Различные подходы к определению тригонометрических функций

Следовательно, эти функции удовлетворяют первому характеристическому условию I, присущему аналитическому косинусу и синусу. Дифференциальное уравнение (3) может быть заменено системой линейных уравнений:

с постоянными коэффициентами. Существует единственное решение этой системы:

у = у(х), z = z(x), удовлетворяющее начальному условию:

у(0) = 0, z (0) = 1.

Функция у(х) (в силу способа составления системы (4)) удовлетворяет дифференциальному уравнению (3) и начальным условиям:

у(0) = 0, у' (0) = z (0) = 1.

Следовательно: у (х) = Y₂ (х).

Функция z(x) также удовлетворяет уравнению (3):

и начальным условиям:

z(0)=l,z'(0) = -y(0) = 0,

а потому:

z (x) = Y₁ (x). (5)

Итак, в силу системы (4) имеем:

(х) = Y₁ (х), (x) = -Y₂(x).

Умножив первое уравнение (4) на у, а второе на z и сложив, получим:

откуда:

у² (х) + z² (х) = const.

Положив у = Y₂ (х), z = Y₁ (х), получим:

(x) + (x) = const;

Но при х=0 значение левой части равно 1. Cледовательно имеет место

тождество:

(x) + (x) = l.(6)

Следствие. Функции Y₁ (х) и Y₂ (х) ограничены.

Пусть о - произвольное действительное число. Функция: у(х) = Y₁(х - о), (при данном о) удовлетворяет уравнению (3). В самом деле:

у" (х) = - Y" (х - о), а потому

у" (х) + у (х) = (x + о) + (х- о) = 0.

Следовательно, функция у(х) при некоторых значениях C₁ и С₂ содержится в общем решении (у):

(х - о) = C₁ Y₁ (х) + С₂ Y₂ (х). (7)



Продифференцировав:

(х - о) = - Y₂ (х - о) = - C₁ Y₂ (о) + С₂ Y₁ (о).

И положив х = о , получим:

C₁ Y₁ (о) + С₂ Y₂(о) = 1;

- C₁ Y₂ (о) + C₂ Y₁(о) = 0.

Откуда (приняв во внимание (6)) получим:

C₁ = Y₁(о), С₂ = Y₂ (о).

Равенство (7) примет следующий вид:

Y₁(х - о) = Y₁ (х) Y₁(о)+ Y₂ (х) Y₂ (о).

Последнее равенство есть тождество, так как х и о - произвольные действительные числа.

Следствие: для функций Y₁(x) и Y₂(x) удовлетворяется условие II, которым обладают аналитические синус и косинус.

Теорема: существуют положительные значения аргумента х, при которых функция Y₁(x) обращается в нуль.

Доказательство: предположим противное, что Y₁(x) ? 0 при произвольном значении х>0. Тогда Y₁(x) >0 в интервале (0, +?). В самом деле, если бы существовало значение x₁, при котором Y₁(x) <0, то (в силу непрерывности) в промежутке, ограниченном точками х = 0 и х = x₁ существовала бы точка о (по крайней мере одна), в которой Y₁(о) = 0 (ибо Y₁(x₁) < 0, a Y₁(0) = 1> 0), что противоречит предположению.

Так как (x) = Y₁(x) >0, то функция Y₂ (х) возрастает. Следовательно, Y₂(x) >0 при х >0, ибо Y₂ (0) = 0 и Y₂ (0) < Y₂ (х). Так как Y₂ (х) - возрастающая положительная и ограниченная в интервале (0, +?) функция, то существует конечный предел:

Из тождества = - Y₂(x) и неравенства Y₂(x) >0 следует, что <0, и значит Y₁(x) убывающая функция. Будучи убывающей и положительной (а потому ограниченной), функция Y₁(x) имеет конечный предел в бесконечности:

Рассмотрим разность:

Y₁(x +1) - Y₁(x);

Эта разность в бесконечности имеет предел, равный 0:

Но, с другой стороны, применив теорему Лагранжа:

(где х < < х+1), получим:

Следовательно, предположение, что функция Y₂(x) отлична нуля при всех положительных значениях аргумента, привело к противоречию, откуда следует справедливость теоремы. Ч.т.д.

Обозначим через л наименьший положительный корень функции Y₁(x) (наименьший положительный корень существует, так как множество точек, в которых непрерывная функция Y₁(x) обращается в нуль, замкнуто), тогда Y₁(л) = 0 и Y₁(x) >0 при 0 < х < л. В интервале (0, л) функция Y₂(x) возрастает (как имеющая положительную производную), а потому Y₂(x) >0. Это значение есть предел возрастающей положительной в интервале (0, л) функции:

Положив х = в тождестве (6), получим Y₂() =1. Итак, имеем:

Y₁(0) = Y₂() =1, и в интервале (0, ) функции Y₁(x) и Y₂(x) положительны.

Следовательно, эти функции удовлетворяют характеристическим условиям III - IV. Функции и Y₂(x), как удовлетворяющие условиям I - IV, суть аналитический косинус и аналитический синус:

Y1(x) = Cл(x) , Y2(x) = Sл(x)

Покажем, что л= . Рассмотрим параметрические уравнения окружности:

х = Cл(t) , у = Sл(t), где 0 < t < 4 л.

Вычислим длину дуги у с началом в точке А(1,0), соответствующей значению параметра t = 0, и с концом в точке М(х,у), соответствующей произвольному значению параметра t. Имеем:

Следовательно, Cл(t) и Sл(t) суть абсцисса и ордината конца дуги длины t единичной окружности, отложенной от точки А, а потому:

C_л(t) = cos t, Sл(t) = sin t.

При t = л имеем у = л = .

2.6 Определение тригонометрических функций при помощи

обращения интегралов

Мы начинаем с определения arctg x равенством

Это уравнение однозначно определяет значение у, соответствующего каждому действительному значению х. Так как подинтегральная функция -- четная, то у является нечетной функцией от х. Далее, так как у непрерывна и строго возрастает, то, существует обратная функция х = х (у), также непрерывная и строго возрастающая. Мы полагаем:

x = x(y) = tg y.

Если мы определим р уравнением:

то х (у) определена для <y<.

Теперь мы полагаем

где имеется в виду положительное значение корня. Таким образом,

cos у и sin у определены для <y<. Когда у > , х>?, и,

следовательно, cos у > 0 и sin у> -1. Мы определяем равенствами

Тогда cos у и sin у определены для <y?, a для <y<. Наконец, мы определяем tg у, cos у и sin у для значений у вне интервала (, ) с помощью уравнений:

которые последовательно распространяют наши определения на интервалы

(, ), (, ),,..., (, ), (, ),...

Функция tg у тогда определена для всех значений у, кроме (k + )п, где k -- целое число. Эти значения определением не охватываются; но tg у стремится к +? или к - ?, когда у стремится к одному из этих значений, соответственно, слева или справа. С другой стороны, cos у и sin у определены и непрерывны для всех значений у.

Мы начали с определения acrtg x и tg y и затем определили cos у и sin у через tg у. Мы могли бы выбрать arcsin х и sin.y в качестве наших основных функций. В этом случае мы должны были бы определить arcsin х в интервале (--1,1) равенством

где берется положительное значение корня; sin у -- как обратную функцию; р - с помощью равенства

a cos у и tg у -- соотношениями

Дальнейшее развитие теории зависит от формул сложения. Заметим, в первую очередь, что:

(1 + x²) (1 + у²) = (1 - xy)² + (x + y)²,

и, следовательно,

Это приводит к соотношению

arctg х + arctg у = arctg z.

Но так как эти функции многозначны, то необходимо более внимательное рассмотрение.

Положим

так что

Таким образом, t и u изменяются в одном направлении. Когда t возрастает от - до и возрастает от до ? , а когда t возрастает от до ? , и возрастает от - до . Кроме того, u = 0 когда t = x₁, и u = -x₁, когда t = 0.

Предположим теперь, что х₂ имеет такое значение, что интервал (-x₁, x₂) значений u не содержит точку u = , в которой t обращается в бесконечность. Если x₁> 0, то х₂ должно быть меньше , а если x₁< 0, то x₂ должно быть больше . В этих учловиях t монотонно возрастает или убывает от 0 до когда u возрастает или убывает от -x₁ до x₂. Так как

то мы имеем

Если мы теперь положим , то мы имеем

y = y₁ + y₂ и

что и является формулой сложения для тангенса.

Эта формула пока доказана только при некоторых ограничениях на значения переменных, а именно, в предположении, что x₂ < , если х₁ > 0 и x₂ > , если

х₁ < 0. Когда х₁ > 0 и x₂> слева, то х> +? и у> . Наши предположения сводятся, таким образом, к тому, что у₁, у₂ и у₁+у₂ должны лежать в интервале (, ).

Эти ограничения, однако, не нужны.

Ограничения на у₁+у₂ возникло из нашего предположения, что интервал не содержит . Допустим, что это условие нарушено, например, предположим для определенности, что х₁ > 0 и x₂ > . Тогда, при u возрастающем от - х₁ до x₂, t возрастает от 0 до ?, затем меняет знак и возрастает от -? до х. Таким образом, мы имеем:

Следовательно,

arctg х = arctg х₁ + arctg x₂ - р.

И, по (9)

Аналогично мы можем поступить в случае х₁ < 0. Следовательно, (10) имеет место, если только у₁ и у₂ лежат в интервале (, ).

Наконец, так как каждая часть уравнения (10) является, по (9), периодической функцией от y₁ или у₂, то (10) справедливо без всяких ограничений, за исключением того, что ни y₁, ни у ₂ ни y₁+y₂ не должно быть нечетным кратным , так как в этих случаях (10) теряет смысл.

Из соотношений (10) и (8) мы заключаем, что

Для определения знака положим у₂ = 0. Уравнение сводится к следующему: cos y₁ = ± cos y₁ так что при у₂ = 0 следует брать положительный знак. Так как обе части меняют знак, когда у₂ увеличивается на р, то формула имеет место с положительным знаком для всех у₂ кратных р. Далее, обе части уравнения являются непрерывными функциями от у₂, так что перемена знака может произойти только в том случае, когда обе части обращаются в нуль, т. е. при значениях …, y₁, y₁, y₁ ,…, каждое из которых является единственным в любом интервале длины р . Так как мы видели, что в каждом таком интервале существует значение у₂. Для которого знак положителен, то он должен быть всегда положительным. Следовательно,

и соответствующая формула для sin (y₁+y₂) доказывается аналогично.



2.7 Тригонометрические функции как решение системы

функциональных уравнений

Будем исходить из следующей системы функциональных уравнений:

Дополним эту систему соотношениями:

Предположим, что функции S(x) и С(х), удовлетворяющие соотношениям (11) - (12) cуществуют.

Теорема. Любое нетривиальное решение системы обладает следующими свойствами:

1) S(0) = 0, С(0) = 1.

2) |S(x)|? l, |С(х) | ? 1.

3) S(-x) = -S(x), С(-х) = С(х).

4) Справедливы формулы сложения: С(х+у) = С(х) С(у) - S(x) S(y) и

S (х+у) = S(x) С (у) + S(y) С(х),

Доказательство:

1) полагая х = у = 0 в соотношениях (11), будем иметь: S(0) = 0, С(0) = С²(0), откуда следует, что С(0) = 0 или С(0) = 1. Очевидно при С(0) = 0, S(x) = 0, С(х) = 0. поэтому будем рассматривать систему уравнений (11) при С(0) = 1 и S(0) = 0.

2) полагая х = у в равенстве (11), получим:

S²(x) + С²(х) = 1 (13)

Из соотношения (13) получаем:

|S(x)|? l, |С(х) | ? 1. (14)

Далее, полагая х = а в равенстве (13), получим: S²(a) + С²(а) = 1. но S(a) = 1. Следовательно,

С(а) = 0. (15)

3) полагая х = 0 в равенстве (11), получим: S(-y) = S(0) С(у) - С(0) S(y).

Отсюда следует, что

S(-y) = - S(y) (16)

Полагая х = 0 в равенстве (11), получим: С(-у) = С(0) С(у) + S(0) S(y), то есть

С(-у) = С (у) (17)

4) Теперь легко вывести формулы сложения для функции S(x) и С(х). Действительно, заменяя у через -у в соотношениях (11), используя четность и нечетность С(х) и S(x) (16) - (17) получим:

S(x + у) = S(x)C(y) + C(x)S(y) (18)

C(x + y) = C(x)C(y)-S(x)S(y) (19)

Что и требовалось доказать.

Из соотношений (18) и (19) вытекают также при у = а следующие формулы:



S(x+a) = С(х) (20)

С(х+а) = - S(x) (21)

Эти формулы вместе с (18) и (19) позволяют выразить значение функции S(x) и С(х) для любого действительного значения х через значения этих функций для значения х, принадлежащего интервалу (0, а), в частности, будем иметь:

S(2a+x) = С(х+а) = - S(x) (22)

С(2а+х) = - S(x+a) = - С(х) (23)

Как следствие, выводим следующие формулы:

Эти формулы вытекают из соотношений (11) или формул сложения. Из (19) и (24) приходим к формулам двойного аргумента для рассматриваемых, функций:

S(2x) = S(x)C(x) + C(x)S(x) = 2 S(x) C(x) (28)



Наконец, установим следующие формулы:

Теорема: функции С(х) и S(x) являются периодическими и число 4а - есть наименьший положительный период этих функций.

Доказательство: применяя доказанные выше формулы (22) - (23):

S(x+4a) = S[2a+(2a+x)] = - S(2a+x) = S(x)

Итак, при всяком х имеем: S(4a+x) = S(x). Т.е. Т=4а является периодом функции согласно определению. Докажем, что при всяком х имеет место равенство:

S(x+k) = S(x) (30)

Число к не может быть равно числу а, 2а, За. В самом деле, если k=2а, то S(2a+x) = S(x). Но S(2a+x) = - S(x). Отсюда: S(x) = - S(x). Или S(x) = 0. это противоречит условию (12). Если k=3а, то S(3a+x) = S(x), но из (20) - (21):

S(x+3a) = S[a+(2a+x)] = С(2а+х) = - С(-х) = - С(х)

Или

S(x) = - С(х)

Чего не может быть, так как в этом случае из (11) следует, что S(x) = 0. Если k=а, то S(x+a) = S(x). С другой стороны, S(x+a) = С(х) или S(x) = С(х), чего не может быть.

Положим х = 0 в равенстве (30). Тогда получим: S(k) = S(0).

Число к не может принадлежать интервалу (0, а), так как в противном случае мы пришли бы в противоречие с условием (12).

Число k не может принадлежать интервалу (а, 2а), так как в противном случае число 2а-к принадлежало бы интервалу (0, а) и мы имели бы, согласно (16) - (17) и (22) - (26):

S(2a-k) = ...=- S(-k) = S(k) = 0, что противоречит условию (12).

Число к не может принадлежать интервалу (2а, 4а), так как в противном случае число 4а-к принадлежало бы интервалу (0, 2а) и мы имели бы:

S(4a-k) = S[4a+(-k)] = S(-k) = - S(k) = 0

Что противоречит только что доказанному. Итак, число 4а является наименьшим положительным периодом для функции S(x).

Для функции С(х) доказывается аналогично. Поэтому число 4а - также является наименьшим положительным периодом для функции С(х). Ч.т.д.

Теорема: функция С(х) положительна в интервале (0,а).

Доказательство: если 0 < х < а, то 0 < а-х < а. Допустим, что С(х) < 0, тогда S(a-x) < 0, а это противоречит условию (12). Итак, С(х) > 0, если 0 < х < а. ч.т.д.

Теорема: функция S(x) возрастает, а функция С(х) убывает на сегменте [0, а].

Доказательство: пусть числа x₁ и х₂ принадлежат сегменту [0, а] и x₁>x₂. тогда будем иметь:



Следовательно,

Вместе с тем имеем (27):

Таким образом, S(x₁) - S(x₂) > 0, S(x₁) > S(x₂), т.е. S(x) возрастает. Далее, в силу (25):

Таким образом, C(x₁) - C(x₂) < 0, C(x₁) < C(x₂)., т.е. C(x) убывает. Ч.т.д. Теорема: при любом натуральном n имеют место равенства:

, (число радикалов равно n-1), (31)

, (число радикалов равно n-1). (32)

Доказательство: применим метод математической индукции.



Действительно:

Допустим, что равенство (31) справедливо при n=k. Имеем:

, (число радикалов равно k-1), Имеем делее:

Следовательно,

(число радикалов равно k)

Итак, равенство (31) справедливо и при n=k+l. Так как это равенство верно и при n=1, то, следовательно, оно верно при любом натуральном n.

Аналогично доказывается и (32).

Теорема: если n - натуральное число, то =1.

Теорема: если n - натуральное число, то= 0.

Теорема: =1.

Доказательство: существует в силу монотонности и ограниченности функции С(х) в интервале (0,а). Известно, для того, чтобы найти , достаточно найти по какой-либо последовательности, сходящейся к нулю. Имеем:

Итак, =1.

Теорема: функции S(x) и С(х) непрерывны.

Доказательство: 1) для функции С(х). используя (25), имеем:

Вместе с тем, в силу (14):

Тогда

Это значит, что С(х) - непрерывная.

2) случай с S(x) доказывается аналогично.

Теорема: если число х принадлежит интервалу (0,а), то S(x) < .

Далее, на основании (20) - (29), можно доказать, что С(х) и S(x) совпадают с тригонометрическими функциями cos х и sin х соответственно и вывести общее решение системы функциональных уравнений.

Определение: решения системы функциональных уравнений (11) называются тригонометрическими синусом и косинусом и обозначаются соответственно:

S(x) = sin ( ) , C(x) = cos ( .



Заключение тригонометрия функция учебник школьный

В своем историческом развитии тригонометрия прошла следующие этапы:

1) Тригонометрия была вызвана к жизни в раннюю пору разумной деятельности людей необходимостью производить измерения углов.

2) Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Непосредственным результатом этого было то, что стало возможным решать плоские треугольники, главным образом, с целью определения расстояний до удалённых или недоступных объектов.

3) В интересах практической астрономии и географических исследований были получены аналогичные результаты для треугольников на сферических поверхностях. С тех пор плоская и сферическая тригонометрии развивались как неотъемлемые части единой науки.

4) Измерительный характер задач тригонометрии при массовом их повторении приводил к настоятельной необходимости табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

5) По мере оформления представлений о тригонометрических функциях они превращались в самостоятельные объекты исследований. Т.е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими особыми свойствами.

6) В начале XVI в. были установлены взаимные интерпретации между решениями определённого класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла, тем самым было положено начало установлению связей между алгеброй и тригонометрией.

7) В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций.

Этап	Основные результаты	Учёные
I. (VII в. до н.э. - II в. н.э.)	Определение расстояний до удаленных или недоступных объектов; Определение небесных координат светил, продолжительности дня и т.д.	Фалес Милетский (VII - VI вв. до н.э.) Аристарх Самосский (ок. 310 - 260 гг. до н.э.) Архимед (ок. 287 - 212 гг. до н.э.) Евклид (II в. до н.э.) Гиппарх (II в. до н.э.) Менелай (I в. н.э.) Клавдий Птолемей (II в. н.э.) и др.
II. (II - XII вв.)	Составление тригонометрических таблиц; Появление и доказательство основных тригонометрических тождеств; Теорема Менелая, теоремы синусов и тангенсов и др.	Клавдий Птолемей (II в. н.э.) Ал-Харрани (IX в.) Ал-Хорезми (IX в.) Ал-Фараби (X в.) Ал-Бузджани (X - XI вв.) Беруни (X - XI вв.) Ибн Ирак (X - XI вв.) Аз-Заркали (XI вв.) Герардо Кремонский (1114 -1187 гг.) Насирэддин Туси (1201 - 1274 гг.) Ал-Каши (XIV - XV вв.) и др.
Ш. (XII - XV вв.)	Выделение тригонометрических функций в самостоятельные объекты исследований (как функции в виде таблиц).	Леонардо Пизанский (1170 - 1250 гг.) Иоанн Сакробоско (XIII в.) Джованни Кампано (XIII в.) Иоганн Мюллер (Региомонтан) (1436 - 1476 гг.) Николай Коперник (1473 - 1543 гг.) и др.
IV. (XVI - XVII вв.)	Выведение новых тригонометрических формул; Установление взаимной интерпритации между решениями определённого класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла.	Ф. Виет (1540 - 1603 гг.) И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) П. Ферма (1601 - 1665 гг.) и др.
V. (XVIII - XIX вв.)	Включение тригонометрических функций в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций.	Леонард Эйлер (1707 - 1783 гг.) И.Г. Ламберт (1728 - 1777 гг.) А.И. Лексель (1741 - 1784 гг.) С. Люилье (1750 - 1840 гг.) и др.

В данной работе были рассмотрены различные способы построения теории тригонометрических функций: при помощи степенных рядов, линейного дифференциального уравнения, обращения интегралов, с помощью системы функциональных уравнений. Аксиоматическая теория является их обобщением. С её точки зрения различные способы определения тригонометрических функций есть лишь различные её интерпретации. Исторически эта теория является завершающим этапом в развитии теории тригонометрических функций.

В школе при введении теории тригонометрических функций применяется традиционный способ. Тригонометрический материал впервые появляется в курсе планиметрии (8 кл.), во второй раз тригонометрия предстает как часть алгебры (9 кл.), и в третий раз - в системе начал анализа (10-11 кл.). И, прежде всего, это обусловлено тем, что именно так, как вводятся элементы тригонометрии в средней школе, сформировалась эта наука в своём историческом развитии.



Литература

1. Глейзер Г. И. История математики в средней школе / Пособие для учителей. М.: Просвящение. 1961 г.

2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей (том 1) / Ф. Клейн. М.- Л. 1987 г.

3. Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии / Г. П. Матвиевская. Ташкент. 1990 г.

4. Рыбников К. А. Возникновение и развитие математической науки / К. А. Рыбников. М.: Просвящение. 1987 г.

5. Энциклопедия элементарной математики. - М., 1952 г, т.2.

6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М., 1969 г., том 2.

7. Бохан К. А. и др. Курс математического анализа. - М., 1972, т.2.

8. Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии. - М.. 1967.

9. Харди Г. Г. Курс чистой математики. - М., 1949 г.

10. ал-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата: Наука, 1972.

11. А. Г. Мордкович Алгебра и начала анализа 10-11 кл., 2001.

12. М. И. Башмаков Алгебра и начала анализа 10-11 кл., 2001.

Размещено на Allbest.ru