Теория вероятностей и математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

(Тульский филиал РГТЭУ)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант № 5

Выполнила:

Студентка 3 курса

Заочного отделения

специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит.»

Серкина И.А.

Проверил:

Глаголева Марина Олеговна

Тула 2014год

Задание №1

Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков

1) равна 6;

2) не превосходит 7;

3) больше 7.

Решение.

Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Задание №2

В ящике находится 7 гвоздей, 7 шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают две детали. Найдите вероятность того, что достали

1) два болта;

2) два шурупа;

3) гвоздь и болт;

4) болт и шуруп.

Решение.

Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Задание №3

В ящике находится 7 гвоздей, 7 шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают три детали. Найдите вероятность того, что достали

1) три болта;

2) один болт и два шурупа;

3) болт, гвоздь и шуруп.

Решение.

Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Задание №4

Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую - 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, будет равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его во второй кассе?

Решение.

А - пассажир посетил одну из касс и приобрел билет

- пассажир посетил первую кассу,

- пассажир посетил вторую кассу,

Условные вероятности , .

Тогда по формуле полной вероятности .

Вероятность того, что пассажир приобрел билет во второй кассе находим по формуле Байеса: .

Задание №5

Производятся четыре выстрела по мишени. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,5 . Найдите вероятность того, что

будет хотя бы одно попадание;

будет два попадания;

будет не менее трех попаданий.

Решение.

В данном случае необходимо использовать формулу Бернулли:

при .

1)

2)

3)

Задание №6

По данным телеателье установлено, что в среднем 20% цветных телевизоров выходят из строя в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что из 225 проданных цветных телевизоров будут работать исправно в течение гарантийного срока:

а) 164 телевизора;

б) от 172 до 184 телевизоров?

Решение.

а) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:

. Тогда .

б) Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: тогда .

Задание №7

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х	5	7	10	21
р

вероятность комбинация теорема отклонение

Найти:

а) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

б) отразить математическое ожидание и СКО на многоугольнике распределения.

Решение.



Задание №8

Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно m=8, ее среднее квадратичное отклонение . Выполните следующие задания:

1) напишите формулу функции плотности распределения вероятности и схематично постройте ее график;

2) найдите вероятность того, что X примет значения из интервала .

Решение.

- формула функции плотности распределения вероятности

Задание №9

Дана выборка объемом N= 38 значений дневной выручки магазина (в тыс. руб.). На основании этих данных:

1. построить интервальный статистический ряд;

2. построить функцию распределения и гистограмму;

3. вычислить среднее значение , среднее квадратическое отклонение S;

4. получить точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности. (Доверительная вероятность равна 0,95)

5. проверьте гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона при уровне значимости .

Исходные данные:

19,713	22,441	18,747	22,470
20,531	16,982	20,895	17,744
19,678	19,212	23,248	18,388
21,814	18,085	22,692	17,318
22,079	17,861	19,783	21,060
22,072	19,519	21,954	20,433
16,788	18,320	22,060	16,595
19,225	20,182	23,155	19,550
22,814	17,332	19,419
21,624	18,413	20,129

Решение.

Число групп определим по формуле Стэрджесса: .

Ширина интервала составит: .

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Интервалы группировки	Частота
16,592-17,702	5
17,702-18,812	7
18,812-19,922	8
19,922-21,032	5
21,032-22,142	7
22,142-23,252	6
Сумма	38

Таблица для расчета показателей.

Интервалы	Середины интервалов,	Частоты,
16,592-17,702	17,147	5	85,735	39,31208
17,702-18,812	18,257	7	127,799	20,087452
18,812-19,922	19,367	8	154,936	2,728448
19,922-21,032	20,477	5	102,385	1,38338
21,032-22,142	21,587	7	151,109	18,735472
22,142-23,252	22,697	6	136,182	45,243096
Итого		38	758,146	127,489928

Выборочное среднее определим по формуле средней арифметической взвешенной, в качестве вариант используя середины интервалов:

.

Определим дисперсию: и среднее квадратическое отклонение .

И несмещенные оценки: и .

Доверительный интервал для генерального среднего имеет вид:

Определяем значение t по таблице распределения Стьюдента tтабл (n-1;б/2) = (37;0,025) = 2,021.

и доверительный интервал имеет вид: .

Определим доверительный интервал для дисперсии.

Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(ч2n-1 < hH) = (1-г)/2 = (1-0,95)/2 = 0,025. Для количества степеней свободы k = 37 по таблице распределения ч2 находим: ч2(37;0,025) = 55,668.

Случайная ошибка дисперсии:

Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(ч2n-1 ? hB) = 1 - P(ч2n-1 < hH) = 1 - 0,025 = 0,975. Для количества степеней свободы k = 37, по таблице распределения ч2 находим: ч2(37;0,975) = 22,106.

Случайная ошибка дисперсии: .

Тогда доверительный интервал имеет вид: .

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона , где pi -- вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа .

Интервалы	ni			Ф(x1)	Ф(x2)	pi	38pi	Ki
16,592-17,702	5	-1,81	-1,21	-0,46	-0,39	0,0766	2,91	1,5
17,702-18,812	7	-1,21	-0,61	-0,39	-0,23	0,16	5,92	0,2
18,812-19,922	8	-0,61	-0,0157	-0,23	-0,008	0,22	8,53	0,0325
19,922-21,032	5	-0,0157	0,58	-0,008	0,22	0,23	8,76	1,61
21,032-22,142	7	0,58	1,18	0,22	0,38	0,16	6,1	0,13
22,142-23,252	6	1,18	1,78	0,38	0,46	0,0795	3,02	2,94
Сумма	38							6,41

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kкp;+?).

Её границу Kкp = ч2(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч2 и заданным значениям s, k, r=2.

Kкp = 11,345; Kнабл = 6,54

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

Задание №10

По данным, приведенным ниже:

1. определить выборочный коэффициент корреляции;

2. получить уравнение регрессии Y=A*X+B;

3. наложить прямую регрессии на поле рассеивания.

Решение.

X	Y
0,304	2,518
0,135	2,185
0,443	2,413
0,883	3,244
0,341	2,481
0,681	2,758
0,205	2,204
0,346	2,517
0,492	2,495
0,161	2,485
0,740	3,053
0,670	2,740
0,532	2,507
0,192	2,363
0,122	2,189
0,036	2,345
0,275	2,497
0,160	2,558
0,154	2,358
0,110	2,301
0,884	2,836
0,149	2,470
0,041	2,058
0,826	2,801
0,876	2,939
0,959	3,130
0,102	2,366
0,377	2,795
0,383	2,740
0,862	3,076

Построим поле корреляции

С помощью метода наименьших квадратов найдем линейную зависимость между X и Y:

Для расчетов параметров a и b линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

Строим рабочую таблицу

Номер	х	у	х2	ху	у2
1	0,304	2,518	0,092416	0,765472	6,340324
2	0,135	2,185	0,018225	0,294975	4,774225
3	0,443	2,413	0,196249	1,068959	5,822569
4	0,883	3,244	0,779689	2,864452	10,523536
5	0,341	2,481	0,116281	0,846021	6,155361
6	0,681	2,758	0,463761	1,878198	7,606564
7	0,205	2,204	0,042025	0,45182	4,857616
8	0,346	2,517	0,119716	0,870882	6,335289
9	0,492	2,495	0,242064	1,22754	6,225025
10	0,161	2,485	0,025921	0,400085	6,175225
11	0,74	3,053	0,5476	2,25922	9,320809
12	0,67	2,74	0,4489	1,8358	7,5076
13	0,532	2,507	0,283024	1,333724	6,285049
14	0,192	2,363	0,036864	0,453696	5,583769
15	0,122	2,189	0,014884	0,267058	4,791721
16	0,036	2,345	0,001296	0,08442	5,499025
17	0,275	2,497	0,075625	0,686675	6,235009
18	0,16	2,558	0,0256	0,40928	6,543364
19	0,154	2,358	0,023716	0,363132	5,560164
20	0,11	2,301	0,0121	0,25311	5,294601
21	0,884	2,836	0,781456	2,507024	8,042896
22	0,149	2,47	0,022201	0,36803	6,1009
23	0,041	2,058	0,001681	0,084378	4,235364
24	0,826	2,801	0,682276	2,313626	7,845601
25	0,876	2,939	0,767376	2,574564	8,637721
26	0,959	3,13	0,919681	3,00167	9,7969
27	0,102	2,366	0,010404	0,241332	5,597956
28	0,377	2,795	0,142129	1,053715	7,812025
29	0,383	2,74	0,146689	1,04942	7,5076
30	0,862	3,076	0,743044	2,651512	9,461776
Сумма	12,441	77,422	7,782893	34,45979	202,475584
Среднее	0,415	2,581	0,259	1,149	6,749

.

Т.е. уравнение линейно регрессии имеет вид: .

Найдем коэффициент корреляции.

,

т.е. связь между рассматриваемыми показателями положительная, тесная.

Размещено на Allbest.ru