Полярная система координат на плоскости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Определение полярных координат

2. Связь прямоугольных координат с полярными

3. Уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

3.1 Уравнение прямой

3.2 Уравнение окружности

3.3 Уравнение эллипса, гиперболы и параболы

4. Кривые в полярных координатах: Кохлеоида, Строфоида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль и др.

4.1 Кохлеоида

4.2 Строфоида

4.3 Спираль Архимеда

4.4 Логарифмическая спираль

4.5 Семейство роз Гранди

4.6 Лемниската Бернулли

4.7 Кардиоида

5. Построение графиков функции в полярной системе координат

Список литературы

полярный координата парабола спираль



Введение

Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.

Способ задания начальных условий для решения какой-либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Наглядность представления окончательного ответа иногда тоже сильно зависит от выбора системы координат.

В данной курсовой работе рассмотрена тема "Полярная система координат на плоскости".



1. Определение полярных координат

Под системой координат на плоскости понимается способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Оp, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Оp.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом ц, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (рис.1).

* Числа r и ц называются полярными координатами точки М, пишут

М(r, ц), при этом r называют полярным радиусом, ц - полярным углом. *

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ц ограничить промежутком [0;2р), а полярный радиус r - [0;?). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и ц. У точки О полярный радиус r=0, а полярный угол ц неопределен. Пары чисел (r, ц+2рk), где k - любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки (рис.1).



2. Связь прямоугольных координат с полярными

Если на плоскости дана полярная система координат, то этим определена и некоторая прямоугольная система координат: за начало координат в этой прямоугольной системе берём начало полярной системы; полярную полуось объявляем положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с её направлением ). Так как в определение полярной системы координат входит и направление положительного вращения плоскости, то мы можем определить ось ординат как ту ось, в которую перейдёт ось абсцисс при повороте её на угол в положительном направлении. Полученную таким образом прямоугольную систему координат будем называть системой определённой данной полярной системой ( рис.2).

Обратно, если дана какая-нибудь прямоугольная система координат, то однозначно определяем полярную систему, сохраняя в ней начало данной прямоугольной системы и требуя, чтобы полярная полуось совпадала с положительной полуосью абсцисс, а положительное направление вращения было тем вращением, которая переводит ось абсцисс в ось ординат поворотом на угол . *Каждой полярной системе координат соответствует вполне определённая прямоугольная система, и обратно. *

Как же связаны между собою координаты x, y и ,r?

Если наряду с полярными координатами (r,ц) точки плоскости (например, точки М) ввести также ее прямоугольные координаты, как это показано на рис. 2, то связь между ними выразится очевидными формулами:

(2.1)

Они позволяют перейти от полярных координат точки M к прямоугольным. Обратный переход, от прямоугольных координат к полярным, осуществляется по формулам:

(2.2)

Из двух последних равенств вытекает:

(2.3)

Из множества углов , предлагаемых формулой (2.3), нужно выбрать один - тот, который соответствует четверти плоскости, в которой находится рассматриваемая точка. Это делается с помощью подбора подходящего значения целого числа n при учете того, что ? <2 р.



3. Уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

3.1 Уравнение прямой

Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с положительной полуосью абсцисс (рис.3).

Рис. 3

Возьмем уравнение прямой в нормальном виде:

(3.1)

- длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси абцисс.

Ранее мы выявили связь между полярными и декартовыми координатами точки:

Подставив эти значения x и y в уравнение прямой (3.1), получим



, или

, откуда

И, окончательно:

(3.2)

В этом уравнении постоянными величинами являются и б, величины же r и ц- переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой (последняя формула может быть получена также из чертежа (рис. 3)).

3.2 Уравнение окружности

Составим уравнение в полярных координатах окружности, проходящей через полюс, с центром на полярной оси и радиусом R. Из прямоугольного треугольника OAA получаем OA= OA (рис. 4).

Отсюда уравнение окружности: с

3.3 Уравнение эллипса, гиперболы и параболы

Фокальный параметр находит своё применение и при выводе уравнений эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Начало полярной системы координат помещаем в фокус F (левый в случае эллипса, правый в случае гиперболы и в единственный фокус в случае параболы). Полярная ось направлена от полюса в сторону, противоположную от соответствующей директрисы d. Для любой точки M нашей кривой обозначаем через r расстояние от M до фокуса F , через - расстояние от M до d. Наша кривая C есть геометрическое место точек M, для которых , откуда

(3.3)

Но r есть полярный радиус точки M. Вычислим . Обозначая через D точку пересечения директрисы d с фокальной осью, а через M проекцию точки M на эту ось, видим, что есть длина вектора , лежащего на оси абсцисс. Для алгебраических значений векторов на этой оси имеем:

(3.4)

где -- угол наклона вектора FM к полярной оси, т.е. полярный угол точки M на кривой C (в случае гиперболы на первой её ветви) (DM_x)=DM_x=.

Подставляя в равенство (3.4) найденные значения входящих в него величин, получаем:

Наконец, подставляя это значение в (3.3), имеем

Это и есть уравнение параболы, эллипса и (ветви) гиперболы в полярных координатах.

Для параболы получаем:

Здесь принимает все значения 0?<2; значение не годится, что и естественно, так как ему не соответствует никакая точка параболы.

В случае эллипса все значения 0?<2 хороши (так как всегда ).



Для гиперболы можно брать значения , для которых

,

где -- острый угол между асимптотой и фокальной осью гиперболы;

у всех точек правой ветви гиперболы полярный угол заключён в пределах , так что



4. Кривые в полярных координатах: Кохлеоида, Строфоида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль и др.

4.1 Кохлеоида

Кохлеоида - трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах:

Кохлеоида имеет бесчисленное множество завитков, проходящих через полюс и касающихся полярной оси (рис.7).

Рис. 7

Опишем способ построения дуги Кохлеоиды.

Рассмотрим окружности радиуса , касающиеся данной прямой в точке О. Отложим на каждой из них от точки О против часовой стрелки дугу длины . Множество точек М ( концов этих дуг) -- дуга кохлеоиды. и (рис.8), то (O₁ - центр большей окружности). Получаем



Рис.8

4.2 Строфоида

Строфоида (от греч. уфспцЮ -- поворот) -- алгебраическая кривая 3-порядка. Строится так (рис.9): даны точка О и прямая, находящаяся от точки О на расстоянии ОА = а. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий прямую в переменной точке В. Строфоида - множество точек М_i, i = 1, 2, таких, что BМ₁ = BМ₂ = AB.

Рис. 9

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:



Из истории: Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую -- "птероида" (от греч. рфеспн-- крыло). Название "строфоида" было введено в 1849 году.

4.3 Спираль Архимеда

Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу. Поместим точку на секундную стрелку часов и будем перемешать точку вдоль секундной стрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Тогда точка опишет кривую, называемую спиралью Архимеда. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед. Ему (Архимеду), в частности, было известно, что расстояние между двумя последовательными витками спирали является постоянной величиной и равно 2р (рис. 10).

Пусть а>0. Будем задавать углу всевозможные значения . Множество всех точек с полярными координатами и (т.е. множество всех точек с координатами, где пробегает все значения ), образует кривую, называемую спиралью Архимеда.

Рис. 10



Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

Форму спирали Архимеда имеют звуковая дорожка на грампластинке и одна из деталей швейных машин - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку.

4.4 Логарифмическая спираль

Логарифмимческая спирамль или изогональная спираль -- особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, "удивительная спираль".

В полярных координатах кривая может быть записана как

или ,

что и объясняет название "логарифмическая" (рис.11).

Рис. 11

Логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся по секундной стрелке не с постоянной скоростью (как в случае архимедовой спирали), а с возрастающей, причем это возрастание пропорционально расстоянию от центра часов.

Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:

*расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию;

*последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию;

*образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу.

Логарифмическая спираль часто встречается в природе и связана с определенными видами роста. У очень многих моллюсков последовательные витки раковины не одинаковы, а все более и более утолщаются. Во многих случаях приближенные значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию. Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать живой, она образуется растущим организмом. Один из простейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. Во многих раковинах обнаруживается поразительно близкое совпадение между результатами измерений и теоретическими значениями, ожидаемыми для точной логарифмической спирали. Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на изменение направления течения, и, следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью.

В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в 1638 г. Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой отношение длины дуги к соответствующему радиус-вектору является постоянным.

Далее рассмотрим несколько примеров кривых, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции. Построение этих кривых можно выполнить по точкам, где принимает значения от 0 до 2р.

4.5 Семейство роз Гранди

,

где k - положительная постоянная.

В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671--1742) создал розы. Розы Гранди радуют нас правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы -- они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как , то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Рис. 12

Наиболее красивые "цветы" получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза) (рис.12).



4.6 Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли -- одна из самых замечательных алгебраических линий. Из уравнения следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик). Для точек лемнискаты должно выполняться неравенство , поэтому она расположена между прямыми . Отметим также, что при .

Лемниската Бернулли обладает рядом оригинальных геометрических и механических свойств:

* угол, составленный касательной к лемнискате в произвольной точке с радиус-вектором точки касания равен ;

* перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо ее точки, делит площадь соответствующего сектора пополам;

* эта кривая (в переводе с латинского lemniscatus -- украшенный лентами) есть множество точек М, произведение расстояний которых r₁, и r₂ до двух данных точек F₁, и F₂ (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния (рис.13).

Рис. 13

Впервые лемниската была рассмотрена Якобом Бернулли (1654--1705) в 1694 г. Впоследствии Бернулли много часов своих занятий уделял лемнискате и нашел несколько ее интересных свойств.

В технике лемниската используется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях. Таким образом, она обеспечивает плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.

В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что линия поля, создаваемого двумя параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой.

4.7 Кардиоида

лемниската

Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности такого же радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (в переводе с греческого kardieidos -- сердцеобразная) (рис. 14).

Рис. 14

Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скорость поступательного движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с v на --v), что вызывает быстрое изнашивание механизма.

Одна из составных частей в механизме для поднятия и опускания семафора очерчена по кардиоиде. При этом скорость поднятия или опускания достигает максимального значения в середине хода семафора, что очень важно.

Кардиоида также хорошо знакома конструкторам и возникает при возвратно-поступательных движениях стержней в двигателях.



5. Построение графиков функции в полярной системе координат

В полярной системе координат так же, как и в декартовой , по графику функции можно построить график функции .

Это построение сводится к простым геометрическим преобразованиям графика функции согласно перечисленным ниже свойствам.

Основные свойства графиков функции в полярной системы координат.

1. График функции симметричен графику функции относительно полюса.

2. График функции симметричен графику функции относительно полярной оси.

3. График функции , где m>0, - это растянутый или сжатый вдоль полярной оси в m раз график функции .

4. График функции - это график, полученный из графика функции с помощью поворота последнего на угол .

5. График функции - это график функции параллельно перенесённый вдоль полярной оси на величину b.

Исследований графиков функции в полярной системе координат.

Общий вид функции, заданной уравнением в полярных координатах: а в неявном виде Функцию можно исследовать в полярной системе координат путём сравнения её с функцией в декартовой системе координат, которую получаем из первой, меняя в ней на , а на . Тогда естественно, что исследование функции можно выполнять по схеме исследования функции.

Отметим некоторые особенности графика функции , сравнивая его с графиком соответствующей функции .

Область определения функции соответствует области определения функции . Особым точкам функции соответствуют особые точки функции.

Симметрия.

а) Пусть - чётная функция. Вследствие равенства имеем, что точкам A(x;y) и B(-x;y) кривой соответствуют точки и (рис. 15) кривой , а точкам A(x;-y) и B(-x;-y) (рис.16) -- точки и .

б) Пусть - нечётная функция. Тогда точкам A(x;y) и B(-x;-y), симметричным относительно начала координат в декартовой системе координат, соответствуют точки и , симметричные относительно полюса в полярной системе координат (рис .17), а точкам A(-x;y) и B(x;-y) в декартовой системе координат соответствуют точки и в полярной системе координат (рис.18) .

Рис. 17



Рис. 18

в) Если кривая симметрична относительно оси абсцисс при x>0, то точкам A(x;y) и B(x-;y) этой кривой в декартовой системе координат соответствуют точки и кривой в полярной системе координат (рис.19).

Рис. 19

г) Если кривая симметрична относительно оси абсцисс при x<0, то точкам A(-x;y) и B(-x;-y) этой кривой в декартовой системе координат соответствуют точки и (рис.20).

Рис. 20



Период функции такой же, как и период функции . Отсюда следует, что достаточно построить график функции в секторе с углом при вершине, равным периоду, а затем с помощью постепенного поворота на углы, кратные периоду, построить искомый график.

Если функция ограничена (), то, как известно, график этой функции располагается между прямыми y=M и y=N.

Для соответствующей функции справедливо неравенство , и график функции располагается в кольце, внутренний радиус которого равен М, а внешний - N.

Если функция имеет экстремум при , то функция имеет экстремум при . Если функция убывает в некотором промежутке, то в полярной системе координат для функции при движении по часовой стрелке радиус уменьшается, а при движении против часовой стрелки -- увеличивается.

Горизонтальная асимптота y=c кривой в декартовой системе координат переходит в асимптотическую окружность в полярной системе координат. В частности, если с = О, то окружность вырождается в точку.

Вертикальная асимптота х = b кривой в декартовой системе координат переходит в общем случае в луч в полярной системе координат. В частности, если b = 0 , то асимптота х = 0 переходит в полярную ось в полярной системе координат; если и , где k - некоторое целое число, то асимптота х = b переходит в вертикальный луч .

Наклонная асимптота кривой в декартовой системе координат переходит в спираль Архимеда в полярной системе координат. В частности, асимптота у = ах кривой переходит в спираль Архимеда .

Замечание. Для построения графика функции при значениях , соответствующих таким значениям x , при которых f(x) < 0, достаточно построить график функции. Затем по этому графику строят кривую в полярной системе координат и поворачивают ее вокруг полюса на угол . Получают кривую, соответствующую отрицательным значениям функции .

Следовательно, построение кривой надо вначале выполнить для , соответствующих значениям х, при которых , а затем строить кривую для , соответствующих значениям х, при которых .

В заключение заметим, что полярные координаты широко применяются при определении длин кривых, площадей фигур, объемов и площадей поверхностей тел вращения, а также в задачах на определение центра масс и момента инерции тела. Рассмотренные кривые нередко возникают при решении различных задач в электротехнике, акустике, гидростатике и механике.



Список литературы

1. П.С. Александров. "Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры". Из-во "Наука", главная редакция физико-математической литературы. Москва 1968.

2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.Н. "Графики функций. Справочник". Киев 1979.

3. Канатников А.Н., Крищенко А.П. "Аналитическая геометрия". Москва. Издаиельство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2002.

4. А.В. Погорелов. "Аналитическая геометрия". Москва 1968.

5. Д. В. Клетеник. "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. "Аналитическая геометрия." М.: Наука. Физматлит, 1999.

7. Полозюк О.Е. "Конспект лекций по высшей математике". Пособие для вузов . Донецк , 2001 .

Размещено на Allbest.ru