это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы , получаем, что 1 рад = 57,3°.

Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.

2.1.4 Функции у= sin x, y = cos x, их свойства и графики.

Периодичность.

В этом параграфе обсудим некоторые свойства функций у = sin x,y = cos х и построим их графики.

1. Функция у = sin х.

Ранее мы сформулировали правило, позволяющее каждому числу t поставить в соответствие число sin t, т.е. охарактеризовали функцию u = sin t. Отметим некоторые ее свойства.

Свойства функции u = sin t.

Свойство 1: Область определения -- множество R действительных чисел.

Это следует из того, что любому числу t соответствует на числовой окружности точка M(t), которая имеет вполне определенную ординату; эта ордината и есть sin t.

Свойство 2. u = sin t -- нечетная функция.

Это следует из того, что для любого t выполняется равенство sin (-t) = -sin t.

Значит, график функции u = sin t, как график любой нечетной функции, симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOu.

Свойство 3. Функция u = sin t возрастает на отрезке и убывает на отрезке .

Это следует из того, что при движении точки по первой четверти числовой окружности (от 0 до ) ордината постепенно увеличивается (от 0 до 1 - рис. 15), а при движении точки по второй четверти числовой окружности (от до ) ордината постепенно уменьшается (от 1 до 0 - рис. 16).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

рис 15 рис 16

Свойство 4. Функция u = sin t ограничена и снизу, и сверху.

Это следует из того, что для любого t справедливо неравенство -1? sin t ? 1.

Свойство 5. u_наим = -1 (этого значения функция достигает в любой точке вида

); u_наиб = 1 (этого значения функция достигает в любой точке вида

).

Воспользовавшись полученными свойствами, построим график интересующей нас функции. Но вместо u = sin t будем писать у = sin х. Значит, и строить график будем в привычной системе координат хОу.

Сначала построим график функции у = sin x на отрезке [0, р].

Составим таблицу значений функции у = sin x:

x	0								р
y=sin x	0				1				0

Построим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. (рис 17)

Это -- график функции у = sin x на

отрезке [0, р]. Добавив к построенной

линии симметричную ей относительно

начала координат, получим график

функции на отрезке [-р, р] А теперь

построим график функции у = sin x на

отрезке [р, Зр]. Обратите внимание: если

рис 17 х [-р, р], то (х + 2 р) [л, Зр]. Но

sin(x + 2р) = sin х (по свойству 2).

Это значит, что в точке х + 2р функция у = sin x принимает то же значение, что и в точке х.

Иными словами, на отрезке [р, Зр] график функции выглядит точно так же, как и на отрезке [-р, р] (рис. 18).



И на отрезках [Зр, 5р],

[5р, 7р], [-Зр, -р] и т.д. график

функции выглядит так же, как

на отрезке [-р, р].

Окончательный вид графика

рис 18 функции у = sin x

представлен на рис. 19.

рис 19

Линию, служащую графиком функции у = sin x, называют синусоидой. Ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 18, называют волной синусоиды, а ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 17, называют полуволной или аркой

синусоиды. Опираясь на построенный график, отметим еще несколько свойств функции у = sin x:

Свойство 6. у = sin х -- непрерывная функция.

Свойство 7. Область значений функции у = sin x -- отрезок [-1, 1].

Свойство 8. Функция у -- sin x выпукла вверх на отрезке [0, р], выпукла вниз на отрезке [р, 2р] и т.д.

2. Функция у = cos x.

Изучение функции у = cos x можно было бы провести примерно по той же схеме, которая была использована выше для функции у = sin х. Но мы выберем путь, быстрее приводящий к цели. Сначала докажем две формулы, важные сами по себе, но пока имеющие для наших целей лишь вспомогательное значение.

Для любого значения t справедливы равенства:

Построим график функции у = . Для этого перейдем

к вспомогательной системе координат с началом в точке (пунктирная прямая х = проведена на рис. 20). Привяжем функцию у = sin x к новой системе координат -- это и будет график функции у = (рис. 20), т.е. график функции у = cos х. Его, как и график функции у = sin x, называют синусоидой (что вполне естественно).

рис 20

Свойство 1. D(f) = (-?, + ?).

Свойство 2. у = cos х -- четная функция.

Свойство 3. Функция убывает на отрезке [0, р], возрастает на отрезке [р, 2р] и т.д.

Свойство 4. Функция ограничена и снизу и сверху.

Свойство 5. у_наим = -1 (этого значения функция достигает в любой точке вида ; у_наиб = 1 (этого значения функция достигает в любой точке вида

х = ).

Свойство 6. у = cos х -- непрерывная функция.

Свойство 7. Е(y) = [-1. 1].

Свойство 8. Функция выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз на отрезке и т.д.

Определение. Функцию у = f(х), хХ, называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого х из множества X выполняется двойное равенство:

f(x-T)=f(x)=f(x + T).

Число T, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции у = f(x). Отсюда следует, что, поскольку для любого х справедливы равенства:

sin (x-2р) = sin x = sin (х+2р),

cos (x-2р)= cos x= cos (x+2р),

то функции у = sin х, у=cos х являются периодическими и число 2р служит периодом и той, и другой функции. Периодичность функции -- это есть девятое свойство функций.

2.1.5 Построение графиков функции и ,

если известен график функции . График гармонического

колебания

В курсе алгебры 8--9-го классов учащиеся научились, зная график функции

y = f(x), строить графики функций y = f(x+a), y = f(x)+b,y = f(x+a)+b. Все эти графики получаются из графика функции y = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на |а | единиц масштаба вправо или влево вдоль оси х и на |b | единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси у. Теперь познакомимся еще с одним преобразованием, позволяющим, зная график функции y = f(x), довольно быстро строить график функции , где m -- любое действительное число (кроме нуля)

Задача 1. Зная график функции у = f(x), построить график функции

, где m-- положительное число. Ординаты точек графика функции , получаются умножением на m ординат соответствующих точек графика функции у = f(x). Такое преобразование графика называют обычно растяжением от оси х с коэффициентом m. Отметим, что при этом преобразовании остаются на месте точки пересечения графика функции у = f(x) с осью х, т.е. точки, удовлетворяющие уравнению f(x) = 0.

Если m < 1, то предпочитают говорить не о растяжении с коэффициентом т, а о сжатии к оси х с коэффициентом . Например, если m = , то говорят не о растяжении с коэффициентом , а о сжатии с коэффициентом 3.

На рис. 21 показаны графики функций у = sin x и у = 3 sin x, а на рис.22 -- графики функций у= cos х и у=0,5cosx.

рис 21

рис 22

Задача 2. Зная график функции у = f(x), построить график функции

, где m -- отрицательное число.

Так как в этом случае справедливо равенство , то

речь идет о построении графика функции ,. Это можно сделать в три шага:

1) построить график функции у = f(x);

2) осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом |m|;

3) растянутый (или сжатый) график подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси х.

На рис. 23 изображены графики функций y= cosx и y = - cosx.

рис 23

В этом параграфе мы познакомимся еще с одним преобразованием, позволяющим, зная график функции y = f(x), довольно быстро строить график функции , где k -- любое действительное число (кроме нуля).

Задача 3. Зная график функции у = f(х), построить график функции , где k -- положительное число. График функции получается из графика функции y = f(x) с помощью сжатия к оси у с коэффициентом k. Отметим, что при этом преобразовании остается на месте точка пересечения графика функции у = f(x) с осью у (если х =0, то и kx = 0).

Впрочем, если k < 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом k, а о растяжении от оси у с коэффициентом (если k =, то говорят не о сжатии с коэффициентом , а о растяжении с коэффициентом 3).

Задача 4. Зная график функции у = f{x), построить график функции , где k -- отрицательное число.

Так как в этом случае справедливо равенство , то речь идет о построении графика функции . Это можно сделать в три шага:

1) построить график функции у = f(x);

2) осуществить его сжатие (или растяжение) к оси у с коэффициентом |k|;

3) сжатый (или растянутый) график подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси y.

Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой s = A sin (щt + б). Эту формулу называют законом (или уравнением) гармонических колебаний. Если, например, материальную точку, висящую на пружине, вывести из

положения равновесия, то она начнет совершать вертикальные колебания, причем закон движения выражается указанной выше формулой, где t -- время, щ -- отклонение материальной точки от положения равновесия.

Пример. Построить график функции в системе координат sOt.

Решение. Имеем . Чтобы построить график такой функции, нужно над синусоидой s = sin t осуществить следующие преобразования:

1) сжать ее к оси ординат с коэффициентом 2;

2) растянуть от оси абсцисс с коэффициентом 3;

3) сжатую и растянутую полуволну сдвинуть вдоль оси абсцисс на влево. В результате получится главная полуволна искомого графика, с помощью которой без труда можно построить весь график.

На практике главную полуволну предпочитают строить по-другому.

Решим уравнение = 0 (это даст нам точки пересечения графика с осью абсцисс). Имеем:

Дадим параметру k два соседних значения 0 и 1. При k = 0 получаем

при k = 1 получаем . Точки А и В служат концами одной полуволны искомого графика. Серединой отрезка является точка - среднее арифметическое (полусумма) чисел. Найдем значение заданной функции в точке :

Точка С -- верхняя точка искомой полуволны. По трем точкам А, В и С строим сначала полуволну искомого графика, а затем и весь график (рис. 24).

В уравнении гармонических колебаний

s = A sin (щt + б) все величины А, щ, б имеют

определенный физический смысл: А (или -А,

если А <0) -- амплитуда колебаний

(максимальное отклонение от положения

равновесия); щ -- частота колебаний; б --

начальная фаза колебаний. Так, в рассмотренном

примере амплитуда равна

рис 24 трем (А = 3), частота колебаний равна двум

(щ=2), начальная фаза колебаний равна (б = ).

2.1.6 Функции и , их свойства и графики

Отметим свойства функции у = tg x, причем в первую очередь те, которые помогут составить представление о графике функции (большинство из этих свойств фактически известно нам). Когда такое представление сложится, начнем строить график, как обычно, по точкам.

Свойство 1. Область определения функции у = tg x -- множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида .

Это свойство означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой х = , нет точки, принадлежащей прямой х= , нет точки, принадлежащей прямой х= , нет точки, принадлежащей прямой х = - , и т.д. Эти прямые проведены пунктиром на рис. 26.

Первое представление о графике получено: он состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х = - - и х = , в полосе между х = и х =и т.д.).

Свойство 2. у = tg х-- периодическая функция с основным периодам р.

Это следует из двойного равенства

f(x-р)=f(x)=f(x + р).

полученного в § 2.1.2. Значит, если мы построим ветвь графика в полосе от х = - - до х = , то затем нужно будет сдвинуть построенную ветвь по оси х вправо и влево на р, 2р, Зр и т.д. Тем самым получено второе представление о графике.

Свойство 3. у = tg х-- нечетная функция.

Это следует из доказанного соотношения tg (-х) = -tg x.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Значит, нам можно действовать так: построить по точкам часть графика на промежутке от 0 до , а затем воспользоваться указанной симметрией. Приступим к построению графика на полуинтервале . Выберем контрольные точки:

t	0
tg t	0				-

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую. Добавим линию, симметричную построенной кривой относительно начала координат.Воспользовавшись периодичностью, достроим график до конца.

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Ту ее часть, которая изображена на рис. 25, обычно называют главной ветвью тангенсоиды.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

рис 25 рис 26

Отметим еще несколько свойств функции у = tg x.

Свойство 4. Функция возрастает на интервале. В более общем виде -- функция возрастает на любом интервале вида .

Свойство 5. Функция у = tg х не ограничена ни сверху, ни снизу.

Свойство 6. У функции y = tg х нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Свойство 7. Функция у = tg x непрерывна на интервале . В более общем виде -- функция непрерывна на любом интервале

При значениях x = функция претерпевает разрыв. Каждая прямая вида

x= служит вертикальной асимптотой графика функции.

Свойство 8. .

Имеет место тождество (формула приведения):

График функции y = ctg х (рис. 27), как и график функции у = tg x, называют тангенсоидой. Главной ветвью графика функции y = ctg x обычно называют ветвь, заключенную в полосе от х = 0 до х = р.

рис 27

• 2.2 Введение тригонометрических функций на уроках алгебры и
• начал анализа по учебнику М. И. Башмакова
• 2.2.1 Вводная беседа

Мы изучаем новый класс функций - тригонометрические функции. Они служат прежде всего для описания разнообразных процессов. С периодически повторяющимися ситуациями человек сталкивается повсюду. Его жизнь сопровождают различные астрономические явления - восход и заход Солнца, изменение фаз Луны, чередование времен года, положение звезд на небе, затмения и движения планет. Человек давно заметил, что все эти явления возобновляются периодически. Жизнь на Земле тесно связанна с ними, и поэтому неудивительно, что астрономические наблюдения явились источником многих математических открытий.

Открывая утром газету, мы часто читаем сообщение об очередном запуске искусственного спутника Земли. Обычно в сообщении указывают наименьшее и наибольшее расстояние спутника от поверхности Земли и период его обращения. Если сказано, что период обращения спутника составляет 92 мин, то мы понимаем, что его положение относительно Земли в какой-то момент времени и через каждые 92 мин с этого момента будет одинаковым. Так мы приходим к понятию периодической функции как функции, обладающей период, т.е. таким числом Т, что значение функции при значениях аргумента, отличающихся на Т, 2Т, 3Т и т.д., будут одинаковыми.

Астрономия, которая дает нам наиболее наглядное представление о периодических процессах, определяет положение объектов в небесной сфере с помощью углов. Можно сказать так: в качестве аргумента периодических функций очень часто выступает угол. Поэтому в нашей беседе мы обсудим вопрос об измерении углов.

Геометрический угол - это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки, вершины угла. Чтобы сравнивать углы, удобно закрепить их вершины в одной точке и вращать стороны.

В качестве единицы измерения геометрических углов принят градус - часть развернутого угла. Конкретные углы удобно измерять в градусах с помощью транспортира. Углы, получаюшиеся при непрерывном вращении, удобно измерять не в градусах, а с помощью таких чисел, которые отображали бы сам процесс построения угла, т.е. вращение. Поэтому удобно связать измерения углов со временем.

Развернутый угол измеряется половиной дуги единичной окружности. Это число обозначается буквой р. р = 3,14159265358…

Угол величиной р - самостоятельная единица измерения углов. Прямой угол равен . Угол в равностороннем треугольнике равен и т.д. Угол, мера которого равна числу 1, называют радианом. Он соответствует некоторому углу, чуть меньше, чем , ведь

Так как прямой угол равен , то , откуда

1 радиан можно выразить через градусы:

Представим маленький шарик, который равномерно вращается по единичной окружности в положительном направлении (против часовой стрелки).В момент времени t = 0 шарик находился в т.А, за время t = 1 он прошел расстояние, равное 1. За время, равное р, он прошел половину окружности, а за время 2р - всю окружность.

Пусть t = . Отложим по окружности от точки А = Р₀

в положительном направлении путь длинной . Так

как длина всей окружности равна 2р, то точка

является серединой дуги АВ (рис.28)

рис 28 Таким образом, для каждого значения t можно

построить точку P_i.На языке механики аргумент t - это время, на языке геометрии t - это угол.

2.2.2 Определения и простейшие свойства тригонометрических

функций

Тригонометрические функции определяются с помощью координат вращающейся точки. Рассмотрим на координатной плоскости ху единичную окружность. Точка Р₀ имеет координаты (1;0), она начальная.

Определение. Синусом числа t называется ордината точки P_i, косинусом числа t называется абсцисса точки P_i, где P_i получается поворотом начальной точки единичной окружности на угол t.

Если обозначить координаты точки P_i через х и у, то мы получим x = cos t,

y = sin t или можно записать что точка P_i имеет координаты (cos t, sin t).

Так как точка P_i лежит на окружности, то ее координаты связаны соотношением:

х² + у² =1, тогда cos t и sin t будут связанны следующими соотношениями:

sin ² t + cos ² t = 1,

которое называют основным тригонометрическим тождеством.

Определение. Тангенсом числа t называется отношение синуса числа t к его косинусу, т.е. по определению

Котангенсом числа t называется отношение косинуса числа t к его синусу, т.е. по определению

Тангенс числа t определен для тех значений t, для которых cos t ? 0. Котангенс числа t определен для тех значений t, для которых sin t ? 0.

Тригонометрические функции являются периодическими.

Теорема. Число 2р является периодом синуса и косинуса.

Для доказательства необходимо показать верность равенств:

Это доказывается с помощью координат вращающейся точки. Точки Р_t и P_t+р совпадают, то совпадают и их координаты ч.т.д.

Знаки тригонометрических функций определяются в зависимости от того, в какой четверти лежит рассматриваемый угол.

Синус числа t есть ордината точки P_i, поэтому синус положителен в первой и второй четвертях и отрицателен в третьей и четвертой четвертях.

Косинус числа t как абсцисса точки P_i положителен в первой и четвертой четвертях и отрицателен во второй и третьей.

Тангенс и котангенс являются отношением координат. Поэтому они положительны тогда, когда эти координаты имеют одинаковые знаки (первая и третья четверти), и орицательны, когда разные (вторая и четвертая четверти) (рис 29).

рис 29

Теорема. Синус - нечетная функция, т.е. при всех t выполнено равенство

sin (-t) = - sin t. Косинус - четная функция, т.е. при всех t выполнено равенство

cos (-t) = cos t.

Доказательство. Для всякого значения t точки Р_t и Р_{- t} симметричны друг другу относительно оси абсциссы (т.е. cos t = cos (-t)), а ординаты противоположны (т.е.

sin t = - sin (-t)), ч.т.д.



С л е д с т в и е: Тангенс и котангенс - нечетные функции.

Действительно, . Аналогично доказывается нечетность котангенса.

Значения тригонометрических функций острых углов можно вычислить по таблицам с помощью прямоугольного треугольника. Их вычисление для любого значения аргумента можно привести к вычислению значений для аргумента t. Соответствующие формулы - формулы приведения.

Из этих основных формул можно вывести и другие формулы приведения:

Доказательство:

Аналогично выводятся формулы:

Мнемоническое правило для запоминания формул приведения следующее:

1) Название функции не меняется, если к аргументу левой части добавляется

-р или + р, и меняется, если добавляется

2) Знак правой части определяется знаком левой, считая, что t

Вычислять значения тригонометрических функций можно пользуясь следующими соображениями:

1) С помощью формул приведения вычисление значения тригонометрической функции любого числа можно свести к вычислению функции угла, лежащего в первой четверти.

2) Достаточно знать значение лишь одной из тригонометрических функций. С помощью основных тождеств и зная четверть, в которой лежит значение аргумента, легко найти значения остальных функций.

3) Полезно помнить значения тригонометрических функций для углов:

Для решения простых, но важных уравнений достаточно вспомнить определение тригонометрической функции.

Например: 1. sin t = 0.Вращающаяся точка Р_t имеет нулевую ординату в момент времени t = 0, р, 2р,…, а так же t = -р, -2р,… .В общем виде множество этих значений можно записать в виде t = рk, k. Таким образом, решением уравнения sin t = 0 будут числа t = рk, k.

2. sin t = 1, t = рk, k.

3. sin t = -1, t = рk, k.

4. cos t = 0, t = рk, k.

5. cos t = 1, t = рk, k.

6. cos t = -1, t = рk, k.

Все рассмотренные уравнения имеют бесчисленное множество решений. Эти решения записываются в виде бесконечных серий с помощью переменной (в наших примерах k), которая может принимать любые целые значения.

2.2.3 Исследование тригонометрических функций.

Рассмотрим функции у = sin x и y = cos x.

1) Область определения. Синус и косинус числа х задаются как координаты точки Р_х, получившейся из точки Р₀(1;0) поворотом на угол х. Так как поворот возможен на любой угол, то область определения синуса и косинуса является множество R.

2) Промежутки монотонности. При х = 0 точка занимает положение Р₀(1;0). Пока она движется по окружности, оставаясь в первой четверти, ее абсцисса уменьшается, а ордината увеличивается. При х = точка займет положение

(0;1). Итак, в первой четверти синус (ордината) возрастает от 0 до 1, а косинус (ордината) убывает от 1 до 0.

Когда точка переходит во вторую четверть, ордината начинает убывать от 1 до 0. Абсцисса становится отрицательной и растет по абсолютной величине, значит, косинус продолжает убывать от 0 до -1.

В третьей четверти синус становится отрицательной и убывает от 0 до -1, а косинус начинает возрастать от -1 до 0.

Наконец, в четвертой четверти синус возрастает от -1 до 0 и косинус возрастает от 0 до 1.

3) Точки экстремума. Координаты вращающейся точки меняются между -1 и +1. Эти числа являются наименьшими и наибольшими значениями синуса и косинуса. Если требуется указать абсциссы точек экстремума, то надо решить уравнения



sin x = ± 1, cos x = ± 1.

4) Промежутки постоянного знака и корни функции. Эти вопросы были рассмотрены в предыдещем параграфе.

5) Множество значений. Синус и косинус принимают любые значения от - 1 до +1, так как являются координатами точки, движущейся по единичной окружности.

Для приближенного построения графика синусоиды можно поступить

так:

перенести на числовые прямые все

ключевые точки и их значения для функции

у = sin x, (рис 30) получим точки на

координатной плоскости, принадлежащие

синусоиде, которые плавной линией

соединим. Так мы получим график синуса

рис 30 на промежутке . Так как

,

то график синуса должен быть симметричен относительно прямой Это позволяет построить график синуса на отрезке . Воспользовавшись нечетностью синуса, получим график синуса на отрезке [-р, 0] симметричным отражением построенной части синусоиды относительно начала координат. Так как отрезок [-р, р] имеет длину, равную периоду синуса, то график синуса на всей числовой оси можно получить параллельными переносами построенной кривой.

Вернемся к свойствам синуса и косинуса, и посмотрим, как они проявляются на графике.

1. Функция y = sin x имеет период 2р. На графике: если разобьем ось Ох на отрезки длиной 2р, то получим «одинаковые» части, получающиеся друг из друга параллельным переносом вдоль оси Ох.

2. Функция y = sin x нечетна. На графике: синусоида симметрична относительно начала координат.

3. Функция y = sin x обращается в нуль при х = рk, k. На графике: точки пересечения с осью абсцисс.

4. Функция y = sin x положительна при 2рk < x < (2k+1)р и отрицательна при

(2k+1)р < x < (2k+2)р , k. Указанные промежутки соответствуют первой-второй (sin x> 0) четвертям или третьей-четвертой (sin x< 0) четвертям.

5. Функция y = sin x возрастает при рk ? х ? рk, и убывает при рk ? х ? рk, k.

6. Множеством значений функции y = sin x является отрезок [-1, 1].

График косинуса можно построить так же, как и синуса. Или, воспользовавшись формулами приведения построить график косинуса как синусоида, сдвинутая на влево по оси Ох (рис 31).

Рис 31

По определению тангенс числа х задается как отношение sin x и cos x. Изучим свойства тангенса:

1. Область определения функции у = tg x -- множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида .

2. Тангенс -- периодическая функция с основным периодом р.

3. Тангенс -- нечетная функция, tg (-x) = tg x.

4. Функция у = tg x обращается в нуль одновременно с синусом, т.е. при

х =

5. Функция у = tg х положительна в первой и третьей четвертях и отрицательна во второй и четвертой.

6. Тангенс возрастает в первой четверти. Действительно, пусть 0 ? х₁ < x₂ < Тогда sin х₁ < sin x₂ (возрастание синуса) и cos х₁ > cos x₂ (убывание косинуса). Так как значения косинуса положительны, то Умножим это неравенство на неравенство с положительными членами: sin х₁ < sin x₂. Получим tg х₁ < tg x₂.

Тангенс возрастает так же и в четвертой четверти. Пусть < х₁ < x₂ ? 0. Тогда,

0 ? -х₁ Б -ч₂ Б 0 ? - х₁ < - x₂ < . Тогда, tg (-х₂) < tg (-x₁). Пользуясь свойством нечетности, получаем, - tg х₂ < - tg x₁. Поэтому tg х₁ < tg x₂.

На промежутке тангенс отрицателен и возрастает. На положителен и возрастает. В итоге: тангенс возрастает на промежутке .

7. Когда х возрастает от 0 до , тангенс возрастает, при этом когда х приближается к , синус близок к 1, а косинус - к 0. Поэтому отношение становится сколь угодно большим.

8. График тангенса. На промежутке график можно построить по точкам, учтя, что тангенс строго возрастает, в нуле обращается в нуль, а при приближении к становится сколь угодно большим. Отразив построенную часть относительно начала координат, получим график тангенса на промежутке . Для построения полного графика разобьем числовую ось на отрезки, перенося вправо и влево на р, 2р, 3 р и т.д.

График тангенса (рис 32) распадается на отдельные, не связанные между собой части. Это вызвано тем, что в точках , k тангенс не определен.

Свойства котангенса получаются так же, как и свойства тангенса.

1. Функция у = сtg x определена при , k

2. Функция у = сtg x периодична с периодом равным р.

3. Функция у = сtg x нечетна: сtg (-x) = сtg x.

4. Функция у = tg x обращается в нуль одновременно с косинусом, т.е. при х =, k.

5. Функция у = сtg х положительна в первой и третьей четвертях и отрицательна во второй и четвертой.

6. Функция у = сtg х убывает на промежутке (рk; р+рk).

7. Область значений - множество R.

8. График котангенса на рис. 33

Рис 32 рис 33



2.3 Определение тригонометрических функций как сумм степенных

рядов

Докажем сначала следующее простое предложение, которым сразу будет охвачен ряд важных случаев:

Если функция f(x) в промежутке [0, Н] или [-Н,0] (Н>0) имеет производные всех порядков, и все эти производные при изменении х в указанном промежутке оказываются по абсолютной величине ограниченными одним и тем же числом:

(1)

(где L не зависит от n), то во всем промежутке имеет место разложение

В самом деле, взяв дополнительный член r_n(х) в форме Лагранжа

(2)

имеем, в силу (1)

(3)

При безграничном возрастании n выражение стремится к 0, как видно из сходимости ряда:

(это справедливо в силу сходимости ряда, являющегося разложением числа e, т.е.

Но в таком случае и г_n(х) имеет пределом 0, что и доказывает наше утверждение.

Это предложение приложимо к тригонометрическим функциям sin х и cos х в промежутке [-1,1 ], ибо производные их, соответственно равные sin (х +), cos (х +), будут в нем по абсолютной величине ограничены единицей.

Все они имеют разложение при любом значении х.

Коэффициенты Тейлора для этих функций будут вычисляться

следующим образом. Если f(x) = sin х, то

f^(k) (х) = sin (х + ), так что

f (0) = 0, f^(2m) (0) = sin mр = 0,

f^(2m-1) (0) = sin (mр - )= (-1)^m-1 , (m=1, 2, 3…)

Аналогично, при f(x) = cos x:

f^(k) (х) = cos (х + ), f (0) = 1, f^(2m) (0) = (-1)^m,

f^(2m-1) (0) = 0 , (m=1, 2, 3…)

Таким образом (если взять n = 2m+l)

Таким образом функции sin x и cos x можно определить как суммы соответствующих рядов Тейлора.

Пусть теперь f(x) = arctg х. Значения всех последовательных производных при х=0 будут находиться из равенства:

, т.е. f'(=1.

Возведя обе части в n-степень, получим

fⁿ⁺¹ (0) = -n(n-1) f^n-1.

, f''(=0. Ясно, что всегда f ^(2m) (0) = 0.



Что касается производных нечетного порядка, то для них из (4):

f^(2m+1) = - (2m-1)·2m· f^(2m-1)

f '(0) = 1, f^(2m+1) (0) = (-1)^m (2m)!

Так что разложение функции f(x) = arctg x представится в виде:

Для функции f(x) = tg x закон образования коэффициентов в формуле Тейлора сложен. Тем не менее, несколько первых членов ее написать нетрудно. Так как, например,

то f(0)= 0 , = 1, = 0, , .

Так что

2.4 Аксиоматическое определение тригонометрических функций

В настоящем параграфе будет дано аксиоматическое определение тригонометрических функций, как функций, обладающих некоторыми, точно описанными характеристическими свойствами, на основании которых могут быть установлены все прочие свойства этих функций.

Аналитическим косинусом С(х) и аналитическим синусом S(x) называются функции:

I. Определенные для всех действительных значений х;

II. Удовлетворяющие функциональному уравнению:

С (х-у) = С(х) С (у) +S(x) S(y)

(иными словами, равенство (С_х-у) выполняется тождественно при всех значениях х и у);

III. Положительные в интервале 0<х<л, где л - некоторое положительное число:

С(х) > 0 и S(x)> 0 при 0<х< л;

IV. В граничных точках интервала (0, л.) имеет место следующее равенство:

V.

С(0) = S(л) = 1.

Сформулированное определение не дает ответа на вопрос, существует ли хотя бы одна система функций С(х) и S(x), удовлетворяющая всем условиям; чтобы убедиться в существовании функций С(х) и S(x), достаточно построить хотя бы один конкретный пример такой системы функций. Осуществить требуемое построение

можно различными способами. В самом деле, при л = всем перечисленным условиям удовлетворяют функции cos х и sin х. При произвольном данном л >0, условиям I - IV удовлетворяют функции

Не касаясь вопроса о существовании функций С(х) и S(x), установим свойства этих функций, вытекающие из основных условий I - IV, т.е. будут установлены свойства функций С(х) и S(x) в предположении, что они существуют.

1. Имеют место следующие равенства граничных значений,

S(0) = С(л) = 0.

Доказательство: положив в основном тождестве II: х = у = 0, получим

С(0) = С²(0) + S²(0), откуда в силу IV, 1= 1 + S²(0) = 0 и S(0) = 0.

Положив в II: х = у = л., получим

С(0) = С²(л) + S²(л), откуда 1= 1 + С²(л) и С(л) = 0.

2. Имеет место тождество:

C²(x) + S²(x) = l.

Доказательство: достаточно положить в основном тождестве II: х = у, и принять во внимание условие IV. Следствие: Функции С(х) и S(x) ограничены.

| S(x) | ? 1, | С(х) | ? 1

3. Имеет место следующие тождества, выражающие функции С(х) и S(x) одна через другую:

С(л -х) = S(x), S(л -х) = С(х).

Доказательство: заменив в основном соотношении II х на л, а у на х, получим:

С(л -х) = С(л) С(х) + S(л) S(x) = S(x).

Заменив в полученном равенстве х на л -у, получим

С(у) = S(л -y)

4. Для функции S(x) имеет место формула сложения:

5.

S(x+y) = S(x) С (у) + S(y) С(х).

Доказательство: воспользовавшись доказанным свойством 3, получим:

S(x+y) = С [л - (х+у)] = С [(л - х) - у)]=

= С (л - х) С (у) + S(л - х) S(y) = S(x) С (у) + S(y) С(х).

6. Функция С(х) - четная, а функция S(x) - нечетная.

Доказательство: положив в основном соотношении II х = 0, получим:

С(-у) = С(0) С(у) + S(0) S(y) = С(у).

Положив в формуле S (х+у) у = -х, получим:

0 = S(x-x) = S(x) С(-х) + С(х) S(-x) = С(х) [S(x) + S(-x)] + 0.

Возможны два случая:

Случай а) С(х) ? 0, тогда S(x) + S(-x) = 0 или S(x) = - S(-x).

Случай b) С(х) = 0. Пусть у - произвольное число, взятое в интервале 0< у < л; приняв во внимание, что С(-х) = С(х) = 0, получим:

С(х+у) = С[х-(-у)] = С(х) С(-у) + S(x) S(-y) = S(x) S(-y) (1)

и C(y+x) = С [y+(-x>] = C(y) C(-x) + S(y) S(-x) = S(y) S(-x) (2)

Так как по условию III С(у) > 0, S(y) > 0, то в силу предыдущего,

S(y) = - S(-y). Приравняв выражения (1) и (2), получим:

S(x) S(-y) = S(y) S(-x) или -S(x) S(y) = S(y) S(-x).

Так как S(y)?0, то и случае b) имеем: S(x)= - S(-x). Функция S (х) - нечетная.

6. Имеют место теоремы сложения, выражающиеся следующими формулами:

С(х-у) = С(х) С(у) + S(x) S(y);

С(х+у) = С(х) С (у) - S(x) S(y);

S(x+y) = S(x) C(y) + S(y) C(x);

S(x-y) = S(x) C(y) - S(y) C(x).

В самом деле, первая формула имеет место по условию, третья доказана, вторая и четвертая вытекают из первой и третьей и из доказанных свойств четности и нечетности заменой у на -y.

7. Имеют место тождества:

S(2x) = 2 S(x) С(х); С(2х) = С² (х) - S² (х). (С)

Доказательство: формулы (А) преобразования произведения в суммы получаются из теорем сложения (пункт 6) путем надлежащего почленного сложения и вычитания соответствующих тождеств. Формулы (В) преобразования сумм в произведения получаются непосредственно из теорем сложения. Так, например:

Формулы (С) двойного аргумента получаются из формул С(х+у) и S(x+y) при х = у.

8. Имеют место формулы деления аргумента пополам:

Для доказательства достаточно воспользоваться тождествами:

(второе тождество получается из формулы (С) заменой х на ).



9. имеют место формулы приведения:

С(х+ л) = - S(x); S(x+ л) = С(х); [х + л]

С(х+ 2 л) = - С(х); S(x+ 2 л) = - S(x); [х + 2 л]

С(х+ З л) = S(x); S(x+ З л) = - С(х); [х + З л]

С(х+ 4 л) = С(х); S(x+ 4 л) = S(x); [х + 4 л]

Доказательство: вычислим значения функции С(х) и S(x) в точках л,2 л, З л, 4 л.

Имеем:

С(л) = О, S(л) = 1;

С(2 л) = С²(л) - S²(л) = -1, S(2 л) = О,

С(З л) = С(л) С(2 л) - S(л) S(2 л) = О,

S(3 л) = S(л) С(2 л) + С(л) S(2 л) = -1,

И, наконец:

С(4 л) = С²(2 л) - S²(2 л) = 1, S(4 л) = 2 S(2 л) С(2 л) = 0.

Для доказательства формул достаточно воспользоваться теоремами сложения. Так, например:

С(х+ л) = С(х) С(л) - S(x) S(л) = - S(x).

Следствие: функции С(х) и S(x) - периодические.

В самом деле, тождества [х + 4 л] показывают, что число 4 л является периодом для каждой из этих функций.



10. В интервале (0, 2 л) функция С(х) убывает, а в интервале (2 л, 4 л) возрастает.

Доказательство: имеем

Пусть 0 < < < 2 л; тогда 0 << л и 0 << 2 л.

Значение функции S(x) в точках и положительны (следствие пред. пункта), следовательно:

С(х₂) < C()

Т.е. С(х) убывает в интервале (0, 2 л).

Пусть 2 л ? < < 4 л; тогда 0 << л и 2 л << 4 л.

В этом случае < 0, а поэтому

C() < С(х₂),

Т.е. С(х) убывает в интервале (2 л, 4 л).

Тем же методом доказывается следующее утверждение:

В интервале (-л, л), функция S(x) возрастает, а в интервале (л, З л) убывает. В частности заметим, что в интервале (0, л) функция С(х) убывает, a S(x) возрастает.

11. Функции С(х) и S(х) непрерывны на интервале (-?; +?)

Докажем предварительно следующую лемму.

Лемма: Функция С(х) непрерывна в точке х = 0.

Доказательство: так как С(0) = 1, то для доказательства леммы надо установить, что:

Достаточно рассмотреть правый предел lim С(х), считая, что х > 0, так как если этот правый предел существует, то, в силу свойства четности функции С(х):

С(х) = С(-х),

существует и имеет то же численное значение также и левый предел С(х) в точке 0.

Так как в интервале (0, л) функция С(х) монотонна (убывает) и ограниченна, то правый предел функции С(х) существует.

А следовательно, существует предел (двусторонний) С(х) в точке х = 0; обозначим этот предел через 1:

Для вычисления 1 достаточно найти предел числовой последовательности значений функции С(х) по какой-либо частной последовательности {х_n} значений аргумента, сходящейся к нулю: lim х_n = 0. В качестве такой частной последовательности возьмем последовательность:

x₀= л, x₁= , x₂ = , … , x_n= , …

Применив последовательно формулу деления аргумента пополам, найдем:

С(х₀) = 0, C(x₁) = ,С(х₂)= , C(х₃) = ,

и вообще (применив метод полной индукции):

С(х_n) = (n радикалов).

Вычислим предел последовательности {s_n}, которая определяется рекуррентной формулой s_n = , и начальным значением s = :

s₁=, s₂=,..., s_n=,...

эта последовательность возрастает. Покажем, что последовательность {s_n} ограничена. Имеем:

s₁< 2, s₂= <2,

применим метод полной индукции. Допустим, что < 2, тогда получим также:

s_n= <2.

Так как последовательность {s_n} возрастает и ограничена, то lim s_n = 2. Вычислим предел последовательности {С(х_n)} значений функции С(х). Имеем:

lim C(x_n) = lim =1.

Таким образом, имеем:

т.е. функция С(х) непрерывна в точке 0, ч.т.д.

Следствие: Функция S(x) непрерывна в точке х = 0.

В самом деле,

Значение функции S(x) в точке х = 0 также равно 0:

Теорема: Функции С(х) и S(x) непрерывны в каждой точке х. Доказательство: требуется доказать, что

Докажем первое равенство. Имеем:

C(x+h) = С(х) C(h) - S(x) S(h)

Второе равенство доказывается тем же методом, ч.т.д.

12. На сегменте [0, 2 л] функция С(х) убывает от 1 до -1; На сегменте [2 л, 4 л] возрастает от -1 до1.

Доказательство: во-первых, в данном интервале (0, 2 л) функция С(х) убывает (см. пункт 11).

во-вторых, С(0) = 1, С(2 л) = -1.

в-третьих, пусть k - произвольное число, взятое при условии -1< k <1; будучи непрерывной в интервале (0, 2л), функция С(х) имеет значение, равное k в некоторой точке ж (единственной в силу монотонности):

С(ж) = k,где 0< ж <2л, ч.т.д.

Аналогично доказываются следующие утверждения: На сегменте [2 л, 4 л] возрастает от -1 до 1;

На сегменте [-л, л] функция S(x) возрастает от -1 до 1; На сегменте

[л, З л] убывает от 1 до -1.

13. Число 4 л есть наименьший положительный период для функций С(х) и S(x).

Доказательство: как известно, число 4л есть период функций С(х) и S(x) (см. пункт 9, следствие). Если число 1 является периодом функции С(х), то: С(1) = С(0) = 1.

Значение, равное 1, функция С(х) имеет в точках: О, ±4 л, ±8 л,..., 4к л,... Из этих возможных значений для 1 наименьшим положительным числом является число 4 л.

Аналогично, для функции S(x): S (л +1) = S(л) = 1.

Последнее равенство справедливо при 1 = 4к л, из этих чисел наименьшее положительное есть число 4 л.

Мы изучили свойства косинуса и синуса, оставив в стороне две другие тригонометрические функции. Функция аналитический тангенс Т(х) определяется формулой

Изучение её свойств не представляет затруднений и может быть выполнено обычными способами на основании определения и известных свойств синуса и косинуса. Это же замечание относится и к котангенсу



2.5 Тригонометрические функции как решения линейного

дифференциального уравнения

Тригонометрические функции могут быть определены как частные решения некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка, при этом их свойства могут быть установлены на основании общих теорем теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим следующее линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

Согласно общим теоремам теории дифференциальных уравнений, существуют два частные решения Y₁(x) и Y₂(х) этого уравнения, удовлетворяющие следующим начальным условиям:

Y₁ (0) = 1, (0) = 0, Y₂ (0) = 0, (0) = 1.

Функции Y₁(x) и Y₂(х) линейно независимы, так как начальное значение вронскиана отлично от нуля.

А поэтому общее решение нашего уравнения может быть представлено в виде:

Y = C₁ Y₁ (x) + C₂Y₂(x).

Функции Y₁(x) и Y₂(х) непрерывны в интервале (-?, +?).